專題05 勾股定理的實(shí)際應(yīng)用模型（原卷版）

專題05勾股定理的實(shí)際應(yīng)用模型勾股定理將圖形與數(shù)量關(guān)系有機(jī)結(jié)合起來，在解決實(shí)際問題和幾何應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用。運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問題的一般步驟：（1）從實(shí)際問題中抽象出幾何圖形（建模）；（2）確定要求的線段所在的直角三角形；（3）確定三邊，找準(zhǔn)直角邊和斜邊：①若已知兩邊,則根據(jù)勾股定理直接計(jì)算第3邊；②若已知一邊,則根據(jù)勾股定理列方程間接求解。（挖掘兩個(gè)未知邊之間的數(shù)量關(guān)系，設(shè)出一邊為未知數(shù)，把另一邊用含有未知數(shù)的式子表示出來）。模型1、梯子滑動(dòng)模型相關(guān)模型背景：梯子滑動(dòng)、繩子移動(dòng)等。解題關(guān)鍵：梯子的長(zhǎng)度為不變量、墻與地面垂直。梯子滑動(dòng)模型解題步驟：1）運(yùn)用勾股定理求出梯子滑動(dòng)之前在墻上或者地面上的距離；2）運(yùn)用勾股定理求出梯子滑動(dòng)之后在墻上或者地面上的距離；3）兩者相減即可求出梯子在墻上或者地面上滑動(dòng)的距離。例1．（2023秋·四川成都·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，一架長(zhǎng)2.5m的梯子AB斜靠在墻AC上，∠C＝90°，此時(shí)，梯子的底端B離墻底C的距離BC為0.7m。（1）求此時(shí)梯子的頂端A距地面的高度AC；（2）如果梯子的頂端A下滑了0.9m，那么梯子的底端B在水平方向上向右滑動(dòng)了多遠(yuǎn)？例2．（2023秋·四川成都·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，梯子頂端到地面的距離為2.4米，如果保持梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，梯子頂端到地面的距離為1.5米，則小巷的寬為（

）A．2.5米 B．2.6米 C．2.7米 D．2.8米例3．（2023秋·河南鄭州·八年級(jí)校考期末）圖中的兩個(gè)滑塊A，B由一個(gè)連桿連接，分別可以在垂直和水平的滑道上滑動(dòng)．開始時(shí)，滑塊A距O點(diǎn)20厘米，滑塊B距O點(diǎn)15厘米．問：當(dāng)滑塊A向下滑13厘米時(shí)，滑塊B滑動(dòng)了厘米．

例4．（2023秋·四川成都·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，明明在距離水面高度為5m的岸邊C處，用繩子拉船靠岸，開始時(shí)繩子BC的長(zhǎng)為13m．若明明收繩6m后，船到達(dá)D處，則船向岸A移動(dòng)了多少米？模型2、輪船航行模型相關(guān)模型背景：輪船航行等。解題關(guān)鍵：輪船航行的模型要注意兩船終點(diǎn)之間的距離通常為直角三角形的斜邊長(zhǎng)。航行模型解題步驟：1）根據(jù)航行的方位角或勾股定理逆定理判定直角三角形；2）根據(jù)航行速度和時(shí)間表示出直角三角形兩直角邊長(zhǎng)；3）根據(jù)勾股定理列方程求解航行角度、速度或距離。例1．（2023春·廣東中山·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，供給船要給C島運(yùn)送物資，從海岸線AB的港口A出發(fā)向北偏東40°方向直線航行60nmile到達(dá)C島．測(cè)得海岸線上的港口B在C島南偏東50°方向．若A，B兩港口之間的距離為65nmile，則C島到港口B的距離是nmile．例2．（2023春·陜西渭南·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，甲乙兩船從港口A同時(shí)出發(fā)，甲船以16海里/時(shí)的速度向北偏東40°航行，乙船向南偏東50°航行，小時(shí)后，甲船到達(dá)C島，乙船到達(dá)B島，若CB兩島相距17海里，問乙船的航速是多少？例2．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，甲、乙兩只捕撈船同時(shí)從港口出發(fā)捕魚，甲船以每小時(shí)千米的速度沿西偏北30°方向前進(jìn)，乙船以每小時(shí)千米的速度沿東北方向前進(jìn)，甲船航行小時(shí)到達(dá)處，于是甲船立即加速后保持勻速沿北偏東的方向追趕乙船，結(jié)果兩船在處相遇．(1)求的度數(shù)；(2)求乙船航行多少小時(shí)被甲船追上．

