專題10 圓中的最值模型之瓜豆原理（曲線軌跡）（原卷版）

專題10圓中的最值模型之瓜豆原理（曲線軌跡）動(dòng)點(diǎn)軌跡問題是中考和各類模擬考試的重要題型，學(xué)生受解析幾何知識的局限和思維能力的束縛，該壓軸點(diǎn)往往成為學(xué)生在中考中的一個(gè)坎，致使該壓軸點(diǎn)成為學(xué)生在中考中失分的集中點(diǎn)。掌握該壓軸題型的基本圖形，構(gòu)建問題解決的一般思路，是中考專題復(fù)習(xí)的一個(gè)重要途徑。本專題就最值模型中的瓜豆原理（動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓弧型）進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。【模型解讀】模型1、運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧模型1-1.如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，Q為AP中點(diǎn)．Q點(diǎn)軌跡是？如圖，連接AO，取AO中點(diǎn)M，任意時(shí)刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．則動(dòng)點(diǎn)Q是以M為圓心，MQ為半徑的圓。模型1-2.如圖，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，當(dāng)P在圓O運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？如圖，連結(jié)AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意時(shí)刻均有△APO∽△AQM，且相似比為k。則動(dòng)點(diǎn)Q是以M為圓心，MQ為半徑的圓。模型1-3.定義型：若動(dòng)點(diǎn)到平面內(nèi)某定點(diǎn)的距離始終為定值，則其軌跡是圓或圓弧。（常見于動(dòng)態(tài)翻折中）如圖，若P為動(dòng)點(diǎn)，但AB=AC=AP，則B、C、P三點(diǎn)共圓，則動(dòng)點(diǎn)P是以A圓心，AB半徑的圓或圓弧。模型1-4.定邊對定角（或直角）模型1）一條定邊所對的角始終為直角，則直角頂點(diǎn)軌跡是以定邊為直徑的圓或圓?。鐖D，若P為動(dòng)點(diǎn)，AB為定值，∠APB=90°，則動(dòng)點(diǎn)P是以AB為直徑的圓或圓弧。2）一條定邊所對的角始終為定角，則定角頂點(diǎn)軌跡是圓弧．如圖，若P為動(dòng)點(diǎn)，AB為定值，∠APB為定值，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓弧?！灸Ｐ驮怼縿?dòng)點(diǎn)的軌跡為定圓時(shí)，可利用：“一定點(diǎn)與圓上的動(dòng)點(diǎn)距離最大值為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑之和，最小值為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑之差”的性質(zhì)求解。例1.（2023.重慶九年級期末）如圖，點(diǎn)P（3，4），圓P半徑為2，A（2.8，0），B（5.6，0），點(diǎn)M是圓P上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C是MB的中點(diǎn)，則AC的最小值是_______．例2．（2023春·湖北黃石·九年級校考階段練習(xí)）如圖，四邊形為正方形，P是以邊為直徑的上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊作等邊三角形，連接，若，則線段的最大值為．例3.（2023.浙江九年級期中）如圖，正方形ABCD中，，O是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，OE=2，連接DE，將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得DF，連接AE、CF．求線段OF長的最小值．例4．（2020·涼山州·中考真題）如圖，矩形ABCD中，AD=12，AB=8，E是AB上一點(diǎn)，且EB=3，F(xiàn)是BC上一動(dòng)點(diǎn)，若將沿EF對折后，點(diǎn)B落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)P到點(diǎn)D的最短距為．例5．（2022·湖北·武漢模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E、F分別從C、D兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)在邊BC、CD上移動(dòng)（其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一點(diǎn)也隨之停止），其中點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)速度是E的兩倍，連接AF和DE交于點(diǎn)P，由于點(diǎn)E、F的移動(dòng)，使得點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng)．若AD＝4，CD＝2，線段CP的最小值是____________．例6．（2022·安徽·三模）如圖，點(diǎn)P是邊長為6的等邊內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，連接BP，CP，AP，滿足，D為AP的中點(diǎn)，過點(diǎn)P作，垂足為E，連接DE，則DE長的最小值為（

