蘇科版九年級數學上冊同步精講精練第一次月考模擬測試卷(原卷版+解析)

（蘇科版）2023-2024學年九年級上學期數學第一次月考模擬測試卷（測試范圍：第1章---第2章）（考試時間：120分鐘滿分：120分）一、選擇題（共10題，每小題3分，共30分）1．（2022秋?羅山縣期末）若（a﹣3）xb﹣2﹣5x﹣1＝0是關于x的一元二次方程，則a、b的取值為（）A．a≠0，b＝4 B．a≠0，b＝2 C．a≠﹣3，b＝4 D．a≠3，b＝42．（2023?新疆一模）如圖，AB是⊙O的直徑，AC為弦，∠BAC＝25°，在⊙O上任取一點D，且點D與點C位于直徑AB的兩側，連接AD和DC，則∠D的度數是（）A．50° B．60° C．65° D．75°3．（2023?延津縣三模）一元二次方程（x+1）（x﹣2）＝2x﹣5的根的情況是（）A．有兩個不相等的實數根 B．沒有實數根 C．有兩個相等的實數根 D．只有一個實數裉4．（2023春?東營期末）如圖，⊙O的弦AB垂直平分半徑OC，垂足為D，若CD=22，則A．102 B．10 C．62 5．（2022秋?細河區(qū)期末）一花戶，有26m長的籬笆，要圍成一邊靠住房墻（墻長12m）的面積為80m2的長方形花園，且垂直于住房墻的一邊留一個1m的門（如圖），設垂直于住房墻的其中一邊長為xm，則可列方程為（）A．x(27?x2)=80 B．x（26﹣2C．x(26?x2)=80 D．x6．（2023?杭州二模）如圖，A，B，C是⊙O上三個點，∠AOB＝2∠BOC，則下列說法中正確的是（）A．∠OBA＝∠OCA B．四邊形OABC內接于⊙O C．AB＝2BC D．∠OBA+∠BOC＝90°7．（2022秋?龍江縣期末）若⊙O所在平面內有一點P，點P到⊙O上點的最大距離為8，最小距離為2，則⊙O的直徑為（）A．6 B．10 C．6或10 D．無法確定8．（2023?太康縣一模）定義運算：m☆n＝m2+mn﹣n．例如：3☆2＝32+3×2﹣2＝13．則方程x☆2022＝1的根為（）A．x1＝1，x2＝2023 B．x1＝﹣1，x2＝﹣2023 C．x1＝1，x2＝﹣2023 D．x1＝﹣1，x2＝20239．（2023?肥城市校級模擬）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝4，則⊙O的半徑為（）A．4 B．22 C．3 D．4210．（2022春?宣城期末）已知a，b，c滿足a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，則a+b﹣c的值為（）A．1 B．﹣5 C．﹣6 D．﹣7填空題（共8小題，每小題3分，共24分）11．（2022秋?華容區(qū)期末）若x＝0是一元二次方程x2+b?1x+b2?4＝0的一個根，則b12．（2023?南崗區(qū)一模）已知扇形的弧長為4π，直徑為16，則此扇形的圓心角為．13．如圖，P為⊙O外一點，PA、PB分別切⊙O于A、B，CD切⊙O于點E，分別交PA、PB于點C、D，若PA＝5，則△PCD的周長為．14．（2023?朝陽）若關于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是．15．（2023?振興區(qū)校級一模）有一人感染了某種病毒，經過兩輪傳染后，共有256人感染了該種病毒，求每輪傳染中平均每人傳染了個人．16．（2023?龍灣區(qū)模擬）如圖，正五邊形ABCDE內接于⊙O．對角線AC，BD交于點F，則∠AFD的度數為．17．（2022秋?畢節(jié)市期末）三角形兩邊的長分別是2和3，第三邊的長是方程x2﹣10x+24＝0的根，則該三角形的周長為．18．（2022秋?邗江區(qū)期中）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，點O是BC邊中點，⊙O的半徑為1，點P是AC邊上一動點，則由點P到⊙O的切線長PQ的最小值為．三、解答題（本大題共9小題，滿分共66分）19．（每小題4分，共8分）（2023春?永興縣校級期末）用適當的方法解下列方程：（1）x2+4x﹣6＝0；（2）（x+4）2＝5（x+4）．