專題04 全等模型-半角模型（原卷版）

專題04全等模型-半角模型全等三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就半角模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。半角模型概念：過多邊形一個(gè)頂點(diǎn)作兩條射線，使這兩條射線夾角等于該頂角一半。思想方法：通過旋轉(zhuǎn)（或截長(zhǎng)補(bǔ)短）構(gòu)造全等三角形，實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)化。解題思路一般是將半角兩邊的三角形通過旋轉(zhuǎn)到一邊合并成新的三角形，從而進(jìn)行等量代換，然后證明與半角形成的三角形全等，再通過全等的性質(zhì)得到線段之間的數(shù)量關(guān)系。半角模型（題中出現(xiàn)角度之間的半角關(guān)系）利用旋轉(zhuǎn)——證全等——得到相關(guān)結(jié)論.模型1.半角模型（90°-45°型）【模型展示】1）正方形半角模型條件：四邊形ABCD是正方形，∠ECF=45°；結(jié)論：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周長(zhǎng)=2AB；⑤CE、CF分別平分∠BEF和∠EFD。2）等腰直角三角形半角模型條件：ABC是等腰直角三角形，∠DAE=45°；結(jié)論：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2；例1．（2022·黑龍江九年級(jí)階段練習(xí)）已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M、N．當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(shí)，（如圖1），易證BM+DN=MN．(1)當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)（如圖2），線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并加以證明；(2)當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線段BM、DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想．例2．（2022·北京四中九年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，點(diǎn)P在線段AB上，作射線CP（0°＜∠ACP＜45°)，射線CP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到射線CQ，過點(diǎn)A作AD⊥CP于點(diǎn)D，交CQ于點(diǎn)E，連接BE．(1)依題意補(bǔ)全圖形；(2)用等式表示線段AD，DE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．例3．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在中，，，D、E是斜邊上兩點(diǎn)，且，若，，，則與的面積之和為（

）A．36 B．21 C．30 D．22模型2.半角模型（60°-30°型或120°-60°型）1）等邊三角形半角模型（120°-60°型）條件：ABC是等邊三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；結(jié)論：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋FC；④AEF的周長(zhǎng)=2AB；⑤DE、DF分別平分∠BEF和∠EFC。2）等邊三角形半角模型（60°-30°型）例1．（2022·綿陽市八年級(jí)期中）在等邊△ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，D為△ABC外一點(diǎn)，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM＝DN時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是；(2)如圖2，點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且當(dāng)DM≠DN時(shí)，猜想（1）問的結(jié)論還成立嗎？若成立請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論；若不成立請(qǐng)說明理由．(3)如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，探索BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系如何？并給出證明．例2．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在等邊三角形中，在AC邊上取兩點(diǎn)使．若，，，則以為邊長(zhǎng)的三角形的形狀為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．隨的值而定例3．（2022·廣東廣州·二模）如圖，點(diǎn)為等邊外一點(diǎn)，，，點(diǎn)，分別在和上，且，，，則的邊長(zhǎng)為______．例4．（2023.重慶市八年級(jí)期中）問題情境：在等邊△ABC的兩邊AB，AC上分別有兩點(diǎn)M，N，點(diǎn)D為△ABC外一點(diǎn)，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．特例探究：如圖1，當(dāng)DM＝DN時(shí)，（1）∠MDB＝度；（2）MN與BM，NC之間的數(shù)量關(guān)系為；歸納證明：（3）如圖2，當(dāng)DM≠DN時(shí)，在NC的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E，使CE＝BM，連接DE，猜想MN與BM，NC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．拓展應(yīng)用：（4）△AMN的周長(zhǎng)與△ABC的周長(zhǎng)的比為．模型3.半角模型（-型）條件：∠BAC=，AB=AC，∠DAE=；結(jié)論：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。例1.（2023.上海七年級(jí)期中）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，點(diǎn)E、F分別在AD、AB上，且.（1）求證：；（2）連結(jié)AC，若，求度數(shù).例2．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）（1）如圖①，在四邊形中，，，，分別是邊，上的點(diǎn)，且．請(qǐng)直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系：___________；（2）如圖②，在四邊形中，，，，分別是邊，上的點(diǎn)，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)寫出證明過程；（3）在四邊形中，，，，分別是邊，所在直線上的點(diǎn)，且．請(qǐng)畫出圖形（除圖②外），并直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．例3．（2022秋·陜西延安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）【問題提出】（1）如圖①，在四邊形中，，，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且.求證：；【問題探究】（2）如圖②，在四邊形中，，，E、F分別是邊BC、CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立?若成立，請(qǐng)說明理由；若不成立，請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.例4．（2023.山東八年級(jí)期中）綜合與實(shí)踐（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝45°，則MN，AM，CN的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖2，在四邊形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，點(diǎn)M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，試探索線段MN、AM、CN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出猜想，并給予證明．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，點(diǎn)M、N分別在DA、CD的延長(zhǎng)線上，若∠MBN＝∠ABC，試探究線段MN、AM、CN的數(shù)量關(guān)系為．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2022.廣西八年級(jí)期中）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以點(diǎn)D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，連結(jié)MN，則△AMN的周長(zhǎng)是．2．