廣東省深圳市四校發(fā)展聯(lián)盟體2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

廣東省深圳市四校發(fā)展聯(lián)盟體2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下列語(yǔ)句為命題的是（）A. B.你們好！C.下雨了嗎？ D.對(duì)頂角相等2．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，焦距為，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線與橢圓相交，其中一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)(如圖所示)，若的面積為，則橢圓的方程為()A B.C. D.3．某單位有840名職工,現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法,抽取42人做問(wèn)卷調(diào)查,將840人按1,2,…,840隨機(jī)編號(hào),則抽取的42人中,編號(hào)落入?yún)^(qū)間[481,720]的人數(shù)為A.11 B.12C.13 D.144．在各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列中，首項(xiàng)為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（）A. B.C. D.5．如圖，直三棱柱的所有棱長(zhǎng)均相等，P是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)，設(shè)，若P到平面的距離為2d，則點(diǎn)P的軌跡是（）A.圓的一部分 B.橢圓的一部分C.拋物線的一部分 D.雙曲線的一部分6．某企業(yè)為節(jié)能減排，用萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一臺(tái)新設(shè)備用于生產(chǎn).第一年需運(yùn)營(yíng)費(fèi)用萬(wàn)元，從第二年起，每年運(yùn)營(yíng)費(fèi)用均比上一年增加萬(wàn)元，該設(shè)備每年生產(chǎn)的收入均為萬(wàn)元.設(shè)該設(shè)備使用了年后，年平均盈利額達(dá)到最大值（盈利額等于收入減去成本），則等于（）A. B.C. D.7．已知的二項(xiàng)展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為32，則二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)為A5 B.10C.20 D.408．已知是等比數(shù)列，則（）A.數(shù)列是等差數(shù)列 B.數(shù)列是等比數(shù)列C.數(shù)列是等差數(shù)列 D.數(shù)列是等比數(shù)列9．點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，是橢圓上任意一點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.10．若點(diǎn)是函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)（其中的自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則到直線的距離最小值為（）A. B.C. D.11．已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，并且與定圓外切，則動(dòng)圓的圓心的軌跡是（）A.拋物線 B.橢圓C.雙曲線 D.雙曲線的一支12．在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)地取出兩個(gè)數(shù)，則兩數(shù)之和小于的概率是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知圓和直線.（1）求直線l所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)的坐標(biāo)，并判斷直線與圓的位置關(guān)系；（2）求當(dāng)k取什么值，直線被圓截得的弦最短，并求這條最短弦的長(zhǎng).14．已知函數(shù)，則的值是______.15．已知為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則_____________.16．一條直線過(guò)點(diǎn)，且與拋物線交于，兩點(diǎn)．若，則弦中點(diǎn)到直線的距離等于__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知直線：，直線：.（1）若，求與的距離；（2）若，求與的交點(diǎn)的坐標(biāo).18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn).點(diǎn)M滿足.記M的軌跡為C.（1）求C的方程；（2）直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與軌跡C分別交于點(diǎn)M、N，與直線交于點(diǎn)Q，求證：.19．（12分）已知拋物線，過(guò)焦點(diǎn)的直線l交拋物線C于M、N兩點(diǎn)，且線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2（1）求直線l的方程；（2）設(shè)x軸上關(guān)于y軸對(duì)稱的兩點(diǎn)P、Q，（其中P在Q的右側(cè)），過(guò)P的任意一條直線交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，求證：始終被x軸平分20．（12分）從①，②，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中并作答：已知等差數(shù)列公差大于零，且前n項(xiàng)和為，，______，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，那么按照第一個(gè)解答計(jì)分）21．