數(shù)學(xué)學(xué)案：第三章第節(jié)歸納與類比（第2課時）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1。2類比推理1．理解類比推理的概念，能利用類比推理進(jìn)行簡單的推理，掌握類比推理解決問題的思維過程．2．理解合情推理的含義，體會并認(rèn)識合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用．1．兩類不同對象具有某些類似的特征，在此基礎(chǔ)上,根據(jù)一類對象的其他特征，推斷另一類對象也具有類似的其他特征，我們把這種推理過程稱為__________．類比推理是數(shù)學(xué)命題來源的另一條途徑，也是知識推廣的思維過程．學(xué)習(xí)立體幾何常常通過類比平面幾何,發(fā)現(xiàn)和得到一些立體幾何的結(jié)論．2．類比推理是兩類事物______之間的推理，根據(jù)解決問題的需要，可對______、______、______進(jìn)行類比．兩類事物有一定的相似之處，可以是實數(shù)與向量、實數(shù)與復(fù)數(shù)、圓與球、平面幾何與立體幾何，也可以是不同的圓錐曲線．?dāng)?shù)學(xué)的許多分支都有相通之處,也有可類比之處，這有助于我們研究一些陌生的問題，但利用類比推理得出的結(jié)論不一定正確，還需要嚴(yán)格的推理證明．這一點(diǎn)與歸納推理類似．【做一做】類比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等"的性質(zhì)，可推知正四面體有下列性質(zhì)：①各棱長相等，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等;②各個面都是全等的正三角形,相鄰兩個面所成的二面角都相等;③各個面都是全等的正三角形，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等．其中正確的是（)．A．① B．①② C．①②③ D．③3．歸納推理和類比推理是最常見的________．________是根據(jù)實驗和實踐的結(jié)果、個人的經(jīng)驗和直覺、已有的事實和正確的結(jié)論（定義、公理、定理等），推測出某些結(jié)果的推理方式．歸納推理與類比推理都是合情推理．歸納推理是從特殊過渡到一般的思想方法,類比推理是由此及彼和由彼及此的聯(lián)想方法，歸納和類比離不開觀察、分析、對比、聯(lián)想，許多數(shù)學(xué)知識都是通過歸納與類比發(fā)掘出來的．學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時要注意培養(yǎng)自己的觀察能力、分析能力、聯(lián)想能力和創(chuàng)新能力．合情推理只是一種猜測，結(jié)論不一定正確．答案：1．類比推理2．特征概念結(jié)論方法【做一做】C3．合情推理合情推理1．類比推理的使用范圍剖析：類比推理是根據(jù)兩類不同對象在某些方面的相似之處，推測出這兩類對象在其他方面也可能有相似之處．兩類事物的相似性或共同性是類比推理的前提，一般來說，類比的兩類事物的相似性越多，相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間越相關(guān),得出的結(jié)論可靠性越大．2．合情推理的過程剖析:合情推理是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想，要合乎情理地進(jìn)行推理,充分挖掘已有的事實，尋找規(guī)律或類比．其過程為eq\x(\a\al（從具體問,題出發(fā)）)→eq\x（\a\al（觀察、分析、，比較、聯(lián)想)）→eq\x(歸納、類比）→eq\x(提出猜想）.3．對合情推理是科學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的基礎(chǔ)這一問題的理解剖析：數(shù)學(xué)真理知識的發(fā)現(xiàn)、發(fā)掘和推陳出新是在前面知識的基礎(chǔ)上，通過對特殊實例的觀察、分析、歸納、抽象概括和運(yùn)用探索性推理得到的．合情推理通常是靠猜想與聯(lián)想等心智活動串聯(lián)起來．這種心智活動形式能導(dǎo)致人們作出新的判斷和預(yù)見，能幫助發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真理，包括發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)論、新的數(shù)學(xué)方法及數(shù)學(xué)命題等，但它畢竟是一種非邏輯的思維形式，屬于“發(fā)散思維”范疇，當(dāng)然并不能用以精確地建立數(shù)學(xué)命題和理論，要證明命題或定理,還需運(yùn)用嚴(yán)格的邏輯分析加以證明．題型一等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的類比【例題1】已知一個等差數(shù)列{an｝，其中a10＝0,則有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(1≤n＜19，n∈N＋)．