）A．2 B． C．3 D．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2021·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，已知正方形的邊長為6，點(diǎn)F是正方形內(nèi)一點(diǎn)，連接，且，點(diǎn)E是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，則長度的最小值為________．2．（2022·湖北·武漢九年級階段練習(xí)）如圖，是的直徑，，C為的三等分點(diǎn)（更靠近A點(diǎn)），點(diǎn)P是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，取弦的中點(diǎn)D，則線段的最大值為__________．3．（2022秋·浙江杭州·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，將射線AC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α度（0α≤360°），得到射線AE，點(diǎn)M是點(diǎn)D關(guān)于射線AE的對稱點(diǎn)，則線段CM長度的最小值為．4.（2022·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，與交于點(diǎn)O，，，．點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)沿著方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)O停止運(yùn)動(dòng)．連接，點(diǎn)B關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為Q．當(dāng)點(diǎn)Q落在上時(shí)，則=，在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)Q到直線的距離的最大值為．5．（2022·江蘇無錫·?？级＃┮阎诰匦沃?，，，O為矩形的中心；在中，，，．將繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，則邊上的高為．連接，取中點(diǎn)M，連接，寫出的取值范圍．

6．（2023·安徽黃山·校考一模）如圖，在矩形中，，，是邊上一點(diǎn)，將沿直線折疊得到，作直線交線段于點(diǎn)．當(dāng)有最小值時(shí)，的長是．

7．（2023·福建福州·學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，已知正方形的邊長為3，動(dòng)點(diǎn)P滿足，將點(diǎn)P繞點(diǎn)D按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到點(diǎn)Q，連接，則的最大值是．

8．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考二模）如圖，正方形的邊長為6，正方形的邊長為，將正方形繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，和相交于點(diǎn)K，則的最大值是．連結(jié)，當(dāng)點(diǎn)C正好是的內(nèi)心時(shí)，的長是．

9．（2023·江蘇揚(yáng)州·校聯(lián)考二模）如圖，，線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別在射線、上滑動(dòng)，且，以為直角邊在點(diǎn)的異側(cè)作，且，，問滑動(dòng)過程中的最大值為．10．（2023春·河北唐山·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EG＝2，連接DE，將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF，連接CF，則線段CF長的最小值為．11．（2022秋·江蘇·九年級統(tǒng)考期中）如圖，正方形中，，是的中點(diǎn)．以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫圓，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接、，則的最小值為．12．（2023·江蘇無錫·校考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，射線滿足，點(diǎn)為射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過作軸于，過作射線交延長線于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，過作射線交軸于點(diǎn)．（1）若，則C坐標(biāo)為；（2）的最大值為．

13．（2022·廣東江門·校考一模）中，，，點(diǎn)為的對稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作與相切，與相交于點(diǎn)，那么的最大值為．14．（2022秋·山東淄博·九年級淄博市博山區(qū)第六中學(xué)?？计谀┮阎闹睆綖?cm，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，延長線交于點(diǎn)，則的最大值為cm．15．（2021·廣東梅州·統(tǒng)考一模）如圖，已知，平面內(nèi)點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離為2，連接AP，若且，連接AB，BC，則線段BC的最小值為．16．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）在中，，，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接．(1)如圖1，若，，求線段的長．(2)如圖2，以為邊在上方作等邊，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長，交的延長線于點(diǎn)．若，求證：．(3)在取得最小值的條件下，以為邊在右側(cè)作等邊．點(diǎn)為所在直線上一點(diǎn)，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到．連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，當(dāng)取最大值時(shí)，連接，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到，請直接寫出此時(shí)的值．

17．（2023春·江蘇宿遷·九年級校考開學(xué)考試）【問題呈現(xiàn)】如圖1，∠AOB=90°，OA=4，OB=5，點(diǎn)P在半徑為2的⊙O上，求的最小值．【問題解決】小明是這樣做的：如圖2，在OA上取一點(diǎn)C使得OC=1，這樣可得，又因?yàn)椤螩OP=∠POA，所以可得△COP∽△POA，所以，得所以．又因?yàn)?，所以最小值為．【思路點(diǎn)撥】小明通過構(gòu)造相似形（圖3），將轉(zhuǎn)化成CP，再利用“兩點(diǎn)之間線段”最短”求出CP+BP的最小值．【嘗試應(yīng)用】如圖4，∠AOB=60°，OA=10，OB=9，點(diǎn)P是半徑為6的⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．【能力提升】如圖5，∠ABC=120°，BA=BC=8，點(diǎn)D為平面內(nèi)一點(diǎn)且BD=3CD，連接AD，則△ABD面積的最大值為．18．（2022秋·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期中）【實(shí)驗(yàn)操作】已知線段BC＝2，用量角器作，合作學(xué)習(xí)小組通過操作、觀察、討論后發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)A的位置不唯一，它在以BC為弦的圓弧上（點(diǎn)B、C除外），小麗同學(xué)畫出了符合要求的一條圓?。▓D1）．(1)請你幫助解決小麗同學(xué)提出