2025屆北京市首師大附中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2025屆北京市首師大附中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．雙曲線的光學(xué)性質(zhì)如下：如圖1，從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過左焦點(diǎn)．我國(guó)首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個(gè)光學(xué)性質(zhì)．某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖2，其方程為，分別為其左、右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點(diǎn)A和點(diǎn)B反射后（，A，B在同一直線上），滿足，則該雙曲線的離心率的平方為（）A. B.C. D.2．直線與曲線相切于點(diǎn),則()A. B.C. D.3．若圓的半徑為，則實(shí)數(shù)（）A. B.-1C.1 D.4．如圖，正方形與矩形所在的平面互相垂直，在上，且平面，則M點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.5．工業(yè)生產(chǎn)者出廠價(jià)格指數(shù)（PRoduceRPRiceIndexfoRIndustRialPRoducts，簡(jiǎn)稱PPI）是反映工業(yè)企業(yè)產(chǎn)品第一次出售時(shí)的出廠價(jià)格的變化趨勢(shì)和變動(dòng)幅度，是反映某一時(shí)期生產(chǎn)領(lǐng)域價(jià)格變動(dòng)情況的重要經(jīng)濟(jì)指標(biāo)，也是制定有關(guān)經(jīng)濟(jì)政策和國(guó)民經(jīng)濟(jì)核算的重要依據(jù)．根據(jù)下面提供的我國(guó)2020年1月—2021年11月的工業(yè)生產(chǎn)者出廠價(jià)格指數(shù)的月度同比（將上一年同月作為基期進(jìn)行對(duì)比的價(jià)格指數(shù)）和月度環(huán)比（將上月作為基期進(jìn)行對(duì)比的價(jià)格指數(shù)）漲跌情況的折線圖判斷，以下結(jié)論正確的（）A.2020年各月的PPI在逐月增大B.2020年各月的PPI均高于2019年同期水平C.2021年1月—11月各月的PPI在逐月減小D.2021年1月—11月各月的PPI均高于2020年同期水平6．等差數(shù)列中，,，則當(dāng)取最大值時(shí)，的值為A.6 B.7C.6或7 D.不存在7．已知圓C過點(diǎn)，圓心在x軸上，則圓C的方程為（）A. B.C. D.8．已知直線與圓相交于，兩點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B.C. D.9．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋鋵?dǎo)函數(shù)為，若，則下列式子一定成立的是（）A. B.C. D.10．某校開展研學(xué)活動(dòng)時(shí)進(jìn)行勞動(dòng)技能比賽，通過初選，選出共6名同學(xué)進(jìn)行決賽，決出第1名到第6名的名次（沒有并列名次），和去詢問成績(jī)，回答者對(duì)說“很遺?，你和都末拿到冠軍；對(duì)說“你當(dāng)然不是最差的”.試從這個(gè)回答中分析這6人的名次排列順序可能出現(xiàn)的結(jié)果有（）A.720種 B.600種C.480種 D.384種11．若正實(shí)數(shù)、滿足，且不等式有解，則實(shí)數(shù)取值范圍是（）A.或 B.或C. D.12．如圖所示，已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓的上頂點(diǎn)，在軸上，，且是的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)到直線的距離為3，則橢圓的方程為（）A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某校有高一學(xué)生人，高二學(xué)生人.為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，用分層抽樣的方法從該校高一高二學(xué)生中抽取一個(gè)容量為的樣本，已知從高一學(xué)生中抽取人，則________14．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，若拋物線上一點(diǎn)P到x軸的距離為2，則|PF|的值為___________.15．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為___________.16．如圖，一個(gè)酒杯的內(nèi)壁的軸截面是拋物線的一部分，杯口寬cm，杯深8cm，稱為拋物線酒杯．①在杯口放一個(gè)表面積為的玻璃球，則球面上的點(diǎn)到杯底的最小距離為______cm；②在杯內(nèi)放入一個(gè)小的玻璃球，要使球觸及酒杯底部，則玻璃球的半徑的取值范圍為______(單位：cm)三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖所示，在正方體中，點(diǎn)，，分別是，，的中點(diǎn)（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的大小18．