專題01實(shí)數(shù)教材講練-2021-2022學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)高頻考點(diǎn)專題突破（人教版）（原卷版）

專題01實(shí)數(shù)教材同步講練知識(shí)點(diǎn)11算術(shù)平方根1）算術(shù)平方根概念：一個(gè)正數(shù)的平方等于a，即x2=a，那么這個(gè)正數(shù)x叫作a的算術(shù)平方根。其中，a叫作被開方數(shù)，規(guī)定0的算術(shù)平方根為0。記作a注：=1\*GB3①“”表示的是算術(shù)平方根（與后面的平方根注意區(qū)分）=2\*GB3②a0，x0。負(fù)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根（因?yàn)閤20）2）常見算術(shù)平方根表：被開方數(shù)149162536496481100算術(shù)平方根12345678910被開方數(shù)121144169196225256289324361400算術(shù)平方根11121314151617181920例1．（2021·河南濮陽(yáng)市·七年級(jí)期中）的算術(shù)平方根為（）A． B． C． D．變式1．（2021·朔州市第二中學(xué)校初中部七年級(jí)期中）1.96的算術(shù)平方根是（）A．0.14 B．1.4 C． D．±1.4例2．（2020·岑溪市第六中學(xué)初二月考）下列說(shuō)法正確的是（）A．﹣6是36的算術(shù)平方根 B．±6是36的算術(shù)平方根C．是36的算術(shù)平方根 D．6是36的算術(shù)平方根變式2．（2021·西寧市海湖中學(xué)七年級(jí)期中）下列說(shuō)法：①任何數(shù)都有算術(shù)平方根；②一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根一定是正數(shù)；③(π－4)2的算術(shù)平方根是π－4；④算術(shù)平方根不可能是負(fù)數(shù)，其中不正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)變式3．（2020·內(nèi)蒙古科爾沁右翼前旗初二期中）下列語(yǔ)句、式子中①4是16的算術(shù)平方根，即②4是16的算術(shù)平方根，即③7是49的算術(shù)平方根，即④7是的算術(shù)平方根，即其中正確的是（）A．①③ B．②③ C．②④ D．①④例3．（2021·平泉市教育局教研室七年級(jí)期末）如圖，把兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形分別沿對(duì)角線剪開，將四個(gè)直角三角形拼成一個(gè)大的正方形，則這個(gè)大正方形的邊長(zhǎng)為（）A．2 B．1.5 C． D．變式4．（2021·西寧市海湖中學(xué)七年級(jí)期中）如果一個(gè)正方形的面積為3，則這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是_______．知識(shí)點(diǎn)12平方根1）平方根的概念：如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫作a的平方根或者二次方根。求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫作開平方。注：=1\*GB3①“”表示算數(shù)平方根的意思，平方根表示為“”=2\*GB3②正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)。且正數(shù)根即為算術(shù)平方根；=3\*GB3③0的平方根和算術(shù)平方根都為0；=4\*GB3④負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根和算術(shù)平方根。2）特點(diǎn)：算術(shù)平方根是平方根正值部分；平方根是算術(shù)平方根及其相反數(shù)。3）產(chǎn)生的原因：若a>0；（a）1=a1；（a）2=a2；（a）3=a3；（a）4=a4奇數(shù)次方時(shí)，符號(hào)不變，結(jié)果仍為負(fù)數(shù)；偶數(shù)次方時(shí)，值變?yōu)檎龜?shù)（與正數(shù)的對(duì)應(yīng)次方的值相同）因此，奇數(shù)次方，一個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)結(jié)果；偶數(shù)次方，兩個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)結(jié)果，且這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)。4）開方是次方的逆運(yùn)算。5）預(yù)測(cè)：=1\*GB3①奇數(shù)次開方，沒(méi)有算術(shù)平方根與平方根區(qū)別，結(jié)果僅為一個(gè)值；=2\*GB3②偶數(shù)次開方，會(huì)存在兩值的情況。