新高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)專題28函數(shù)的零點(diǎn)的問(wèn)題專題練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題28函數(shù)的零點(diǎn)的問(wèn)題一、題型選講題型一、函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷與證明可將零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成方程，進(jìn)而通過(guò)構(gòu)造函數(shù)將方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圖像交點(diǎn)問(wèn)題，并作出函數(shù)圖像。作圖與根分布綜合的題目，其中作圖是通過(guò)分析函數(shù)的單調(diào)性和關(guān)鍵點(diǎn)來(lái)進(jìn)行作圖，在作圖的過(guò)程中還要注意漸近線的細(xì)節(jié)，從而保證圖像的準(zhǔn)確。例1、(2019蘇州三市、蘇北四市二調(diào)）定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x＋4)＝f(x)，且在區(qū)間[2，4)上則函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為變式1、【2019年高考全國(guó)Ⅱ卷理數(shù)】已知函數(shù).（1）討論f(x)的單調(diào)性，并證明f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；變式2、【2020年高考浙江】已知，函數(shù)，其中e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）證明：函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)；題型二、函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題中參數(shù)的范圍已知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，確定參數(shù)的取值范圍，常用的方法和思路：(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍．(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決，解法2就是此法．它的本質(zhì)就是將函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)靜函數(shù)與一個(gè)動(dòng)函數(shù)的圖像的交點(diǎn)問(wèn)題來(lái)加以處理，這樣就可以通過(guò)這種動(dòng)靜結(jié)合來(lái)方便地研究問(wèn)題．(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖像，然后數(shù)形結(jié)合求解．例2、【2019年高考浙江】已知，函數(shù)．若函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則A．a(chǎn)<–1，b<0 B．a(chǎn)<–1，b>0 C．a(chǎn)>–1，b<0 D．a(chǎn)>–1，b>0變式1、【2018年高考全國(guó)Ⅱ卷理數(shù)】已知函數(shù)．若在只有一個(gè)零點(diǎn)，求．變式2、(2020屆山東省濰坊市高三上學(xué)期統(tǒng)考）函數(shù)若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，則可能取的值有（）A．2 B． C．0 D．1變式3、（2020屆山東省濱州市三校高三上學(xué)期聯(lián)考）已知函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底），若且有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值可以為（）A．1 B．e C．2e D．3e二、達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1、（2020·山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上期末）已知函數(shù).若函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_______.2、（2020屆浙江省臺(tái)州市溫嶺中學(xué)3月模擬）已知函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．3、（2020屆浙江省嘉興市3月模擬）已知函數(shù)，，若存在實(shí)數(shù)使在上有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)_______．4、（2020屆山東省德州市高三上期末）已知函數(shù)（為常，若為正整數(shù)，函數(shù)恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，求的值.專題28函數(shù)的零點(diǎn)的問(wèn)題一、題型選講題型一、函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷與證明可將零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成方程，進(jìn)而通過(guò)構(gòu)造函數(shù)將方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圖像交點(diǎn)問(wèn)題，并作出函數(shù)圖像。作圖與根分布綜合的題目，其中作圖是通過(guò)分析函數(shù)的單調(diào)性和關(guān)鍵點(diǎn)來(lái)進(jìn)行作圖，在作圖的過(guò)程中還要注意漸近線的細(xì)節(jié)，從而保證圖像的準(zhǔn)確。例1、(2019蘇州三市、蘇北四市二調(diào)）定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x＋4)＝f(x)，且在區(qū)間[2，4)上則函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為【答案】：5【解析】：因?yàn)閒(x＋4)＝f(x)，可得f(x)是周期為4的奇函數(shù)，先畫(huà)出函數(shù)f(x)在區(qū)間[2，4)上的圖像，根據(jù)奇函數(shù)和周期為4，可以畫(huà)出f(x)在R上的圖像，由y＝f(x)－log5|x|＝0，得f(x)＝log5|x|，分別畫(huà)出y＝f(x)和y＝log5|x|的圖像，如下圖，由f(5)＝f(1)＝1，而log55＝1，f(－3)＝f(1)＝1，log5|－3|<1，而f(－7)＝f(1)＝1，而log5|－7|＝log57>1，可以得到兩個(gè)圖像有5個(gè)交點(diǎn)，所以零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為5.變式1、【2019年高考全國(guó)Ⅱ卷理數(shù)】已知函數(shù).（1）討論f(x)的單調(diào)性，并證明f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；【解析】（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，1）（1，+∞）．因?yàn)椋栽冢?，1），（1，+∞）單調(diào)遞增．因?yàn)閒（e）=，，所以f（x）在（1，+∞）有唯一零點(diǎn)x1，即f（x1）=0．又，，故f（x）在（0，1）有唯一零點(diǎn)．綜上，f（x）有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)．變式2、【2020年高考浙江】已知，函數(shù)，其中e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）證明：函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)；【解析】（Ⅰ）因?yàn)?，，所以在上存在零點(diǎn)．因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)以在上有唯一零點(diǎn)．題型二、函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題中參數(shù)的范圍已知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，確定參數(shù)的取值范圍，常用的方法和思路：(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍．(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決，解法2就是此法．它的本質(zhì)就是將函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)靜函數(shù)與一個(gè)動(dòng)函數(shù)的圖像的交點(diǎn)問(wèn)題來(lái)加以處理，這樣就可以通過(guò)這種動(dòng)靜結(jié)合來(lái)方便地研究問(wèn)題．(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖像，然后數(shù)形結(jié)合求解．例2、【2019年高考浙江】已知，函數(shù)．若函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則A．a(chǎn)<–1，b<0 B．a(chǎn)<–1，b>0 C．a(chǎn)>–1，b<0 D．a(chǎn)>–1，b>0【答案】C【解析】當(dāng)x＜0時(shí)，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x=b則y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)x≥0時(shí)，y＝f（x）﹣ax﹣b=13x3?12（a+1）x2+ax﹣ax﹣b=13x3?12，當(dāng)a+1≤0，即a≤﹣1時(shí)，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上單調(diào)遞增，則y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)a+1＞0，即a>﹣1時(shí)，令y′＞0得x∈(a+1，+∞），此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，令y′＜0得x∈[0，a+1），此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，則函數(shù)最多有2個(gè)零點(diǎn).根據(jù)題意，函數(shù)y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3個(gè)零點(diǎn)?函數(shù)y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一個(gè)零點(diǎn)，在[0，+∞）上有2個(gè)零點(diǎn)，如圖：∴b1?a＜0且解得b＜0，1﹣a＞0，b＞?16（a+1）3，則a>–1，故選C．變式1、【2018年高考全國(guó)Ⅱ卷理數(shù)】已知函數(shù)．若在只有一個(gè)零點(diǎn)，求．【解析】設(shè)函數(shù)．在只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)在只有一個(gè)零點(diǎn)．（i）當(dāng)時(shí)，，沒(méi)有零點(diǎn)；（ii）當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．故是在的最小值．①若，即，在沒(méi)有零點(diǎn)；②若，即，在只有一個(gè)零點(diǎn)；③若，即，由于，所以在有一個(gè)零點(diǎn)，由（1）知，當(dāng)時(shí)，，所以．故在有一個(gè)零點(diǎn)，因此在有兩個(gè)零點(diǎn)．綜上，在只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，．變式2、(2020屆山東省濰坊市高三上學(xué)期統(tǒng)考）函數(shù)若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，則可能取的值有（）A．2 B． C．0 D．1【答案】ABC【解析】∵只有一個(gè)零點(diǎn)，