20．（7分）1＝0的一個根，求a2﹣2017a+201821．（7分）如圖，△ABC中，AB＝AC＝5，以AB為直徑作⊙O，交BC邊于點D，交CA的延長線于點E，連接AD，DE．（1）求證：BD＝CD；（2）若DE＝4，求AD的長．22．（7分）（2022秋?碧江區(qū)月考）閱讀下面材料，解答問題．為解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我們可以將（x2﹣1）看作一個整體，然后設x2﹣1＝y(tǒng)，那么原方程可化為y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．當y＝1時，x2﹣1＝1，∴x2＝2∴x＝±2；當y＝4時，x2﹣1＝4，∴x2＝5∴x＝±5；故原方程的解為x1=2，x2=?2，x3=5，x上述解題方法叫作換元法、請利用換元法解方程：（x2﹣x）2﹣8（x2﹣x）+12＝0．23．（8分）（2022秋?東陽市期中）如圖，已知AB是⊙O直徑，且AB＝8．C，D是⊙O上的點，OC∥BD，交AD于點E，連結BC，∠CBD＝30°．（1）求∠COA的度數；（2）求圖中弧BD與弦BD圍成的陰影部分的面積（結果保留π）．（8分）（2022秋?細河區(qū)期末）某超市以每箱25元的進價購進一批水果，當該水果售價為40元/箱時，六月銷售256箱，七、八月該水果十分暢銷，銷量持續(xù)上漲，在售價不變的基礎上，八月的銷量達到400箱．（1）求七，八兩月的月平均增長率；（2）九月該超市為了減少庫存，開始降價促銷，經調查發(fā)現，該水果每箱降價1元，月銷量在八月銷量的基礎上增加5箱，當該水果每箱降價多少元時，超市九月獲利4250元？25．（9分）（2023春?萊州市期中）關于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0．（1）如果方程有兩個不相等的實數根，求k的范圍；（2）如果方程的一個根是2，求k的值和方程的另一個根；（3）如果x1，x2是這個方程的兩個根，且x12+x22+3x26．（12分）已知Rt△ABC和⊙O如圖放置，已知AB=3，BC＝1，∠ABC＝90°，⊙O的半徑為1，圓心O與直線AB的距離為5．現△ABC以每秒2個單位的速度向右移動，設△ABC移動的時間為t（s（1）當△ABC的邊AC與圓第一次相切時，求t的值；（2）若在△ABC移動的同時，圓O也以每秒1個單位的速度向右移動，則△ABC從開始移動，到它的邊與圓最后一次相切時，求t的值；（3）在（2）的條件下的移動過程中，圓心O到AC所在直線的距離在不斷變化，設該距離為d，當d＜1時，求t的取值范圍．

（蘇科版）2023-2024學年九年級上學期數學第一次月考模擬測試卷（測試范圍：第1章---第2章）（考試時間：120分鐘滿分：120分）一、選擇題（共10題，每小題3分，共30分）1．（2022秋?羅山縣期末）若（a﹣3）xb﹣2﹣5x﹣1＝0是關于x的一元二次方程，則a、b的取值為（）A．a≠0，b＝4 B．a≠0，b＝2 C．a≠﹣3，b＝4 D．a≠3，b＝4【分析】根據一元二次方程的定義得出a﹣3≠0，b﹣2＝2求出即可．【解答】解：由題意，得a﹣3≠0，b﹣2＝2解得a≠3，b＝4．故選：D．【點評】本題考查了一元二次方程的概念．只有一個未知數且未知數最高次數為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．2．（2023?新疆一模）如圖，AB是⊙O的直徑，AC為弦，∠BAC＝25°，在⊙O上任取一點D，且點D與點C位于直徑AB的兩側，連接AD和DC，則∠D的度數是（）A．50° B．60° C．65° D．75°【分析】連接BC，由圓周角定理的推論得∠ACB＝90°，得∠B＝65°，再由圓周角定理的推論得解．【解答】解：連接BC，如圖所示，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝25°，∴∠B＝65°，∵AC=∴∠D＝∠B＝65°．故選：C．