一個等比數(shù)列｛bn｝，其中b15＝1，類比等差數(shù)列｛an｝有何結(jié)論？分析：在等差數(shù)列｛an｝中，a10＝0，則以a10為等差中項的項和為0，如a9＋a11＝a8＋a12＝…＝a2＋a18＝a1＋a19＝0，而在等比數(shù)列{bn}中,b15＝1，類似地有b1b29＝b2b28＝…＝b14b16＝1，從而類似的總結(jié)規(guī)律應(yīng)為各項之積．反思:本題考查了等差中項、等比中項和等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及觀察判斷、猜想類比的能力．對于等差數(shù)列、等比數(shù)列有許多類似的性質(zhì)，可結(jié)合定義進(jìn)行類比．題型二平面幾何與立體幾何之間的類比【例題2】六個面都是平行四邊形的四棱柱稱為平行六面體,在?ABCD中，有AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2），那么在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，ACeq\o\al（2,1)＋BDeq\o\al(2，1）＋CAeq\o\al（2,1)＋DBeq\o\al(2,1）等于（)．A．2（AB2＋AD2＋AAeq\o\al(2，1）) B．3(AB2＋AD2＋AAeq\o\al（2,1）)C．4(AB2＋AD2＋AAeq\o\al(2,1）） D．4（AB2＋AD2)反思：由平面幾何發(fā)展到空間立體幾何，往往有許多相似之處，有許多結(jié)論可以進(jìn)行類比得到，只不過是由二維變成三維而已．題型三不等式結(jié)論的類比【例題3】若a1，a2∈R＋，則有不等式eq\f(a\o\al（2,1）＋a\o\al(2,2），2)≥eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(a1＋a2，2)）)2成立，此不等式能推廣嗎?如果能，請你至少寫出兩個不同類型的推廣．分析：注意觀察不等式兩邊的結(jié)構(gòu)，兩個數(shù)的平方，若三個數(shù)、四個數(shù)、n個數(shù)怎樣變化呢？若次數(shù)為三次、四次、n次又怎樣變化呢？注意思維要發(fā)散．反思:像這樣的類比推廣問題，可采用縱、橫推廣法,如本例中，第一種類型是從個數(shù)上進(jìn)行推廣--橫向推廣；第二種類型是從指數(shù)上進(jìn)行推廣——縱向推廣;第三種類型則是縱、橫綜合推廣．題型四圓錐曲線中的類比【例題4】有對稱中心的曲線叫作有心曲線，顯然,橢圓、雙曲線都是有心曲線．過有心圓錐曲線中心的弦叫作有心圓錐曲線的直徑．定理:過圓x2＋y2＝r2(r＞0）上異于直徑兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)與這條直徑的兩個端點(diǎn)連線，則兩條連線所在直線的斜率之積為定值－1.(1）寫出定理在橢圓eq\f(x2，a2）＋eq\f(y2，b2)＝1（a＞b＞0）中的推廣;(2)寫出定理在雙曲線eq\f（x2,a2）－eq\f（y2,b2)＝1（a＞0,b＞0）中的推廣，你能從上述結(jié)論中得到有心圓錐曲線（包括圓、橢圓、雙曲線)的一般性結(jié)論嗎?請寫出你的結(jié)論．分析：本題引進(jìn)了新概念．在理解新概念的基礎(chǔ)上，利用類比推理和歸納推理得出一般性的結(jié)論．反思:在類比時，要注意相同之處,并抓住差異進(jìn)行合理的類比．圓中的斜率之積為－1，但橢圓、雙曲線中，x2，y2項的系數(shù)不同，所以斜率之積不再是－1，而是－eq\f(b2，a2）,eq\f(b2,a2)。從而歸納出Ax2＋By2＝1的一般性結(jié)論只與x2,y2項的系數(shù)有關(guān)．答案：【例題1】解：∵在等差數(shù)列{an｝中，a10＝0,∴a1＋a19＝a2＋a18＝…＝a8＋a12＝a9＋a11＝0,即1≤n＜19時,a19－n＋an＋1＝0,a18－n＋an＋2＝0,a17－n＋an＋3＝0，……∴a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋a19－n。在等比數(shù)列｛bn｝中，∵b15＝1，∴b1b29＝b2b28＝…＝b14b16＝1，即b29－nbn＋1＝b28－nbn＋2＝…＝b14b16＝1.∴b1b2…bn＝b1b2…b29－n（1≤n＜29，n∈N＋)．【例題2】C如圖所示,四邊形AA1C1C和BB1D1D也都是平行四邊形，從而有ACeq\o\al(2,1）＋CAeq\o\al（2，1)＝2（AC2＋AAeq\o\al（2,1))，BDeq\o\al(2，1）＋DBeq\o\al(2，1）＝2（BD2＋BBeq\o\al(2,1）)，所以ACeq\o\al（2,1)＋CAeq\o\al（2，1)＋BDeq\o\al（2,1）＋DBeq\o\al(2,1)＝2(AC2＋BD2)＋4AAeq\o\al（2，1）＝4（AB2＋AD2＋AAeq\o\al(2，1）)．