專題12等邊三角形的性質(zhì)和證明（專項培優(yōu)訓(xùn)練）（教師版）

專題12等邊三角形的性質(zhì)和證明（專項培優(yōu)訓(xùn)練）試卷滿分：100分考試時間：120分鐘試卷難度：較難試卷說明：本套試卷結(jié)合人教版數(shù)學(xué)八年級上冊同步章節(jié)知識點(diǎn)，精選易錯，?？?，壓軸類問題進(jìn)行專題匯編！題目經(jīng)典，題型全面，解題模型主要選取熱點(diǎn)難點(diǎn)類型！同步復(fù)習(xí)，考前強(qiáng)化必備！適合成績中等及偏上的學(xué)生拔高沖刺。一、選擇題：本大題共10小題，每小題2分，共20分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（本題2分）（2022秋·河南駐馬店·八年級統(tǒng)考期中）如圖，邊長為的等邊中，是上中線且，點(diǎn)在上，連接，在的右側(cè)作等邊，連接，則周長的最小值是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意等邊三角形性質(zhì)和全等三角形判定得出，進(jìn)而作點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)M，連接交于E，此時的值最小，最后依據(jù)周長的最小值求值即可得出答案．【詳解】解：如圖，

∵都是等邊三角形，∴∴∴∴∵∴∴點(diǎn)E在射線上運(yùn)動()，作點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)M，連接交于，此時的值最小，∵∴是等邊三角形，∴∵∴∴周長的最小值．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱最短路徑問題和等邊三角形的性質(zhì)和判定以及全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是利用軸對稱性質(zhì)得出的值最小．2．（本題2分）（2023春·陜西西安·八年級?？计谀┤鐖D，在中，，，，將繞點(diǎn)C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，此時點(diǎn)恰好落在邊上，則點(diǎn)與點(diǎn)B之間的距離為（

）

A． B． C．4 D．2【答案】B【分析】先由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，，，再證明、是等邊三角形，得到，再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，，，∵，∴是等邊三角形，∴，則，∴是等邊三角形，∴，在中，，，，∴，∴，即，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．3．（本題2分）（2023秋·山西陽泉·八年級?？计谀┤鐖D，和均是等邊三角形，，分別與，交于點(diǎn)M，N，有如下結(jié)論：①；②；③；其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）個.

A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，證明即可．【詳解】∵和均是等邊三角形，∴，∴，∴，∵，∴，故①正確；∵，∴∵，∴，∴，故②正確；∵，∴，∴，故③錯誤；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形不等式，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（本題2分）（2023春·遼寧大連·八年級期末）如圖，矩形中，O為的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別與，交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接交于點(diǎn)M，連接，．若，，則下列結(jié)論①；②；③，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)題中矩形和等邊三角形的性質(zhì)證明出，即可證明①②；證明可得，即可得③結(jié)論錯誤．【詳解】解:連接，∵四邊形是矩形，∴，、互相平分，∵O為中點(diǎn)，∴也過O點(diǎn)，∴，∵，，∴是等邊三角形，∴，，在與中，，∴，∴與關(guān)于直線對稱，∴，；∴①②正確，∵∴,∴在和中，∴，∴，∴錯誤．∴③錯誤，正確的有2個，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形和等邊三角形的判定和性質(zhì)以及30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是會綜合運(yùn)用這些知識點(diǎn)解決問題．5．（本題2分）（2023春·廣西河池·八年級統(tǒng)考期末）如圖，是等邊三角形，是內(nèi)一點(diǎn)，，，，，則的周長是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】延長交于，延長交于，由條件推出四邊形，四邊形是平行四邊形，，是等邊三角形，得到，即可求出的周長．【詳解】解：延長交于，延長交于，∵，，，∴四邊形，四邊形是平行四邊形，∴，，∵是等邊三角形，∴，∴，，∴，∴是等邊三角形，同理：是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴的周長為：，即的周長是．故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是由等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)證明．6．（本題2分）（2023春·廣東梅州·八年級校考開學(xué)考試）如圖，在等邊中，為中點(diǎn)，點(diǎn)，分別為，上的點(diǎn)，，，在上有一動點(diǎn)，則的最小值為（）

