專題28.2三角函數(shù)的綜合應(yīng)用（專項(xiàng)拔高卷）教師版

20232024學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)同步專題熱點(diǎn)難點(diǎn)專項(xiàng)練習(xí)專題28.2三角函數(shù)的綜合應(yīng)用（專項(xiàng)拔高卷）考試時(shí)間：90分鐘試卷滿分：100分難度：中等一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2023秋·九年級(jí)課前預(yù)習(xí)）如圖，菱形的對(duì)角線，，，則下列結(jié)論正確的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，，，再利用勾股定理計(jì)算出的長(zhǎng)，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)定義分別進(jìn)行計(jì)算可得答案．【詳解】

在菱形中，有，，，∵，，∴，，∴，∴，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的對(duì)角線互相垂直平分的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的定義與計(jì)算．2．（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）我們都知道蜂巢是很多個(gè)正六邊形組合來(lái)的．正六邊形蜂巢的建筑結(jié)構(gòu)密合度最高、用材最少、空間最大、也最為堅(jiān)固．如圖，某蜂巢的房孔是邊長(zhǎng)為6的正六邊形，若的內(nèi)接正六邊形為正六邊形，則的長(zhǎng)為（

）A．12 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得，則，再根據(jù)平分弧的直徑垂直平分這條弧所對(duì)的弦可得，，再根據(jù)可得是等邊三角形，則，最后結(jié)合三角函數(shù)即可求解．【詳解】解：連接，交于點(diǎn)M，連接，∵六邊形是的內(nèi)接正六邊形，∴，，∴，∵經(jīng)過(guò)圓心O，∴，，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∵在中，，，，∴，∴，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、三角函數(shù)綜合和圓周角定理，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)求解是解決本題的關(guān)鍵．3．（2022春·九年級(jí)單元測(cè)試）在中，，那么下列各式中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用勾股定理計(jì)算出，然后根據(jù)正弦、余弦、余切和正切的定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】解：中，∵，∴，∴，，，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義：熟練掌握銳角的正弦、余弦、余切和正切的定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．4．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在擰開一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正六角形螺帽時(shí)，扳手張開的開口b＝mm，則這個(gè)正六邊形的面積為（）A．mm2 B．mm2 C．mm2 D．mm2【答案】C【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，可得∠ABC＝120°，AB＝BC＝a，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得CD的長(zhǎng)，根據(jù)銳角三角函數(shù)的余弦，可得答案．【詳解】解：如圖：作BD⊥AC于D，由正六邊形，得∠ABC＝120°，AB＝BC＝a，∴△ABC是等腰三角形，∴∠BCD＝∠BAC＝30°，∵AC＝10mm，BD⊥AC，∴CD＝5mm，∵cos∠BCD＝，∴，解得a＝10，∴這個(gè)正六邊形的面積6××10×5＝150（mm2），故選：C【點(diǎn)睛】此題考查了正多邊形和圓，等腰三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，利用了正六邊形的性質(zhì)得出等腰三角形是解題關(guān)鍵．5．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在中，，若的三邊都擴(kuò)大3倍，則的值（）A．放大3倍 B．縮小3倍 C．不變 D．無(wú)法確定【答案】C【分析】根據(jù)題意可知變化后的三角形與原三角形相似即可解答．【詳解】解：在中，，的三邊都擴(kuò)大3倍，變化后的三角形與原三角形相似，相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，的大小沒(méi)有發(fā)生變化，的值不變．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義及相似三角形的性質(zhì)．根據(jù)題意得到變化后的三角形與原三角形相似是解題的關(guān)鍵．6．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，點(diǎn)是斜邊邊上一點(diǎn)，以為圓心，為半徑作圓，恰好與邊相切于點(diǎn)D，連接．若，的半徑為，則的長(zhǎng)度為（

）

A． B． C．3 D．【答案】B【分析】連接，由與圓相切于D，得到半徑，而，推出，得到，由等腰三角形的性質(zhì)推出，從而求出的度數(shù)，即可求出的長(zhǎng)，根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)求得，，即可求得．【詳解】解：連接，