【點評】此題考查了圓周角定理的推論、直角三角形的性質，熟練掌握圓周角定理的兩個推論是解答此題的關鍵．3．（2023?延津縣三模）一元二次方程（x+1）（x﹣2）＝2x﹣5的根的情況是（）A．有兩個不相等的實數根 B．沒有實數根 C．有兩個相等的實數根 D．只有一個實數裉【分析】先化為一般形式，然后根據根的判別式進行解答即可．【解答】解：（x+1）（x﹣2）＝2x﹣5，即x2﹣3x+3＝0，由題意，可知Δ＝32﹣4×1×3＝﹣3＜0，∴該一元二次方程沒有實數根．故選：B．【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c為常數）的根的判別式Δ＝b2﹣4ac，理解根的判別式對應的根的三種情況是解題的關鍵．當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數根；當Δ＜0時，方程沒有實數根．4．（2023春?東營期末）如圖，⊙O的弦AB垂直平分半徑OC，垂足為D，若CD=22，則A．102 B．10 C．62 【分析】連接OC，由題意即可推出OC的長度可得OA的長度，運用勾股定理即可推出AD的長度，然后，通過垂徑定理即可推出AB的長度．【解答】解：連接OA，∵⊙O的弦AB垂直平分半徑OC，CD=2∴OC=2∴OA=2∵OC⊥AB，∴AD=6∵AB＝2AD，∴AB=6故選：D．【點評】本題主要考查垂徑定理、勾股定理的應用，關鍵在于正確地作出輔助線構建直角三角形，認真地進行計算．5．（2022秋?細河區(qū)期末）一花戶，有26m長的籬笆，要圍成一邊靠住房墻（墻長12m）的面積為80m2的長方形花園，且垂直于住房墻的一邊留一個1m的門（如圖），設垂直于住房墻的其中一邊長為xm，則可列方程為（）A．x(27?x2)=80 B．x（26﹣2C．x(26?x2)=80 D．x【分析】設與墻垂直的一邊長為xm，則與墻平行的一邊長為（27﹣2x）m，根據長方形花園面積為80m2即可列出關于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：設與墻垂直的一邊長為xm，則與墻平行的一邊長為（27﹣2x）m，根據題意得：x（27﹣2x）＝80．故答案為：D．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，根據長方形花園的面積列出關于x的一元二次方程是解題的關鍵．6．（2023?杭州二模）如圖，A，B，C是⊙O上三個點，∠AOB＝2∠BOC，則下列說法中正確的是（）A．∠OBA＝∠OCA B．四邊形OABC內接于⊙O C．AB＝2BC D．∠OBA+∠BOC＝90°【分析】過O作OD⊥AB于D交⊙O于E，由垂徑定理得到AE=BE，于是得到AE=BE=BC，推出AE＝BE＝BC，根據三角形的三邊關系得到2BC＞AB，故C錯誤；根據三角形內角和得到∠OBA=12（180°﹣∠AOB）＝90°﹣∠BOC，∠OCA=12（180°﹣∠AOC）＝90°?32∠BOC，推出∠OBA≠∠OCA，故A錯誤；由點A，B，C在⊙O上，而點O在圓心，得到四邊形OABC【解答】解：過O作OD⊥AB于D交⊙O于E，則AE=∴AE＝BE，∠AOE＝∠BOE=12∵∠AOB＝2∠BOC，∴∠AOE＝∠BOE＝∠BOC，∴AE=∴AE＝BE＝BC，∴2BC＞AB，故C錯誤；∵OA＝OB＝OC，∴∠OBA=12（180°﹣∠AOB）＝90°﹣∠∠OCA=12（180°﹣∠AOC）＝90°?3∴∠OBA≠∠OCA，故A錯誤；∵點A，B，C在⊙O上，而點O在圓心，∴四邊形OABC不內接于⊙O，故B錯誤；∵∠BOE＝∠BOC=12∵∠BOE+∠OBA＝90°，∴∠OBA+∠BOC＝90°，故D正確；故選：D．【點評】本題考查了圓心角，弧，弦的關系，垂徑定理，三角形的三邊關系，正確的作出輔助線是解題的關鍵．7．（2022秋?龍江縣期末）若⊙O所在平面內有一點P，點P到⊙O上點的最大距離為8，最小距離為2，則⊙O的直徑為（）A．6 B．10 C．6或10 D．無法確定【分析】由于點P與⊙O的位置關系不能確定，故應分兩種情況進行討論．【解答】解：設⊙O的半徑為r，當點P在圓外時，r=8?22=3，當點P在⊙O內時，r=8+22=5，故選：C．