A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接交于，連接，此時的值最?。钚≈担驹斀狻拷猓菏堑冗吶切?，，，，，，如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接交于，連接，此時的值最?。钚≈?，

，，，，，，是等邊三角形，，的最小值為7．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)和判定，軸對稱最短問題等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用軸對稱解決最短問題，屬于中考?？碱}型．7．（本題2分）（2023春·山東聊城·八年級統(tǒng)考期中）如圖，矩形中，為中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線分別與、交于點(diǎn)、，連接交于點(diǎn)，連接、若，，則下列結(jié)論，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）①，；②；③四邊形是菱形；④．

A．個 B．個 C．個 D．個【答案】B【分析】根據(jù)已知得出，可求得與關(guān)于直線對稱，進(jìn)而求得，；因為，故不會全等于．先證得，再證得，進(jìn)而證得，因為、互相平分，即可證得四邊形是菱形；可通過面積轉(zhuǎn)化進(jìn)行解答．【詳解】解：連接，

四邊形是矩形，，、互相平分，為中點(diǎn)，也過點(diǎn)，，，，是等邊三角形，，，在與中，，與關(guān)于直線對稱，，；正確，，，，，，，，，，，，四邊形是菱形，正確，，與不全等．錯誤，，，，，，，，，，故錯誤．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等的知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵．8．（本題2分）（2023春·安徽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形中，E為邊的中點(diǎn)，沿對折矩形，使點(diǎn)C落在處，折痕為，延長交于點(diǎn)F，連接并延長交于點(diǎn)G，連接．給出以下結(jié)論：①四邊形為平行四邊形；②；③；④為的中點(diǎn)．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和為，易證，可證出最終結(jié)論．根據(jù)翻折的性質(zhì)，加上正方形所有內(nèi)角都是直角，再由同角的余角相等，即可解題．利用反推，若，則為等邊三角形，是鈍角，顯然不是鈍角，即可得出結(jié)論．若為的中點(diǎn)，在邊的垂直平分線上，利用垂直平分線的性質(zhì)，即可得出結(jié)論．【詳解】∵E為的中點(diǎn)∴∴，即∴四邊形為平行四邊形，即①正確，∴，即②正確∵，∴當(dāng)時∴，∴為等邊三角形,即,顯然不是鈍角故③不正確當(dāng)為的中點(diǎn)時，即在邊的垂直平分線上即是垂直平分線，，顯然即④不正確故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是四邊形的綜合運(yùn)用，熟練掌握翻折的應(yīng)用和正方形與平行四邊形的定義是解題的關(guān)鍵．9．（本題2分）（2023春·河北唐山·八年級統(tǒng)考期中）如圖，平行四邊形中，平分，交于點(diǎn)，且，延長與的延長線交于點(diǎn)F，下列結(jié)論中：①：②是等邊三角形；③；④；⑤；⑥，正確的有（

）

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】由四邊形是平行四邊形，可得，，又因為平分，可得，所以可得，得，由，得到是等邊三角形，可判定②；則，所以，可判定①；因為與同底等高與間的距離相等），所以，可判定④；與等底等高與間的距離相等），得，則，即，可判定⑥；題中無條件證得，，可判定③⑤．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，∴，，，平分，，，，，是等邊三角形；故②正確；，，，；故①正確；與同底等高，，故④正確，與等底等高與間的距離相等），，；故⑥正確．若，則，題中確無條件能證得這一結(jié)論，故⑤不一定正確；若與相等，∵則題中確無條件能證得這一結(jié)論，故③不一定正確；綜上，正確的有①②④⑥共4個，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形面積，掌握相關(guān)判定與性質(zhì)以及同底（或等底）等高（或同高）面積相等是解題的關(guān)鍵．10．（本題2分）（2023春·山東濟(jì)寧·八年級統(tǒng)考期中）在矩形中，對角線、相交于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，．連接，則下面的結(jié)論：①是等邊三角形；②是等腰三角形；③；④，其中正確的結(jié)論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】判斷出是等腰直角三角形，根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出，再判斷出是等邊三角形，可判斷①；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出，再求出，可判斷②；由直角三角形的性質(zhì)可得，可判斷③；由面積公式可得，可判斷④．【詳解】解：平分，，，是等腰直角三角形，，，，，在矩形中，，是等邊三角形，是等邊三角形，故①正確；，，，是等腰三角形，故②正確；在中，，，故③錯誤；，，故④正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題：本大題共10小題，每小題2分，共20分.11．（本題2分）（2022秋·湖北十堰·八年級十堰市實驗中學(xué)?？计谥校┤鐖D，等邊中，D為中點(diǎn)，點(diǎn)P、Q分別為上的點(diǎn)，，，在上有一動點(diǎn)E，則的最小值為．

