專題38中點弧模型（原卷版）-2021-2022學年九年級數(shù)學（上冊下冊）常考題專練（北師大版）

專題38圓綜合之中點弧模型題型一中點弧與相似【以下【以下五個條件知一推四】點C是的中點AC＝BCOC⊥ABPC平分∠APB(即)點P是優(yōu)弧AB上一動點，則∠1＝∠2，∠PCB為公共角，子母型相似 【補充】⑥PE?PC＝PA?PB，注意：⑥不能反推出前五項題型二中點弧與旋轉【模型解讀】鄰邊相等+對角互補旋轉相似模型題型三中點弧+內(nèi)心可得等腰【模型講解】外接圓+內(nèi)心?得等腰如圖，圓O是△ABC外接圓圓心，I是三角形ABC的內(nèi)心，延長AI交圓O于D，證DI＝DC＝BD【簡證】∠1＝∠4＋∠5∠4＝∠3，∠2＝∠5∴∠1＝∠2＋∠3

題型四弧中點與垂徑定理知1推5知1推5AD平分∠CABD是的中點DO⊥CB題型五弧中點與垂徑模型（三等弧模型）【例題】如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，C是的中點，弦CE⊥AB于點H，連結AD，分別交CE、BC于點P、Q，連結BD。(1)證CO∥BD(2)AD＝CE(3)證：P是線段AQ的中點(4)證：CP·CE＝AH·AB＝CQ·CB(5)tan∠DBC＝(6)若AD＝8，BD＝6，求AH的值(7)若⊙O的半徑為5，AQ＝，求弦CE的長。

【簡證】（1）（2）(3)先利用弧相等導角證AP＝CP，再通過Rt△ACQ中的互余關系，得到PQ＝CP，∴AP＝PQ＝CP（4）CP＝AP，CE＝AD?CP?CE＝AP?AD，△APH～△ABD?AP?AD＝AH?AB（5）（6）法一

（6）法二（7）找到對應相似三角形是關鍵

【鞏固訓練】一．中點弧與相似（共8小題）1．如圖，四邊形內(nèi)接于，對角線、交于點，且，若，，則．2．如圖，已知是的直徑，點在上，過點的直線與的延長線交于點，，．（1）求證：是的切線；（2）求證：；（3）點是的中點，交于點，若，求的值．3．如圖，已知的半徑為2，為直徑，為弦．與交于點，將沿著翻折后，點與圓心重合，延長至，使，連接．（1）求的長；（2）求證：是的切線；（3）點為的中點，在延長線上有一動點，連接交于點，交于點與、不重合）．問是否為定值？如果是，求出該定值；如果不是，請說明理由．4．如圖，是的直徑，、為上位于異側的兩點，連接并延長至點，使得，連接交于點，連接、、．（1）證明：；（2）若，求的度數(shù)；（3）設交于點，若，是的中點，求的值．5．如圖，以的邊上一點為圓心的圓，經(jīng)過、兩點，與邊交于點，點為的下半圓弧的中點，連接交線段于點．，，．（1）求證：是的切線；（2）求的半徑；（3）設點是延長線上的一個動點，連接交于點，交弧于點與、不重合）．試問是否為定值？如果是，求出該定值；如果不是．請說明理由．6．如圖1，在平面直角坐標系中，點，，，，以為直徑的交軸于、兩點．（1）填空：請直接寫出的半徑、圓心的坐標：；，；（2）如圖2，直線與，軸分別交于，兩點，且經(jīng)過圓上一點，，求證：直線是的切線．（3）在（2）的條件下，如圖3，點是優(yōu)弧上的一個動點（不包括、兩點），連接、、，交于點．試問，是否存在一個常數(shù)，始終滿足？如果存在，求出的值，如果不存在，請說明理由．7．如圖，在中，，的垂直平分線分別與，及的延長線相交于點，，，且，是的外接圓，的平分線交于點，交于點，連接，．（1）求證：；（2）試判斷與的位置關系，并說明理由；（3）若，求的值．8．已知：如圖，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，，（1）求的值及拋物線頂點坐標；（2）過、、的三點的交軸于另一點，連接并延長交于點，過點的的切線分別交軸、軸于點、，求直線的解析式；（3）在條件（2）下，設為上的動點不與、重合），連接交軸于點，問是否存在一個常數(shù)，始終滿足？如果存在，請寫出求解過程；如果不存在，請說明理由．二．中點弧與旋轉（共4小題）9．如圖，在中，是上的一點，，弦，弦平分交于點，連接，．（1）求半徑的長；（2）求證：．10．如圖，已知四邊形為的內(nèi)接四邊形，平分，于點，，，則的值為A． B． C．2 D．11．在的內(nèi)接四邊形中，，，，點為弧的中點，則的長是．12．如圖，已知是的弦，點是弧的中點，是弦上一動點，且不與、重合，的延長線交于點，連接、，過點作，垂足為，．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的長．（3）當點在弦上運動時，的值是否發(fā)生變化？如果變化，請寫出其變化范圍；如果不變，請求出其值．三．中點弧+內(nèi)心可得等腰（共6小題）13．如圖，內(nèi)心為，連接并延長交的外接圓于，則線段與的關系是A． B． C． D．不確定14．如圖，點是的內(nèi)心，的延長線交的外接圓于．求證：．15．如圖，點是的內(nèi)心，的延長線與的外接圓交于點，與交于點，延長、相交于點，的平分線交于點．（1）求證：；（2）求證：；（3）若，，求的長．16．如圖1，在中，，是的外接圓，過作，交于，連接交于點，延長至點，使，連接．（1）求證：是的切線；（2）求證：；（3）如圖2，若點是的內(nèi)心，，求的長．17．如圖，是的外接圓，點是的內(nèi)心，的延長線交于點，交于點，連接，．（1）求證：；（2）若，，求的長．18．如圖1，在中，，是的外接圓，過點作交于點，連接交于點，延長至點，使，連接．（1）求證：；（2）求證：是的切線；（3）如圖2，若點是的內(nèi)心，，求的長．四．弧中點與垂徑定理（共5小題）19．如圖，是的直徑，，是上的兩點，且平分，分別與，相交于點，，則下列結論不一定成立的是A． B． C． D．20．如圖，是的直徑，點是上一點，連接，，點是的中點，連結并延長交圓于點．（1）求證：．（2）若，，求陰影部分的面積．21．如圖，是的直徑，，是上兩點，，．（1）如圖（1），若點是的中點，求的長；（2）如圖（2），若點是的中點，求的長．22．如圖，是的直徑，為弦的中點，連接并延長交于點，連接交于點，延長至點，使得，連接．（1）求證：是的切線；（2）若的半徑為5，，求的長．23．如圖，為的直徑，，為圓上的兩點，，弦，相交于點．（1）求證：；（2）若，，求的半徑．五．弧中點與垂徑模型（三等?。ü?小題）24．如圖，是的直徑，點為的中點，為的弦，且，垂足為，連接交于點，連接，，．（1）求證：；（2）若，求的長．25．如圖，已知是的直徑，是延長線上一點，切于點，是的弦，，垂足為．（1）求證：．（2）過點作交于點，交于點，連接，若，，求的長．26．如圖，內(nèi)接于半圓，為直徑，過點作直線，若．（1）求證：是半圓的切線．（2）設是弧的中點，連接交于，過作于，交于，求證：．（3）在（2）的條件下，若的面積為4.5，且，，試求的面積．27．如圖，為的直徑，是延長線一點，切于點，是的弦，，垂足為．（1）求證：；（2）求證：；（3）過點作交于點，連接，若