2025屆上海市復(fù)旦附中高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

2025屆上海市復(fù)旦附中高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知向量，，，若，則（）A． B． C． D．2．如圖，將兩個全等等腰直角三角形拼成一個平行四邊形，將平行四邊形沿對角線折起，使平面平面，則直線與所成角余弦值為（）A． B． C． D．3．已知向量，（其中為實數(shù)），則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．如圖在直角坐標系中，過原點作曲線的切線，切點為，過點分別作、軸的垂線，垂足分別為、，在矩形中隨機選取一點，則它在陰影部分的概率為（）A． B． C． D．5．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為，已知，則為()A． B． C．或 D．或6．如圖，圓錐底面半徑為，體積為，、是底面圓的兩條互相垂直的直徑，是母線的中點，已知過與的平面與圓錐側(cè)面的交線是以為頂點的拋物線的一部分，則該拋物線的焦點到圓錐頂點的距離等于（）A． B．1 C． D．7．已知函數(shù)，，則的極大值點為()A． B． C． D．8．甲乙兩人有三個不同的學(xué)習(xí)小組，，可以參加，若每人必須參加并且僅能參加一個學(xué)習(xí)小組，則兩人參加同一個小組的概率為（）A．B．C．D．9．已知變量的幾組取值如下表：12347若與線性相關(guān)，且，則實數(shù)（）A． B． C． D．10．設(shè)正項等比數(shù)列的前n項和為，若，，則公比（）A． B．4 C． D．211．點為棱長是2的正方體的內(nèi)切球球面上的動點，點為的中點，若滿足，則動點的軌跡的長度為（）A． B． C． D．12．雙曲線x26-y23=1的漸近線與圓(x－3)2＋y2＝A．3 B．2C．3 D．6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，滿足，則的展開式中的系數(shù)為______.14．已知是等比數(shù)列,若，,且∥,則______.15．在中，，是的角平分線，設(shè)，則實數(shù)的取值范圍是__________.16．已知全集，，則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知命題：，；命題：函數(shù)無零點.（1）若為假，求實數(shù)的取值范圍；（2）若為假，為真，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）隨著電子閱讀的普及，傳統(tǒng)紙質(zhì)媒體遭受到了強烈的沖擊．某雜志社近9年來的紙質(zhì)廣告收入如下表所示：根據(jù)這9年的數(shù)據(jù)，對和作線性相關(guān)性檢驗，求得樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值為0.243；根據(jù)后5年的數(shù)據(jù)，對和作線性相關(guān)性檢驗，求得樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值為0.984.（1）如果要用線性回歸方程預(yù)測該雜志社2019年的紙質(zhì)廣告收入，現(xiàn)在有兩個方案，方案一：選取這9年數(shù)據(jù)進行預(yù)測，方案二：選取后5年數(shù)據(jù)進行預(yù)測．從實際生活背景以及線性相關(guān)性檢驗的角度分析，你覺得哪個方案更合適？附：相關(guān)性檢驗的臨界值表：（2）某購物網(wǎng)站同時銷售某本暢銷書籍的紙質(zhì)版本和電子書，據(jù)統(tǒng)計，在該網(wǎng)站購買該書籍的大量讀者中，只購買電子書的讀者比例為，紙質(zhì)版本和電子書同時購買的讀者比例為，現(xiàn)用此統(tǒng)計結(jié)果作為概率，若從上述讀者中隨機調(diào)查了3位，求購買電子書人數(shù)多于只購買紙質(zhì)版本人數(shù)的概率．19．（12分）在世界讀書日期間，某地區(qū)調(diào)查組對居民閱讀情況進行了調(diào)查，獲得了一個容量為200的樣本，其中城鎮(zhèn)居民140人，農(nóng)村居民60人.在這些居民中，經(jīng)常閱讀的城鎮(zhèn)居民有100人，農(nóng)村居民有30人.（1）填寫下面列聯(lián)表，并判斷能否有99%的把握認為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關(guān)？城鎮(zhèn)居民農(nóng)村居民合計經(jīng)常閱讀10030不經(jīng)常閱讀合計200（2）調(diào)查組從該樣本的城鎮(zhèn)居民中按分層抽樣抽取出7人，參加一次閱讀交流活動，若活動主辦方從這7位居民中隨機選取2人作交流發(fā)言，求被選中的2位居民都是經(jīng)常閱讀居民的概率.附：，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）如圖，在四棱錐中，是等邊三角形，，，.（1）若，求證：平面；（2）若，求二面角的正弦值．21．（12分）已知圓M：及定點，點A是圓M上的動點，點B在上，點G在上，且滿足，，點G的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）設(shè)斜率為k的動直線l與曲線C有且只有一個公共點，與直線和分別交于P、Q兩點.當時，求（O為坐標原點）面積的取值范圍.22．（10分）P是圓上的動點，P點在x軸上的射影是D，點M滿足．（1）求動點M的軌跡C的方程，并說明軌跡是什么圖形；（2）過點的直線l與動點M的軌跡C交于不同的兩點A，B，求以O(shè)A，OB為鄰邊的平行四邊形OAEB的頂點E的軌跡方程．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)向量坐標運算求得，由平行關(guān)系構(gòu)造方程可求得結(jié)果.【詳解】，，解得：故選：【點睛】本題考查根據(jù)向量平行關(guān)系求解參數(shù)值的問題，涉及到平面向量的坐標運算；關(guān)鍵是明確若兩向量平行，則.2、C【解析】