【答案】【分析】作點(diǎn)Q關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接交于E，連接，此時的值最小．最小值．【詳解】如圖，∵是等邊三角形，∴，∵D為中點(diǎn)，∴作點(diǎn)Q關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接交于E，連接，此時的值最?。钚≈担?/p>

∵，，∴，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)和判定，軸對稱最短問題等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用軸對稱解決最短問題，屬于中考?？碱}型．12．（本題2分）（2023春·山東濟(jì)寧·八年級濟(jì)寧學(xué)院附屬中學(xué)?？计谥校┤鐖D，平行四邊形的對角線，相交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，，．下列結(jié)論：①；②；③四邊形是菱形；④，其中，判斷正確的是(填序號）【答案】①②③④【分析】通過判定為等邊三角形求得，利用等腰三角形的性質(zhì)求得，從而判斷①；利用有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形判斷③，然后結(jié)合菱形的性質(zhì)和含直角三角形的性質(zhì)判斷②；根據(jù)三角形中線的性質(zhì)判斷④．【詳解】解：點(diǎn)為的中點(diǎn)，，又，，，是等邊三角形，，,，，即，故①正確；在平行四邊形中，，，，，在和中，，，，四邊形是平行四邊形，，平行四邊形是菱形，故③正確；，在中，，，則，故②正確；在平行四邊形中，，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，，故④正確；正確的結(jié)論①②③④．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，含的直角三角形的性質(zhì)，三角形的中線性質(zhì)，掌握菱形的判定是解題關(guān)鍵．13．（本題2分）（2023春·山東濱州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形紙片中，，將矩形紙片翻折，使點(diǎn)C恰好落在對角線交點(diǎn)O處，折痕為，點(diǎn)E在邊上，則的長為．

【答案】【分析】首先證明是等邊三角形，在中，結(jié)合含的直角三角形用勾股定理即可解決問題；【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，由翻折性質(zhì)可知：，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，則由勾股定理可得：，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查矩形與翻折變換，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含的直角三角形與勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是證明是等邊三角形．14．（本題2分）（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在邊長為2的菱形中，，E、F分別為、上的兩個動點(diǎn)（包括端點(diǎn)），且，則線段的取值范圍為．

【答案】【分析】易得為等邊三角形，證明，推出為等邊三角形，求出的取值范圍，即可得解．【詳解】解：∵在邊長為2的菱形中，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，，∵，∴，又，∴為等邊三角形，∴，∵E、F分別為、上的兩個動點(diǎn)（包括端點(diǎn)），∴當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，最大，此時，，當(dāng)時，最小，此時為的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的性質(zhì)，證明．15．（本題2分）（2023春·廣東汕頭·八年級統(tǒng)考期末）菱形，點(diǎn)A，B，C，D均在坐標(biāo)軸上，，點(diǎn)，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)P是上的一動點(diǎn)，則周長的最小值是．【答案】【分析】根據(jù)菱形的對稱性，連接，交于點(diǎn)P，連接，得到是等邊三角形，推出，根據(jù)點(diǎn)E是的中點(diǎn)，求出，，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理求出x即可．【詳解】解：連接，交于點(diǎn)P，連接，∵四邊形是菱形，，點(diǎn)，∴，，，∴是等邊三角形，∴，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，設(shè)，則，∵，∴，解得（負(fù)值舍去），∴，∴周長的最小值是,故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（本題2分）（2023春·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形中，，E、F分別在邊上，并且為等邊三角形，則m的取值范圍為，若點(diǎn)G是邊上的一點(diǎn)，且，則隨著m的變化，的最小值為．