【點評】本題考查的是點與圓的位置關系，解答此題時要進行分類討論，不要漏解．8．（2023?太康縣一模）定義運算：m☆n＝m2+mn﹣n．例如：3☆2＝32+3×2﹣2＝13．則方程x☆2022＝1的根為（）A．x1＝1，x2＝2023 B．x1＝﹣1，x2＝﹣2023 C．x1＝1，x2＝﹣2023 D．x1＝﹣1，x2＝2023【分析】利用新定義得出方程，再求出方程的解即可．【解答】解：根據題中的新定義得：x2+2022x﹣2022＝1，∴x2+2022x﹣2023＝0，（x﹣1）（x+2023）＝0，∴x﹣1＝0或x+2023＝0，∴x1＝1，x2＝﹣2023．故選：C．【點評】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，弄清題中的新定義是解本題的關鍵．9．（2023?肥城市校級模擬）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝4，則⊙O的半徑為（）A．4 B．22 C．3 D．42【分析】先根據圓內接四邊形對角互補得出∠ADC＝45°，由圓周角定理得出∠AOC＝90°，根據OA＝OC可得出答案．【解答】解：連接OA，OC，∵四邊形ABCD內接于⊙O，∠ABC＝135°，∴∠ADC＝45°，∴∠AOC＝90°，由勾股定理得：OA2+OC2＝AC2，∵OA＝OC，AC＝4，∴OA=22∴⊙O的半徑為：22故選：B．【點評】本題考查圓內接四邊形的性質，圓周角與圓心角的關系，解題的關鍵是熟練運用相關定理．10．（2022春?宣城期末）已知a，b，c滿足a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，則a+b﹣c的值為（）A．1 B．﹣5 C．﹣6 D．﹣7【分析】題目中的式子相加，然后利用配方法變形為完全平方的形式，再利用非負數的性質即可求得所求式子的值．【解答】解：∵a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，∴（a2+2b）+（b2﹣2c）+（c2﹣6a）＝7+（﹣1）+（﹣17），∴a2+2b+b2﹣2c+c2﹣6a＝﹣11，∴（a2﹣6a+9）+（b2+2b+1）+（c2﹣2c+1）＝0，∴（a﹣3）2+（b+1）2+（c﹣1）2＝0，∴a﹣3＝0，b+1＝0，c﹣1＝0，解得，a＝3，b＝﹣1，c＝1，∴a+b﹣c＝3﹣1﹣1＝1．故選：A．【點評】本題考查了配方法的應用、非負數的性質，解題的關鍵是根據完全平方和公式將代數式轉化為偶次方的和的形式，求出a，b，c的值．填空題（共8小題，每小題3分，共24分）11．（2022秋?華容區(qū)期末）若x＝0是一元二次方程x2+b?1x+b2?4＝0的一個根，則b【分析】根據一元二次方程的解的定義，把x＝0代入x2+b?1x+b2【解答】解：把x＝0代入x2+b?1x+解得b＝±2，∵b﹣1≥0，∴b≥1，∴b＝2．故答案為：2．【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解，還考查了二次根式有意義的條件．12．（2023?南崗區(qū)一模）已知扇形的弧長為4π，直徑為16，則此扇形的圓心角為．【分析】設此扇形的圓心角為x°，代入弧長公式計算，得到答案．【解答】解：設此扇形的圓心角為x°，由題意得，8πx180=4解得，x＝90，故答案為：90°．【點評】本題考查的是弧長的計算，掌握弧長公式l=nπr13．如圖，P為⊙O外一點，PA、PB分別切⊙O于A、B，CD切⊙O于點E，分別交PA、PB于點C、D，若PA＝5，則△PCD的周長為．【分析】由于CA、CE，DE、DB都是⊙O的切線，可由切線長定理將△PCD的周長轉換為PA、PB的長．【解答】解：∵PA、PB切⊙O于A、B，∴PA＝PB＝5；同理，可得：EC＝CA，DE＝DB；∴△PDC的周長＝PC+CE+DE+DP＝PC+AC+PD+DB＝PA+PB＝2PA＝10．即△PCD的周長是10．【點評】此題主要考查的是切線長定理的應用．能夠將△PCD的周長轉換為切線PA、PB的長是解答此題的關鍵．