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，（1）求直線BC的方程；（2）記的外接圓為圓M，若直線OC被圓M截得的弦長(zhǎng)為4，求點(diǎn)C的坐標(biāo)22．（10分）如圖，已知正四棱錐中，O為底面對(duì)角線的交點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)命題的定義判斷即可.【詳解】因?yàn)槟軌蚺袛嗾婕俚恼Z(yǔ)句叫作命題，所以ABC錯(cuò)誤，D正確.故選：D2、A【解析】由題意可得，令，可得，再由三角形的面積公式，解方程可得，，即可得到所求橢圓的方程【詳解】由題意可得，即，即有，令，則，可得，則，即，解得，，∴橢圓的方程為故選：A3、B【解析】使用系統(tǒng)抽樣方法，從840人中抽取42人，即從20人抽取1人∴從編號(hào)1～480的人中，恰好抽取480/20=24人，接著從編號(hào)481～720共240人中抽取240/20=12人考點(diǎn)：系統(tǒng)抽樣4、C【解析】當(dāng)時(shí)，，故可以得到，因?yàn)椋M(jìn)而得到，所以是等比數(shù)列，進(jìn)而求出【詳解】由，得，得，又?jǐn)?shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，且，∴，∴，即∴數(shù)列是首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和，得，故選：C.5、B【解析】取的中點(diǎn)，得出平面，作，在直角中，求得，以為原點(diǎn)，為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，求得點(diǎn)的軌跡方程，即可求解.【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，得到平行于平面且過(guò)點(diǎn)的平面，如圖（1）（2）所示，作，則P1與E重合，則，在直角中，可得，在圖（3）中，設(shè)直三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為，且，以為原點(diǎn)，為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，所以，即所以，整理得，所以點(diǎn)P的軌跡是橢圓的一部分.故選：B.6、D【解析】設(shè)該設(shè)備第年的營(yíng)運(yùn)費(fèi)為萬(wàn)元，利用為等差數(shù)列可求年平均盈利額，利用基本不等式可求其最大值.【詳解】設(shè)該設(shè)備第年的營(yíng)運(yùn)費(fèi)為萬(wàn)元，則數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，則，則該設(shè)備使用年的營(yíng)運(yùn)費(fèi)用總和為，設(shè)第n年的盈利總額為，則，故年平均盈利額為，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故當(dāng)時(shí)，年平均盈利額取得最大值4.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，注意根據(jù)題設(shè)條件概括出數(shù)列的類型，另外用基本不等式求最值時(shí)注意檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件.7、B【解析】首先根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和，求得，再根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為，求得，再求二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù).【詳解】因?yàn)槎?xiàng)展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和，所以，又二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為=，，所以二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)為．答案選擇B【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式展開(kāi)系數(shù)、通項(xiàng)等公式，屬于基礎(chǔ)題8、B【解析】取，可判斷AC選項(xiàng)；利用等比數(shù)列的定義可判斷B選項(xiàng)；取可判斷D選項(xiàng).【詳解】若，則、無(wú)意義，A錯(cuò)C錯(cuò)；設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，（常數(shù)），故數(shù)列是等比數(shù)列，B對(duì)；取，則，數(shù)列為等比數(shù)列，因?yàn)?，，，且，所以，?shù)列不是等比數(shù)列，D錯(cuò).故選：B.9、A【解析】由，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最值【詳解】設(shè)是橢圓的右焦點(diǎn)，則又因?yàn)?，，所以，則故選：A10、A【解析】設(shè)，，設(shè)與平行且與相切的直線與切于，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，則到直線的距離最小值為點(diǎn)到直線的距離，再求解即可.【詳解】解：設(shè)，，設(shè)與平行且與相切的直線與切于所以所以則到直線的距離為，即到直線的距離最小值為，故選：A11、D【解析】結(jié)合雙曲線定義的有關(guān)知識(shí)確定正確選項(xiàng).【詳解】圓圓心為，半徑為，依題意可知，結(jié)合雙曲線的定義可知，的軌跡為雙曲線的一支.故選：D12、C【解析】利用幾何概型的面積型，確定兩數(shù)之和小于的區(qū)域，進(jìn)而根據(jù)面積比求概率.【詳解】由題意知：若兩個(gè)數(shù)分別為，則，如上圖示，陰影部分即為，∴兩數(shù)之和小于的概率.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（1）直線過(guò)定點(diǎn)P（4，3），直線和圓總有兩個(gè)不同交點(diǎn)（2）k=1，【解析】(1)把直線方程化為點(diǎn)斜式方程即可；(2)由圓的性質(zhì)知，當(dāng)直線與PC垂直時(shí)，弦長(zhǎng)最短.