【答案】【分析】當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時，此時有最小值，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時，此時有最大值，由等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求的長，即可求m的范圍；可證，即，當(dāng)點(diǎn)H，點(diǎn)N，點(diǎn)F共線時，有最小值，即可求解.【詳解】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時，此時有最小值，

∵為等邊三角形，∴，，，∴，，如圖，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時，此時有最大值，

∵為等邊三角形，∴，，，∴，，∴，∴.如圖，當(dāng)時，以為邊作等邊，作，連接，

∴，，∴，∴，∴，∴當(dāng)點(diǎn)H，點(diǎn)N，點(diǎn)F共線時，有最小值，此時，∵，∴四邊形是矩形，∴，∵是等邊三角形，，∴，∴.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，利用特殊位置求線段的長是解題的關(guān)鍵.17．（本題2分）（2020秋·廣東廣州·八年級校考階段練習(xí)）如圖，C為線段上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A，E重合），在同側(cè)分別作等邊三角形和等邊三角形，與交于點(diǎn)O，與交于點(diǎn)P，與交于點(diǎn)Q，連接．以下結(jié)論：①；②；③；④是等邊三角形；⑤．恒成立的是．

【答案】①②③④【分析】由等邊三角形的性質(zhì)可證明，則可得①正確；由可得，由，則由三角形內(nèi)角和可得，則可得③正確；證明，可得，由可得④正確；由等邊三角形的性質(zhì)可得②正確；由知，，即可判定⑤不正確，從而可確定答案．【詳解】解：∵都是等邊三角形，∴，∴，∴，故①正確；∵，∴，∵，∴由三角形內(nèi)角和得：，故③正確；∵即，∵，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，故④正確；∵是等邊三角形，∴，∴，故②正確；∵，∴，當(dāng)點(diǎn)P位于的邊上時，始終有，即，故⑤不成立；∴正確的是①②③④，故答案為：①②③④．

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)三角形內(nèi)角和等知識，證明三角形全等及等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（本題2分）（2023春·四川成都·八年級校聯(lián)考期中）如圖，是邊長為3的等邊三角形，延長至點(diǎn)P，使得，點(diǎn)E在線段上，且，連接，以為邊向右作等邊，過點(diǎn)E作交的延長線于點(diǎn)M，點(diǎn)N為的中點(diǎn)，則四邊形的面積為．

【答案】【分析】作交的延長線于點(diǎn)G，證明是等邊三角形，再證明，得，再證明是等邊三角形，則，再證明，得，作于點(diǎn)H，于點(diǎn)D，則，，由勾股定理得的長，由計算，于是得到問題的答案．【詳解】解：作交的延長線于點(diǎn)G，

∵是邊長為3的等邊三角形，∴，∴是等邊三角形，∵點(diǎn)P在的延長線上，，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，，∴，在和中，，∴，∴，∵點(diǎn)N為的中點(diǎn)，∴，∴，作于點(diǎn)H，于點(diǎn)D，則，，∵，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、根據(jù)轉(zhuǎn)化思想求圖形的面積等知識與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．19．（本題2分）（2023春·四川達(dá)州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，邊長為6的等邊，F(xiàn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段上的動點(diǎn)，連接，在的右側(cè)作等邊，連接、、，則以下結(jié)論：①；②；③；④的周長最小值為9；⑤當(dāng)周長最小時，．其中正確的結(jié)論有（填序號）．

【答案】①②③④【分析】①根據(jù)等邊三角形三線合一可以判斷；②由垂直平分，得到，而，得到，得到②中結(jié)論；③根據(jù)②中可得到結(jié)論；④當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時，的邊長最短為3，此時的周長為9；⑤先證明點(diǎn)在射線上運(yùn)動，作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接交直線于，連接，的周長最小，即最小，而，即最小，當(dāng)和重合時，取最小值，而此時，據(jù)此可判斷．【詳解】解：①根據(jù)等邊三角形三線合一可以得：，故①正確；②∵垂直平分，∴，而，得到；故②正確；③根據(jù)②中的結(jié)論可得③正確；④的周長最短，即的長度最小，當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時，，此時的周長為9，故④正確；⑤連接并延長，作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接交直線于，連接，