14．（2023?朝陽）若關于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是．【分析】由二次項系數非零及根的判別式Δ＞0，可得出關于k的一元一次不等式組，解之即可得出k的取值范圍．【解答】解：∵關于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有兩個不相等的實數根，∴k?1≠0Δ=解得：k＞12且∴k的取值范圍是k＞12且故答案為：k＞12且【點評】本題考查了根的判別式以及一元二次方程的定義，利用二次項系數非零及根的判別式Δ＞0，找出關于k的一元一次不等式組是解題的關鍵．15．（2023?振興區(qū)校級一模）有一人感染了某種病毒，經過兩輪傳染后，共有256人感染了該種病毒，求每輪傳染中平均每人傳染了個人．【分析】有一人感染了某種病毒，經過兩輪傳染后，共有256人感染了該種病毒，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．【解答】解：設每輪傳染中平均每人傳染m人，依題意，得（1+m）2＝256，解得：m1＝15，m2＝﹣17（不合題意，舍去）．答：每輪傳染中平均每人傳染了15人，故答案為：15．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．16．（2023?龍灣區(qū)模擬）如圖，正五邊形ABCDE內接于⊙O．對角線AC，BD交于點F，則∠AFD的度數為．【分析】如圖，先根據正五邊形的性質，可知AB＝CD=15圓周長，進而求出∠DBC=∠ACB=12×【解答】解：∵五邊形ABCDE為正五邊形，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA，∴AB＝CD=1∴∠DBC=∠ACB=1∴∠BFC＝180°﹣2×36°＝108°，∴∠AFD＝∠BFC＝108°，故答案為：108°．【點評】本題以正多邊形和圓為載體，考察正多邊形和圓的性質為核心，靈活運用相關定理來分析求解即可．17．（2022秋?畢節(jié)市期末）三角形兩邊的長分別是2和3，第三邊的長是方程x2﹣10x+24＝0的根，則該三角形的周長為．【分析】首先從方程x2﹣10x+24＝0中，確定第三邊的邊長為4或6；其次考查2，3，4或2，3，6能否構成三角形，從而求出三角形的周長．【解答】解：由方程x2﹣10x+24＝0，得：解得x＝4或x＝6，當第三邊是6時，2+3＜6，不能構成三角形，應舍去；當第三邊是4時，三角形的周長為2+4+3＝9．故答案為：9．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法和三角形三邊關系．求三角形的周長，不能盲目地將三邊長相加起來，而應養(yǎng)成檢驗三邊長能否成三角形的好習慣，不符合題意的應舍去．18．（2022秋?邗江區(qū)期中）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，點O是BC邊中點，⊙O的半徑為1，點P是AC邊上一動點，則由點P到⊙O的切線長PQ的最小值為．【分析】當PO⊥AC時，線段PQ最短；連接CP、CQ，根據勾股定理知PQ2＝CP2﹣CQ2，先求出CP的長，然后由勾股定理即可求得答案．【解答】解：如圖，連接OP，OQ，AO，∵PQ與⊙O相切于點Q，∴OQ⊥PQ，∵OQ＝1，∴當OP最短時，PQ最小，∴當PO⊥AC時，線段PQ最小，∵AB＝AC＝5，BC＝6，點O是BC邊中點，∴AO⊥BC，OC=12∴AO=A∴S△AOC=12S△ABC∴12×5×∴OP=12∴PQ=(∴點P到⊙O的切線長PQ的最小值為1195故答案為：1195【點評】本題考查了切線的性質以及勾股定理的運用；注意掌握輔助線的作法，注意當PO⊥AC時，線段PQ最短是關鍵．三、解答題（本大題共9小題，滿分共66分）19．（每小題4分，共8分）（2023春?永興縣校級期末）用適當的方法解下列方程：（1）x2+4x﹣6＝0；（2）（x+4）2＝5（x+4）．