專題06 相似三角形重要模型-母子型（共邊共角模型）（原卷版）

專題06相似三角形重要模型-母子型（共邊共角模型）相似三角形是初中幾何中的重要的內(nèi)容，常常與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，是中考的?？碱}型。在相似三角形中存在眾多的相似模型，其中“母子型”相似模型應(yīng)用較為廣泛，深入理解模型內(nèi)涵，靈活運(yùn)用相關(guān)結(jié)論可以顯著提高解題效率，本專題重點(diǎn)講解相似三角形的“母子”模型。母子相似證明題一般思路方法:①由線段乘積相等轉(zhuǎn)化成線段比例式相等；②分子和分子組成一個(gè)三角形、分母和分母組成一個(gè)三角形；③第②步成立，直接從證這兩個(gè)三角形相似，逆向證明到線段乘積相等；④第②步不成立，則選擇替換掉線段比例式中的個(gè)別線段，之后再重復(fù)第③步。模型1.“母子”模型(共邊角模型)【模型解讀與圖示】“母子”模型的圖形（通常有一個(gè)公共頂點(diǎn)和另外一個(gè)不是公共的頂點(diǎn)，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母懷），也是有一個(gè)“公共角”，再有一個(gè)角相等或夾這個(gè)公共角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例就可以判定這兩個(gè)三角形相似．圖1圖2圖31）“母子”模型（斜射影模型）條件：如圖1，∠C=∠ABD；結(jié)論：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.2）雙垂直模型（射影模型）條件:如圖2，∠ACB=90o，CD⊥AB；結(jié)論：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.3）“母子”模型（變形）條件:如圖3，∠D=∠CAE，AB=AC；結(jié)論：△ABD∽△ECA；例1．（2023春·遼寧阜新·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，為邊上的一點(diǎn)，且，若的面積為4，那么的面積為．例2．（2022·山東九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，已知AD＝，那么BC＝．例3.（2022.山西九年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)C，D在線段AB上，△PCD是等邊三角形，且∠APB＝120°，求證：（1）△ACP∽△PDB，（2）CD2＝AC?BD．例4．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）在中，是斜邊上的高．(1)證明：；(2)若，求的長(zhǎng)．

例5．（2023·成都市·九年級(jí)專題練習(xí)）中，，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，且有，過(guò)F點(diǎn)作于點(diǎn)H．（1）求證：；（2）求證：；（3）若，求的長(zhǎng)．例6．（2022·陜西漢中·九年級(jí)期末）如圖，是等腰直角斜邊的中線，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與、的延長(zhǎng)線相交，交點(diǎn)分別為點(diǎn)、，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，且．(1)如圖1，若，求證：；(2)如圖2，若，求證：；(3)如圖2，過(guò)作于點(diǎn)，若，，求的長(zhǎng)．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1、如圖所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，垂足分別為D、E兩點(diǎn)，則圖中與△ABC相似的三角形有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)2．（2022·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，．分別以點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)，作直線分別交，于點(diǎn)．以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)，連結(jié)．則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．B．C．D．3．（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，中，點(diǎn)在邊上，且，若，，則的長(zhǎng)為．4．（2020·山西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，，垂足為，為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為．5．（2023?姑蘇區(qū)校級(jí)二模）如圖，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，M，N分別是AB、AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)D，使CD＝BD，連結(jié)DM、DN、MN．若AB＝10，則DN＝．6．（2022·河北邢臺(tái)·?？级＃┤鐖D1，在中，，，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，則點(diǎn)與點(diǎn)的最短距離為_(kāi)_____．如圖2，連接，作，使得，交于，則當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)_____．7．（2023春·福建福州·八年級(jí)?？计谀┮阎喝鐖D，在中，為邊的中點(diǎn)，連接，，，求的長(zhǎng)．

8.在中，，垂足為，求的長(zhǎng)9.如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)P、D分別是BC、AC邊上的點(diǎn)，且∠APD=∠B,（1）求證：AC?CD=CP?BP；（2）若AB=10，BC=12，當(dāng)PD∥AB時(shí)，求BP的長(zhǎng)．10．（2022·陜西西安·九年級(jí)期中）如圖，在中，，為邊上的高，的平分線分別交、于點(diǎn)，．(1)求證：∽；(2)若，，求的面積．

11．（2022·四川宜賓·九年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．（1）求證：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的長(zhǎng)．12．（2022·山東·八年級(jí)專題練習(xí)）定義：如圖，若點(diǎn)P在三角形的一條邊上，且滿足，則稱點(diǎn)P為這個(gè)三角形的“理想點(diǎn)”．(1)如圖①，若點(diǎn)D是的邊AB的中點(diǎn)，，，試判斷點(diǎn)D是不是的“理想點(diǎn)”，并說(shuō)明理由；(2)如圖②，在中，，，，若點(diǎn)D是的“理想點(diǎn)”，求CD的長(zhǎng)．13．（2023?沈陽(yáng)模擬）如圖，△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E、F分別在AB，AC上，且∠EDF＝90°．（1）求證：△DEF∽△ABC；（2）當(dāng)AE＝AF時(shí)，求BE的長(zhǎng)為；（3）若△AEF與△ABC相似，則BE的長(zhǎng)為；（4）EF的最小值為；（5）若△CDF是等腰三角形，則BE的長(zhǎng)為．14．（2022?武漢模擬）在△ABC中，CD是中線，E，F(xiàn)分別為BC，AC上的一點(diǎn)，連接EF交CD于點(diǎn)P．（1）如圖1，若F為AC的中點(diǎn)，CE＝2BE，求的值；（2）如圖2，設(shè)＝m，＝n（n＜），若m+n＝4mn，求證：PD＝PC；（3）如圖3，F(xiàn)為AC的中點(diǎn)，連接AE交CD于點(diǎn)Q，若QD＝QP，直接寫(xiě)出的值．15．（2022·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考一模）已知在?ABCD，AB＝2，BC＝10，∠B＝60°，E是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，以AE為一邊作?AEFG，且使得直線FG經(jīng)過(guò)點(diǎn)D．（1）如圖1，EF與AD相交于H，若H是EF的中點(diǎn)．①求證：GF＝DF；②若GF⊥CD，求GD的長(zhǎng)；（2）如圖2，設(shè)AE＝x，AG＝y(tǒng)，當(dāng)點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)時(shí)，始終保持∠AEF＝45°，①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求函數(shù)y的取值范圍；②連接ED，當(dāng)△AED是直角三角形時(shí)，求DF的值．16．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）如圖1，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)落在的點(diǎn)處，與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，連接．(1)求證：；(2)求證：；(3)若點(diǎn)，，在同一條直線上，如圖2，求的值．（溫