∵即∴在和中，∴≌∴∴點(diǎn)在射線上移動；∵、關(guān)于直線對稱，∴，∴，∴為等邊三角形，又∵為中點(diǎn)∴∴周長最小，則最??；∵直線為的垂直平分線，∴，在中，所以當(dāng)與重合時最小，即為的長，此時，故⑤錯誤；故正確結(jié)論序號為①②③④．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱最短問題，等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是證明在射線上運(yùn)動．20．（本題2分）（2023春·福建福州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)E為對角線上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），且，連接交延長線于點(diǎn)F．

①；②當(dāng)為直角三角形時，；③當(dāng)為等腰三角形時，或者；④連接，當(dāng)時，平分．以上結(jié)論正確的是（填正確的序號）．【答案】①②③④【分析】連接，交于點(diǎn)O，由題意易得，是等邊三角形，，，，則有，則，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的性質(zhì)、勾股定理及等腰三角形的性質(zhì)可進(jìn)行求解．【詳解】解：連接，交于點(diǎn)O，如圖所示，

∵四邊形是菱形，，，∴，是等邊三角形，，，，∴，則，∴，則，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故①正確；當(dāng)為直角三角形時，即，∵，，∴，∴，∴，則，∴；故②正確；當(dāng)為等腰三角形時，則可分當(dāng)時，即，在菱形中，，∴，∵，∴在中，，∴∴；當(dāng)時，即，∵，∴在中，，∴∴；當(dāng)時，則，此時點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，不符合題意；故③正確；連接，當(dāng)時，則，∴，由②可知，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴平分，故④正確；故答案為①②③④．【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的性質(zhì)與判定、含30度直角三角形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的性質(zhì)與判定、含30度直角三角形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共7小題，2125題每小題8分，2627題每小題10分，共60分．21．（本題8分）（2023春·福建漳州·八年級統(tǒng)考期末）在中，，，將繞點(diǎn)B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到．連接，延長交于點(diǎn)F．

(1)當(dāng)時，如圖1，①求的度數(shù)；②求證：．(2)當(dāng)時，如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，試探究與是否仍然相等，若相等，請說明理由；若不相等，請求出它們的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)①30°；②見解析(2)相等，見解析【分析】（1）①由旋轉(zhuǎn)得出為等邊三角形，得出，再利用平角求出角度即可；②根據(jù)等邊三角形和等腰三角形的判定證明即可；（2）在上取一點(diǎn)H，使得，連接，證明，再利用等腰三角形的判定證明即可．【詳解】（1）解：①證明：當(dāng)時，點(diǎn)C在上，由旋轉(zhuǎn)可知：，∴為等邊三角形．∴．又∵，∴，∴．②證明：由旋轉(zhuǎn)可知：，，∴為等邊三角形，∴．∵，∴，∴，∴．∵為等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴．（2）解：．理由：在上取一點(diǎn)H，使得，連接．

由旋轉(zhuǎn)可知：，，，∴．∵，，∴，，∴，∴．∴，．∵，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)和等腰三角形的判定，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相關(guān)知識進(jìn)行推理證明．22．（本題8分）（2023春·遼寧鞍山·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，點(diǎn)是邊中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作；

(1)判斷四邊形的形狀，并證明結(jié)論；(2)點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，且，連接交于點(diǎn)，若四邊形是平行四邊形時，求的值，并計算此時的長度．【答案】(1)四邊形是菱形，證明見解析(2)，【分析】（1）由已知條件可得四邊形是平行四邊形，根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)求出，可得平行四邊形是菱形；（2）證明是等邊三角形，根據(jù)四邊形是平行四邊形可得是等邊三角形，求出，可得，，然后再根據(jù)求此時的長度即可．【詳解】（1）四邊形是菱形；證明：∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵在中，是斜邊上的中線，∴，∴平行四邊形是菱形；（2）解：∵，，，∴，，∵在中，是斜邊上的中線，∴，∴是等邊三角形，∴，若四邊形是平行四邊形，則，即，，，∴，，∴是等邊三角形，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用相關(guān)判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行推理論證是解題的關(guān)鍵．23．（本題8分）（2023春·甘肅武威·八年級?？计谥校┤鐖D，菱形的對角線、相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作且，連接、，連接交于點(diǎn)．