∵與圓相切于D，∴半徑，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∵，∴，∴，，∴，，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是由切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)推得．7．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形紙片中，E為的中點(diǎn)，連接，將沿折疊得到，連接．若，，則的長(zhǎng)為（

）

A．3 B． C． D．【答案】D【分析】連接，交于點(diǎn)G，，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，可得垂直平分，，，根據(jù)E為中點(diǎn)，可證，通過(guò)等邊對(duì)等角可證明，利用勾股定理求出，再利用三角函數(shù)求出，則根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：連接，交于點(diǎn)G，如圖所示，

由翻折性質(zhì)可得：垂直平分，∴，，∵E為的中點(diǎn)，，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊對(duì)稱的性質(zhì)、解直角三角形，熟練運(yùn)用對(duì)稱性質(zhì)證明相關(guān)線段相等是解題的關(guān)鍵．8．（2023·河南新鄉(xiāng)·校聯(lián)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，邊在x軸的負(fù)半軸上，，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為，反比例函數(shù)的圖像與菱形對(duì)角線交于點(diǎn)D，連接，當(dāng)軸時(shí)，k的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)C作軸于點(diǎn)E，根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)，求出，根據(jù)菱形性質(zhì)求出，，解直角三角形求出，得出點(diǎn)D的坐標(biāo)為：，代入函數(shù)關(guān)系式，即可求出k的值．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作軸于點(diǎn)E，如圖所示：∵頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為，∴，，∵∴，∵四邊形為菱形，∴，，∵軸，∴，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：，∵反比例函數(shù)的圖象與菱形對(duì)角線交于點(diǎn)D，∴，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，求反比例函數(shù)解析式，菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，求出點(diǎn)．9．（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考一模）如圖，輪船在A處觀測(cè)燈塔C位于北偏西方向上，輪船從A處以每小時(shí)40海里的速度沿南偏西方向勻速航行，1小時(shí)后到達(dá)碼頭B處，此時(shí)，觀測(cè)燈塔C位于北偏西方向上，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．點(diǎn)B到的距離為海里C．海里 D．點(diǎn)B在點(diǎn)C的南偏東的方向上【答案】C【分析】過(guò)B作于點(diǎn)D，根據(jù)題意分別求出的度數(shù)和的長(zhǎng)，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義、等腰直角三角形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．【詳解】解：過(guò)B作于點(diǎn)D，如圖所示：由題意得，故A選項(xiàng)錯(cuò)；∵，∴在中，，所以海里,故B選項(xiàng)錯(cuò)；由圖1可知，，所以D選項(xiàng)錯(cuò)；∵，∴海里，所以C選項(xiàng)正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用?方向角問(wèn)題，掌握方向角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．10．（2023秋·九年級(jí)單元測(cè)試）已知Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=2．則cosA的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)AC=k，則BC=2k，則AB=，根據(jù)三角函數(shù)的定義計(jì)算即可．【詳解】如圖，設(shè)AC=k，則BC=2k，根據(jù)勾股定理，得AB==，∴cosA==，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)，熟記三角函數(shù)的定義，并靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）如圖，在邊長(zhǎng)為的菱形紙片中，是邊上一點(diǎn)，將沿直線翻折，使點(diǎn)落在處，連接，已知，，則的長(zhǎng)為．（精確到，其中）

【答案】【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，可得，是等腰三角形，可求出，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形，根據(jù)三角函數(shù)的計(jì)算方法即可求解．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵四邊形是邊長(zhǎng)為的菱形紙片，，，∴，，，，∴，∴，即是等腰三角形，∴，∵沿直線翻折，使點(diǎn)落在處，∴，，在中，∵，∴是等腰三角形，，∴，在中，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形，折疊，等腰三角形，三角函數(shù)的綜合，掌握相關(guān)的性質(zhì)及計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．12．（2022春·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在中，．