利用建系，假設(shè)長度，表示向量與，利用向量的夾角公式，可得結(jié)果.【詳解】由平面平面，平面平面，平面所以平面，又平面所以，又所以作軸//,建立空間直角坐標系如圖設(shè)，所以則所以所以故選：C【點睛】本題考查異面直線所成成角的余弦值，一般采用這兩種方法：（1）將兩條異面直線作輔助線放到同一個平面，然后利用解三角形知識求解；（2）建系，利用空間向量，屬基礎(chǔ)題.3、A【解析】

結(jié)合向量垂直的坐標表示，將兩個條件相互推導(dǎo)，根據(jù)能否推導(dǎo)的情況判斷出充分、必要條件.【詳解】由，則，所以；而當，則，解得或.所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A【點睛】本小題考查平面向量的運算，向量垂直，充要條件等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力，推理論證能力，應(yīng)用意識.4、A【解析】

設(shè)所求切線的方程為，聯(lián)立，消去得出關(guān)于的方程，可得出，求出的值，進而求得切點的坐標，利用定積分求出陰影部分區(qū)域的面積，然后利用幾何概型概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】設(shè)所求切線的方程為，則，聯(lián)立，消去得①，由，解得，方程①為，解得，則點，所以，陰影部分區(qū)域的面積為，矩形的面積為，因此，所求概率為.故選：A.【點睛】本題考查定積分的計算以及幾何概型，同時也涉及了二次函數(shù)的切線方程的求解，考查計算能力，屬于中等題.5、D【解析】

由正弦定理可求得，再由角A的范圍可求得角A.【詳解】由正弦定理可知，所以，解得，又，且，所以或。故選：D.【點睛】本題主要考查正弦定理,注意角的范圍，是否有兩解的情況，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

建立平面直角坐標系，求得拋物線的軌跡方程，解直角三角形求得拋物線的焦點到圓錐頂點的距離.【詳解】將拋物線放入坐標系，如圖所示，∵，，，∴，設(shè)拋物線，代入點，可得∴焦點為，即焦點為中點，設(shè)焦點為，，，∴.故選：D【點睛】本小題考查圓錐曲線的概念，拋物線的性質(zhì)，兩點間的距離等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力，空間想象能力，推理論證能力，應(yīng)用意識.7、A【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為零，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，求得極大值點即可.【詳解】因為，故可得，令，因為，故可得或，則在區(qū)間單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故的極大值點為.故選：A.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點，屬基礎(chǔ)題.8、A【解析】依題意，基本事件的總數(shù)有種，兩個人參加同一個小組，方法數(shù)有種，故概率為.9、B【解析】

