專題14弧長及扇形的面積重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（七大題型）2

專題14弧長及扇形的面積重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（七大題型）【題型目錄】題型一求弧長題型二求扇形半徑題型三求圓心角題型四求某點(diǎn)的弧形運(yùn)動(dòng)路徑長度題型五求扇形面積題型六求弓形面積題型七求不規(guī)則圖形的面積【經(jīng)典例題一求弧長】1．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，是邊上的一點(diǎn)，以為直徑的交邊于點(diǎn)，若，則的長為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，根據(jù)，得，再根據(jù)圓周角定理得，即可求出答案．【詳解】解：如圖，連接，

，，，，，，的長為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了弧長的計(jì)算和圓周角定理，熟練記住弧長公式：（弧長為，圓心角度數(shù)為，圓的半徑為）是關(guān)鍵．2．（2023秋·山西長治·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形中，以為直徑的與相交于點(diǎn)E，與相交于點(diǎn)F，，已知，，則的長為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，等腰三角形三線合一性質(zhì)，圓周角定理，弧長公式計(jì)算即可．【詳解】如圖，連接，

∵為的直徑，∴，∵，∴，∵平行四邊形，，∴，∴，∵，∴，∴，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了直徑所對(duì)的圓周角是直角，等腰三角形三線合一性質(zhì)，圓周角定理，平行四邊形的性質(zhì)，弧長公式，熟練掌握弧長公式，圓周角定理是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·廣西貴港·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，分別以等邊的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長為半徑畫弧，得到的封閉圖形是萊洛三角形，若該萊洛三角形的周長（即外周三段弧的和）為，則的邊長為．

【答案】3【分析】利用弧長公式計(jì)算即可．【詳解】設(shè)的邊長為x，根據(jù)題意，得，∴，解得，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，弧長公式，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和弧長公式是解題的關(guān)鍵．4．（2023·四川成都·?？既＃办巢瞧趼菪€”（也稱“黃金螺旋”）是根據(jù)斐波那契數(shù)列畫出來的螺旋曲線，人類耳朵的形狀也符合這種螺旋形狀，這種形狀的構(gòu)造幫助人類可以更好地接收聲波，從而增強(qiáng)聽覺．現(xiàn)依次取邊長為1，1，2，3，5……的正方形按如圖所示方式拼接，分別以每個(gè)正方形的一個(gè)頂點(diǎn)為圓心，邊長為半徑作圓弧，連接形成的螺旋曲線即為“斐波那契螺旋線”．那么前五個(gè)正方形內(nèi)形成的曲線的長度是．

【答案】【分析】觀察圖形可知，螺旋曲線的每一段都是以正方形的邊長為半徑的圓弧構(gòu)成，計(jì)算出每個(gè)正方形的邊長，再根據(jù)圓的周長公式即可求解．【詳解】解：由圖可知，正方形的邊長依次為：1，1，2，3，5……，螺旋曲線的每一段都是以正方形的邊長為半徑的圓弧構(gòu)成，故前五個(gè)正方形內(nèi)形成的曲線的長度是：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查弧長的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是觀察圖形得出每一段圓弧對(duì)應(yīng)的正方形的邊長．5．（2023春·河北邢臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，一量角器所在圓的直徑為，其外緣有兩點(diǎn)，其讀數(shù)分別為和．

