專題52 圖形折疊中的等腰三角形存在性問題(原卷版)

專題52圖形折疊中的等腰三角形存在性問題【題型演練】一、解答題1．對于面積為S的三角形和直線l，將該三角形沿直線l折疊，重合部分的圖形面積記為，定義為該三角形關于直線l的對稱度．如圖，將面積為S的ABC沿直線l折疊，重合部分的圖形為，將的面積記為，則稱為ABC關于直線l的對稱度．在平面直角坐標系xOy中，點A(0，3)，B(－3，0)，C(3，0)．（1）過點M(m，0)作垂直于x軸的直線，①當時，ABC關于直線的對稱度的值是：②若ABC關于直線的對稱度為1，則m的值是．（2）過點N(0，n)作垂直于y軸的直線，求△ABC關于直線的對稱度的最大值．（3）點P(－4，0)滿足，點Q的坐標為(t，0)，若存在直線，使得APQ關于該直線的對稱度為1，寫出所有滿足題意的整數t的值．2．如圖1，在中，，，D為AC的中點，E為邊AB上一動點，連接DE，將沿DE翻折，點A落在AC上方點F處，連接EF，CF．(1)判斷∠1與∠2是否相等并說明理由；(2)若與以點C，D，F為頂點的三角形全等，求出的度數：(3)翻折后，當和的重疊部分為等腰三角形時，直接寫出的度數．3．數學興趣小組開展實踐探究活動，將三角形ABC紙片沿某條直線折疊，使其中一個角的頂點落在一邊上．在△ABC中，AB＝9，BC＝6．(1)如圖1，若∠ACB＝90°，將△ABC沿CM折疊，使點B與邊AB上的點N重合，求BM的長(2)如圖2，若∠ACB＝2∠A，將△ABC沿CM折疊，使點B與邊AC上的點N重合，①求AC的長；②若O是AC的中點，P為線段ON上的一個動點，將△APM沿PM折疊得到△A′PM，與相交于點，則的取值范圍為．4．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．(1)如圖1，D為線段BC上一點，點C關于AD的對稱點C恰好落在AB邊上，求CD的長；(2)如圖2，E為線段AB上一點，沿CE翻折△CBE得到△CEB′，若EB′∥AC，求證：AE＝AC；(3)如圖3，D為線段BC上一點，點C關于AD的對稱為點C′，是否存在異于圖1的情況的C′、B、D為頂點的三角形為直角三角形，若存在，請直接寫出BC′長；若不存在，請說明理由．5．如圖1，已知直線y=﹣2x+4與x軸、y軸分別交于點A、C，以OA、OC為邊在第一象限內作長方形OABC．(1)求點A、C的坐標；(2)將△ABC對折，使得點A的與點C重合，折痕交AB于點D，求直線CD的解析式（圖2）；(3)在y軸上是否存在一點P（不與C重合），使得是等腰三角形，若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．6．問題背景折紙是一種將紙張折成各種不同形狀的藝術活動，折紙大約起源于公元1世紀或者2世紀時的中國，6世紀時傳入日本，再經由日本傳到全世界，折紙與自然科學結合在一起，不僅成為建筑學院的教具，還發(fā)展出了折紙幾何學，成為現代幾何學的一個分支．今天折紙被應用于世界各地，其中比較著名的是日本筑波大學的芳賀和夫發(fā)現的折紙幾何三定理，它已成為折紙幾何學的基本定理．芳賀折紙第一定理的操作過程及內容如下：第一步：如圖1，將正方形紙片ABCD對折，使點A與點D重合，點B與點C重合．再將正方形ABCD展開，得到折痕EF；第二步：將正方形紙片的右下角向上翻折，使點C與點E重合，邊BC翻折至的位置，得到折痕MN，與AB交于點P．則點P為AB的三等分點，即．問題解決如圖1，若正方形ABCD的邊長是2．(1)CM的長為______；(2)請通過計算AP的長度，說明點P是AB的三等分點．類比探究(3)將長方形紙片按問題背景中的操作過程進行折疊，如圖2，若折出的點P也為AB的三等分點，請直接寫出的值．7．綜合與實踐在數學綜合實踐課上，老師讓同學們探究等腰直角三角形中的折疊問題．問題情境：如圖，在中，，，點D在邊AB上運動，點E在邊BC上運動．探究發(fā)現：(1)如圖2，當沿DE折疊，點B落在邊AC的點處，且時，發(fā)現四邊形是菱形．請證明；探究拓廣：(2)如圖3，奇異小組同學的折疊方法是沿DE折疊，點B落在點處，延長交AC于點F，，點G在邊BC上運動，沿FG折疊使點C落在線段的中點處，求線段DF的長；探究應用：(3)沿DE折疊，點B的對應點恰好落在邊AC的三等分點處，請借助圖1探究，并直接寫出BD的長．8．在平面直角坐標系中，O為坐標原點，在四邊形OABC中，頂點A（0，2），，，且點B在第一象限，△OAB是等邊三角形．(1)如圖①，求點B的坐標；(2)如圖②，將四邊形OABC沿直線EF折疊，使點A與點C重合，求點E，F的坐標；(3)如圖③，若將四邊形OABC沿直線EF折疊，使，設點A對折后所對應的點為，△AEF與四邊形EOBF的重疊面積為S，設點E的坐標為（0，m）（0＜m＜1），請直接寫出S與m的函數關系式．9．如圖，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，點P在直線OA上運動，連接PB，將△OBP沿直線BP折疊，點O的對應點記為O′．