專題04 相似三角形重要模型之一線三等角模型（原卷版）

專題04相似三角形重要模型之一線三等角模型相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。相似三角形與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時(shí)注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問(wèn)題就信心更足了．本專題就一線三等角模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1.一線三等角模型（相似模型）【模型解讀與圖示】“一線三等角”型的圖形，因?yàn)橐粭l直線上有三個(gè)相等的角，一般就會(huì)有兩個(gè)三角形的“一對(duì)角相等”，再利用平角為180°，三角形的內(nèi)角和為180°，就可以得到兩個(gè)三角形的另外一對(duì)角也相等，從而得到兩個(gè)三角形相似．1）一線三等角模型（同側(cè)型）（銳角型）（直角型）（鈍角型）條件：如圖，∠1=∠2＝∠3，結(jié)論：△ACE∽△BED.2）一線三等角模型（異側(cè)型）條件：如圖，∠1=∠2＝∠3，結(jié)論：△ADE∽△BEC.3）一線三等角模型（變異型）圖1圖2圖3①特殊中點(diǎn)型：條件：如圖1，若C為AB的中點(diǎn)，結(jié)論：△ACE∽△BED∽△ECD.②一線三直角變異型1：條件：如圖2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.結(jié)論：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一線三直角變異型2：條件：如圖3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.結(jié)論：△ABM∽△NDE∽△NCM.例1．（2023·重慶渝北·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在等邊三角形中，點(diǎn)，分別是邊，上的點(diǎn)．將沿翻折，點(diǎn)正好落在線段上的點(diǎn)處，使得．若，則的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．例2．（2023·黑龍江綏化·校聯(lián)考三模）如圖，已知正方形，為的中點(diǎn)，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接將沿折疊得，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，現(xiàn)在有如下五個(gè)結(jié)論：①一定是直角三角形；②；③當(dāng)與重合時(shí)，有；④平分正方形的面積；⑤，則正確的有（

）

A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)例3．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）[問(wèn)題背景]（1）如圖1，是等腰直角三角形，，直線過(guò)點(diǎn)，，，垂足分別為，．求證：；[嘗試應(yīng)用]（2）如圖2，，，，，三點(diǎn)共線，，，，．求的長(zhǎng)；[拓展創(chuàng)新]（3）如圖3，在中，，點(diǎn)，分別在，上，，，若，直接寫出的值為．例4．（2022?廣東中考模擬）（1）模型探究：如圖1，、、分別為三邊、、上的點(diǎn)，且，與相似嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.（2）模型應(yīng)用：為等邊三角形，其邊長(zhǎng)為，為邊上一點(diǎn)，為射線上一點(diǎn)，將沿翻折，使點(diǎn)落在射線上的點(diǎn)處，且.①如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，求的值；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)落在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，求與的周長(zhǎng)之比.例5．（2022·山西晉中·一模）閱讀材料：我們知道：一條直線經(jīng)過(guò)等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)，過(guò)另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別向該直線作垂線，即可得三垂直模型”如圖①，在中，，，分別過(guò)、向經(jīng)過(guò)點(diǎn)直線作垂線，垂足分別為、，我們很容易發(fā)現(xiàn)結(jié)論：．（1）探究問(wèn)題：如果，其他條件不變，如圖②，可得到結(jié)論；．請(qǐng)你說(shuō)明理由．（2）學(xué)以致用：如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與直線交于點(diǎn)，且兩直線夾角為，且，請(qǐng)你求出直線的解析式．（3）拓展應(yīng)用：如圖④，在矩形中，，，點(diǎn)為邊上—個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)落在點(diǎn)處，當(dāng)點(diǎn)在矩形外部時(shí)，連接，．若為直角三角形時(shí)，請(qǐng)你探究并直接寫出的長(zhǎng)．

例6．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）在中，，，點(diǎn)在所在的直線上運(yùn)動(dòng)，作（、、按逆時(shí)針方向）．（1）如圖，若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，交于．①求證：；②當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)；（2）如圖，若點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，的反向延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使是等腰三角形？若存在，求出線段的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；（3）若點(diǎn)在的反向延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，是否存在點(diǎn)，使是等腰三角形？若存在，寫出所有點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．例7．（2023秋·上海靜安·九年級(jí)上海市市北初級(jí)中學(xué)校考期末）如圖，矩形中，，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn).