(1)劣弧所對(duì)圓心角=__________；(2)求的長（結(jié)果不求近似值）．【答案】(1)24(2)【分析】（1）根據(jù)量角器所示的度數(shù)計(jì)算；（2）根據(jù)弧長公式計(jì)算．【詳解】（1）解：劣弧所對(duì)圓心角的度數(shù)為．故填：．（2）解：的長．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓心角的計(jì)算與弧長的計(jì)算，掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·吉林長春·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）【感知】（1）如圖，在中，，，，是中線，點(diǎn)E、F同時(shí)從點(diǎn)D出發(fā)，以相同的速度分別沿方向移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，直線分別與、相交于G、H．證明：．【探究】（2）證明：點(diǎn)A、C、G、D均在以為直徑的圓上．【拓展】（3）在點(diǎn)E、F移動(dòng)過程中，點(diǎn)G移動(dòng)路線的長度為．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)，運(yùn)用邊角邊定理證明全等即可．（2）證明即可．（3）根據(jù)四點(diǎn)共圓，判定點(diǎn)G移動(dòng)軌跡為，計(jì)算出圓心角和半徑，代入弧長公式計(jì)算即可．【詳解】證明：（1）∵，∴，∴，在和中，∵，∴．證明：（2）∵，∴，∵，∴，∴A、C、G、D四點(diǎn)共圓，且均在以為直徑的圓上．（2）∵A、C、G、D四點(diǎn)共圓，且均在以為直徑的圓上∴點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡為，設(shè)的中點(diǎn)為點(diǎn)O，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡的長為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的三線合一性質(zhì)，四點(diǎn)共圓的判定，弧長的計(jì)算，熟練掌握性質(zhì)和公式是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題二求扇形半徑】1．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，矩形紙片中，，把它分割成正方形紙片和矩形紙片后，分別裁出扇形和半徑最大的圓，恰好能作為同一個(gè)圓錐的側(cè)面和底面，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】當(dāng)圓與相切時(shí)，半徑最大，設(shè)，根據(jù)扇形的弧長等于底面圓的周長，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：由題意，得：當(dāng)圓與相切時(shí)，半徑最大，設(shè)，則：圓的直徑為：，∵扇形和半徑最大的圓，恰好能作為同一個(gè)圓錐的側(cè)面和底面，∴，解得：；∴的長為；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查求圓錐的母線長．熟練掌握扇形的弧長等于圓錐的底面周長，是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·浙江溫州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖是某圓弧形橋洞，水面跨徑米，小明為了計(jì)算圓弧所在圓的半徑，他在左側(cè)水面處測(cè)得橋洞高米，則圓弧所在圓的半徑為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【分析】取圓心，連接，，，，根據(jù)圓周角定理得，設(shè)半徑為米，則米，在中，根據(jù)勾股定理得，解得，圓弧所在圓的半徑米．【詳解】解：如圖，取圓心，連接，，，設(shè)半徑為米，則米，在中，根據(jù)勾股定理得，，即，解得，圓弧所在圓的半徑米．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理以及勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．3．（2023·河南新鄉(xiāng)·校聯(lián)考二模）如圖，將矩形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊上，若的長為，則的長為．【答案】2【分析】連接，，由旋轉(zhuǎn)可知，根據(jù)弧長公式得，得，在中，根據(jù)勾股定理得，即，即可求出．【詳解】解：如圖，連接，，由旋轉(zhuǎn)可知∵的長為，，，四邊形是矩形，，，∴∴在中，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了弧長的計(jì)算，矩形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟記公式是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·吉林長春·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，半圓的直徑為，點(diǎn)為半圓的三等分點(diǎn)，點(diǎn)為直徑上任意一點(diǎn)，若陰影部分的面積為，則半圓的半徑為．【答案】5【分析】連接，利用同底等高的三角形面積相等可知陰影部分的面積等于扇形的面積，然后計(jì)算半徑即可．【詳解】解：連接，如圖所示，和同底等高，，點(diǎn)為半圓的三等分點(diǎn)，，陰影部分的面積＝，，解得：，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形面積求法，利用已知得出陰影部分的面積等于扇形的面積是解題的關(guān)鍵．5．（2022春·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知．（1）試用尺規(guī)作圖確定所在圓的圓心O（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）若的度數(shù)為120°，的長是8π，求所在圓的半徑的長．【答案】（1）作圖見解析；（2）12【分析】（1）在弧上任取一點(diǎn)C，連接AC，BC，作弦AC、弦BC的垂直平分線即可（2）根據(jù)弧長公式計(jì)算即可；【詳解】（1）在弧上任取一點(diǎn)C，連接AC，BC，作弦AC、弦BC的垂直平分線即可，點(diǎn)O即為所求；（2）如圖，連接AO，BO，∵弧AB的度數(shù)為，∴，又∵弧AB的長是，∴，解得：，∴所在圓的半徑的長是12．【點(diǎn)睛】本題主要考查了弧長公式的應(yīng)用，結(jié)合垂直平分線作圖求解是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·全國·九年級(jí)統(tǒng)考期末）慶祝小麗十三歲生日那天，小麗和位好朋友一起均勻地圍坐在一張半徑為厘米的圓桌旁，每人離圓桌的距離均為厘米．后來小麗的爸爸和媽媽也趕到了，在座的每個(gè)人都向后挪動(dòng)了相同的距離，再左右調(diào)整位置，使人都坐下，此時(shí)人之間的距離與原來人之間的距離（即在圓周上兩人之間的圓弧的長）相等，那么每人向后挪動(dòng)的距離是多少厘米？【答案】．【分析】根據(jù)人之間的距離與原來人之間的距離相等，列方程求解即可.【詳解】解：設(shè)每人向后挪動(dòng)的距離為，則這個(gè)人之間的距離是：，人之間的距離是：，根據(jù)等量關(guān)系列方程得：，解得．【點(diǎn)睛】本題考查了與圓相關(guān)的計(jì)算,屬于簡單題,熟悉弧長公式是解題關(guān)鍵.【經(jīng)典例題三求圓心角】1．（2023·河北邯鄲·?？既＃┤鐖D1是邊長為的等邊三角形鐵絲框，按圖2方式變形成以為圓心，長為半徑的扇形（圖形周長保持不變），則所得扇形的面積是（