模型3、信號(hào)站（中轉(zhuǎn)站）選擇模型相關(guān)模型背景：信號(hào)塔、中轉(zhuǎn)站等。解題關(guān)鍵：信號(hào)塔和中轉(zhuǎn)站模型要注意兩個(gè)目的地到信號(hào)塔或中轉(zhuǎn)站的距離是相等的。信號(hào)塔、中轉(zhuǎn)站模型解題步驟：1）根據(jù)問題設(shè)出未知量（一般求誰設(shè)誰），并根據(jù)設(shè)出的未知量表示出兩個(gè)直角三角形的直角邊長(zhǎng)；2）在兩個(gè)直角三角形中分別用勾股定理表示出斜邊長(zhǎng)；3）根據(jù)斜邊長(zhǎng)相等建立方程求解。例1．（2023春·山西朔州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）根據(jù)山西省教育廳“2023年度基礎(chǔ)教育領(lǐng)域重點(diǎn)工作推進(jìn)會(huì)”要求，扎實(shí)推進(jìn)建設(shè)100所公辦幼兒園任務(wù)落實(shí)，某地計(jì)劃要在如圖所示的直線上，新建一所幼兒園，該區(qū)域有兩個(gè)小區(qū)所在的位置在點(diǎn)和點(diǎn)處，于A，于B．已知，，求該幼兒園應(yīng)該建在距點(diǎn)A為多少處，可以使兩個(gè)小區(qū)到幼兒園的距離相等．