例1．（2021·河南七年級(jí)期中）“49的平方根是”的表達(dá)式正確的是（）A． B． C． D．變式1．（2020·廣東白云初二期末）下列說(shuō)法正確的是（）A．的平方根是 B．的平方根 C．的平方根 D．的平方根變式2．（2021·成都市初二課時(shí)練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是()A．任何非負(fù)數(shù)都有兩個(gè)平方根 B．一個(gè)正數(shù)的平方根仍然是正數(shù)C．只有正數(shù)才有平方根 D．負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根例2．（2021·黑龍江甘南初二期末）的平方根是____．變式3．（2021·遼寧八年級(jí)期末）（﹣）2的平方根是（）A．﹣ B． C．± D．±變式4．（2021·湖北七年級(jí)期中）的平方根是（）A． B． C．± D．±例3．（2021·山西渾源初二期中）下列各式正確的是（）A．B．C．D．變式5．（2021·湖北七年級(jí)期末）下列各式中，正確的是（）A． B． C． D．變式6．（2021·北京海淀·七年級(jí)期中）下列各數(shù)中一定有平方根的是（）A． B． C． D．例4．（2021·廣東）若一個(gè)正數(shù)m的兩個(gè)平方根分別是a1和42a，則m的值為________．變式7．（2021·湖南七年級(jí)期末）王老師給同學(xué)們布置了這樣一道習(xí)題：一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根為，它的平方根為，求這個(gè)正數(shù)．小達(dá)的解法如下：依題意可知：解得：則：，所以這個(gè)正數(shù)為．王老師看后說(shuō)，小達(dá)的解法不完整，請(qǐng)同學(xué)們給出這道習(xí)題完整的解法．變式8．（2021·山東七年級(jí)期中）中國(guó)清代學(xué)者華衡芳和英國(guó)人傅蘭雅合譯英國(guó)瓦里斯的《代數(shù)學(xué)》，卷首有“代數(shù)之法，無(wú)論何數(shù)，皆可以任何記號(hào)代之”，說(shuō)明了所謂“代數(shù)”，就是用符號(hào)來(lái)代表數(shù)的一種方法，若一個(gè)正數(shù)的平方根分別是2a﹣3和5﹣a，則這個(gè)正數(shù)是___．例5．（2021·舒蘭市教師進(jìn)修學(xué)校七年級(jí)期末）利用平方根的意義求方程中的值．變式9．（2021·浙江七年級(jí)期中）若，則x的值是_________．知識(shí)點(diǎn)13算術(shù)平方根的性質(zhì)及應(yīng)用1）算術(shù)平方根a有意義，存在“雙重非負(fù)性”：=1\*GB3①a≥0；=2\*GB3②a≥0例1．（2021·四川北大附中成都為明學(xué)校八年級(jí)期中）已知，求的平方根．變式1．（2021·張家港市梁豐初級(jí)中學(xué)八年級(jí)月考）若為實(shí)數(shù)，且滿足，則的值是___________．變式2．（2021·四川省綿陽(yáng)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)期中）已知a2+＝4a﹣4，則的平方根是________．例2．（2021·全國(guó)八年級(jí)專題練習(xí)）已知和互為相反數(shù)，且，求的值．變式3．（2021·四平市第三中學(xué)校初二月考）已知與與是互為相反數(shù)．求：4a+b的平方根．例3．（2021·湖北）已知為正數(shù)，且，如果以的長(zhǎng)為直角邊作一個(gè)直角三角形，那么以這個(gè)直角三角形的斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積為__________．變式4．（2021·黑龍江八年級(jí)期末）若直角三角形的兩邊長(zhǎng)為a、b，且滿足，則該直角三角形的第三邊長(zhǎng)是_____．知識(shí)點(diǎn)14立方根1）立方根的概念：如果一個(gè)數(shù)x的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)x叫作a的立方根或三次方根，a叫作被開立方數(shù)，求數(shù)x的過(guò)程的運(yùn)算叫作開立方。記作：2）立方根的特點(diǎn)：=1\*GB3①3a，a可以為任意數(shù)（a>0，a=0，a<0）=2\*GB3②&正數(shù)的立方根為正數(shù)&負(fù)數(shù)的立方根為負(fù)數(shù)&=3\*GB3③3-a=3）比較平方根立方根表示 范圍 a0 a為任意數(shù)值 兩個(gè)值 唯一值例1.（2021?白云區(qū)期末）下列說(shuō)法正確的是（）A．64的立方根是±364=±4 B．-12C．3-27=-327 D變式1．（2021·山東單縣初二期末）下列語(yǔ)句正確的是__________（只填序號(hào)）．