）

A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意的長就是邊的長，由弧長公式求得扇形的圓心角的度數(shù)，進(jìn)而根據(jù)扇形面積公式即可求解．【詳解】解：設(shè)，，，解得：，圓心角的度數(shù)為：扇形的面積是，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了弧長公式的應(yīng)用，扇形的面積計(jì)算，掌握公式和理解圖形變化前后對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2021秋·甘肅金昌·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在半徑為6cm的圓中，長為2πcm的弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【分析】根據(jù)弧長公式，即可求出弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)．【詳解】∵，∴圓心角的度數(shù)為n=2×30°=60°．∴長為2πcm的弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)為，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了弧長的計(jì)算，牢記弧長公式是解題的關(guān)鍵．3．（2023·云南臨滄·統(tǒng)考三模）現(xiàn)有一個(gè)圓周的扇形紙片，該扇形的半徑為40cm，小琪同學(xué)為了在“六一”兒童節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)上表演節(jié)目，她打算剪去部分扇形紙片后，利用剩下的紙片制作一個(gè)底面半徑為10cm的圓錐形紙帽（接縫處不重疊），那么剪去的扇形紙片的圓心角度數(shù)為．【答案】30/30度【分析】根據(jù)圓錐形紙帽的底面半徑，可計(jì)算出展開后的扇形的弧長，根據(jù)弧長公式即可算出剩下扇形紙片的圓心角，再利用原來扇形紙片的圓心角減去剩下扇形紙片的圓心角，即可解答．【詳解】解：剩下扇形紙片的弧長為：cm，原來的扇形紙片的圓心角為：，則剩下扇形紙片的圓心角為：，剪去的扇形紙片的圓心角度數(shù)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的弧長公式和圓錐相關(guān)計(jì)算，熟知兩者之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系：圓錐的母線長等于側(cè)面展開圖的扇形半徑；圓錐的底面周長等于側(cè)面展開圖的扇形弧長兩個(gè)關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·湖北荊州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）扇子在我國已經(jīng)有三、四千年的歷史，中國扇文化有豐富的文化底蘊(yùn)．如圖，扇形紙扇完全打開后，的長為，扇面的長為，若弧的長為，則扇面的面積為．【答案】【分析】先利用扇形的弧長求出圓心角的度數(shù)，再由兩個(gè)扇形的面積作差即可得到答案．【詳解】解：設(shè)扇形的圓心角為n，則，解得，則扇面的面積為．故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了扇形面積和弧長，熟練掌握扇形面積公式和弧長公式是解題的關(guān)鍵．5．（2023·福建·模擬預(yù)測(cè)）石家莊市水上公園南側(cè)新建的摩天輪吸引了附近市民的目光．據(jù)工作人員介紹，新建摩天輪直徑為100m，最低點(diǎn)距離地面1m，摩天輪的圓周上均勻地安裝了24個(gè)座艙（本題中將座艙視為圓周上的點(diǎn)），游客在距離地面最近的位置進(jìn)艙，運(yùn)行一圈時(shí)間恰好是13分14秒，寓意“一生一世”．小明從摩天輪的底部出發(fā)開始觀光，摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)1周．(1)小明所在座艙到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)距離地面的高度為

