第16講應用二元一次方程組-六大類型（知識解讀題型精講隨堂檢測）（原卷版）

第16講應用二元一次方程組六大類型一、二元一次方程的解題步驟步驟1．審題：透徹理解題意，弄清問題中的已知量和未知量，找出問題給出和涉及的相等關系；2．設元（未知數(shù)）：根據(jù)題意，可以直接設未知數(shù)，也可以間接設未知數(shù)；3．列代數(shù)式和方程組：用含所設未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知數(shù)，根據(jù)題中給出的等量關系列出方程組，一般情況下，未知數(shù)個數(shù)與方程個數(shù)是相同的；4．解方程組；5．檢驗：檢驗方程的根是否符合題意；6．作答：檢驗后作出符合題目要求的答案．二、基本公式單價×數(shù)量=總價利潤=實際售價成本實際售價=標價（原價）×折扣利潤率=×100【題型1：雞兔同籠問題】【典例1】（2023春?福清市期末）小明同學仿照我國古代經(jīng)典的“雞兔同籠”問題給小石同學出了一道題目：“今有雞兔同籠，上有十二頭，下有四十足，問雞兔各幾何？”．若小石同學設籠中有雞x只，兔y只，則根據(jù)題意可列方程組為．【變式11】（2023?余姚市校級模擬）“雞兔同籠”是我國古代算術名著《孫子算經(jīng)》中的第31題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足．問雞兔各幾何？”若設雞有x只，兔有y只，則可以列出關于x、y的二元一次方程組為．【變式12】（2022秋?成都期末）《孫子算經(jīng)》是我國古代一部較為普及的算書，許多問題淺顯有趣．其中下卷第31題“雉兔同籠”流傳尤為廣泛，漂洋過海流傳到了日本等國．“雉兔同籠”題為：“今有雉（雞）兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足．問雉兔各幾何？”設雉（雞）有x只，兔有y只，則可列方程組為．【題型2：牛羊值金問題】【典例2】（2022?二道區(qū)校級模擬）中國的《九章算術》是世界現(xiàn)代數(shù)學的兩大源泉之一，其中有一問題：“今有牛五、羊二，直金十兩，牛二、羊五，直金八兩．問牛、羊各直金幾何？“譯文：今有牛5頭，羊2頭，共值金10兩；牛2頭，羊5頭，共值金8兩．問牛、羊每頭各值金多少？設牛、羊每頭各值金x兩、y兩，依題意，可列出方程組為（）A． B． C． D．【變式21】（2022春?文峰區(qū)校級期末）中國古代人民很早就在生產(chǎn)生活中發(fā)現(xiàn)了許多有趣的數(shù)學問題，其中《九章算術》卷八方程第七題原文為：“今有牛五、羊二，直金十兩．牛二、羊五，直金八兩．問牛、羊各直金幾何？”題目大意是：現(xiàn)有5頭牛和2只羊共值10兩金子，2頭牛和5只羊共值8兩金子，那么每頭牛，每只羊各值多少兩金子？設1頭牛值x兩金子，1只羊值y兩金子，那么，符合題意的方程組是（）A． B． C． D．【變式22】（2023?大連一模）《九章算術》卷八方程【七】中記載：“今有牛五、羊二，值金十兩．牛二、羊五，值金八兩．牛、羊各值金幾何？”題目大意是：5頭牛、2只羊共值金10兩，2頭牛、5只羊共值金8兩，每頭牛、每只羊各值金多少兩？若設一頭牛值金x兩，一只羊值金y兩，則可列方程組為．【變式23】（2022春?商南縣校級期末）《九章算術》卷八方程第七題原文：“今有牛五、羊二，直金十兩．牛二、羊五直金八兩向牛，羊各直金幾何？”題目大意：現(xiàn)有5只牛、2只羊，共價值10兩.2只牛，5只羊共價值8兩，那么每只牛、羊各價值多少？設每只牛、羊價值分別為x兩，y兩，則可列方程組：．