①的算術(shù)平方根是2；②36的平方根是6；③的立方根是；④的立方根是例2.（2021春?倉(cāng)山區(qū)期中）如果﹣a是b的立方根，那么下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)是﹣b的立方根 B．a(chǎn)是b的立方根 C．﹣a是﹣b的立方根 D．±a都是b的立方根變式2．（2020·河北省初二期中）一個(gè)自然數(shù)的立方根為a，則下一個(gè)自然數(shù)的立方根是（）A．a(chǎn)+1 B． C． D．a(chǎn)3+1變式3．（2021·福建漳州市·八年級(jí)期中）按照下列程序進(jìn)行計(jì)算，最后輸出的答案是（）A． B． C． D．例3．（2021·民勤縣第六中學(xué)七年級(jí)期中）的平方根是______．＝______．變式4．（2020·四川涼山初二期末）的算術(shù)平方根是______，立方根是它本身的數(shù)是________．例4．（2021·山東七年級(jí)期中）一般的，如果，則稱x為a的四次方根，一個(gè)正數(shù)a的四次方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，記為，若，則m=______．變式5．（2021·山東七年級(jí)期中）本學(xué)期《實(shí)數(shù)》中，我們學(xué)習(xí)了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分內(nèi)容：平方根立方根定義一般地，如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a，即x2＝a，那么這個(gè)數(shù)x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）．一般地，如果一個(gè)數(shù)x的立方等于a即x＝a，那么這個(gè)數(shù)x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）．運(yùn)算求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算叫做開平方．開平方和平方互為逆運(yùn)算．求一個(gè)數(shù)a的立方根的運(yùn)算叫做開立方．開立方和立方互為逆運(yùn)算．性質(zhì)一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)：0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根．正數(shù)的立方根是正數(shù)；0的立方根是0；負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)．表示方法正數(shù)a的平方根可以表示為“±”．一個(gè)數(shù)a的立方根可以表示為“”．今天我們類比平方根和立方根的學(xué)習(xí)方法學(xué)習(xí)四次方根類比探索：（1）探索定義：填寫下表：x411681x類比平方根和立方根，給四次方根下定義：（2）探究性質(zhì)①1的四次方根是；②16的四次方根是；③的四次方根是；④12的四次方根是；⑤0的四次方根是；⑥﹣625（填“有”或“沒(méi)有”）四次方根．類比平方根和立方根的性質(zhì)，歸納四次方根的性質(zhì)：．（3）拓展應(yīng)用：在探索過(guò)程中，你用到了哪些數(shù)學(xué)思想？請(qǐng)寫出兩個(gè)：．變式6．（2021·上海七年級(jí)期中）的四次方根是__________．例5．（2021·山西渾源初二期中）求下列各式中的x值:（1）16（x+1）2＝25;（2）8（1﹣x）3＝125變式7．（2021·朔州市第二中學(xué)校初中部七年級(jí)期中）求出下列各式中的x的值．（1）（2）知識(shí)點(diǎn)15有理數(shù)與無(wú)理數(shù)1）無(wú)理數(shù)：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。例：等注：=1\*GB3①分?jǐn)?shù)都是有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)=2\*GB3②兩個(gè)無(wú)理數(shù)之間運(yùn)算，結(jié)果可能是有理數(shù)。例：×（兩個(gè)有理數(shù)之間運(yùn)算，結(jié)果仍然是有理數(shù)）2）有理數(shù)：整數(shù)和分?jǐn)?shù)的集合例1．（2021·湖北七年級(jí)期末）有下列各數(shù)：﹣，，0.02002000200002…（相鄰兩個(gè)2之間0的個(gè)數(shù)依次多1），﹣8，3，，．其中，無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5變式2．（2021·諸暨市開放雙語(yǔ)實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)期中）下列各數(shù)中有理數(shù)有（）個(gè)，1，，3.14，，，，3.131131113……(兩個(gè)3之間依次多1個(gè)1)A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)例2．（2021·黃梅縣教育科學(xué)研究所七年級(jí)期末）下列判斷：①一個(gè)數(shù)的平方根等于它本身，這個(gè)數(shù)是0和1；②實(shí)數(shù)分為正實(shí)數(shù)和負(fù)實(shí)數(shù)；③2的算術(shù)平方根是；④無(wú)理數(shù)是帶根號(hào)的數(shù)．正確的是（）A．① B．② C．③ D．④變式2．（2020·黑龍江甘南初二期末）下列說(shuō)法中正確的是（

