浙江省紹興一中2025屆高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測試題含解析

浙江省紹興一中2025屆高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)正方體的棱長為，則點到平面的距離是（）A. B.C. D.2．已知等差數(shù)列{an}中，a4+a9=8，則S12=（）A.96 B.48C.36 D.243．雙曲線的漸近線的斜率是（）A.1 B.C. D.4．設(shè)、是橢圓：的左、右焦點，為直線上一點，是底角為的等腰三角形，則的離心率為A. B.C. D.5．過點的直線在兩坐標軸上的截距之和為零，則該直線方程為()A. B.C.或 D.或6．命題，，則為（）A.， B.，C.， D.，7．函數(shù)有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.8．設(shè)橢圓：的右頂點為，右焦點為，為橢圓在第二象限內(nèi)的點，直線交橢圓于點，為原點，若直線平分線段，則橢圓的離心率為A. B.C. D.9．已知雙曲線C：的右焦點為，一條漸近線被圓截得的弦長為2b，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C.2 D.10．如果一個矩形長與寬的比值為，那么稱該矩形為黃金矩形.如圖，已知是黃金矩形，，分別在邊，上，且也是黃金矩形.若在矩形內(nèi)任取一點，則該點取自黃金矩形內(nèi)的概率為（）A. B.C. D.11．已知點、為橢圓的左、右焦點，若點為橢圓上一動點，則使得的點的個數(shù)為（）A. B.C. D.不能確定12．一條光線從點射出，經(jīng)軸反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為()A.或 B.或C.或 D.或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，已知正方形邊長為，長方形中，，平面與平面互相垂直，是線段的中點，則異面直線與所成角的余弦值為______14．直線l過點P(1，3)，且它的一個方向向量為(2，1)，則直線l的一般式方程為__________.15．已知直線與平行，則實數(shù)的值為_____________.16．已知正方體的棱長為6，E為棱的中點，F(xiàn)為棱上的點，且，則___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，，再從條件①：；②：；③：這三個條件中選擇一個作為已知，解答下列問題：（1）求和的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求證：18．（12分）已知橢圓的右焦點是橢圓上的一動點，且的最小值是1，當(dāng)垂直長軸時，.(1)求橢圓的標準方程；(2)設(shè)直線與橢圓相切，且交圓于兩點，求面積的最大值，并求此時直線方程.19．（12分）在中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，滿足（1）求A的大??；（2）若，的面積為，求的周長20．（12分）已知梯形如圖甲所示，其中，，，四邊形是邊長為1正方形，沿將四邊形折起，使得平面平面，得到如圖乙所示的幾何體（1）求證：平面；（2）若點在線段上，且與平面所成角的正弦值為，求線段的長度.21．（12分）已知橢圓的左、右焦點分別是，點P是橢圓C上任一點，若面積的最大值為，且離心率（1）求C的方程；（2）A，B為C的左、右頂點，若過點且斜率不為0的直線交C于M，N兩點，證明：直線與的交點在一條定直線上22．（10分）芯片作為在集成電路上的載體，廣泛應(yīng)用在手機、軍工、航天等多個領(lǐng)域，是能夠影響一個國家現(xiàn)代工業(yè)的重要因素．根據(jù)市場調(diào)研與統(tǒng)計，某公司七年時間里在芯片技術(shù)上的研發(fā)投入x（億元）與收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：（1）根據(jù)折線圖的數(shù)據(jù),求y關(guān)于x的線性回歸方程(系數(shù)精確到整數(shù)部分);（2）為鼓勵科技創(chuàng)新,當(dāng)研發(fā)技術(shù)投入不少于16億元時,國家給予公司補貼5億元,預(yù)測當(dāng)芯片的研發(fā)投入為17億元時公司的實際收益附:其回歸方程的斜率和截距的最小二乘法估計分別為,．參考數(shù)據(jù),

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】建立空間直角坐標系，根據(jù)空間向量所學(xué)點到面的距離公式求解即可.【詳解】建立如下圖所示空間直角坐標系，以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸.因為正方體的邊長為4，所以，，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量，所以，，即，設(shè)，所以，，即，設(shè)點到平面的距離為，所以，故選：D.2、B【解析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)得.故選：B3、B【解析】由雙曲線的漸近線方程為：，化簡即可得到答案.【詳解】雙曲線的漸近線方程為：，即，漸近線的斜率是.故選：B4、C【解析】如下圖所示，是底角為的等腰三角形，則有所以，所以又因為，所以，，所以所以答案選C.考點：橢圓的簡單幾何性質(zhì).5、D【解析】分截距為零和不為零兩種情況討論即可﹒【詳解】當(dāng)直線過原點時，滿足題意，方程為，即2x－y＝0；當(dāng)直線不過原點時，設(shè)方程為，∵直線過(1，2)，∴，∴，∴方程為，故選：D﹒6、B【解析】直接利用特稱命題的否定是全稱命題寫出結(jié)果即可.【詳解】命題，為特稱命題，而特稱命題的否定是全稱命題，所以命題，，則為：，.故選：B7、B【解析】方程有兩個根，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的單調(diào)性與極值【詳解】函數(shù)定義域是，有兩個零點，即有兩個不等實根，即有兩個不等實根設(shè)，則，時，，遞減，時，，遞增，極小值＝，而時，，時，，所以故選：B8、B【解析】如上圖，設(shè)AC中點為M,連OM，則OM為的中位線，易得∽，且,即可得，選B.