【題型3：幾何問題】【典例3】（2023春?方城縣期中）小明在拼圖時發(fā)現(xiàn)8個一樣大小的長方形恰好可以拼成一個大的長方形如圖（1），小紅看見了說：“我也來試一試．”結(jié)果小紅七拼八湊，拼成了如圖（2）那樣的正方形，中間還留下了一個洞，恰好是邊長為1mm的小正方形．請問每個小長方形的面積是多少？【變式31】（2023春?伊犁州期末）如圖，10塊相同的長方形墻磚拼成一個長方形，設長方形墻磚的長和寬分別為x厘米和y厘米，則依題意列方程組正確的是（）A． B． C． D．【變式32】（2023春?江源區(qū)期末）如圖，寬為50cm長方形圖案由10個相同的小長方形拼成，求每塊小長方形的長和寬分別是多少？【題型4：球賽積分問題】【典例4】（2022秋?安鄉(xiāng)縣期末）在一次有12個隊參加的足球循環(huán)賽（每兩隊之間必須比賽一場）中，規(guī)定勝一場記3分，平一場記1分，負一場記0分．某隊在這次循環(huán)賽中所勝場數(shù)比所負場多兩場，結(jié)果積18分，問該隊戰(zhàn)平幾場？【變式41】（2023?皇姑區(qū)開學）甲、乙兩人進行射擊比賽，他們約定：每射中一發(fā)記20分，脫靶一發(fā)扣12分．兩個人各打10發(fā)，共得208分，其中甲比乙多得64分．（1）求甲、乙兩人各得多少分（2）求甲、乙兩人各射中多少發(fā)．【變式42】（2023春?樂山期末）在CBA季后賽的一場焦點大戰(zhàn)中，一位球員在比賽中的技術統(tǒng)計如下表所示：技術上場時間（分鐘）出手投籃（次）投中（次）罰球得分籃板（個）助攻（次）個人總得分數(shù)據(jù)403813911840（注：表中出手投籃和投中次數(shù)均不包含罰球）根據(jù)以上信息，求本次比賽中該運動員投中2分和投中3分的個數(shù)．【變式43】（2022秋?岳麓區(qū)校級期末）足球比賽的規(guī)則為勝一場得3分，平一場得1分，負一場是0分．某隊踢了17場比賽，負了5場，共得28分，那么這個隊勝了多少場？【題型5：盈不足問題】【典例5】（2023?長嶺縣一模）《九章算術》是中國古代數(shù)學專著，在數(shù)學上有其獨到的成就，不僅最早提到了分數(shù)問題，也首先記錄了“盈不足”等問題．如有一道闡述“盈不足”的問題，原文如下：今有共買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六．問人數(shù)、雞價各幾何？譯文為：現(xiàn)有若干人合伙出錢買雞，如果每人出9文錢，就會多11文錢；如果每人出6文錢，又會缺16文錢．問買雞的人數(shù)、雞的價格各是多少？設共有x人買雞，雞價為y文錢，可列方程組為．【變式51】（2023?渝中區(qū)校級一模）在一次設計環(huán)保標志的活動中，初三（1）班的同學們積極投稿，班主任王老師準備了若干盒巧克力獎勵給本班投稿的同學，若每2位同學獎勵一盒巧克力，則少2盒；若每3位同學獎勵一盒巧克力，則又多了3盒，設該班投稿的同學有x人，巧克力有y盒，根據(jù)題意得方程組（）A． B． C． D．【變式52】（2023春?通州區(qū)期末）習近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然之氣”．某校為提高學生的閱讀品味，現(xiàn)決定購買獲得第十屆茅盾文學獎的《北上》（徐則臣著）和《牽風記》（徐懷中著）兩種書．已知購買1本《北上》和2本《牽風記》需80元；購買5本《北上》與購買6本《牽風記》的價格相同．如果設《北上》的單價是x元，《牽風記》的單價是y元．那么根據(jù)題意列方程組正確的是（）A． B． C． D．