）A．無(wú)限小數(shù)是無(wú)理數(shù) B．用根號(hào)形式表示的數(shù)是無(wú)理數(shù)C．無(wú)理數(shù)是無(wú)限小數(shù) D．無(wú)理數(shù)是開方開不盡的數(shù)例3．（2020·河北省初三一模）如圖是一個(gè)無(wú)理數(shù)生成器的工作流程圖，根據(jù)該流程圖，下面說(shuō)法：①當(dāng)輸出值y為時(shí)，輸入值x為3或9；②當(dāng)輸入值x為16時(shí)，輸出值y為；③對(duì)于任意的正無(wú)理數(shù)y，都存在正整數(shù)x，使得輸入x后能夠輸出y；④存在這樣的正整數(shù)x，輸入x之后，該生成器能夠一直運(yùn)行，但始終不能輸出y值．其中錯(cuò)誤的是（）A．①② B．②④ C．①④ D．①③變式3．（2021·河北八年級(jí)期中）有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如圖所示，當(dāng)輸入的數(shù)x為﹣512時(shí)，輸出的數(shù)y的值是（）A．﹣ B． C．﹣2 D．2例4．（2021·重慶七年級(jí)期中）（發(fā)現(xiàn)）①；②；③；④；；根據(jù)上述等式反映的規(guī)律，請(qǐng)?jiān)賹懗鲆粋€(gè)等式：________．（歸納）等式①，②，③，④，所反映的規(guī)律，可歸納為一個(gè)真命題：對(duì)于任意兩個(gè)有理數(shù)，，若，則；（應(yīng)用）根據(jù)上述所歸納的真命題，解決下列問(wèn)題：若與的值互為相反數(shù)，求的值．知識(shí)點(diǎn)16實(shí)數(shù)的分類1）實(shí)數(shù)：有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)2）分類：實(shí)數(shù)&有理數(shù)&整數(shù)&分?jǐn)?shù)每個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示:反過(guò)來(lái)，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)，即實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的.因此，數(shù)軸正好可以被實(shí)數(shù)填滿.例1．（2021·南丹縣教學(xué)研究室七年級(jí)期末）把下列各數(shù)填在相應(yīng)的大括號(hào)里：，，0，，，，，3.24，．整數(shù)：；負(fù)分?jǐn)?shù)：；無(wú)理數(shù)：．變式1．（2021.河北省初二期中）把下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合圈里（填序號(hào)）⑴﹣30⑵⑶3.14⑷⑸0⑹+20⑺﹣2.6⑻⑼⑽⑾﹣0.5252252225…（每?jī)蓚€(gè)5之間依次增加1個(gè)2）⑿⒀例2．（2021·全國(guó)初二單元測(cè)試）下列說(shuō)法中，正確的是（）A．實(shí)數(shù)可分為正實(shí)數(shù)和負(fù)實(shí)數(shù) B．、、都是無(wú)理數(shù)C．絕對(duì)值最小的實(shí)數(shù)是 D．無(wú)理數(shù)包括正無(wú)理數(shù)，零和負(fù)無(wú)理數(shù)例3．（2021·湖南雨花·初二期末）有下列六種說(shuō)法：①數(shù)軸上有無(wú)數(shù)多個(gè)表示無(wú)理數(shù)的點(diǎn)；②帶根號(hào)的數(shù)不一定是無(wú)理數(shù)；③每個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上唯一的點(diǎn)來(lái)表示；④數(shù)軸上每一個(gè)點(diǎn)都表示唯一一個(gè)實(shí)數(shù)；⑤沒(méi)有最大的負(fù)實(shí)數(shù)，但有最小的正實(shí)數(shù)；⑥沒(méi)有最大的正整數(shù)，但有最小的正整數(shù)．其中說(shuō)法錯(cuò)誤的有（）A．⑤ B．②⑤ C．②④⑥ D．①②③④變式3．（2021·福建七年級(jí)期中）與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的是（）A．