【答案】【分析】先根據(jù)，設(shè)出關(guān)于兩邊的代數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)勾股定理求出第三邊長(zhǎng)的表達(dá)式即可推出的值．【詳解】解：∵，，∴，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．13．（2023·廣西梧州·統(tǒng)考一模）如圖，在正方形內(nèi)部作等邊，交于F點(diǎn)，過(guò)E作，分別交于點(diǎn)G，H．則的值是．【答案】/【分析】過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)K，則，先證明，再證明出，即可求解．【詳解】過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)K，則∵∴∵四邊形為正方形∴∵∴∵∴∴∴∵四邊形為正方形、為等邊三角形∴、∴故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的判定及性質(zhì)、四邊形內(nèi)角和、等邊三角形及正方形的性質(zhì)、三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握上述知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．14．（2022秋·廣東深圳·九年級(jí)深圳市寶安中學(xué)（集團(tuán)）校考期末）如圖，點(diǎn)F，G分別在正方形的邊，上，E為中點(diǎn)，連接，正方形的邊恰好在上，若正方形邊長(zhǎng)為7，則正方形面積為．【答案】20【分析】設(shè)，則，設(shè)根據(jù)正切值表示出、、，再利用余弦值求出x，即可求出答案．【詳解】如圖，設(shè)，則，，設(shè)，，，，由，，，故答案為：20．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，解題關(guān)鍵是掌握正方形的相關(guān)性質(zhì)，利用三角函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化．15．（2022春·遼寧阜新·九年級(jí)阜新實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)在直線上，若，且均為等邊三角形，則線段的長(zhǎng)度為．【答案】【分析】根據(jù)的坐標(biāo)為和，確定等邊三角形的邊長(zhǎng)，分別計(jì)算等邊三角形的邊長(zhǎng)，設(shè)的邊長(zhǎng)為，則，找到的規(guī)律即可．【詳解】解：設(shè)到軸的距離為，到軸的距離為,則點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)在直線為等邊三角形設(shè)的邊長(zhǎng)為∴B2021B2022=a2021=×220211=22020故答案為：22020．【點(diǎn)睛】本題考查了正比例函數(shù)與坐標(biāo)軸的夾角，特殊角的銳角三角函數(shù)，等邊三角形的性質(zhì)．找到的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．16．（2022·廣東中山·校聯(lián)考一模）如圖，矩形邊，的半徑為1，過(guò)邊上的一點(diǎn)P作射線與相切于點(diǎn)Q，連接，當(dāng)時(shí)，則的最小值約為度分．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】6440【分析】做輔助線，構(gòu)建直角三角形DQN，先得出,再由勾股定理求出DN的長(zhǎng)，分別在和中，根據(jù)三角函數(shù)求和的度數(shù)，即可得出結(jié)論．【詳解】如圖，延長(zhǎng)MP和AB交于點(diǎn)N，連接DN、DQ，∵射線PQ與D相切于點(diǎn)Q，∴,DQ=1∵,∴∴∴在中根據(jù)勾股定理得：，在中根據(jù)勾股定理得：∴∴∴,在中，∴∴∴．故本題答案為60、40【點(diǎn)睛】本題考查了切線、矩形的性質(zhì)，利用勾股定理求邊長(zhǎng)及三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，做出正確輔助線，根據(jù)條件解直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．17．（2022·廣東潮州·統(tǒng)考一模）公元三世紀(jì)，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”如圖所示，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形．如果大正方形的面積是25，小正方形面積是4，則．【答案】【分析】根據(jù)題意，如圖所示，大正方形的邊長(zhǎng)，小正方形的邊長(zhǎng)，得到，從而，即可得到答案．【詳解】解：如圖所示：大正方形的面積是25，小正方形面積是4，大正方形的邊長(zhǎng)，小正方形的邊長(zhǎng)，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查歷史背景問(wèn)題求解，數(shù)形結(jié)合，靈活運(yùn)用三角函數(shù)定義求解是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．18．（2023秋·湖南湘西·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，以為直徑作，交斜邊于點(diǎn)，點(diǎn)在直徑右側(cè)的半圓上，且，連接，則的長(zhǎng)度為.【答案】/【分析】連接，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)M，連接，證明為等邊三角形，得出，求出，利用特殊角的三角函數(shù)值，求出，，即可得出答案．【詳解】解：連接并延長(zhǎng)交，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)M，連接，如圖所示：∵，∴，∵為直徑，∴，∴，∵，，∴為等邊三角形，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，∵，，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的應(yīng)用，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握基本的性質(zhì)和判定．19．（2023秋·浙江溫州·九年級(jí)期末）如圖，在四邊形中，平分，，為的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)為．【答案】/【分析】連接，在和中，利用角的余弦求出和的長(zhǎng)，利用直角三角形中線的性質(zhì)可求出，即：，可得出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得答案．【詳解】解：連接，如圖所示：∵，，∴，∵平分，，∴，∵，∴，∵E是的中點(diǎn)，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，即，解得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形、相似三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，作出輔助線，構(gòu)造相似三角形，是解題的關(guān)鍵．20．（2022春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在正方形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，連接交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作分別交、于點(diǎn)、，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，現(xiàn)給出下列結(jié)論：①；②；③；④；其中正確的結(jié)論有．