【題型6：經(jīng)濟問題】【典例6】（2022秋?渠縣期末）正值春夏換季的時節(jié)，某商場用12000元分別以每件120元和60元的價格購進了某品牌襯衫和短袖共140件．（1）商場本次購進了襯衫和短袖各多少件？（2）若該商場以每件180元的價格銷售了襯衫總進貨量的25%，將短袖在成本的基礎上提價20%銷售，在銷售過程中，有5件襯衫因損壞無法銷售，為了減少庫存積壓，該商場準備將剩下的襯衫在原售價的基礎上降價銷售，每件襯衫降價多少元，該商場銷售完這批襯衫和短袖正好達到利潤25.5%的預期目標．【變式61】（2022春?乳山市期中）某服裝店用6000元購進A，B兩種新式服裝，按標價售出后可獲得毛利潤3800元（毛利潤＝售價﹣進價），這兩種服裝的進價、標價如表所示：A種B種進價（元/件）60100標價（元/件）100160（1）這兩種服裝各購進的件數(shù)；（2）如果A中服裝按標價的8折出售，B種服裝按標價的7折出售，那么這批服裝全部售完后，服裝店的利潤元．【變式62】（2023?鶴城區(qū)校級開學）在疫情防控期間，某中學為保障廣大師生生命健康安全，預從商場購進一批免洗手消毒液和84消毒液．如果購買40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共需花費1320元，如果購買60瓶免洗手消毒液和120瓶84消毒液，共需花費1860元．（1）每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的價格分別是多少元？（2）若商場有兩種促銷方案：方案一，所有購買商品均打八折；方案二，購買5瓶免洗手消毒液送2瓶84消毒液，學校打算購進免洗手消毒液100瓶，84消毒液60瓶，請問學校選用哪種方案更節(jié)約錢？節(jié)約多少錢？【題型7：方案問題】【典例7】（2022春?黃埔區(qū)期末）某電腦公司有A型、B型、C型三種型號的電腦，其中A型每臺6000元、B型臺4000元、C型每臺2500元．某中學現(xiàn)有資金100500元，計劃全部用于從這家電腦公司購進36臺兩種型號的電腦．請你設計幾種不同的購買方案供這個學校選選擇，并說明理由．【變式71】（2022春?渝中區(qū)校級月考）北京冬奧會，給世界一個溫暖的擁抱；北京冬奧會，讓世界見證了中國科技和中國智慧；北京冬奧會，讓世界記住了一個冬奧明星“冰墩墩”．某商場為了跟上冬奧的腳步，計劃用1050元從廠家購進30個冰墩墩產(chǎn)品，已知該廠家生產(chǎn)冰墩墩鑰匙扣、冰墩墩手辦、冰墩墩挎包三種不同的冰墩墩產(chǎn)品，設冰墩墩手辦、冰墩墩挎包應各買入x，y個，其中每個的價格、銷售獲利如表：冰墩墩鑰匙扣冰墩墩手辦冰墩墩挎包價格（元/個）254050銷售獲利（元/個）121520（1）購買冰墩墩鑰匙扣個（用含x，y的代數(shù)式表示）；（2）若商場同時購進三種不同的冰墩墩產(chǎn)品（每種產(chǎn)品至少有一個），恰好用了1050元，則商場有哪幾種購進方案？（3）在第（2）題的基礎上，為了使銷售時獲利最多，應選擇哪種購進方案？此時獲利為多少？【變式72】（2022秋?吉州區(qū)期末）某藥店出售A、B兩種N95的口罩，已知該店進貨4個A種N95口罩和2個B種N95口罩共需22元，進貨8個A種N95口罩所需費用比進貨4個B種N95口罩所需費用多4元．（1）請分別求出A、B兩種N95口罩的進價是多少元？（2）已知藥店將A種N95口罩每個提價1元出售，B種N95口罩每個提價20%出售，小雅在該藥店購買A、B兩種N95口罩（兩種口罩均要購買），共花費40元，小雅有哪幾種購買方案？【變式73】（2022秋?中原區(qū)校級期末）一方有難，八方支援．