數(shù)學學案：第三講三排序不等式

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精三排序不等式1．掌握排序不等式的推導和證明過程．2．會利用排序不等式解決簡單的不等式問題．1．基本概念設a1＜a2＜a3＜…＜an，b1＜b2＜b3＜…＜bn是兩組實數(shù)，c1，c2，c3，…,cn是數(shù)組b1，b2,…，bn的任何一個排列，則S1＝a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1叫做數(shù)組（a1，a2，…，an)和(b1,b2,…，bn）的______和;S2＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn叫做數(shù)組（a1，a2，…，an）和（b1，b2,…，bn）的______和；S＝a1c1＋a2c2＋…＋ancn叫做數(shù)組（a1，a2，…，an)和(b1,b2,…,bn)2．排序原理或排序不等式設a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn為兩組實數(shù),c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列,則__________________≤______________________≤____________________.當且僅當________________或____________________時，反序和等于順序和．分析題目時要找到原始的兩組實數(shù)．【做一做1－1】設a1，a2,…，an為實數(shù)，b1,b2，…，bn是a1，a2，…，an的任一排列，則乘積a1b1＋a2b2＋…＋anbn不小于________．【做一做1－2】已知a，b，c為正數(shù)，P＝eq\f（b2c2＋c2a2＋a2b2,a＋b＋c）,Q＝abc，則P，Q的大小關系是（）A．P＞Q B．P≥Q C．P＜Q D．P≤Q答案:1．反序順序亂序2．a(chǎn)1bn＋a2bn－1＋…＋anb1a1c1＋a2c2＋…＋ancna1b1＋a2b2＋…＋anbna1＝a2＝…＝anb1＝b2＝…【做一做1－1】a1an＋a2an－1＋…＋ana1【做一做1－2】D取兩組實數(shù)（b2c，c2a,a2b）和(a,b，c則順序和為ab2c＋abc2＋a2bc＝abc（a＋b＋c），亂序和為b2c2＋a2c2＋a2由排序不等式得abc(a＋b＋c)≥b2c2＋a2c2＋a2b即abc≥eq\f（b2c2＋a2c2＋a2b2,a＋b＋c).1．對排序不等式的證明的正確理解剖析：在排序不等式的證明中，用到了“探究——猜想——檢驗——證明”的思維方法，這是探索新知識、新問題常用到的基本方法，對于數(shù)組涉及的“排序”及“乘積”的問題,又使用了“一一搭配”這樣的描述，這實質上也是使用最接近生活常識的處理問題的方法，所以可以結合像平時班級排隊等一些常識的事例來理解．對于出現(xiàn)的“逐步調整比較法”，則要引起注意，研究數(shù)組這種帶“順序”的乘積的和的問題時，這種方法對理解相關問題時是比較簡單易懂的．2．排序原理的思想剖析：在解答數(shù)學問題時，常常涉及一些可以比較大小的量，它們之間并沒有預先規(guī)定大小順序,那么在解答問題時,我們可以利用排序原理的思想方法,將它們按一定順序排列起來，繼而利用不等關系來解題．因此，對于排序原理，我們要記住的是處理問題的這種思想及方法，同時要學會善于利用這種比較經(jīng)典的結論來處理實際問題．題型一構造數(shù)組利用排序不等式證明【例1】設a,b，c都是正數(shù)，求證：eq\f(bc，a)＋eq\f(ca,b)＋eq\f(ab,c)≥a＋b＋c。分析：不等式的左邊，可以分為數(shù)組ab，ac,bc和eq\f（1，c)，eq\f(1，b),eq\f(1，a），排出順序后，可利用排序原理證明．反思：要利用排序原理解答相關問題,必須構造出相應的數(shù)組，并且要排列出大小順序,因此比較出數(shù)組中的數(shù)之間的大小關系是解答問題的關鍵和基礎．題型二需要對不等式中所給字母的大小順序作出假設的情況【例2】設a，b,c為正數(shù),求證：eq\f(a2＋b2,2c)＋eq\f(b2＋c2，2a)＋eq\f(c2＋a2，2b）≤eq\f(a3，bc)＋eq\f(b3，ca)＋eq\f(c3，ab).分析:解答本題時不妨先設定0＜a≤b≤c，再利用排序不等式加以證明．反思：在排序不等式的條件中需要限定各數(shù)值的大小關系，對于沒有給出大小關系的情況，要限定一種大小關系．答案：【例1】證明：由題意不妨設a≥b≥c＞0，由不等式的單調性，知ab≥ac≥bc，eq\f（1，c)≥eq\f(1，b）≥eq\f(1，a).由排序原理，知ab×eq\f(1,c）＋ac×eq\f(1,b)＋bc×eq\f(1,a)≥ab×eq\f(1,b）＋ac×eq\f（1，a）＋bc×eq\f(1，c）,即所證不等式eq\f（bc,a）＋eq\f（ca,b）＋eq\f（ab,c)≥a＋b＋c成立．【例2】解：不妨設0＜a≤b≤c，則a3≤b3≤c3.0＜eq\f(1，bc)≤eq\f(1，ca)≤eq\f(1,ab)，由排序原理：亂序和≤順序和，得a3·eq\f（1，ca）＋b3·eq\f(1,ab)＋c3·eq\f（1，bc)≤a3·eq\f（1，bc）＋b3·eq\f（1，ca）＋c3·eq\f（1，ab），①a3·eq\f（1,ab）＋b3·eq\f（1,bc）＋c3·eq\f(1，ca)≤a3·eq\f(1,bc）＋b3·eq\f(1,ca)＋c3·eq\f(1,ab）.②將①②兩式相加，得eq\f(a2＋b2,c)＋eq\f(b2＋c2，a)＋eq\f（c2＋a2,b)≤2（eq\f(a3,bc）＋eq\f(b3，ca)＋eq\f(c3,ab))，將不等式兩邊除以2，得eq\f(a2＋b2,2c)＋eq\f（b2＋c2，2a）＋eq\f(c2＋a2,2b）≤eq\f(a3,bc）＋eq\f（b3,ca）＋eq\f(c3,ab）。1．已知兩組數(shù)a1≤a2≤a3≤a4≤a5，b1≤b2≤b3≤b4≤b5，其中a1＝2，a2＝7，a3＝8，a4＝9，a5＝12，b1＝3，b2＝4，b3＝6，b4＝10，b5＝11，將bi(i＝1,2,3，4，5)重新排列記為c1,c2，c3,c4,c5，則a1c1＋a2c2＋…＋a5cA．132,6 B．304,212 C．22,6 D．2設正實數(shù)a1，a2，a3的任一排列為a1′，a2′，a3′，則的最小值為(）A．3 B．6 C．9 D．3．設a1，a2,a3為正數(shù)，E＝,F＝a1＋a2＋a3，則E，F(xiàn)的大小關系是（)A．E＜F B．E≥F C．E＝F D．E≤F4．某班學生要開聯(lián)歡會,需要買價格不同的禮品4件，5件和2件．現(xiàn)在選擇商店中單價分別為3元,2元和1元的禮品，則至少要花________元，最多要花________元．5．設a，b都是正數(shù)，求證：≥.答案：1．B2。A3．B不妨設a1≥a2≥a3＞0,于