例2．（2023·廣東汕尾·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在一棵樹（）的高處（）有兩只猴子，其中一只爬下樹走向離樹（）的池塘，而另一只則爬到樹頂（）后直撲池塘，如果兩只猴子經(jīng)過的路程相等，那么這棵樹有多高？例3．（2023春·廣東八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖鐵路上A，B兩點(diǎn)相距40千米，C，D為兩村莊，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分別為A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．現(xiàn)在要在鐵路旁修建一個(gè)煤棧E，使得C，D兩村到煤棧的距離相等，那么煤棧E應(yīng)距A點(diǎn)（）A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．無法確定模型4、臺(tái)風(fēng)（噪音）、爆破模型相關(guān)模型背景：有爆破、臺(tái)風(fēng)（噪音）等。解題關(guān)鍵：通常會(huì)用到垂線段最短的原理。臺(tái)風(fēng)、爆破模型解題步驟：1）根據(jù)勾股定理計(jì)算爆破點(diǎn)或臺(tái)風(fēng)中心到目的地的最短距離；2）將計(jì)算出的最短距離跟爆破或臺(tái)風(fēng)的影響范圍的半徑作比較；3）若最短距離大于影響半徑則不受影響，若最短距離小于半徑則受影響。例1．（2022秋·河南南陽·八年級(jí)?？计谀┠车禺a(chǎn)開發(fā)商在筆直的公路旁有一塊山地正在施工，現(xiàn)有工地一處需要小型爆破，經(jīng)測(cè)量，已知點(diǎn)與公路上的?？空镜木嚯x為30米，與公路上的另一?？空镜木嚯x為40米．且．為了安全起見，已知進(jìn)入爆破點(diǎn)周圍半徑25米范圍內(nèi)有危險(xiǎn)．問在進(jìn)行爆破時(shí)，公路段是否因有危險(xiǎn)而需要暫時(shí)封鎖？答：．例2．（2023·重慶·八年級(jí)專題練習(xí)）為了積極響應(yīng)國家新農(nóng)村建設(shè)的號(hào)召，遂寧市某鎮(zhèn)政府采用了移動(dòng)宣講的形式進(jìn)行廣播宣傳．如圖，筆直的公路的一側(cè)點(diǎn)處有一村莊，村莊到公路的距離為，假使宣講車周圍以內(nèi)能聽到廣播宣傳，宣講車在公路上沿方向行駛．(1)村莊能否聽到廣播宣傳請(qǐng)說明理由．(2)已知宣講車的速度是，如果村莊能聽到廣播宣傳，那么總共能聽多長(zhǎng)時(shí)間例3．（2023秋·重慶·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，鐵路和公路在點(diǎn)處交匯，，公路上處距離點(diǎn)240米，如果火車行駛時(shí)，火車頭周圍150米以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響，那么火車在鐵路上沿方向以72千米/小時(shí)的速度行駛時(shí)，處受到噪音影響的時(shí)間為秒．例4．（2023春·湖南八年級(jí)期中）如圖，某城市接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)，在該市正南方向的處有一臺(tái)風(fēng)中心，沿方向以的速度移動(dòng)，已知城市到的距離．（1）臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間從移動(dòng)到點(diǎn)？（2）已知在距臺(tái)風(fēng)中心的圓形區(qū)域內(nèi)都會(huì)受到不同程度的影響，若在點(diǎn)的工作人員早上6:00接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)，臺(tái)風(fēng)開始影響到臺(tái)風(fēng)結(jié)束影響要做預(yù)防工作，則他們要在什么時(shí)間段內(nèi)做預(yù)防工作？模型5、超速模型相關(guān)模型背景：有汽車超速、信號(hào)干擾、測(cè)河寬等。解題關(guān)鍵：要將速度統(tǒng)一單位后再進(jìn)行比較。超速模型解題步驟：1）根據(jù)勾股定理計(jì)算行駛的距離；2）根據(jù)行駛距離和時(shí)間求出實(shí)際行駛速度；3）比較實(shí)際行駛速度和規(guī)定速度。例1．（2023春·山東濟(jì)南·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，A中學(xué)位于南北向公路l的一側(cè)，門前有兩條長(zhǎng)度均為100米的小路通往公路l，與公路l交于B，C兩點(diǎn)，且B，C相距120米．(1)現(xiàn)在想修一條從公路l到A中學(xué)的新路（點(diǎn)D在l上），使得學(xué)生從公路l走到學(xué)校路程最短，應(yīng)該如何修路（請(qǐng)?jiān)趫D中畫出）？新路長(zhǎng)度是多少？(2)為了行車安全，在公路l上的點(diǎn)B和點(diǎn)E處設(shè)置了一組區(qū)間測(cè)速裝置，其中點(diǎn)E在點(diǎn)B的北側(cè)，且距A中學(xué)170米．一輛車經(jīng)過區(qū)間用時(shí)5秒，若公路l限速為（約），請(qǐng)判斷該車是否超速，并說明理由．

例2．（2023春·山西大同·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）小王與小林進(jìn)行遙控賽車游戲，終點(diǎn)為點(diǎn)，小王的賽車從點(diǎn)出發(fā)，以米/秒的速度由西向東行駛，同時(shí)小林的賽車從點(diǎn)出發(fā)，以米/秒的速度由南向北行駛（如圖）．已知賽車之間的距離小于或等于米時(shí)，遙控信號(hào)會(huì)產(chǎn)生相互干擾，米，米，（1）出發(fā)秒鐘時(shí)，遙控信號(hào)是否會(huì)產(chǎn)生相互干擾？（2）當(dāng)兩賽車距點(diǎn)的距離之和為米時(shí)，遙控信號(hào)是否會(huì)產(chǎn)生相互干擾？例3．（2023秋·湖南邵陽·八年級(jí)武岡市第二中學(xué)校考開學(xué)考試）如圖，某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實(shí)際上岸地點(diǎn)A偏離欲到達(dá)地點(diǎn)B相距50米，結(jié)果他在水中實(shí)際游的路程比河的寬度多10米，求該河的寬度BC為多少米？模型6、風(fēng)吹蓮動(dòng)模型相關(guān)模型背景：蓮花、蘆葦、吸管、筷子、秋千等。解題關(guān)鍵：“蓮花”高度為不變量。風(fēng)吹蓮動(dòng)模型解題步驟：1）根據(jù)問題設(shè)出“水深”或者“蓮花”的高度；2）根據(jù)題目條件表示出題目中涉及的直角三角形的另外兩條邊長(zhǎng)；3）根據(jù)勾股定理列方程求解。例1．（2023秋·廣東·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，有一個(gè)水池，水面是一邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度為（）尺．

