2025版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第6章平面向量復(fù)數(shù)第2節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示學(xué)案含解析新人教B版

第2節(jié)平面對(duì)量基本定理及坐標(biāo)表示一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．平面對(duì)量基本定理(1)定理：假如平面內(nèi)的兩個(gè)向量a與b不共線，則對(duì)該平面內(nèi)隨意一個(gè)向量c，存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)，使得c＝xa＋yb.(2)基底：平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量a與b組成的集合{a，b}常稱為該平面上向量的一組基底．理解基底應(yīng)留意以下三點(diǎn)(1)基底a，b必需是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，零向量不能作為基底．(2)基底給定，同一向量的分解形式唯一．(3)對(duì)于一組基底a，b，若c＝λ1a＋λ2b＝μ1a＋μ2b，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1＝μ1，,λ2＝μ2.))2．平面對(duì)量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐標(biāo)的求法①一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)；②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(1)向量坐標(biāo)表示的本質(zhì)是向量的代數(shù)表示，其中坐標(biāo)運(yùn)算法則是運(yùn)算的關(guān)鍵．(2)要區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)，盡管在形式上它們類似，但意義完全不同，向量坐標(biāo)中既有方向的信息，也有大小的信息．3．平面對(duì)量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b?x2y1＝x1y2.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2).因?yàn)閤2，y2有可能等于0，所以應(yīng)表示為x1y2－x2y1＝0.4．常用結(jié)論(1)若a與b不共線，且λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.(2)已知P為線段AB的中點(diǎn)，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則P點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).(3)已知△ABC的頂點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心G的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).二、基本技能·思想·活動(dòng)體驗(yàn)1．推斷下列說(shuō)法的正誤，對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”．(1)平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一組基底．(×)(2)若a，b不共線，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2.((3)平面對(duì)量的基底不唯一，只要基底確定后，平面內(nèi)的任何一個(gè)向量都可被這組基底唯一表示．(√)(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2).(×)(5)當(dāng)向量的起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo)．(√)2．已知平面對(duì)量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，則eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b＝()A．(－2，－1) B．(－2,1)C．(－1,0) D．(－1,2)D解析：因?yàn)閍＝(1,1)，b＝(1，－1)，所以eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b＝eq\f(1,2)(1,1)－eq\f(3,2)(1，－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(3,2)))＝(－1，2)．3．已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩個(gè)向量a＝(1,2)，b＝(m,3m－2)，且平面內(nèi)的任一向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb(λ，μ為實(shí)數(shù))，則實(shí)數(shù)mA．(－∞，2) B．(2，＋∞)C．(－∞，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)D解析：由題意可知a與b不共線，即3m－2≠2m，所以m4．設(shè)0＜θ＜eq\f(π,2)，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，若a∥b，則tanθ＝________.eq\f(1,2)解析：因?yàn)閍∥b，所以sin2θ×1－cos2θ＝0，所以2sinθcosθ－cos2θ＝0.因?yàn)?＜θ＜eq\f(π,2)，所以cosθ＞0，所以2sinθ＝cosθ，所以tanθ＝eq\f(1,2).5．在?ABCD中，AC為一條對(duì)角線，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,4)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,3)，則向量eq\o(BD,\s\up6(→))的坐標(biāo)為________．(－3，－5)解析：因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，－1)，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，－5)．考點(diǎn)1平面對(duì)量的坐標(biāo)運(yùn)算——基礎(chǔ)性1．(2024·全國(guó)卷Ⅱ)已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，則|a－b|＝()A．eq\r(2) B．2C．5eq\r(2) D．50A解析：由向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，可得a－b＝(－1,1)，所以|a－b|＝eq\r(－12＋12)＝eq\r(2).2．(2024·榆社中學(xué)診斷)若向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＝(2,0)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(1,1)，則eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))等于()A．(3,1) B．(4,2)C．(5,3) D．(4,3)B解析：eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝(3,1)，又eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1,1)，則eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝(1,1)，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝(4,2)．3．設(shè)向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a,3b－2a，c的有向線段首尾相接能構(gòu)成三角形，則向量(4，－6)解析：由題意知4a＝(4，－12)，3b－2a＝(－6,12)－(2，－6)＝(－8,18)，由4a＋(3b－2a)＋c＝04．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，且A(1,1)，C(2,3)，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AC,\s\up6(→))|，則向量eq\o(OB,\s\up6(→))的坐標(biāo)是________．(4,7)解析：因?yàn)辄c(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，且|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AC,\s\up6(→))|，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝－2eq\o(AC,\s\up6(→)).設(shè)點(diǎn)B為(x，y)，則(2－x,3－y)＝－2(1,2)．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x＝－2，,3－y＝－4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝7.))所以向量eq\o(OB,\s\up6(→))的坐標(biāo)是(4,7)．平面對(duì)量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧(1)利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來(lái)進(jìn)行求解，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)．(2)解題過(guò)程中，常利用“向量相等，則坐標(biāo)相同”這一結(jié)論，由此可列方程(組)進(jìn)行求解．考點(diǎn)2平面對(duì)量共線的坐標(biāo)表示——應(yīng)用性(2024·福州質(zhì)檢)設(shè)向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(a，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－b,0)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，a＞0，b＞0.若A，B，C三點(diǎn)共線，則ab的最大值為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,8) D.eq\f(1,9)C解析：因?yàn)閑q\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(a，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－b,0)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(a－1,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－b－1,2)．