鄭州暴雨牽動數(shù)萬人的心，眾多企業(yè)也伸出援助之手．某公司購買了一批救災物資并安排兩種貨車運往鄭州．調(diào)查得知，2輛小貨車與3輛大貨車一次可以滿載運輸1800件；3輛小貨車與4輛大貨車一次可以滿載運輸2500件．（1）求1輛大貨車和1輛小貨車一次可以分別滿載運輸多少件物資？（2）現(xiàn)有3100件物資需要再次運往鄭州，準備同時租用這兩種貨車，每輛均全部裝滿貨物，問有哪幾種租車方案？（3）在（2）的條件下，若1輛小貨車需租金400元/次，1輛大貨車需租金500元/次．請選出費用最少的租車方案，并求出最少的租車費用．1．（2023春?五蓮縣期末）小華和爸爸一起玩“擲飛鏢”游戲．游戲規(guī)則：站在5米開外朝飛鏢盤扔飛鏢，若小華投中1次得5分，爸爸投中1次得3分．結(jié)果兩人一共投中了20次，經(jīng)過計算發(fā)現(xiàn)爸爸的得分比小華的得分多4分．設小華投中的次數(shù)為x，爸爸投中的次數(shù)為y，根據(jù)題意列出的方程組正確的是（）A． B． C． D．2．（2023春?新田縣期末）從甲地到乙地有一段上坡路與一段下坡路．如果上坡平均每小時走2km，下坡平均每小時走3km，那么從甲地走到乙地需要15分鐘，從乙地走到甲地需要20分鐘．若設從甲地到乙地上坡路程為xkm，下坡路程為ykm，則所列方程組正確的是（）A． B． C． D．3．（2023?龍崗區(qū)校級模擬）我國古代《算法統(tǒng)宗》里有這樣一首詩：“我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”詩中后兩句的意思是：如果每一間客房住7人，那么有7人無房??；如果每一間客房住9人，那么就空出一間客房．設該店有客房x間、房客y人，下列方程組中正確的是（）A． B． C． D．4．（2023?邗江區(qū)二模）《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學著作，成書大約在一千五百年前．其中一道題，原文是：“今三人共車，兩車空；二人共車，九人步．問人與車各幾何？”意思是：現(xiàn)有若干人和車，若每輛車乘坐3人，則空余兩輛車；若每輛車乘坐2人，則有9人步行．問人與車各多少？設有x人，y輛車，可列方程組為（）A． B． C． D．5．（2023春?河口區(qū)期末）我國明代《算法統(tǒng)宗》一書中有這樣一題：“一支竿子一條索，索比竿子長一托，對折索子來量竿，卻比竿子短一托（一托按照5尺計算）．”大意是：現(xiàn)有一根竿和一條繩索，如果用繩索去量竿，繩索比竿長5尺；如果將繩索對折后再去量竿，就比竿短5尺，則繩索長幾尺？設竿長x尺，繩索長y尺，根據(jù)題意可列方程組為（）A． B． C． D．6．（2023春?岳池縣期末）某種儀器由1個A部件和2個B部件配套構(gòu)成，每個工人每天可以加工A部件50個或者加工B部件60個，現(xiàn)有工人72名，應怎樣安排人力，才能使每天生產(chǎn)的A部件和B部件配套？設安排x個人生產(chǎn)A部件，安排y個人生產(chǎn)B部件．則列出二元一次方程組為（）A． B． C． D．7．（2023春?鹽山縣期末）把一堆練習本分給學生，如果每名學生分4本，那么多4本；如果每名學生分5本，那么最后1名學生只有3本．設有x名學生，y本書，根據(jù)題意，可列方程組為（）A． B． C． D．8．（2023?泰山區(qū)校級三模）《孫子算經(jīng)》中有一道題：“今有木，不知長短，引繩度之，余繩五尺四寸：屈繩量之，不足一尺，木長幾何？”譯文大致是：“用一根繩子去量一根木條，繩子剩余5.4尺；將繩子對折再量木條，木條剩余1尺，問木條長多少尺？”