（2023·廣東八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）四邊形是由等邊和頂角為的等腰排成，將一個(gè)角頂點(diǎn)放在處，將角繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，該交兩邊分別交直線、于、，交直線于、兩點(diǎn)．（1）當(dāng)、都在線段上時(shí)（如圖1），請(qǐng)證明：；（2）當(dāng)點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖2），請(qǐng)你寫出線段，和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）在（1）的條件下，若，，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)為．3．（2022·重慶市育才中學(xué)二模）回答問題（1）【初步探索】如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF=BE+FD，探究圖中∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是_______________；（2）【靈活運(yùn)用】如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF=BE+FD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；（3）【拓展延伸】知在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在CD的延長(zhǎng)線上，如圖3所示，仍然滿足EF=BE+FD，請(qǐng)直接寫出∠EAF與∠DAB的數(shù)量關(guān)系．4．（2022·江西景德鎮(zhèn)·九年級(jí)期中）（1）【特例探究】如圖1，在四邊形中，，，，，猜想并寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，證明你的猜想；（2）【遷移推廣】如圖2，在四邊形中，，，．請(qǐng)寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）【拓展應(yīng)用】如圖3，在海上軍事演習(xí)時(shí)，艦艇在指揮中心（處）北偏東20°的處．艦艇乙在指揮中心南偏西50°的處，并且兩艦艇在指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正西方向以80海里/時(shí)的速度前進(jìn)，同時(shí)艦艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/時(shí)的速度前進(jìn)，半小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)，處，且指揮中心觀測(cè)兩艦艇視線之間的夾角為75°．請(qǐng)直接寫出此時(shí)兩艦艇之間的距離．5．（2022·浙江·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖1，等腰直角三角板的一個(gè)銳角頂點(diǎn)與正方形ABCD的頂點(diǎn)A重合，將此三角板繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使三角板中該銳角的兩條邊分別交正方形的兩邊BC，DC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF．（1）猜想BE、EF、DF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（2）在圖1中，過點(diǎn)A作AM⊥EF于點(diǎn)M，請(qǐng)直接寫出AM和AB的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖2，將Rt△ABC沿斜邊AC翻折得到Rt△ADC，E，F(xiàn)分別是BC，CD邊上的點(diǎn)，∠EAF=∠BAD，連接EF，過點(diǎn)A作AM⊥EF于點(diǎn)M，試猜想AM與AB之間的數(shù)量關(guān)系．并證明你的猜想．6．（2022·湖北武漢·九年級(jí)期中）（1）如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，EF＝BE+DF，請(qǐng)你直接寫出∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數(shù)量關(guān)系：．（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，，點(diǎn)E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，EF＝BE+FD，請(qǐng)問：（1）中結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明結(jié)論．（3）若（2）中的點(diǎn)E、點(diǎn)F分別在邊CB、CD的延長(zhǎng)線上（如圖3所示），其他條件不變，則下列兩個(gè)關(guān)于∠EAF與∠BAD的關(guān)系式，哪個(gè)是正確的？請(qǐng)證明結(jié)論．①∠EAF＝∠BAD；②2∠EAF+∠BAD＝360°．7．（2023春·山東·八年級(jí)專題練習(xí)）已知，如圖1，四邊形是正方形，，分別在邊、上，且，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法．(1)在圖1中，連接，為了證明結(jié)論“”，小亮將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后解答了這個(gè)問題，請(qǐng)按小亮的思路寫出證明過程；(2)如圖2，當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí)，試探究與、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？8．（2022春·廣東廣州·八年級(jí)廣州大學(xué)附屬中學(xué)校考期末）問題：如圖（1），點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF＝45°，試判斷BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系．(1)延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G使DG＝BE，連接AG，得到至△ADG，從而可以證明EF＝BE＋FD，請(qǐng)你利用圖（1）證明上述結(jié)論．(2)如圖（2），四邊形ABCD中，，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，則當(dāng)∠EAF與∠BAD滿足______數(shù)量關(guān)系時(shí)，仍有EF＝BE＋FD，并說明理由．(3)如圖（3），在某公園的同一水平面上，四條通道圍成四邊形ABCD，已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分別有景點(diǎn)E、F．且AE⊥AD，米，現(xiàn)要在E、F之間修一條筆直道路，求這條道路EF的長(zhǎng)．9．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)校考期末）綜合與實(shí)踐（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝45°，則MN，AM，CN的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖2，在四邊形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，點(diǎn)M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，試探索線段MN、AM、CN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出猜想，并給予證明．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，點(diǎn)M、N分別在DA、CD的延長(zhǎng)線上，若∠MBN＝∠ABC，試探究線段MN、AM、CN的數(shù)量關(guān)系為．10．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）（1）如圖①，在正方形中，、分別是、上的點(diǎn)，且，連接，探究、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖②，在四邊形中，，，、分別是、上的點(diǎn)，且，此時(shí)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由．11.如圖，正方形ABCD中，∠EAF的兩邊分別與邊BC、CD交于點(diǎn)E、F，AE、AF分別交BD于點(diǎn)G、H，且∠EAF＝45°．（1）當(dāng)∠AEB＝55°時(shí)，求∠DAH的度數(shù)；（2）設(shè)∠AEB＝α，則∠AFD＝（用含α的代數(shù)式表示）；（3）求證：∠AEB＝∠AEF．12．（2022秋·山西呂梁·九年級(jí)?？计谥校┰诰毩?xí)課上，慧慧同學(xué)遇到了這樣一道數(shù)學(xué)題：如圖，把兩個(gè)全等的直角三角板的斜邊重合，組成一個(gè)四邊形ACBD，∠ACD＝30°，以D為頂點(diǎn)作∠MDN，交邊AC，BC于點(diǎn)M，N，∠MDN＝60°，連接MN．探究AM，MN，BN三條線段之間的數(shù)量關(guān)