A．10 B．12 C．13 D．14例2．（2023春·重慶渝北·八年級(jí)重慶市松樹橋中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學(xué)名著，作者是我國明代數(shù)學(xué)家程大位．在《算法統(tǒng)宗》中有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭(zhēng)蹴，終朝笑語歡嬉．良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾？”譯文：“有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地1尺，將它往前推送10尺（水平距離）時(shí)，秋千的踏板就和人一樣高，這個(gè)人的身高為5尺，秋千的繩索始終拉得很直，試問繩索有多長(zhǎng)？”設(shè)繩索的長(zhǎng)為x尺，下列方程正確的是（

）．

A．B．C．D．例3．（2023春·河南商丘·八年級(jí)校聯(lián)考期末）將一根長(zhǎng)的筷子，置于底面直徑為，高的圓柱形水杯中，如圖所示，設(shè)筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度為，則不可以是（

）

A．7 B．15 C．16 D．17模型7、折竹抵地模型相關(guān)模型背景：竹子、旗桿（風(fēng)箏）拉繩等。解題關(guān)鍵：“竹子”高度為不變量。折竹抵地模型解題步驟：1）根據(jù)問題設(shè)出“竹子”折斷之前或者折斷之后距離地面的高度；2）根據(jù)題目條件表示出題目中涉及的直角三角形的另外兩條邊長(zhǎng)；3）根據(jù)勾股定理列方程求解。例1．（2023春·山東德州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》中的“折竹抵地”問題：今有竹高二丈，末折抵地，去根九尺，問折高者幾何？意思是一根竹子，原高兩丈（一丈＝10尺），一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部9尺遠(yuǎn)，問折斷處離地面的高度是多少？設(shè)折斷后垂直地面的竹子高度為x尺，則可列方程為（

）A．B．C．D．例2．（2023春·陜西渭南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，在一次暴風(fēng)雨后，一棵大樹從離地面處被折斷，經(jīng)測(cè)量樹的頂端與地面的接觸點(diǎn)A離樹根部C的距離，若在該樹正上方離地面處有高壓電線，請(qǐng)判斷該樹在折斷前是否接觸到電線？并說明你的理由．

例3．（2023春·湖北黃石·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）八（3）班松松同學(xué)學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了計(jì)算如圖所示的風(fēng)箏高度，測(cè)得如下數(shù)據(jù)：①測(cè)得的長(zhǎng)度為；②根據(jù)手中剩余線的長(zhǎng)度計(jì)算出風(fēng)箏線的長(zhǎng)為；③松松身高為．若松松同學(xué)想使風(fēng)箏沿方向下降，則他應(yīng)該往回收線（