如果設木條長x尺，繩子長y尺，可列方程組為（）A． B． C． D．9．（2023?天心區(qū)校級三模）中國清代算書《御制數(shù)理精蘊》中有這樣一題：“馬六匹、牛五頭，共價四十四兩；馬二匹、牛三頭，共價二十四兩．問馬、牛各價幾何？”設馬每匹x兩，牛每頭y兩，根據(jù)題意可列方程組為（）A． B． C． D．10．（2023?天山區(qū)校級二模）如圖，在長為15，寬為12的矩形中，有形狀、大小完全相同的5個小矩形，若求陰影部分的面積，應先求一個小矩形的面積，設小矩形的長為x，寬為y，則列方程組為（）A． B． C． D．11．（2023春?高要區(qū)期末）某校有兩種類型的學生宿舍30間，大宿舍每間可住8人，小宿舍每間可住5人．該校198個住宿生恰好住滿30間宿舍．設大宿舍有x間，小宿舍有y間，得方程組（）A． B． C． D．12．（2022秋?碑林區(qū)校級期末）《九章算術》中記載：“今有大器五、小器一容三斛：大器一、小器五容二斛，問大小器各容幾何？”譯文：“今有大容器5個、小容器1個，總?cè)萘繛?斛；大容器1個、小容器5個，總?cè)萘繛?斛．問大小容器的容器各是多少斛？”設1個大容器的容積為x斛，1個小容器的容積y斛，則根據(jù)題意可列方程組（）A． B． C． D．13．（2023春?雙鴨山期末）《九章算術》其中《卷第八方程》記載：“今有甲乙二人持錢不知其數(shù)，甲得乙半而錢五十，乙得甲太半而亦錢五十，問甲、乙持錢各幾何？”譯文是：今有甲、乙兩人持錢不知道各有多少，甲若得到乙所有錢的，則甲有50錢，乙若得到甲所有錢的，則乙也有50錢．問甲、乙各持錢多少？設甲持錢數(shù)為x錢，乙持錢數(shù)為y錢，則下列符合題意的方程組是（）A． B． C． D．14．（2023春?灤州市期中）小紅家離學校1500米，其中有一段為上坡路，另一段為下坡路，她去學校共用了18分鐘，假設小紅上坡路的平均速度是2千米/時，下坡路的平均速度是3千米/時，若設小紅上坡用了x分鐘，下坡用y分鐘，根據(jù)題意可列方程組為（）A． B． C． D．15．（2023?梅縣區(qū)一模）《九章算術》中記載：“今有人共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，問人數(shù)、羊價各幾何？”其大意是：今有人合伙買羊，若每人出5錢，還差45錢；若每人出7錢，還差3錢，問合伙人數(shù)、羊價各是多少？設合伙人數(shù)為x人，羊價為y錢，根據(jù)題意，可列方程組為（）A． B． C． D．16．（2023春?甌海區(qū)期中）張氏包裝廠承接了一批紙盒加工任務，用如圖1所示的長方形和正方形紙板做側(cè)面和底面，做成如圖2所示的豎式與橫式兩種無蓋的長方體紙盒（加工時接縫材料不計）．（1）做1個豎式紙盒和2個橫式紙盒，需要正方形紙板張，長方形紙板張．（2）若該廠購進正方形紙板162張，長方形紙板338張，問豎式紙盒、橫式紙盒各加工多少個，恰好能將購進的紙板全部用完？（3）該廠某一天使用的材料清單上顯示，這天一共使用正方形紙板162張，長方形紙板a張，全部加工成上述兩種紙盒，且290＜a＜300．試求在這一天加工兩種紙盒時，a的所有可能值．（直接寫出答案）17．（2023?上蔡縣校級開學）土耳其地震后，某華資集團為災區(qū)購進A，B兩種救災物資100噸，共用去300萬元，A種物資每噸2.7萬元，B種物資每噸3.7萬元．（1）求A，B兩種物資各購進了多少噸？（2）該集團租用了大、小兩種貨車若干輛正好將這些物資一次性運往災區(qū)，每輛大貨車可運8噸A種物資和3.5噸B種物資，每輛小貨車可運6噸A種物資