（1）若AP＝AB，則點P到直線AB的距離是；（2）若點O′恰好落在直線AB上，求△OBP的面積；（3）將線段PB繞點P順時針旋轉45°得到線段PC，直線PC與直線AB的交點為Q，在點P的運動過程中，是否存在某一位置，使得△PBQ為等腰三角形？若存在，請直接寫出OP的長；若不存在，請說明理由．10．定義：若a，b，c是△ABC的三邊，且a2+b2＝2c2，則稱△ABC為“方倍三角形”．（1）對于①等邊三角形②直角三角形，下列說法一定正確的是．A．①一定是“方倍三角形”B．②一定是“方倍三角形”C．①②都一定是“方倍三角形”D．①②都一定不是“方倍三角形”（2）若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜邊AB＝，則該三角形的面積為；（3）如圖，△ABC中，∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，P為AC邊上一點，將△ABP沿直線BP進行折疊，點A落在點D處，連接CD，AD．若△ABD為“方倍三角形”，且AP＝，求△PDC的面積．11．如圖1，在中，，，為邊上的中線．（1）求的長；（2）動點的速度為，運動時間為秒．①如圖2，當點從點開始沿邊向點移動時，若是以為腰的等腰三角形，請你求出所有滿足條件的的值．②如圖3，當點從點開始沿邊向點移動時，將沿直線對折，點的對稱點為，當與重疊部分為直角三角形時，請直接寫出的值為_________12．如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（5，0），以原點O為圓心、3為半徑作⊙O，⊙O與x軸交于點B、C．點P從點O出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿y軸正半軸運動，運動時間為t（s）．連結AP，將△OAP沿AP翻折，得到△APQ．（1）當△OAQ為等邊三角形時，請直接寫出P點坐標；（2）若△ABQ為直角三角形時，請求出t的值；（3）求△APQ有一邊所在直線與⊙O相切時，請直接寫出t的值．13．（1）操作發(fā)現：如圖①，在RtABC中，∠C＝2∠B＝90°，點D是BC上一點，沿AD折疊ADC，使得點C恰好落在AB上的點E處，請寫出AB、AC、CD之間的關系？并說明理由．（2）問題解決：如圖②，若（1）中∠C≠90°，其他條件不變，請猜想AB、AC、CD之間的關系，并證明你的結論；（3）類比探究：如圖③，在四邊形ABCD中，∠B＝120°，∠D＝90°，AB＝BC，AD＝BC，連接AC，點E是CD上一點，沿AE折疊，使得點D正好落在AC上的點F處，若BC＝3，求出DE的長．14．我們知道平行四邊形有很多性質,現在如果我們把平行四邊形沿著它的一條對角線翻折，會發(fā)現這其中還有更多的結論．【發(fā)現與證明】中，，將沿翻折至，連結．結論1：與重疊部分的圖形是等腰三角形．結論2：；……(1)請利用圖1證明結論1或結論2；【應用與探究】在中，已知，將沿翻折至，連結．(2)如圖，若，，則_____，_____；(3)已知，當長為多少時，是直角三角形？請直接寫出答案15．如圖，在平行四邊形紙片ABCD中，AD＝6cm，將紙片沿對角線BD對折，邊AB的對應邊BF與CD邊交于點E，此時△BCE恰為等邊三角形．（1）求AB的長度；（2）重疊部分的面積為；（3）將線段BC沿射線BA方向移動，平移后的線段記作B'C'，請直接寫出B'F+C'F的最小值．16．定義：有三個角相等的四邊形叫做三等角四邊形．（1）在三等角四邊形中，，則的取值范圍為_______；（2）如圖，折疊平行四邊形，使得頂點分別落在邊上的點處，折痕為．求證：四邊形為三等角四邊形；（3）如圖，在三等角四邊形中，，若，，，則的長度為_______．17．綜合與實踐，問題情境：數學活動課上，老師出示了一個問題：如圖①，在中，，垂足為，為的中點，連接，，試猜想與的數量關系，并加以證明；獨立思考：（1）請解答老師提出的問題；實踐探究：（2）希望小組受此問題的啟發(fā)，將沿著（為的中點）所在直線折疊，如圖②，點的對應點為，連接并延長交于點，請判斷與的數量關系，并加以證明；問題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將沿過點的直線折疊，如圖③，點A的對應點為，使于點，折痕交于點，連接，交于點．該小組提出一個問題：若此的面積為20，邊長，，求圖中陰影部分（四邊形）的面積．請你思考此問題，直接寫出結果．18．綜合與實踐在一次綜合實踐活動課上，數學王老師給每位同學各發(fā)了一張正方形紙片，要求同學們僅通過折紙的方法來確定該正方形一邊上的一個三等分點．“啟航”小組的同學在經過一番思考和討論交流后，進行了如下的操作：第一步：如圖1，將正方形紙片ABCD的一條邊AD對折，使點A和點D重合，得到AD的中點E，然后展開鋪平；第二步：如圖2，將CD邊沿CE翻折到CF的位置；第三步：如圖3，再將BC沿過點C的直線翻折，使點B和點F重合，折痕與AB邊交于點G．他們認為：該點G就是AB邊的一個三等分點．(1)試證明上面的結