）米．A．7 B．8 C． D．模型8、不規(guī)則圖形面積模型相關(guān)模型背景：有草坪面積、土地面積、網(wǎng)格等。解題關(guān)鍵：一般所求圖形面積為不規(guī)則的四邊形，要注意轉(zhuǎn)換為兩個(gè)直角三角形的面積進(jìn)行求解。面積模型解題步驟：1）連接兩點(diǎn)作輔助線，將四邊形分為兩個(gè)直角三角形；2）根據(jù)已知條件運(yùn)用勾股定理求出所連線段長(zhǎng)度；3）運(yùn)用勾股定理逆定理判定另一個(gè)三角形為直角三角形；4）分別求出兩個(gè)直角三角形的面積相加或相減即為所求四邊形面積。例1．（2022·四川廣元·八年級(jí)期末）如圖，四邊形是我縣某校在校園一角開辟的一塊四邊形的“試驗(yàn)田”，經(jīng)過測(cè)量得知．求四邊形的面積．例2．（2022·天津河西·八年級(jí)期末）如圖，將平面直角坐標(biāo)系放在所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，．(1)寫出另兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求此三角形的周長(zhǎng)；(3)的面積為______．例3．（2022·江西宜春·八年級(jí)期中）在學(xué)習(xí)了勾股定理后，數(shù)學(xué)興使小組在江老師的引導(dǎo)下，利用正方形網(wǎng)格和勾股定理運(yùn)用構(gòu)圖法進(jìn)行了一系列探究活動(dòng)：(1)在中，、、三邊的長(zhǎng)分別為、、，求的面積．如圖1，在正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1）中，畫出格點(diǎn)（即三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處），不需要求的高，借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積，這種方法叫做構(gòu)圖法．則的面積為___________．(2)在平面直角坐標(biāo)系中，①若點(diǎn)A為，點(diǎn)B為，則線段的長(zhǎng)為___________；②若點(diǎn)A為，點(diǎn)B為，則線段的長(zhǎng)可表示為__________∶(3)在圖2中運(yùn)用構(gòu)圖法畫出圖形，比較大?。篲______（填“>”或“<”）；(4)若三邊的長(zhǎng)分別為、、（，．且），請(qǐng)?jiān)谌鐖D3的長(zhǎng)方形網(wǎng)格中（設(shè)每個(gè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為m，寬為n），運(yùn)用構(gòu)圖法畫出，并求出它的面積（結(jié)果用m，n表示）．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·重慶·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D是一個(gè)圓柱形飲料罐，底面半徑是，高是，上底面中心有一個(gè)小圓孔，則一條長(zhǎng)的直吸管露在罐外部分的長(zhǎng)度（罐壁的厚度和小圓孔的大小忽略不計(jì)）范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023·河南信陽·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）某數(shù)學(xué)興趣小組開展了關(guān)于筆記本電腦的張角大小的實(shí)踐探究活動(dòng)．如圖，當(dāng)張角為時(shí)，頂部邊緣B處離桌面的高度為7cm，此時(shí)底部邊緣A處與C處間的距離為24cm，小組成員調(diào)整張角的大小繼續(xù)探究，最后發(fā)現(xiàn)當(dāng)張角為時(shí)（點(diǎn)D是點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），頂部邊緣D處到桌面的距離為15cm，則底部邊緣A處與E之間的距離為（

）

A．20cm B．18cm C．12cm D．10cm4．（2023春·山西陽泉·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，有一只喜鵲在一棵高的小樹上覓食，它的巢筑在與該樹水平距離（）為的一棵高的大樹上，喜鵲的巢位于樹頂下方的處，當(dāng)它聽到巢中幼鳥的叫聲，立即飛過去，如果它飛行的速度為，那么它要飛回巢中所需的時(shí)間至少是(

)

A． B． C． D．5．（2023·廣西賀州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖在一個(gè)高為3米，長(zhǎng)為5米的樓梯表面鋪地毯，則地毯至少需要（

）．

A．3米 B．4米 C．5米 D．7米6．（2022·廣東中山·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，有一個(gè)長(zhǎng)方體池子，底面是邊長(zhǎng)為丈（1丈＝10尺）的正方形，中間有蘆葦，把高出水面2尺的蘆葦拉向池邊（蘆葦沒有折斷），剛好貼在池邊上，則蘆葦長(zhǎng)尺．