m；(2)在小明進(jìn)座艙后間隔3個(gè)座艙小亮進(jìn)入座艙（如圖，此時(shí)小明和小亮分別位于P、Q兩點(diǎn)），①求兩人所在座艙在摩天輪上的距離（弧的長）；②求此時(shí)兩人所在座艙距離地面的高度差；(3)受周圍建筑物的影響，當(dāng)乘客與地面的距離不低于時(shí)，可視為最佳觀賞位置，求最佳觀賞時(shí)間有多長（不足一分鐘按一分鐘記）．【答案】(1)101(2)①m；②25m(3)5分鐘【分析】（1）根據(jù)題意得出最高點(diǎn)是直徑加即可；（2）①求出圓心角的度數(shù)，再根據(jù)弧長公式進(jìn)行計(jì)算即可；②求出的長即可，利用直角三角形的邊角關(guān)系求出的長，進(jìn)而求出即可；（3）求出達(dá)到最佳觀賞位置時(shí)，座椅所處的位置，進(jìn)而求出所夾的弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)，由圓心角所占周角的百分比，得出最佳觀賞時(shí)間占13分14秒的百分比，通過計(jì)算可得答案．【詳解】（1）解：如圖，由題意可知，，，當(dāng)座椅轉(zhuǎn)到點(diǎn)時(shí)，距離地面最高，此時(shí)，故答案為：101；（2）①圓周上均勻的安裝24個(gè)座椅，因此每相鄰兩個(gè)座椅之間所對(duì)的圓心角為，，的長為，答：兩人所在座艙在摩天輪上的距離（弧的長）為；②由題意得，兩人所在座艙距離地面的高度差就是的長，在中，，，，，即兩人所在座艙距離地面的高度差為；（3）如圖，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的座椅為點(diǎn)、點(diǎn)，當(dāng)座椅在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，觀賞位置最佳，此時(shí)，，，，的長是圓周長的，因此最佳觀賞位置所持續(xù)的時(shí)間為：13分14秒的，，答：最佳觀賞時(shí)間有多長約有5分鐘．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提，掌握弧長計(jì)算公式是正確計(jì)算的關(guān)鍵．6．（2021·河北邢臺(tái)·?？级＃┤鐖D1，扇形的半徑為6，弧長為．（1）求圓心角的度數(shù)；（2）如圖2，將扇形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，連接，．①判斷四邊形的形狀并證明；②如圖3，若，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，與，分別交于點(diǎn)（點(diǎn)，與點(diǎn)，，均不重合），判斷的值是否為定值，如果是定值請(qǐng)求出；如果不是，說明理由．【答案】（1）60°；（2）①菱形，證明見解析；②是，6【分析】（1）根據(jù)弧長公式即可得到答案；（2）①證明與是等邊三角形，可得四邊形得四邊相等，從而證明四邊形是菱形；②證明得，從而可得，是定值6．【詳解】解：（1）扇形的半徑為6，弧長為．∴，解得：，∴的度數(shù)為60°．（2）①四邊形是菱形．在扇形中，，，∴是等邊三角形，∴，∵將扇形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，∴與是等邊三角形，∴，∴四邊形是菱形．②是定值由①可知與是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，即：，又，．∴≌，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查扇形圓心角的度數(shù)、菱形判定、旋轉(zhuǎn)、全等三角形等綜合知識(shí)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題四求某點(diǎn)的弧形運(yùn)動(dòng)路徑長度】1．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考一模）如圖，一個(gè)邊長為的等邊三角形木板在平面直角坐標(biāo)系上繞點(diǎn)按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，則頂點(diǎn)從開始到結(jié)束所經(jīng)過的路程及的橫坐標(biāo)分別為()