因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，即(a－1,1)＝λ(－b－1,2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1＝λ－b－1，,1＝2λ，))可得2a＋b＝1.因?yàn)閍＞0，b＞0，所以1＝2a＋b≥2eq\r(2ab)，所以ab≤eq\f(1,8).當(dāng)且僅當(dāng)2a＝b＝eq\f(1,2)時(shí)取等號(hào)．因此ab的最大值為eq\f(1,8).1．本例若把條件“eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－b,0)”改為“eq\o(OC,\s\up6(→))＝(2,1)”，其他條件不變，求a的值．解：因?yàn)閑q\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(a，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(2,1)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(a－1,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,3)．因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，即(a－1,1)＝λ(1,3)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1＝λ，,1＝3λ，))可得a＝eq\f(4,3).2．本例條件“向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(a，－1)”不變，若向量c＝(2，a)與向量eq\o(AB,\s\up6(→))方向相反，求|c|.解：因?yàn)閑q\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(a，－1)．所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(a－1,1)．因?yàn)橄蛄縞＝(2，a)與向量eq\o(AB,\s\up6(→))方向相反，所以a(a－1)－1×2＝0，即a2－a－2＝0，所以a＝－1或a＝2(舍去)，所以|c|＝eq\r(22＋－12)＝eq\r(5).平面對(duì)量共線的坐標(biāo)表示問(wèn)題的解題策略(1)假如已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時(shí)，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”(2)在求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R)．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，AC與OB的交點(diǎn)為P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．解：由O，P，B三點(diǎn)共線，可設(shè)eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＝(4λ，4λ)，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4λ－4,4λ)．又eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－2,6)，由eq\o(AP,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))共線，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝eq\f(3,4)，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OB,\s\up6(→))＝(3,3)，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3)．考點(diǎn)3平面對(duì)量基本定理的應(yīng)用——綜合性考向1用已知基底表示向量(2024·鄭州模擬)如圖，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E為BC邊上一點(diǎn)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(EC,\s\up6(→))，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，則eq\o(BF,\s\up6(→))＝()A．eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→)) B．eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))C．－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→)) D．－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))C解析：如圖，取AB中點(diǎn)G，連接DG，CG，易知四邊形DCBG為平行四邊形，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(GD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))－\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→)).所以eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(2,3)\o(AD,\s\up6(→))))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→)).用已知基底表示向量的關(guān)注點(diǎn)(1)理論依據(jù)：平面對(duì)量基本定理．(2)實(shí)質(zhì)：利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．考向2解析法(坐標(biāo)法)在向量中的應(yīng)用已知|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→))，點(diǎn)C在∠AOB內(nèi)，且eq\o(OC,\s\up6(→))與eq\o(OA,\s\up6(→))的夾角為30°，設(shè)eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)，則eq\f(m,n)的值為()A．2 B．eq\f(5,2)C．3 D．4C解析：因?yàn)閑q\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→))，以O(shè)A為x軸，OB為y軸建立直角坐標(biāo)系，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,0)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(0，eq\r(3))，eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))＝(m，eq\r(3)n)．因?yàn)閠an30°＝eq\f(\r(3)n,m)＝eq\f(\r(3),3)，所以m＝3n，即eq\f(m,n)＝3.應(yīng)用平面對(duì)量基本定理解題的兩種思路(1)基向量法．(2)坐標(biāo)法．能用坐標(biāo)法的問(wèn)題，一般不用基向量法．考向3利用平面對(duì)量基本定理求參數(shù)的值(或范圍)在△ABC中，點(diǎn)P是AB上一點(diǎn)，且eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))，Q是BC的中點(diǎn)，AQ與CP的交點(diǎn)為M，又eq\o(CM,\s\up6(→))＝teq\o(CP,\s\up6(→))，則t的值為________．eq\f(3,4)解析：eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))，即P為AB的一個(gè)三等分點(diǎn)，如圖所示．因?yàn)锳，M，Q三點(diǎn)共線，所以eq\o(CM,\s\up6(→))＝xeq\o(CQ,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\f(x,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＋(x－1)eq\o(AC,\s\up6(→))，而eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\f(x,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－1))eq\o(AC,\s\up6(→)).又eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，由已知eq\o(CM,\s\up6(→))＝teq\o(CP,\s\up6(→))，可得eq\f(x,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－1))eq\o(AC,\s\up6(→))＝teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\o(AC,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→)))).又eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))不共線，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＝\f(t,3)，,\f(x,2)－1＝－t，))解得t＝eq\f(3,4).用平面對(duì)量基本定理解決問(wèn)題的一般思路(1)先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示為向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決．(2)在基底未給出的狀況下，合理地選取基底會(huì)給解題帶來(lái)便利．另外，要嫻熟運(yùn)用平面幾何的一些性質(zhì)定理．1．(2024·南通模擬)如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AC＝2AB，∠BAC的平分線交△ABC的外接圓于點(diǎn)D.設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，則向量eq\o(AD,\s\up6(→))＝()A．a(chǎn)＋bB．eq\f(1,2)a＋bC．a(chǎn)＋eq\f(1,2)bD．a(chǎn)＋eq\f(2,3)bC解析：連接BD，DC(圖略)，設(shè)圓的半徑為r，在Rt△ABC中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AC＝2AB，所以∠BAC＝eq\f(π,3)，∠ACB＝eq\f(π,6)，∠BAC的平分線交△ABC的外接圓于點(diǎn)D，所以∠ACB＝∠BAD＝∠CAD＝eq\f(π,6).依據(jù)圓的性質(zhì)得BD＝CD＝AB.又因?yàn)樵赗t△ABC中，AB＝eq\f(1,2)AC＝r＝OD，所以四邊形ABDO為菱形，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AO,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b.2．如圖，已知平面內(nèi)有三個(gè)向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(