(1)求證：；(2)若菱形的邊長為，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)菱形性質(zhì)得出，，證明，根據(jù)，證明四邊形是平行四邊形．根據(jù)，證明平行四邊形是矩形，即可證明結(jié)論；（2）先證明為等邊三角形，得出，根據(jù)勾股定理得出，最后根據(jù)勾股定理求出結(jié)果即可．【詳解】（1）證明：為菱形，，，，∴，∵，四邊形是平行四邊形．，∴，平行四邊形是矩形．

．（2）解：∵在菱形中，，，為等邊三角形，，∴，在矩形中，，在中，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形的判定，勾股定理．24．（本題8分）（2023春·四川達(dá)州·八年級?？计谥校?）閱讀理解：如圖1，等邊三角形內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)的距離分別為，求的大小．

思路點(diǎn)撥：考慮到不在一個三角形中，采用轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，可以將繞頂點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)到處，連接，此時，這樣，就可以利用全等三角形的知識，并結(jié)合已知條件，將三條線段轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而求出________；（2）變式拓展：請你利用第（1）問的方法，解答下面問題：如圖2，在中，，，E，F(xiàn)為上的點(diǎn)且，，，求的長度；（3）能力提升：如圖3，在中，，，，點(diǎn)O為內(nèi)一點(diǎn)，連接，且，則________(直接寫出答案)．【答案】（1）；（2）13；（3）【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換前后的兩個三角形全等，全等三角形對應(yīng)邊相等，全等三角形對應(yīng)角相等以及等邊三角形的判定和勾股定理逆定理解答．（2）把繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，，，再求出，從而得到，然后利用“邊角邊”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，再利用勾股定理列式即可解決問題．（3）將繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)至處，連接，根據(jù)直角三角形角所對的直角邊等于斜邊的一半求出，即的長，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得，等邊三角形三個角都是，求出，然后求出四點(diǎn)共線，再利用勾股定理列式求出，從而得到，即可求解．【詳解】解：（1）∵，∴，由題意知旋轉(zhuǎn)角，∴為等邊三角形，，∵，∴∴為直角三角形，且，∴；故答案為：150°；（2）如圖2，把繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，∵，∴，∴，在和中，∴，∴，∵，∴，∴，由勾股定理得，，即．又∵，，∴，解得：；（3）如圖3，將繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)至處，連接，

∵在中，，∴，∴，∵繞點(diǎn)B順時針方向旋轉(zhuǎn)，∴如圖所示；，∵繞點(diǎn)B順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴∴四點(diǎn)共線，在中，，∴；故答案為：；【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，讀懂題目信息，理解利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造出全等三角形和等邊三角形以及直角三角形是解題的關(guān)鍵．25．（本題8分）（2022秋·廣東惠州·八年級?？茧A段練習(xí)）在拓展課上，小林用圓規(guī)以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，使得，第二次同樣按逆時針畫圓弧到點(diǎn)，設(shè)，顯然，連接．(1)如圖，連接．

①若，直接寫出的度數(shù)；②在第二次畫圓弧過程中，請?zhí)骄康拇笮∈欠窀淖儯咳舨桓淖?，求出的度?shù)；若改變，請說明理由；(2)如圖，若以為斜邊作，使得，連接，，若，試判斷的形狀，并說明理由．

【答案】(1)①；②不改變，的度數(shù)為，理由見解析(2)是等腰直角三角形，理由見解析【分析】（1）①等邊對等角求出的度數(shù)，利用，即可得解；②同①進(jìn)行求解即可得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，證明，推出是等邊三角形，進(jìn)而推出，得到，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）①∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴；②不改變，的度數(shù)為．由題意知，．，，．，，．．（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接．

則：