有理數(shù) B．整數(shù) C．自然數(shù) D．實(shí)數(shù)變式4．（2021·全國(guó)八年級(jí)專題練習(xí)）下列說(shuō)法：①有理數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)；②不帶根號(hào)的數(shù)一定是有理數(shù)；③負(fù)數(shù)沒(méi)有立方根；④17的平方根是﹣，其中正確的是（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)例4．（2021·湖南永州市·八年級(jí)期中）如圖，在數(shù)軸上作以邊長(zhǎng)為1的正方形，點(diǎn)在原點(diǎn)上，若，數(shù)軸上點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是（）A．B．C．D．1.4變式5．（2021·廣西壯族自治區(qū)初二期中）我們?cè)趯W(xué)習(xí)“實(shí)數(shù)”時(shí)畫了這樣一個(gè)圖，即“以數(shù)軸上的單位長(zhǎng)為‘1’的線段作一個(gè)正方形，然后以原點(diǎn)O為圓心，正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為半徑畫弧交數(shù)軸于點(diǎn)A”，請(qǐng)根據(jù)圖形回答下列問(wèn)題：(1)線段OA的長(zhǎng)度是多少?(要求寫出求解過(guò)程)(2)這個(gè)圖形的目的是為了說(shuō)明什么?(3)這種研究和解決問(wèn)題的方式體現(xiàn)了的數(shù)學(xué)思想方法.(將下列符合的選項(xiàng)序號(hào)填在橫線上)A．?dāng)?shù)形結(jié)合B．代入C．換元D．歸納知識(shí)點(diǎn)17實(shí)數(shù)的有關(guān)概念及運(yùn)算1）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，相反數(shù)、倒數(shù)絕對(duì)值的意義和有理數(shù)范圍內(nèi)的相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值的意義完全相同、2）實(shí)數(shù)和有理數(shù)一樣，可以進(jìn)行加、減、乘、除乘方運(yùn)算，而且有理數(shù)的運(yùn)算法則與運(yùn)算律對(duì)實(shí)數(shù)仍然適用。例1．（2021·廈門市湖濱中學(xué)初二期中）計(jì)算下列各題：（1）4的平方根是______；（2）25的算術(shù)平方根是____；（3）8的立方根是______；（4）的相反數(shù)是_____；（5）的絕對(duì)值是_____；（6）___3；（填＞，＜或＝)變式1．（2021·福建漳州市·八年級(jí)期中）下面與互為相反數(shù)的是（）A． B． C．5 D．變式2．（2021·全國(guó)初二課時(shí)練習(xí)）的算術(shù)平方根的倒數(shù)是（）A．4 B． C．2 D．變式3．（2021·遼寧）的倒數(shù)是____，3﹣的絕對(duì)值是______．例2．（2021·河北八年級(jí)期中）＝______．變式4．（2021·吉林八年級(jí)期中）的絕對(duì)值是______．例3．（2021·山東八年級(jí)期中）計(jì)算下列各題：（1）；（2）變式5．（2021·安徽七年級(jí)期中）計(jì)算﹣﹣的結(jié)果為（）A．4 B．﹣4 C．10 D．﹣10變式6．（2021·南丹縣教學(xué)研究室七年級(jí)期末）計(jì)算：_______知識(shí)點(diǎn)18實(shí)數(shù)的大小比較與估算1）數(shù)軸法在數(shù)軸上，右邊的點(diǎn)表示的數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示的數(shù)大，2）利用法則正實(shí)數(shù)都大于0，負(fù)實(shí)數(shù)都小于0;正實(shí)數(shù)大于一切負(fù)實(shí)數(shù):兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)相比較，絕對(duì)值大的反而小.3）要估算3a的近似值，第一步先確定估算數(shù)的整數(shù)范圍，如23＜10＜33第二步以較小整數(shù)為基礎(chǔ)，開始逐步加0.1（或以較大整數(shù)為基礎(chǔ)，開始逐步減0.1），并求其立方確定估算數(shù)的十分位；后續(xù)小數(shù)重復(fù)如上步驟。平方根的估算同理可得。例1．（2021·四川省崇慶中學(xué)初中校區(qū)初二月考）比較實(shí)數(shù)的大小:(1)___；（2）___變式1．（2021·云南臨滄市·七年級(jí)期中）比較：______（填“”“”或“”）變式2．（2021·廣州市番禺區(qū)市橋東風(fēng)中學(xué)七年級(jí)期中）比較大小