求出，把坐標代入方程可求得．【詳解】據(jù)題意，得，所以，所以．故選：B．【點睛】本題考查線性回歸直線方程，由性質(zhì)線性回歸直線一定過中心點可計算參數(shù)值．10、D【解析】

由得，又，兩式相除即可解出．【詳解】解：由得，又，∴，∴，或，又正項等比數(shù)列得，∴，故選：D．【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．11、C【解析】

設(shè)的中點為，利用正方形和正方體的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理可以證明出平面，這樣可以確定動點的軌跡，最后求出動點的軌跡的長度.【詳解】設(shè)的中點為，連接，因此有，而，而平面，，因此有平面，所以動點的軌跡平面與正方體的內(nèi)切球的交線.正方體的棱長為2，所以內(nèi)切球的半徑為，建立如下圖所示的以為坐標原點的空間直角坐標系：因此有，設(shè)平面的法向量為，所以有，因此到平面的距離為：，所以截面圓的半徑為：，因此動點的軌跡的長度為.故選：C【點睛】本題考查了線面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查了立體幾何中軌跡問題，考查了球截面的性質(zhì)，考查了空間想象能力和數(shù)學(xué)運算能力.12、A【解析】

由圓心到漸近線的距離等于半徑列方程求解即可.【詳解】雙曲線的漸近線方程為y＝±22x，圓心坐標為(3,0)．由題意知，圓心到漸近線的距離等于圓的半徑r，即r＝±答案：A【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線方程及直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

根據(jù)二項式定理求出，然后再由二項式定理或多項式的乘法法則結(jié)合組合的知識求得系數(shù)．【詳解】由題意，．∴的展開式中的系數(shù)為．故答案為：1．【點睛】本題考查二項式定理，掌握二項式定理的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．14、【解析】若，,且∥,則，由是等比數(shù)列,可知公比為..故答案為.15、【解析】

設(shè)，，，由，用面積公式表示面積可得到，利用，即得解.【詳解】設(shè)，，，由得：，化簡得，由于，故.故答案為：【點睛】本題考查了解三角形綜合，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸，綜合分析，數(shù)學(xué)運算能力，屬于中檔題.16、【解析】

利用集合的補集運算即可求解.【詳解】由全集，，所以.故答案為：【點睛】本題考查了集合的補集運算，需理解補集的概念，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）為假,則為真，求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)有零點條件得的取值范圍；（2）由為假，為真，知一真一假；分類討論列不等式組可解.【詳解】（1）依題意，為真，則無解，即無解；令，則，故當時，，單調(diào)遞增，當，，單調(diào)遞減，作出函數(shù)圖象如下所示，觀察可知，，即；（2）若為真，則，解得；由為假，為真，知一真一假；若真假，則實數(shù)滿足，則；若假真，則實數(shù)滿足，無解；綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查根據(jù)全(特)稱命題的真假求參數(shù)的問題.其思路：與全稱命題或特稱命題真假有關(guān)的參數(shù)取值范圍問題的本質(zhì)是恒成立問題或有解問題．解決此類問題時，一般先利用等價轉(zhuǎn)化思想將條件合理轉(zhuǎn)化，得到關(guān)于參數(shù)的方程或不等式(組)，再通過解方程或不等式(組)求出參數(shù)的值或范圍．18、（1）選取方案二更合適；（2）【解析】