(1)設(shè)，的余切值為，求關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)若存在點(diǎn)，使得、與四邊形的面積比是，試求矩形的面積；(3)對(duì)（2）中求出的矩形，聯(lián)結(jié)，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為多少時(shí)，是等腰三角形？課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)E、F分別在矩形的邊上，且，若，則的長(zhǎng)為（

）

A．12 B．13 C．14 D．152．（2023·河北滄州·?？级＃┤鐖D，在中，，，點(diǎn)D是線段上的一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)B作，分別交、于點(diǎn)E、F，與過(guò)點(diǎn)A且垂直于的直線相交于點(diǎn)G，連接，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．B．若點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，則C．當(dāng)B、C、F、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上時(shí)，D．若，則3．（2023秋·山東聊城·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方形中，是的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)，，則下列結(jié)論中正確的結(jié)論有（

）①；②；③；④圖中有3對(duì)相似三角形．

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．（2023春·安徽六安·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小穎發(fā)現(xiàn)：將三角板的直角頂點(diǎn)放在長(zhǎng)方形紙片的邊上移動(dòng)，恰好存在兩直角邊分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)，情形（如圖）．如果，，則的長(zhǎng)應(yīng)為（

）

A．1或9 B．2或8 C．3或7 D．4或65．（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，與相交于點(diǎn)G，若，則的長(zhǎng)為．6．（2023春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖．是等邊三角形，點(diǎn)D，E分別為邊，上的點(diǎn)，，若，，則的長(zhǎng)為．

7．（2023·江蘇鹽城·校聯(lián)考二模）如圖，在矩形中，，點(diǎn)E、F分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，當(dāng)為時(shí)，最大．8．（2023春·廣東深圳·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在等邊中，，，E，F(xiàn)分別為邊，上的點(diǎn)，將沿所在直線翻折，點(diǎn)A落在邊上的G點(diǎn)，得到三角形，則的面積為．

9．（2023·山西·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，，，，則CD的長(zhǎng)為______．10．（2023·安徽·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，點(diǎn)E、F分別在線段AD、DC上（點(diǎn)E與點(diǎn)A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為________11．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且．已知．(1)證明：．(2)求線段的長(zhǎng)．

12．（2023秋·安徽阜陽(yáng)·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)、分別是、邊上的點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)若，，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．

13．（2023秋·上海·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，梯形中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，射線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．

14．（2023秋·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，是矩形的邊上的一點(diǎn)，于點(diǎn)，，，．(1)求證：∽．(2)計(jì)算點(diǎn)到直線的距離為______．

15．（2023春·上海普陀·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在梯形中，，，，，點(diǎn)E是射線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），聯(lián)結(jié)，過(guò)點(diǎn)E作交射線于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)．設(shè)．(1)求的長(zhǎng)；(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；(3)如果是以為腰的等腰三角形，求的長(zhǎng)．

16．（2023秋·四川達(dá)州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）問(wèn)題提出：如圖（1），是菱形邊上一點(diǎn)，是等腰三角形，，交于點(diǎn)，探究與的數(shù)量關(guān)系．

問(wèn)題探究：(1)先將問(wèn)題特殊化，如圖（2），當(dāng)時(shí)，直接寫出的大??；(2)再探究一般情形，如圖（1），求與的數(shù)量關(guān)系．問(wèn)題拓展：(3)將圖（1）特殊化，如圖（3），當(dāng)時(shí)，若，求的值．17．（2023·四川成都·校考三模）在矩形中，，．點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，在右側(cè)作，，．

(1)如圖1，若點(diǎn)恰好落在邊上，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的值；(3)連接，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．18．（2022·湖北武漢·?？寄M預(yù)測(cè)）【試題再現(xiàn)】如圖1，中，，，直線過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)、分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則（不用證明）．(1)【類比探究】如圖2，在中