【小問(wèn)1詳解】直線方程可化為，則直線過(guò)定點(diǎn)P（4，3），又圓C標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，而，所以點(diǎn)P在圓內(nèi)，所以不論k取何值，直線和圓總有兩個(gè)不同交點(diǎn).【小問(wèn)2詳解】由圓的性質(zhì)知，當(dāng)直線與PC垂直時(shí)，弦長(zhǎng)最短.，所以k=1時(shí)弦長(zhǎng)最短.弦長(zhǎng)為.14、【解析】求出，代值計(jì)算可得的值.【詳解】因?yàn)?，則，因此，.故答案為：.15、30【解析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)得，，也成等比，即可求得結(jié)果.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，，，構(gòu)成首項(xiàng)為10，公比為1的等比數(shù)列，所以【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列性質(zhì)，考查基本求解能力，屬基礎(chǔ)題.16、【解析】求出弦的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離，進(jìn)一步得到弦的中點(diǎn)到直線的距離【詳解】解：如圖，拋物線的焦點(diǎn)為，，弦的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，則弦的中點(diǎn)到直線的距離等于故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1).(2).【解析】分析：（1）先根據(jù)求出k的值，再利用平行線間的距離公式求與的距離.(2)先根據(jù)求出k的值，再解方程組得與的交點(diǎn)的坐標(biāo).詳解：（1）若，則由，即，解得或.當(dāng)時(shí)，直線：，直線：，兩直線重合，不符合，故舍去；當(dāng)時(shí)，直線：，直線：，所以.（2）若，則由，得.所以兩直線方程為：，：，聯(lián)立方程組，解得，所以與的交點(diǎn)的坐標(biāo)為.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查直線的位置關(guān)系和距離的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和計(jì)算能力.(2)直線與直線平行，則且兩直線不重合.直線與直線垂直，則.18、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)已知得點(diǎn)M的軌跡C為橢圓，根據(jù)橢圓定義可得方程；（2）直線的方程設(shè)為，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及線段長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】由橢圓定義得，點(diǎn)M的軌跡C為以點(diǎn)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，設(shè)此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則由題意得，所以C方程為；【小問(wèn)2詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，由題意知直線的斜率一定存在，設(shè)為，則直線的方程可設(shè)為，與橢圓方程聯(lián)立可得，由韋達(dá)定理知，所以，，又因?yàn)?，所以又由題知，所以，所以，所以，得證.19、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）設(shè)直線l的方程為：，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理可得結(jié)果；（2）設(shè)，借助韋達(dá)定理表示，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由已知可設(shè)直線l的方程為：，聯(lián)立方程組可得，設(shè)，則又因?yàn)椋?，故直線l的方程為：即為；（2）由題意可設(shè)，可設(shè)過(guò)P的直線為聯(lián)立方程組可得，顯然設(shè)，則所以所以始終被x軸平分20、；【解析】將條件①②③轉(zhuǎn)化為的形式，列方程組，并求解，寫(xiě)出的通項(xiàng)公式，從而表示出，利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】選①：設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為，公差為，因?yàn)?，，所以，所以，所以，所以選②：設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為，公差為，因?yàn)?，，所以，所以，所以，所以選③：設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為，公差為，因?yàn)?，，所以，所以，所以，所以【點(diǎn)睛】數(shù)列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差數(shù)列、與二項(xiàng)式系數(shù)、對(duì)稱性相關(guān)聯(lián)的數(shù)列的求和(2)錯(cuò)位相減：用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和(3)分組求和：用于若干個(gè)等差或等比數(shù)列的和或差數(shù)列的求和21、（1）；（2）.【解析】(1)延長(zhǎng)CB交x軸于點(diǎn)N，根據(jù)給定條件求出即可計(jì)算作答.(2)利用待定系數(shù)法求出圓M的方程，再由給定弦長(zhǎng)確定C點(diǎn)位置，推理計(jì)算得解.【小問(wèn)1詳解】延長(zhǎng)CB交x軸于點(diǎn)N，如圖，因，則，又，則有，又，于是得，則直線BC的傾斜角為120°，直線BC的斜率，因此，，即所以直線BC的方程為.【小問(wèn)2詳解】依題意，設(shè)