∴函數(shù)與函數(shù)有一個(gè)交點(diǎn)，

作函數(shù)函數(shù)與函數(shù)的圖象如下，

結(jié)合圖象可知，當(dāng)時(shí)；函數(shù)與函數(shù)有一個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，可得，令可得，所以函數(shù)在時(shí)，直線與相切，可得.綜合得：或.

故選：ABC.變式3、（2020屆山東省濱州市三校高三上學(xué)期聯(lián)考）已知函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底），若且有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值可以為（）A．1 B．e C．2e D．3e【答案】CD【解析】因?yàn)?，可得，即為偶函?shù)，由題意可得時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，，由，可得，由相切，設(shè)切點(diǎn)為，的導(dǎo)數(shù)為，可得切線的斜率為，可得切線的方程為，由切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可得，解得：或（舍去），即有切線的斜率為，故，故選：CD.二、達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1、（2020·山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上期末）已知函數(shù).若函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_______.【答案】【解析】因?yàn)樵趨^(qū)間上恒成立不可能，故要使函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)，只要對(duì)任意的，恒成立，即對(duì)任意的，恒成立.令，，則，再令，，則，故在上為減函數(shù)，于是，從而，于是在上為增函數(shù)，所以，故要使恒成立，只要，綜上，若函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)，則的最小值為.故答案為：2、（2020屆浙江省臺(tái)州市溫嶺中學(xué)3月模擬）已知函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】不妨設(shè)，為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，其中，，則，.則，由，，所以，可令，，當(dāng)，恒成立，所以.則的最大值為，此時(shí)，還應(yīng)滿足，顯然，時(shí)，，.故選：B.3、（2020屆浙江省嘉興市3月模擬）已知函數(shù)，，若存在實(shí)數(shù)使在上有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)_______．【答案】．【解析】已知實(shí)數(shù)使在上有2個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于與的函數(shù)圖象在上有2個(gè)交點(diǎn)，顯然與x軸的交點(diǎn)為，的圖象關(guān)于對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，若要有2個(gè)交點(diǎn)，由數(shù)形結(jié)合知m一定小于e，即；當(dāng)時(shí)，若要有2個(gè)交點(diǎn)，須存在a使得在有兩解，所以，因?yàn)?，即，顯然存在這樣的a使上述不等式成立；由數(shù)形結(jié)合知m須大于在處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即綜上所述，m的