7．（2023·四川巴中·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在離水面高度為8米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時(shí)繩子BC的長(zhǎng)為17米，幾分鐘后船到達(dá)點(diǎn)D的位置，此時(shí)繩子CD的長(zhǎng)為10米，問船向岸邊移動(dòng)了米．8．（2022秋·陜西西安·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，露在水面的魚線長(zhǎng)為3m，釣魚者把魚竿提起到的位置，此時(shí)露在水面上的魚線長(zhǎng)為4m，若的長(zhǎng)為1m，則釣魚竿的長(zhǎng)為m．9．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）在筆直的鐵路上、兩點(diǎn)相距，、為兩村莊，，，于，于，現(xiàn)要在上建一個(gè)中轉(zhuǎn)站，使得、兩村到站的距離相等．則應(yīng)建在距？10．（2023·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，一架長(zhǎng)為米的梯子斜立在一豎直的墻上，這時(shí)梯子的底端距離墻角處米，如果梯子頂端沿墻下滑米，梯子的底端沿水平方向滑動(dòng)米．

11．（2023春·山西大同·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，兩艘輪船和分別從港口出發(fā)，輪船以4海里/時(shí)的速度向東北方向航行，輪船以3海里/時(shí)的速度從港口出發(fā)向東南方向航行，行駛5個(gè)小時(shí)后，兩船的距離為海里．

12．（2023秋·山東威?！て吣昙?jí)統(tǒng)考期末）蕩秋千是中國古代北方少數(shù)民族創(chuàng)造的一種運(yùn)動(dòng)．小亮想利用所學(xué)的勾股定理的知識(shí)測(cè)算公園里一架秋千的繩索AB的長(zhǎng)度．如圖．他發(fā)現(xiàn)秋千靜止時(shí)，秋千踏板離地面的垂直高度，將踏板往前推送，使秋千繩索到達(dá)D的位置，測(cè)得推送的水平距離為6m，即．此時(shí)秋千踏板離地面的垂直高度．那么，繩索的長(zhǎng)度為m．13．（2023春·山東濟(jì)南·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，小霞將升旗的繩子拉到旗桿底端，并在繩子上打了一個(gè)結(jié)，然后將繩子拉到離旗桿底端12米處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子底端距離打結(jié)處約6米，則滑輪到地面的高度為米．

14．（2023春·四川南充·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D由于臺(tái)風(fēng)的影響，一棵樹在離地面處折斷，樹頂落在離樹干底部處，則這棵在折斷前（不包括樹根）長(zhǎng)度是．

15．（2023·浙江杭州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，小明家（A）在小亮家（B）的正北方，某日，小明與小亮約好去圖書館（D），一小明行走的路線是A→C→D，小亮行走的路線是B→C→D，已知，，，，已知小明騎自行車速度為akm/分鐘，小亮走路，速度為0.1km分鐘。小亮出發(fā)20分鐘后小明再出發(fā)，若小明在路上遇到小亮，則帶上小亮一起去圖書館，為了使小亮能坐上小明的順風(fēng)車，則a的取值范圍是。16．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻壁，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻角的距離為2米，頂端距離地面1.5米．若梯子底端位置保持不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，頂端距離地面2.4米，則小巷的寬度為米．

17．（2022·浙江麗水·七年級(jí)期末）如圖，方格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1．(1)求圖①中正方形的面積．(2)在圖②中畫一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，使它的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上．18．（2023秋·廣東·八年級(jí)專題練習(xí)）《九章算術(shù)》是古代東方數(shù)學(xué)代表作，書中記載：今有開門去閫（門檻）一尺，不合四寸，問門廣幾何？其大意：如圖，推開雙門（大小相同），雙門間隙寸，點(diǎn)C、點(diǎn)D與門檻的距離尺（1尺=10寸），O是的中點(diǎn)，連接．(1)求的長(zhǎng)，(2)求門檻的長(zhǎng)．19．（2023春·遼寧葫蘆島·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，一艘輪船航行到B處時(shí)，測(cè)得小島A在船的北偏東60°的方向上，輪船從B處繼續(xù)向正東方向航行100海里到達(dá)C處時(shí)，測(cè)得小島A在船的北偏東30°的方向上．在小島A處周圍80海里范圍內(nèi)均有暗礁，小船繼續(xù)向正東方向航行是否有觸礁危險(xiǎn)？請(qǐng)說明理由．