(1)可以預(yù)見，2019年的紙質(zhì)廣告收入會接著下跌，前四年的增長趨勢已經(jīng)不能作為預(yù)測后續(xù)數(shù)據(jù)的依據(jù)，而后5年的數(shù)據(jù)得到的相關(guān)系數(shù)的絕對值，所以有的把握認為與具有線性相關(guān)關(guān)系，從而可得結(jié)論；(2)求得購買電子書的概率為,只購買紙質(zhì)書的概率為,購買電子書人數(shù)多于只購買紙質(zhì)書人數(shù)有兩種情況：3人購買電子書，2人購買電子書一人只購買紙質(zhì)書，由此能求出購買電子書人數(shù)多于只購買紙質(zhì)版本人數(shù)的概率.【詳解】（1）選取方案二更合適，理由如下：①題中介紹了，隨著電子閱讀的普及，傳統(tǒng)紙媒受到了強烈的沖擊，從表格中的數(shù)據(jù)中可以看出從2014年開始，廣告收入呈現(xiàn)逐年下降的趨勢，可以預(yù)見，2019年的紙質(zhì)廣告收入會接著下跌，前四年的增長趨勢已經(jīng)不能作為預(yù)測后續(xù)數(shù)據(jù)的依據(jù).②相關(guān)系數(shù)越接近1，線性相關(guān)性越強，因為根據(jù)9年的數(shù)據(jù)得到的相關(guān)系數(shù)的絕對值，我們沒有理由認為與具有線性相關(guān)關(guān)系；而后5年的數(shù)據(jù)得到的相關(guān)系數(shù)的絕對值，所以有的把握認為與具有線性相關(guān)關(guān)系.(2)因為在該網(wǎng)站購買該書籍的大量讀者中，只購買電子書的讀者比例為，紙質(zhì)版本和電子書同時購買的讀者比例為，所以從該網(wǎng)站購買該書籍的大量讀者中任取一位，購買電子書的概率為，只購買紙質(zhì)書的概率為，購買電子書人數(shù)多于只購買紙質(zhì)書人數(shù)有兩種情況：3人購買電子書，2人購買電子書一人只購買紙質(zhì)書.概率為：.【點睛】本題主要考查最優(yōu)方案的選擇，考查了相關(guān)關(guān)系的定義以及互斥事件的概率與獨立事件概率公式的應(yīng)用，考查閱讀能力與運算求解能力，屬于中檔題.與實際應(yīng)用相結(jié)合的題型也是高考命題的動向，這類問題的特點是通過現(xiàn)實生活的事例考查書本知識，解決這類問題的關(guān)鍵是耐心讀題、仔細理解題，只有吃透題意，才能將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進行解答.19、（1）見解析，有99%的把握認為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關(guān).（2）【解析】

（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)得到列聯(lián)表，然后計算出，與臨界值表中的數(shù)據(jù)對照后可得結(jié)論；（2）由題意得概率為古典概型，根據(jù)古典概型概率公式計算可得所求.【詳解】（1）由題意可得：城鎮(zhèn)居民農(nóng)村居民合計經(jīng)常閱讀10030130不經(jīng)常閱讀403070合計14060200則，所以有99%的把握認為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關(guān).（2）在城鎮(zhèn)居民140人中，經(jīng)常閱讀的有100人，不經(jīng)常閱讀的有40人.采取分層抽樣抽取7人，則其中經(jīng)常閱讀的有5人，記為、、、、；不經(jīng)常閱讀的有2人，記為、.從這7人中隨機選取2人作交流發(fā)言，所有可能的情況為，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21種，被選中的位居民都是經(jīng)常閱讀居民的情況有種，所求概率為.【點睛】本題主要考查古典概型的概率計算，以及獨立性檢驗的應(yīng)用，利用列舉法是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計算能力.對于古典概型，要求事件總數(shù)是可數(shù)的，滿足條件的事件個數(shù)可數(shù)，使得滿足條件的事件個數(shù)除以總的事件個數(shù)即可，屬于中檔題.20、（1）詳見解析（2）【解析】

（1）如圖，作，交于，連接.因為，所以是的三等分點，可得.因為，，，所以，因為，所以，因為，所以，所以，因為，所以，所以，因為平面，平面，所以平面.又，平面，平面，所以平面.因為，、平面，所以平面平面，所以平面.（2）因為是等邊三角形，，所以.又因為，，所以，所以.又，平面，，所以平面.因為平面，所以平面平面.在平面內(nèi)作平面.以B點為坐標原點，分別以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，所以，，，.設(shè)為平面的法向量，則，即，令，可得.設(shè)為平面的法向量，則，即，令，可得.所以，則，所以二面角的正弦值為.21、（1）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)題意得到