（12分）已知命題：“，”，命題：“，”，若“且”為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍19．（12分）（1）求過點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程；（2）甲，乙，丙等7名同學(xué)站成一排，若甲和乙相鄰，但甲乙二人都不和丙相鄰，則共有多少種不同排法？20．（12分）已知為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列前n項(xiàng)和.21．（12分）已知拋物線C的焦點(diǎn)為，N為拋物線上一點(diǎn)，且（1）求拋物線C的方程；（2）過點(diǎn)F且斜率為k的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，，求直線l的方程22．（10分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，（1）求拋物線的方程；（2）直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，求的面積

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】設(shè)，根據(jù)題意可得，由雙曲線定義得、，進(jìn)而求出（用表示），然后在中，應(yīng)用勾股定理得出關(guān)系，求得離心率【詳解】易知共線，共線，如圖，設(shè)，則.因?yàn)?，所以，則，則，又因?yàn)?，所以，則,在中，，即，所以.故選：D2、A【解析】直線與曲線相切于點(diǎn),可得求得的導(dǎo)數(shù),可得,即可求得答案.【詳解】直線與曲線相切于點(diǎn)將代入可得:解得:由,解得:.可得,根據(jù)在上,解得:故故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)切點(diǎn)求參數(shù)問題,解題關(guān)鍵是掌握函數(shù)切線的定義和導(dǎo)數(shù)的求法,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.3、B【解析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求出半徑的表達(dá)式，從而可求出的值.【詳解】由題意，圓的方程可化為，所以半徑為，解得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由平面,可得出，利用空間向量數(shù)量積為0求得、的值，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，,,，，則，,，平面,即，所以，，解得，所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：A.5、D【解析】根據(jù)折線圖中同比、環(huán)比的正負(fù)情況，結(jié)合各選項(xiàng)的描述判斷正誤.【詳解】A：2020年前5個(gè)月PPI在逐月減小，錯(cuò)誤；B：2020年各月同比為負(fù)值，即低于2019年同期水平，錯(cuò)誤；C：2021年1月—11月各月的PPI環(huán)比為正值，即逐月增大，錯(cuò)誤；D：2021年1月—11月各月的PPI同比為正值，即高于2020年同期水平，正確.故選：D.6、C【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為∵∴∴∴∵∴當(dāng)取最大值時(shí)，的值為或故選C7、C【解析】設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入，解方程組即可.【詳解】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將坐標(biāo)代入得:,解得，故圓的方程為，故選：C.8、C【解析】求得直線恒過的定點(diǎn)，找出弦長(zhǎng)取得最值的狀態(tài)，利用弦長(zhǎng)公式求解即可.【詳解】因直線方程為：，整理得，故該直線恒過定點(diǎn)，又，故點(diǎn)在圓內(nèi)，又圓的圓心為則，此時(shí)直線過圓心；當(dāng)直線與直線垂直時(shí)，取得最小值，此時(shí).故的取值范圍為.故選：.9、B【解析】令，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，即可得到，從而求出答案【詳解】解：令，則，又不等式恒成立，所以，即，所以在單調(diào)遞增，故，即，所以，故選：B10、D【解析】不是第一名且不是最后一名，的限制最多，先排有4種情況，再排，也有4種情況，余下的問題是4個(gè)元素在4個(gè)位置全排列，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理求解即可【詳解】由題意，不是第一名且不是最后一名，的限制最多，故先排，有4種情況，再排，也有4種情況，余下4人有種情況，利用分步相乘計(jì)數(shù)原理知有種情況故選：D.11、A【解析】將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解之即可.【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)、滿足，則，即，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值為，因?yàn)椴坏仁接薪?