20．（2023春·吉林四平·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，某海濱浴場(chǎng)岸邊A處救生員發(fā)現(xiàn)海中的處有人求救，救生員沒有直接從處游向處，而是沿岸邊自A處跑到離處最近的點(diǎn)，然后從點(diǎn)游向處，經(jīng)測(cè)量，，若救生員在岸邊行進(jìn)的速度是，在海中行進(jìn)的速度是，請(qǐng)分析救生員的選擇合理嗎？

21．（2023春·山東聊城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）燕塔廣場(chǎng)視野開闊，阻擋物少，成為不少市民放風(fēng)箏的最佳場(chǎng)所，某校八年級(jí)的王明和孫亮兩位同學(xué)在學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測(cè)得風(fēng)箏的垂直高度，他們進(jìn)行了如下操作：①測(cè)得的長(zhǎng)度為8米；（注：）；②根據(jù)手中剩余線的長(zhǎng)度計(jì)算出風(fēng)箏線的長(zhǎng)為17米；③牽線放風(fēng)箏的王明身高米；(1)求風(fēng)箏的垂直高度．(2)若王明同學(xué)想讓風(fēng)箏沿方向下降9米，則他應(yīng)該往回收線多少米？22．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，一根垂直于地面的旗桿高，因刮大風(fēng)旗桿從點(diǎn)處折斷，頂部著地且離旗桿底部的距離．(1)求旗桿折斷處點(diǎn)距離地面的高度；(2)工人在修復(fù)的過程中，發(fā)現(xiàn)在折斷點(diǎn)的下方的點(diǎn)處，有一明顯裂痕，若下次大風(fēng)將修復(fù)好的旗桿從點(diǎn)處吹斷，旗桿的頂點(diǎn)落在水平地面上的處，形成一個(gè)直角，請(qǐng)求出的長(zhǎng)．23．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在一條繃緊的繩索一端系著一艘小船，河岸上一男孩拽著繩子另一端向右走，繩端從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)，同時(shí)小船從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)，且繩長(zhǎng)始終保持不變，回答下列問題：(1)根據(jù)題意，可知________（填“”“”“”）；(2)若米，米，米，求男孩需向右移動(dòng)的距離（結(jié)果保留根號(hào)）．24．（2023·陜西西安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，公路AB和公路CD在點(diǎn)P處交匯，點(diǎn)E處有一所學(xué)校，EP＝160米，點(diǎn)E到公路AB的距高EF＝80米，假若拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍100米內(nèi)會(huì)受到噪音影響，那么拖拉機(jī)在公路AB上沿方向行駛時(shí)，學(xué)校是否受到影響，請(qǐng)說明理由；如果受到影響，已知拖拉機(jī)的速度是18千米/小時(shí)，那么學(xué)校受到影響的時(shí)間為多少？25．（2023春·湖北襄陽·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，鐵路上A，B兩點(diǎn)相距，C，D為兩村莊，于點(diǎn)A，于點(diǎn)B，已知，，現(xiàn)在要在鐵路上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)建在離A站多少處？

25．（2023·山西太原·八年級(jí)統(tǒng)考期中）根據(jù)道路交通管理?xiàng)l例的規(guī)定，在某段筆直的公路l上行駛的車輛，限速60千米/時(shí)．已知測(cè)速點(diǎn)M到測(cè)速區(qū)間的端點(diǎn)A，B的距離分別為50米、34米，M距公路l的距離（即MN的長(zhǎng)）為30米．現(xiàn)測(cè)得一輛汽車從A到B所用的時(shí)間為5秒，通過計(jì)算判斷此車是否超速．26．（2023春·山東德州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，甲乙兩船同時(shí)從A港出發(fā)，甲船沿北偏東35°的方向，航速是12海里/時(shí)，2小時(shí)后，兩船同時(shí)到達(dá)了目的地．若C、B兩島的距離為30海里，問乙船的航速是多少？27．（2023秋·四川·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，一架長(zhǎng)為5米的梯子AB斜靠在與地面OM垂直的墻ON上，梯子底端距離