A． B．， C．， D．，【答案】A【分析】由題意知，頂點(diǎn)從開始到結(jié)束所經(jīng)過的路徑為圓弧，所對(duì)的圓心角為，根據(jù)弧長公式計(jì)算求得頂點(diǎn)從開始到結(jié)束所經(jīng)過的路程，再根據(jù)等邊三角形的三線合一的性質(zhì)，即可求得的橫坐標(biāo)．【詳解】解：一個(gè)邊長為的等邊三角形木板，在平面直角坐標(biāo)系上繞點(diǎn)按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，

，，，作于，是等邊三角形，的橫坐標(biāo)為，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，弧長公式等知識(shí)，得出點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑是解題關(guān)鍵．2．（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，將邊長為的正方形繞著其中心點(diǎn)沿所在直線順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)四周后剛好在以為中心的正方形處，在此過程中，中心點(diǎn)移動(dòng)的路徑長為(

)

A． B． C． D．無法計(jì)算【答案】C【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，，又邊長為的正方形沿直線按順時(shí)針方向翻滾當(dāng)正方形翻滾一周時(shí)，需要翻滾四次，而每次正方形的中心所經(jīng)過的路徑長為弧以為圓心，為半徑，然后根據(jù)弧長公式計(jì)算出弧的長，即可求解．【詳解】解：如圖所示，

四邊形為正方形，且邊長為，，，邊長為的正方形沿直線按順時(shí)針方向翻滾當(dāng)正方形翻滾一周時(shí)，需要翻滾四次，而每次正方形的中心所經(jīng)過的路徑長為弧以為圓心，為半徑，弧的長，當(dāng)正方形翻滾一周時(shí)，正方形的中心所經(jīng)過的路徑長．轉(zhuǎn)動(dòng)四周后正方形的中心所經(jīng)過的路徑長為故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了求弧長，正方形的性質(zhì)，熟練掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，，分別是射線上的動(dòng)點(diǎn)，的長始終為，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長為

【答案】【分析】根據(jù)垂直的定義可知是直角三角形，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可知，最后利用弧長公式即可解答．【詳解】解：連接，∵，∴，∴是直角三角形，∵，∴，∴點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長為弧，∴弧的長度：，故答案為．

【點(diǎn)睛】本題考查了垂直的定義，直角三角形的性質(zhì)，弧長公式，掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·浙江金華·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，量角器的直徑與直角三角板ABC的斜邊重合（），其中量角器0刻度線的端點(diǎn)N與點(diǎn)A重合，射線從處出發(fā)沿順時(shí)針方向以每秒3度的速度旋轉(zhuǎn)，與量角器的半圓弧交于點(diǎn)E，第20秒時(shí)點(diǎn)E在量角器上運(yùn)動(dòng)路徑長是．

【答案】【分析】首先連接，由，易得點(diǎn)，，，C共圓，然后由圓周角定理，求得點(diǎn)E在量角器上對(duì)應(yīng)的讀數(shù)．【詳解】解：連接，

∵，∴A，B，C在以點(diǎn)O為圓心，AB為直徑的圓上，∴點(diǎn)E，A，B，C共圓，∵，∴．∴點(diǎn)E在量角器上運(yùn)動(dòng)路徑長，故答案為：2π．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．5．（2023春·陜西西安·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，每個(gè)小方格都是邊長為1的正方形，的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)A的坐標(biāo)是

(1)將平移，使點(diǎn)B平移到，畫出平移后的，此時(shí)線段的長度為；(2)畫出繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的，那么在旋轉(zhuǎn)過程中點(diǎn)C走過的路徑長為．【答案】(1)見解析,(2)【分析】(1)根據(jù)平移坐標(biāo)為，得到向左平移1個(gè)單位長度，向上平移6個(gè)單位長度，確定A，C的平移后坐標(biāo)，畫圖形即可，利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算即可．(2)根據(jù)勾股定理計(jì)算半徑，根據(jù)旋轉(zhuǎn)得到圓心角，利用弧長公式計(jì)算即可．【詳解】（1）∵平移坐標(biāo)為，∴向左平移1個(gè)單位長度，向上平移6個(gè)單位長度，∵，，∴，，畫圖如下，