【答案】①②③④【分析】①證明，可得，由等腰三角形的性質(zhì)可求；②證明，可得；③證明，可得，進(jìn)而可得結(jié)論；④由外角的性質(zhì)可求，由勾股定理可求AG，即可求．【詳解】解：①∵四邊形是正方形，，∴，AC⊥BD，∴，∴，∵，∵，∴，∴，在和中，∴，∴，∴，故①正確；②如圖，過(guò)點(diǎn)作于，又∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，在和中，∴，∴，故②正確；③在和中，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，故③正確；④∵，，∴，∵，∴，∴，∴，故④正確．故答案為：①②③④．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，靈活運(yùn)用這些判定和性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（2023春·江西撫州·九年級(jí)金溪一中校考階段練習(xí)）矩形中，，分別以所在直線為x軸，y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，F(xiàn)是邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），過(guò)點(diǎn)F的反比例函數(shù)的圖象與邊交于點(diǎn)E．(1)當(dāng)點(diǎn)F為邊的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(2)連接，求的正切值．【答案】(1)(2)【分析】（1）先確定出點(diǎn)A，B坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)C坐標(biāo)，再用點(diǎn)F是中點(diǎn)，求出點(diǎn)F坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出k，最后將點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為3代入反比例函數(shù)解析式中即可求出點(diǎn)E坐標(biāo)；（2）設(shè)出點(diǎn)，代入反比例函數(shù)中得出，進(jìn)而用m表示出，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：，，四邊形是矩形，，，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，點(diǎn)F在反比例函數(shù)的圖象上，，反比例函數(shù)的解析式為，點(diǎn)E在反比例函數(shù)的圖象上，且縱坐標(biāo)為3，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為，（2）解：如圖，設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)在反比例函數(shù)的圖象上，，，，在中，【點(diǎn)睛】此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，矩形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．22．（2022·福建南平·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在東海一次軍事演習(xí)中，某潛艇由西向東航行，到達(dá)處時(shí)，測(cè)得某島上的假設(shè)敵方預(yù)警雷達(dá)位于它的北偏東方向，且與潛艇相距500海里，再航行一段時(shí)間后于當(dāng)天晚上6：00到達(dá)B處，測(cè)得島上的敵方預(yù)警雷達(dá)位于它的北偏東方向．上級(jí)要求潛艇以每小時(shí)20節(jié)(海里)速度繼續(xù)航行，到島的正南方向的處20分鐘后使用艦對(duì)岸導(dǎo)彈攻擊，摧毀假設(shè)敵方預(yù)警雷達(dá)，求發(fā)起攻擊的時(shí)間．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】第二天凌晨時(shí)發(fā)起攻擊【分析】利用銳角三角函數(shù)得出CD和BD的值，即可求出到達(dá)點(diǎn)D的時(shí)間，即可得．【詳解】解：∵∠ACD=70°，cos∠ACD=，則CD＝AC·cos∠ACD=500×0.34=170，∵∠BCD=37°，∴，∵tan∠BCD=，∴BD=CDtan∠BCD=170×0.75=，，即第二天凌晨時(shí)發(fā)起攻擊．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握銳角三角函數(shù)．23．（2022秋·上海虹口·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在梯形ABCD中，，，，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)E．點(diǎn)F是線段EC上一點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)如果，，求FC的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)2【分析】（1）根據(jù)，可得△EAD∽△ECB，從而得到，再由，可得△ABE∽△DFE，從而得到，進(jìn)而得到，即可求證；（2）根據(jù)銳角三角函數(shù)，可得AC=9，從而得到，再由，可得AD=3，根據(jù)，可得，再由△EAD∽△ECB，可得，，從而得到EC=6，，再由，可得EF=4，即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴△EAD∽△ECB，∴，即，∵，∠AEB=∠DEF，∴△ABE∽△DFE，∴，∴，∴；（2）解：∵，，，∴，即AC=9，∴，∵，∴AD=3，∵，∴∠BAD=90°，∴，∵△EAD∽△ECB，∴，∴，，∴，，∴EC=6，，∵，∴，∴EF=4，∴FC=ECEF=64=2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，銳角三角函數(shù)，勾股定理等知識(shí)，根據(jù)題意，準(zhǔn)確得到相似三角形是解題的關(guān)鍵．24．（2022春·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖,某種路燈燈柱垂直于地面,與燈桿相連.已知直線與直線的夾角是.在地面點(diǎn)處測(cè)得點(diǎn)的仰角是,點(diǎn)仰角是,點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為米．求：（1）點(diǎn)到地面的距離；（2）的長(zhǎng)度．（精確到米）（參考數(shù)據(jù):）【答案】（1）2.8米；（2）AB的長(zhǎng)度為0.6米【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作交于點(diǎn)F，則，在中，用三角函數(shù)即可得；（2）過(guò)點(diǎn)A作交于點(diǎn)H，根據(jù)，證明四邊形AFCH是矩形，則，，設(shè)BC=x，則米，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得，即，根據(jù)三角函數(shù)得DF=2.1米，米，在中，根據(jù)三角函數(shù)得，則，即可得，則，根據(jù)三角函數(shù)即可得米．【詳解】解：（1）過(guò)點(diǎn)A作交于點(diǎn)F，則，在中，（米），即點(diǎn)A到地面的距離為2.8米；（2）過(guò)點(diǎn)A作交于點(diǎn)H，在四邊形AFCH中，，∴四邊形AFCH是矩形，∴，，設(shè)BC=x，則米，∵，，∴，∴，∴（米），∴（米），∴米，∵在中，，∴，∴，∴（米），∵，∴（米）．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)，矩形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)．25．（2022秋·上海浦東新·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知在中，是邊上的高，是邊的中點(diǎn)，，．求：