【例題3】解：第一種類型：eq\f（a\o\al（2,1)＋a\o\al(2，2)＋a\o\al(2,3），3)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(a1＋a2＋a3，3))）2，eq\f（a\o\al（2,1）＋a\o\al（2,2)＋a\o\al（2,3）＋a\o\al(2，4）,4)≥eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(a1＋a2＋a3＋a4，4）))2，……eq\f(a\o\al（2,1）＋a\o\al(2，2）＋…＋a\o\al(2，n),n)≥eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(a1＋a2＋a3＋…＋an,n）））2.第二種類型：eq\f(a\o\al(3,1)＋a\o\al（3，2）,2）≥eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(a1＋a2,2）))3，eq\f（a\o\al（4，1)＋a\o\al(4，2)，2）≥eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（a1＋a2，2)))4,……eq\f（a\o\al(n，1)＋a\o\al(n,2)，2）≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a1＋a2,2)））n。第三種類型：eq\f(a\o\al（3，1)＋a\o\al（3，2）＋a\o\al(3,3)，3）≥eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(a1＋a2＋a3，3)）)3，eq\f（a\o\al（4,1）＋a\o\al（4,2)＋a\o\al(4，3)＋a\o\al（4，4)，4)≥eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（a1＋a2＋a3＋a4,4)))4……eq\f(a\o\al(n,1）＋a\o\al（n,2）＋…＋a\o\al（n，n）,n)≥eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(a1＋a2＋…＋an，n)））n.【例題4】解：(1)在橢圓中的推廣：過橢圓eq\f（x2，a2)＋eq\f(y2，b2)＝1(a＞b＞0)上異于直徑兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)與這條直徑的兩個端點(diǎn)連線，則兩條連線所在直線的斜率之積為定值－eq\f(b2，a2）.（2)在雙曲線中的推廣：過雙曲線eq\f(x2,a2）－eq\f(y2，b2）＝1（a＞0,b＞0)上異于直徑兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)與這條直徑的兩個端點(diǎn)連線，則兩條連線所在直線的斜率之積為定值eq\f（b2，a2).在有心圓錐曲線中的推廣：過有心圓錐曲線Ax2＋By2＝1（AB≠0)上異于直徑兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)與這條直徑的兩個端點(diǎn)連線，則兩條連線所在直線的斜率之積為定值－eq\f（A，B)。1平面內(nèi)平行于同一條直線的兩條直線平行，由類比思想，我們可以得到（）．A．空間中平行于同一條直線的兩條直線平行B．空間中平行于同一個平面的兩條直線平行C．空間中平行于同一條直線的兩個平面平行D．空間中平行于同一個平面的兩個平面平行答案：D一般來說平面幾何中的線要類比到空間中的平面，所以雖然選項A中結(jié)果正確，卻不能算作類比結(jié)果．2等比數(shù)列｛an｝滿足:m,n，p，q∈N＋，若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq.由類比推理可得｛an｝為等差數(shù)列，若m＋n＝p＋q,則（）．A．a(chǎn)m·an＝ap·aq B．a(chǎn)m＋an＝ap＋aqC. D．a(chǎn)m－an＝ap－aq答案：B3下面類比推理所得結(jié)論正確的是______．①由（a＋b)2＝a2＋2ab＋b2類比得(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；②由｜a｜＝｜b|?a＝±b（a，b∈R)類比得|a|＝｜b|?a＝±b;③由ax＋y＝ax·ay（a∈R)類比得sin（α＋β）＝sinα·sinβ;④由(ab)c＝a(bc）（a，b，c∈R)類比得(a·b)·c＝a·（b·c）．答案:①逐一進(jìn)行判斷．①正確，向量的數(shù)量積運(yùn)算就按多項式乘法法則運(yùn)算．②不正確，向量既有大小,又有方向，大小相等不能說明方向相同或相反．③由兩角和的三角函數(shù)公式可知不正確．④向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律．這是因為a·b∈R，b·c∈R，但a與c不一定共線，(a·b)·c∥c，a·（b·c)∥a，所以不一定成立．4若數(shù)列{an}（n∈N＋）是等差數(shù)列，則通項公式為（n∈N＋)的數(shù)列{bn｝也是等差數(shù)列．類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：若數(shù)列｛cn｝(n∈N＋）是等比數(shù)列，且cn＞0，則通項公式為dn＝______（n∈N＋）的數(shù)列{dn}也是等比數(shù)列．答案：等差數(shù)列中由a1＋an＝a2＋an－1＝…，得，仍為等差數(shù)列．而等比