，則，即，即，解得或.故選：A.II卷12、D【解析】由題設(shè)可得，直線的方程為，點(diǎn)線距離公式表示到直線的距離，又聯(lián)立解得即可得出答案.【詳解】且，則△是等邊三角形，設(shè)，則①，∴直線方程為，即，∴到直線的距離為②，又③，聯(lián)立①②③，解得，，故橢圓方程為.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)分層抽樣的等比例性質(zhì)列方程，即可樣本容量n.【詳解】由分層抽樣的性質(zhì)知：，可得.故答案為：14、3【解析】先求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，再利用拋物線的定義可求得答案【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，因?yàn)閽佄锞€上一點(diǎn)P到x軸的距離為2，所以由拋物線的定義可得，故答案為：315、【解析】化成拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可.【詳解】由題意知，，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：16、①.②.【解析】根據(jù)題意，，進(jìn)而得，，故最小距離為；進(jìn)而建立坐標(biāo)系，得拋物線方程為，當(dāng)杯內(nèi)放入一個(gè)小的玻璃球，要使球觸及酒杯底部，此時(shí)設(shè)玻璃球軸截面所在圓的方程為，進(jìn)而只需滿足拋物線上的點(diǎn)到圓心的距離大于等于半徑恒成立，再根據(jù)幾何關(guān)系求解即可.【詳解】因?yàn)楸诜乓粋€(gè)表面積為的玻璃球，所以球的半徑為，又因?yàn)楸趯抍m，所以如圖1所示，有，所以，所以，所以，又因?yàn)楸?cm，即故最小距離為如圖1所示，建立直角坐標(biāo)系，易知，設(shè)拋物線的方程為，所以將代入得，故拋物線方程為，當(dāng)杯內(nèi)放入一個(gè)小的玻璃球，要使球觸及酒杯底部，如圖2，設(shè)玻璃球軸截面所在圓的方程為，依題意，需滿足拋物線上的點(diǎn)到圓心的距離大于等于半徑恒成立，即，則有恒成立，解得，可得.所以玻璃球的半徑的取值范圍為.故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)建模能力，運(yùn)算求解能力，是中檔題.本題第二問解題的關(guān)鍵在于設(shè)出球觸及酒杯底部的軸截面圓的方程，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為拋物線上的點(diǎn)到圓心的距離大于等于半徑恒成立求解.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）連接，可得，從而可證四邊形是平行四邊形，從而證明結(jié)論.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解線面角.【小問1詳解】如圖，連接在正方體中，且因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以且又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則，，，，，，設(shè)為平面的法向量因?yàn)?，，，所以令，得設(shè)直線與平面所成角為，則因?yàn)椋灾本€與平面所成角的大小為18、或【解析】先分別求出，為真時(shí)，的范圍；再求交集，即可得出結(jié)果.【詳解】若是真命題．則對(duì)任意恒成立，∴；若為真命題，則方程有實(shí)根，∴，解得或，由題意，真也真，∴或即實(shí)數(shù)的取值范圍是或.19、（1）；（2）960【解析】（1）根據(jù)題意，設(shè)要求直線為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，求出的值，即可得答案；（2）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：先將除甲乙丙之外的4人全排列，再將甲乙看成一個(gè)整體，與丙一起安排在4人的空位中，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案【詳解】解：（1）根據(jù)題意，設(shè)所求直線為，又由所求直線經(jīng)過點(diǎn)，即，則，即所求直線；（2）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：先將除甲乙丙之外的4人全排列，有種排法，再將甲乙看成一個(gè)整體，與丙一起安排在4人的空位中，有種排法，則有種排法20、（1）；（2）.【解析】（1）先通過等比數(shù)列的基本量運(yùn)算求出公比，進(jìn)而求出通項(xiàng)公式；（2）結(jié)合（1）求出，然后根據(jù)錯(cuò)位相減法求得答案.【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為q,,,，（負(fù)值舍去），所以.【小問2詳解】，，所以，解得：.21、（1）（2）或【解析】（1）拋物線的方程為，利用拋物線的定義求出點(diǎn)N，代入拋物線方程即可求解.（2）設(shè)直線的方程為，將直線與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及焦半徑公式可得或，即求.【小問1詳解】拋物線的方程為，設(shè)