(1)線段的長(zhǎng)；(2)的余切值．【答案】(1)15(2)【分析】（1）根據(jù)可得，根據(jù)勾股定理可得，計(jì)算可得，即可得到答案；（2）由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)可得，從而得到，求出的長(zhǎng)，再根據(jù)余切的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：是邊上的高，，在，，，，，，，，解得：，；（2）解：是邊上的高，，是邊的中點(diǎn)，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的知識(shí)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．26．（2023·浙江紹興·校聯(lián)考三模）如圖，在矩形中，，點(diǎn)是對(duì)角線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以直線為對(duì)稱軸，點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接與．

(1)直接寫出點(diǎn)到直線D的距離；(2)當(dāng)點(diǎn)落在矩形的邊上時(shí)，求的度數(shù)；(3)當(dāng)為直角三角形時(shí)，求長(zhǎng)．【答案】(1)2(2)15°(3)或【分析】（1）用勾股定理求出的長(zhǎng)，再利用三角形的面積公式求解；（2）根據(jù)關(guān)于對(duì)稱，求出，，再利用矩形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的求法求出即可求解；（3）分三種情況：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)，利用勾股定理，對(duì)稱性質(zhì)等知識(shí)來(lái)求解.【詳解】（1）解：在矩形中，，，，，,到直線的距離是2；（2）解：如下圖，關(guān)于對(duì)稱，

，.∵矩形，，，，，；（3）解：①當(dāng)時(shí)，

過(guò)點(diǎn)作垂直交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，在中，，，.由題意得是矩形，，.、關(guān)于對(duì)稱，.在中，，；

②當(dāng)時(shí)，如下圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則.

關(guān)于對(duì)稱，，，，在中，，在RT△CDH中，，在中，，，，，在中，；

③當(dāng)時(shí)，

關(guān)于對(duì)稱，.，，.，，，,，∴不存在，舍去．

綜上所述，當(dāng)為直角三角形時(shí)，或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，對(duì)稱性質(zhì)