點睛：本題主要考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要是離心率的求法，本題的關(guān)鍵是利用中位線定理和相似三角形定理9、A【解析】求出圓心到漸近線的距離，根據(jù)弦長建立關(guān)系即可求解.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，即，則點到漸近線的距離為，因為弦長為，圓半徑為，所以，即，因為，所以，則雙曲線的離心率為.故選：A.10、B【解析】由幾何概型的面積型，只需求小矩形的面積和大矩形面積之比.【詳解】由題意，不妨設(shè)，則，又也是黃金矩形，則，又，解得，于是大矩形面積為：，小矩形的面積為，由幾何概型的面積型，概率為若在矩形內(nèi)任取一點，則該點取自黃金矩形內(nèi)的概率為：.故選：B.11、B【解析】利用余弦定理結(jié)合橢圓的定義可求得、，即可得出結(jié)論.【詳解】在橢圓中，，，，則，，可得，所以，，解得，此時點位于橢圓短軸的頂點.因此，滿足條件的點的個數(shù)為.故選：B.12、C【解析】點關(guān)于軸的對稱點為，由反射光線的性質(zhì)，可設(shè)反射光線所在直線的方程為：，再利用直線與圓相切，可知圓心到直線的距離等于半徑，由此即可求出結(jié)果【詳解】點關(guān)于軸的對稱點為，設(shè)反射光線所在直線的方程為：，化為因為反射光線與圓相切，所以圓心到直線的距離，可得，所以或故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系，求出，后可求異面直線所成角的余弦值.【詳解】長方形可得，因為平面與平面互相垂直，平面平面，平面，故平面，故可建立如圖所示的空間直角坐標系，則，故，，故.故答案為：14、【解析】根據(jù)直線方向向量求出直線斜率即可得直線方程.【詳解】因為直線l的一個方向向量為(2，1)，所以其斜率，所以l方程為：，即其一般式方程為：.故答案為：.15、或【解析】根據(jù)平行線的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】因為直線與平行，所以有：或，故答案為：或16、18【解析】建立空間直角坐標系，利用空間向量的數(shù)量積運算求解.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標系：則，所以，所以，故答案為：18三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）an＝n，bn＝（2）證明見解析【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，q＞0，由等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式，列出方程組求解即可得答案；（2）求出，利用裂項相消求和法求出前項和為，即可證明【小問1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，q＞0，選①：，又，，可得1+5d＝3q，1+4d＝5d，解得d＝1，q＝2，則an＝1+n﹣1＝n，bn＝；選②：，又a1＝b1＝1，a6＝3b2，可得1+5d＝3q，q4＝4（q3﹣q2），解得d＝1，q＝2，則an＝1+n﹣1＝n，bn＝；選③：，又a1＝b1＝1，a6＝3b2，可得1+5d＝3q，8+28d＝6（3+3d），解得d＝1，q＝2，則an＝1+n﹣1＝n，bn＝；小問2詳解】證明：由（1）知，，，所以18、（1）；（2），.【解析】（1）由的最小值為1，得到，再由，結(jié)合，求得的值，即可求得橢圓的方程.（2）設(shè)切線的方程為，聯(lián)立方程組，根據(jù)直線與橢圓相切，求得，結(jié)合點到直線的距離公式和圓的弦長公式，求得的面積的表示，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】（1）由題意，點橢圓上的一動點，且的最小值是1，得，因為當(dāng)垂直長軸時，可得，所以，即，又由，解得，所以橢圓的標準方程為.（2）由題意知切線的斜率一定存在，否則不能形成，設(shè)切線的方程為，聯(lián)立，整理得，因為直線與橢圓相切，所以，化簡得，則，因為點到直線的距離，所以，即，故的面積為，因為，可得，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時取等號，則，即面積的最大值為.當(dāng)時，此時，所以直線的方程為.【點睛】對于直線與橢圓的位置關(guān)系的處理方法：1、判定與應(yīng)用直線與橢圓的位置關(guān)系，一把轉(zhuǎn)化為研究直線方程與橢圓組成的方程組的解得個數(shù)，結(jié)合判別式求解；2、對于過定點的直線，也可以通過定點在橢圓的內(nèi)部或在橢圓上，判定直線與橢圓的位置關(guān)系.19、（1）（2）【解析】（1）通過正弦定理將邊化為角的關(guān)系，可得，進而可得結(jié)果；（2）由面積公式得，結(jié)合余弦定理得，進而得結(jié)果.【小問1詳解】∵∴由正弦定理，得∴∵，∴，故【小問2詳解】由（1）知，∵∴∵由余弦定理知，∴，故∴，故∴的周長為20、（1）證明過程見解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理進行證明即可；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式進行求解即可.【小問1詳解】∵平面平面，平面平面平面，，∴平面；【小問2詳解】（2）建系如圖：設(shè)平面的法向量，，，，，，則，設(shè)，，，解得或（舍），，∴.21、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）用待定系數(shù)法求出橢圓的方程；（2）設(shè)直線MN的方程為x=my+1，設(shè),用“設(shè)而不求法”表示出.由直線AM的方程為，直線BN的方程為，聯(lián)立，解得：，即可證明直線AM與BN的交點在直線上.【小問1詳解】由題意可得：，解得：,所以C的方程為.【小問2詳解】由(1)得A(-2,0),B(2,0),F2(1,0),設(shè)直線MN的方程為x=my+1.設(shè),由，