則即為所求；∵，，∴，故答案為：．（2）根據(jù)勾股定理計(jì)算半徑，根據(jù)旋轉(zhuǎn)得到圓心角，故運(yùn)動(dòng)路徑長為，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查了平移規(guī)律，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，弧長公式，熟練掌握平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）為推進(jìn)“雙減”政策落地落實(shí)，某校在校內(nèi)課后延時(shí)服務(wù)中開設(shè)了豐富多彩的興趣社團(tuán)活動(dòng)，小明同學(xué)在手工社團(tuán)課上制造出一個(gè)特殊的小汽車，如圖1是這個(gè)小汽車的側(cè)面示意圖，其中矩形表示該小汽車的后備箱．在打開后備箱的過程中，箱蓋可以繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為時(shí)，箱蓋落在了的位置（如圖2所示，已知，）．求點(diǎn)E在旋轉(zhuǎn)過程中經(jīng)過的路線長．（結(jié)果保留根號(hào)和）【答案】厘米【分析】連接，，，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出，，進(jìn)而可得出是等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)可得出，在中，利用勾股定理可求出的長度，結(jié)合可得出、兩點(diǎn)的距離．【詳解】解：連接，，，如圖所示．由題意，得：，，是等邊三角形，．四邊形是矩形，．在中，厘米，厘米，（厘米），的長（厘米）．答：點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)過程中經(jīng)過的路線長厘米．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、求弧長，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理求出的長度，掌握弧長公式．【經(jīng)典例題五求扇形面積】1．（2023·山西忻州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，是等邊三角形，是邊上的中線，以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧分別交，于點(diǎn)，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得，，再利用是邊上的中線得到，，，則，易證得是等邊三角形，是等邊三角形重心，然后根據(jù)扇形面積公式，用一個(gè)扇形的面積減去的面積可得到圖中陰影部分的面積．【詳解】解：為等邊三角形，，，是邊上的中線，，，，，，是等邊三角形，于點(diǎn)，是的角平分線，，是是重心，，圖中陰影部分的面積．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積的計(jì)算：陰影面積常用的方法：直接用公式法；和差法；割補(bǔ)法．求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．也考查了等邊三角形的性質(zhì)．2．（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，，以點(diǎn)為圓心，的長為半徑畫弧，交于點(diǎn)，連接，則陰影部分的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】可求，，從而可證是等邊三角形，可得，即可求解．【詳解】解：，，，，，，是等邊三角形，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，扇形的面積公式，掌握性質(zhì)及公式是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·江蘇南京·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，以點(diǎn)為圓心，線段的長為半徑作，交的延長線于點(diǎn)，求出陰影部分的面積（結(jié)果保留）．

【答案】【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理利證明，利用勾股定理求出，根據(jù)計(jì)算即可．【詳解】解：，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查扇形的面積，等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是明確．4．（2023秋·河南濮陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正方形的邊長為，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，以E為圓心，為半徑作圓，分別交、于M、N兩點(diǎn)，與切于P點(diǎn)．則圖中陰影部分的面積是．

【答案】【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出和，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)扇形面積公式計(jì)算，得到答案．【詳解】解：由題意得，，∵，∴，，∴，同理，，∴，陰影部分的面積，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、扇形面積計(jì)算，熟記扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·上海靜安·七年級(jí)上海市風(fēng)華初級(jí)中學(xué)?？计谥校┰陂L方形中，弧是以為圓心的一段圓弧，．