【分析】（1）利用公式法解方程即可；（2）整理后，利用因式分解法解方程即可．【解答】解：（1）x2+4x﹣6＝0∵a＝1，b＝4，c＝﹣6，∴Δ＝42﹣4×1×（﹣6）＝40，∴x=?b±∴x1＝﹣2+10，x2＝﹣2?（2）（x+4）2＝5（x+4）∴（x+4）2﹣5（x+4）＝0，則（x+4）（x+4﹣5）＝0，∴（x+4）（x﹣1）＝0，則x+4＝0或x﹣1＝0，∴x1＝﹣4，x2＝1．【點評】此題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的各種方法是解題的關鍵．20．（7分）1＝0的一個根，求a2﹣2017a+2018【分析】利用一元二次方程的解的定義得到a2＝2018a﹣1，則a2﹣2017a+2018a2+1可變形為a﹣1+1a，通分得到原式=【解答】解：∵a是方程x2﹣2018x+1＝0的一個根，∴a2﹣2018a+1＝0，∴a2＝2018a﹣1，∴a2﹣2017a+2018a2+1=＝a﹣1+=a=2018a?1+1＝2018﹣1＝2017．【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．也考查了代數式的變形能力．21．（7分）如圖，△ABC中，AB＝AC＝5，以AB為直徑作⊙O，交BC邊于點D，交CA的延長線于點E，連接AD，DE．（1）求證：BD＝CD；（2）若DE＝4，求AD的長．【分析】（1）利用等腰三角形的三線合一的性質證明即可；（2）根據同圓中同弧所對的圓周角相等得到∠B＝∠E，根據對邊對等角得出∠B＝∠C，則∠E＝∠C，進而得到DE＝DC，即可根據勾股定理求解．【解答】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD，又∵AB＝AC，∴BD＝CD；（2）∵AB＝AC＝5，∴∠B＝∠C，∵∠B＝∠E，∴∠E＝∠C，∴DE＝DC，∵DE＝4，∴DC＝4，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC＝90°，∴AD=A【點評】此題考查了圓周角定理、等腰三角形的性質，熟記同圓中同弧所對的圓周角相等是解題的關鍵．22．（7分）（2022秋?碧江區(qū)月考）閱讀下面材料，解答問題．為解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我們可以將（x2﹣1）看作一個整體，然后設x2﹣1＝y(tǒng)，那么原方程可化為y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．當y＝1時，x2﹣1＝1，∴x2＝2∴x＝±2；當y＝4時，x2﹣1＝4，∴x2＝5∴x＝±5；故原方程的解為x1=2，x2=?2，x3=5，x上述解題方法叫作換元法、請利用換元法解方程：（x2﹣x）2﹣8（x2﹣x）+12＝0．【分析】先設y＝x2﹣x，則原方程變形為y2﹣8y+12＝0，運用因式分解法解得y1＝2，y2＝6，再把y＝2和6分別代入y＝x2﹣x得到關于x的一元二次方程，然后解兩個一元二次方程，最后確定原方程的解．【解答】解：設y＝x2﹣x，則y2﹣8y+12＝0，即（y﹣2）（y﹣6）＝0，解得：y1＝2，y2＝6，當y1＝2時，x2﹣x＝2，即x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝2；當y2＝6時，x2﹣x＝6，即x2﹣x﹣6＝0，解得：x3＝3，x4＝﹣2．所以原方程的解為x1＝﹣1，x2＝2，x3＝3，x4＝﹣2．【點評】本題考查了換元法解一元二次方程．換元法就是把一個復雜的不變整體用一個字母代替，這樣就把復雜的問題轉化為簡單的問題．如本題就是把一元四次方程轉化為一元二次方程．23．（8分）（2022秋?東陽市期中）如圖，已知AB是⊙O直徑，且AB＝8．C，D是⊙O上的點，OC∥BD，交AD于點E，連結BC，∠CBD＝30°．（1）求∠COA的度數；（2）求圖中弧BD與弦BD圍成的陰影部分的面積（結果保留π）．【分析】（1）根據平行線的性質得到∠OCB＝∠CBD＝30°，根據等腰三角形的性質得到∠OCB＝∠OBC＝30°，即可求得∠COA＝60°；（2）根據扇形和三角形的面積公式即可得到結論．【解答】解：（1）∵OC∥BD，∴∠OCB＝∠CBD＝30°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC＝30°，∴∠COA＝∠OCB+∠OBC＝60°；（2）連接OD，∵∠CBD＝∠OBC＝30°，∴∠BOD＝60°，∵OB＝OD，∴△BOD是等邊三角形，∴S陰影＝S扇形BOD﹣S△BOD=60π×42360【點評】本題考查了扇形的面積的計算，圓周角定理，解直角三角形，正確地作出輔助線是解題的關鍵．（8分）（2022秋?細河區(qū)期末）某超市以每箱25元的進價購進一批水果，當該水果售價為40元/箱時，六月銷售256箱，七、八月該水果十分暢銷，銷量持續(xù)上漲，在售價不變的基礎上，八月的銷量達到400箱．（1）求七，八兩月的月平均增長率；（2）九月該超市為了減少庫存，開始降價促銷，經調查發(fā)現，該水果每箱降價1元，月銷量在八月銷量的基礎上增加5箱，當該水果每箱降價多少元時，超市九月獲利4250元？【分析】（1）設七，八兩月的月平均增長率為x，利用八月的銷售量＝六月的銷售量×（1+七，八兩月的月平均增長率）2，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論；（2）設該水果每箱降價y元，則每箱盈利（40﹣y﹣25）元，月銷售量為（400+5y）箱，利用總利潤＝每箱的銷售利潤×月銷售量，即可得出關于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．【解答】解：（1）設七，八兩月的月平均增長率為x，依題意得：256（1+x）2＝400，解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合題意，舍去）．答：七，八兩月的月平均增長率為25%．（2）設該水果每箱降價y元，則每箱盈利（40﹣y﹣25）元，月銷售量為（400+5y）箱，依題意得：（40﹣y﹣25）（400+5y）＝4250，整理得：y2+65y﹣350＝0，解得：y1＝5，y2＝﹣70（不符合題意，舍去）．答：當該水果每箱降價5元時，超市九月獲利4250元．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．25．（9分）（2023春?萊州市期中）關于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0．（1）如果方程有兩個不相等的實數根，求k的范圍；（2）如果方程的一個根是2，求k的值和方程的另一個根；（3）如果x1，x2是這個方程的兩個根，且x12+x22+3x【分析】（1）利用根的判別式的意義得到Δ＝（﹣6）2﹣4k＞0，然后解不等式；（2）設方程的另一個根為t，根據根與系數的關系得2+t＝6，2t＝k，然后解方程組即可；（3）根據根與系數的關系得x1+x2＝6，x1x2＝k，再由x12+x22+3x1?x2＝25得到（x1+x2）2+x1【解答】解：（1）根據題意得Δ＝（﹣6）2﹣4k＞0，解得k＜9，即k的取值范圍為k＜9；（2）設方程的另一個根為t，根據根與系數的關系得2+t＝6，2t＝k，解得t＝4，k＝8，即k的值為8，方程的另一個根為4；（3）根據根與系數的關系得x1+x2＝6，x1x2＝k，∵x12+x22+∴（x1+x2）2+x1x2＝25，∴62+k＝25，解得k＝﹣11，即k的值為﹣11．【點評】本題考查了根與系數的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2=?ba，x1x226．（12分）已知Rt△ABC和⊙O如圖放置，已知AB=3，BC＝1，∠ABC＝90°，⊙O的半徑為1，圓心O與直線AB的距離為5．現△ABC以每秒2個單位的速度向右移動，設△ABC移動的時間為t（s（1）當△ABC的邊AC與圓第一次相切時，求t的值；（2）若在△ABC移動的同時，圓O也以每秒1個單位的速度向右移動，則△ABC從開始移動，到它的邊與圓最后一次相切時，求t的值；