求：(1)用含有的代數(shù)式表示陰影部分的面積；(2)當(dāng)時(shí)，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留）．【答案】(1)(2)【分析】（1）由矩形的性質(zhì)和弧是以為圓心的一段圓弧可得，再根據(jù)，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；（2）代入的值即可得到答案．【詳解】（1）解：在長方形中，弧是以為圓心的一段圓弧，，，陰影部分的面積為：；（2）解：當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式及求代數(shù)式的值，矩形的性質(zhì)，扇形的面積公式，熟練掌握矩形的性質(zhì)，扇形的面積公式，是解題的關(guān)鍵．6．（2023·吉林長春·統(tǒng)考一模）如圖，為的直徑，．動(dòng)點(diǎn)在上且位于直線上方，連結(jié)．作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)．

(1)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的大小為________度；(2)當(dāng)時(shí)，求的長；(3)當(dāng)平分線段時(shí)，求扇形的面積；(4)連接，當(dāng)時(shí)，直接寫出線段的長．【答案】(1)(2)(3)(4)或【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，，則，得出是等邊三角形，可得，進(jìn)而根據(jù)弧長公式即可求解；（3）連接，則，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，則，得出，根據(jù)扇形面積公式即可求解；（4）分在優(yōu)弧時(shí)與劣弧時(shí)，兩種情況討論即可求解．【詳解】（1）∵關(guān)于對(duì)稱，∴當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，∴的大小為度，故答案為：．（2）當(dāng)時(shí)，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，∴，∵，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴；（3）如圖所示，連接，則，

∵平分，∴，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，∴∵，∴，∴，（4）解：如圖所示，連接交于點(diǎn)，

∴，且，∵，，∴，∴，在中，，∴，∴；如圖所示，連接交的延長線于點(diǎn)，同理可得，則，

在中，，∴的長為或．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，求弧長，求扇形面積，勾股定理，垂徑定理，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題六求弓形面積】1．（2023·山西臨汾·統(tǒng)考二模）如圖，是的直徑，是弦，，在直徑上截取，延長交于點(diǎn)，若，則圖中陰影部分的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，連接，過點(diǎn)O作于點(diǎn)F，求出，由圓周角定理得，得，由三角形外角的性質(zhì)得，由垂徑定理得，根據(jù)勾股定理得，根據(jù)求解即可．【詳解】解：如圖，連接，過點(diǎn)O作于點(diǎn)F，

則，∵，∴，∵，∴，∴，∴，又，∴，∴，∴，∴，∵，∴∠，∴∠，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，扇形面積等知識(shí)，求出扇形的半徑和圓心角是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，是的直徑，弦與垂直，垂足為點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，，，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，首先證明是等邊三角形，證明，求出即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接．∵，∴，∵，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，扇形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問題．3．（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）如圖，在中，，，以中點(diǎn)D為圓心、長為半徑作半圓交線段于點(diǎn)E，則圖中陰影部分的面積為．

【答案】【分析】連接，，然后根據(jù)已知條件求出，，從而得到，最后結(jié)合扇形的面積計(jì)算公式求解即可．【詳解】解：如圖，連接，．

∵為直徑，∴．∵，∴，∴，，，∵，∴是等邊三角形，∴，∴陰影部分的面積=．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查陰影部分面積計(jì)算問題，涉及到扇形面積計(jì)算，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周為直角等，掌握扇形面積計(jì)算公式是解題關(guān)鍵．4．（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，是等腰直角三角形，，以為直徑作交斜邊于點(diǎn)D，點(diǎn)M是中點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．(1)證明：是的切線；(2)若，求圖中陰影部分面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先根據(jù)圓周角定理和等腰三角形的性質(zhì)證得，進(jìn)而證明，得到，利用切線的判定定理即可證得結(jié)論；（2）連接，過點(diǎn)O作，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證得，則，再證明四邊形是矩形得到，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得，由求解即可．【詳解】（1）證明：連接、，∵點(diǎn)M是弧中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，又是的半徑，∴是的切線；（2）解：連接，過點(diǎn)O作，∵是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴在中，，∵，∴，∵∴．【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、矩形的判定與性質(zhì)、扇形的面積公式等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題七求其他不規(guī)則圖形的面積】1．（2023秋·山西陽泉·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，為的直徑，射線交于點(diǎn)，點(diǎn)為劣弧的中點(diǎn)，連接