專題28.5解直角三角形的應(yīng)用方向角問題大題專項提升訓(xùn)練（重難點培優(yōu)）-2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊尖子生培優(yōu)題典

20212022學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊尖子生培優(yōu)題典【人教版】專題28.5解直角三角形的應(yīng)用：方向角問題大題專項提升訓(xùn)練（重難點培優(yōu)）一．解答題（共24小題）1．（2022秋?乳山市期中）一次數(shù)學(xué)活動課上，老師帶領(lǐng)學(xué)生去測一條東西流向的河寬，如圖所示，小明在河北岸點A處觀測到河對岸有一點C在A的南偏西60°的方向上，沿河岸向西前行20m到達(dá)B處，又測得C在B的南偏西45°的方向上，請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，幫助小明計算出這條河的寬度．（結(jié)果保留根號）【分析】過點C作CD⊥AB于D．構(gòu)造直角三角形，設(shè)CD＝xm，列出關(guān)于x的比例式，再根據(jù)三角函數(shù)的定義解答即可．【解答】解：如圖，過點C作CD⊥AB于D．設(shè)CD＝xm，在Rt△BCD中，∵∠CBD＝45°，∴BD＝CD＝xm．在Rt△ACD中，∠DAC＝90°﹣60°＝30°，AD＝AB+BD＝（20+x）m，CD＝xm，∴CD＝tan30°?AD，∴x＝（20+x），解得x＝10（+1），∴CD＝10（+1）m．答：這條河的寬度約為10（+1）m．2．（2022秋?北碚區(qū)校級期中）如圖，一艘位于碼頭C正東方向的貨船D，沿正南方向行駛120千米到達(dá)碼頭A處，此時測得碼頭B位于碼頭A北偏西60°方向，貨船以30千米/小時的速度勻速從碼頭A去碼頭B取貨，再以相同的速度將貨物送往碼頭C，此時測得碼頭B位于碼頭C南偏西15°方向，碼頭A位于碼頭C南偏東30°方向，（忽略貨船取貨時間，≈1.4，≈1.7，≈2.4）（1）求碼頭A與碼頭C之間的距離（結(jié)果保留根號）（2）貨船能否在6小時內(nèi)完成取貨送貨任務(wù)？請說明理由．【分析】（1）根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系可得答案；（2）構(gòu)造兩個直角三角形，分別在兩個含有特殊銳角的直角三角形中，求出AB、BC，再根據(jù)速度、時間、路程之間的關(guān)系求出所用的時間即可．【解答】解：（1）由題意可知，∠CAD＝∠ACS＝30°，∠BCS＝15°，AD＝120，∠BAD＝60°，在Rt△ACD中，AD＝120，∠CAD＝30°，∴AC＝＝80（千米），答：碼頭A與碼頭C之間的距離為80千米；（2）如圖，過點B作BM⊥AC，垂足為M，∵∠BAD＝60°，∠CAD＝30°，∴∠BAM＝30°，∵∠ACS＝30°，∠BCS＝15°，∴∠ACB＝30°+15°＝45°，設(shè)CM＝x千米，則BM＝CM＝x千米，BC＝x千米，AM＝x千米，AB＝2x千米，∵AC＝80，即x+x＝80，∴x＝120﹣40，∴AB＝2x＝240﹣80≈104（千米），BC＝x＝120﹣40≈72（千米），∴需要時間為：（104+72）÷30≈5.8＜6（小時），∴貨船能在6小時內(nèi)完成取貨送貨任務(wù)，答：貨船能在6小時內(nèi)完成取貨送貨任務(wù)．3．（2022秋?萊西市期中）九年級二班學(xué)生到某勞動教育實踐基地開展實踐活動，當(dāng)天，他們先從基地門口A處向正北方向走了220米，到達(dá)菜園B處鋤草，再從B處沿正西方向走了200米，到達(dá)果園C處采摘水果，再向南偏東37°方向走了200米，到達(dá)手工坊D處進行手工制作，最后從D處回到門口A處．（1）求從手工坊D處回到門口A處的距離．（2）求從手工坊D處回到門口A處的方位角．[參考數(shù)據(jù)：sin37≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75]【分析】（1）過點D作DE⊥AB于點E，過點D作DF⊥BC于點F，根據(jù)余弦的定義求出DF，根據(jù)正弦的定義求出DE，根據(jù)勾股定理求出AD；（2）根據(jù)正弦的定義求出∠ADE，得到答案．【解答】解：（1）過點D作DE⊥AB于點E，過點D作DF⊥BC于點F，則四邊形EDFB是矩形，∴ED＝BF，DF＝EB，由題意得，CD＝200米，∠CDF＝37°，∴DF＝CD?cos∠CDF≈200×0.80＝160（米），CF＝CD?sin∠CDF≈200×0.60＝120（米），∴AE＝AB﹣BE＝220﹣160＝60（米），DE＝200﹣120＝80（米），由勾股定理得，AD＝＝＝100（米），答：從手工坊D處回到門口A處的距離約為100米；（2）在Rt△ADE中，sin∠ADE＝＝0.6，∴∠ADE＝37°，∴90°﹣37°＝53°，答：從手工坊D處回到門口A處的方位角為南偏東53°．4．（2022秋?九龍坡區(qū)校級月考）今年暑假，媽媽帶著明明去草原騎馬．如圖，媽媽位于游客中心A的正北方向的B處，其中AB＝2km．明明位于游客中心A的西北方向的C處．烈日當(dāng)空，媽媽準(zhǔn)備把包里的太陽帽給明明送去，于是，媽媽向正西方向勻速步行，同時明明騎馬向南偏東60°方向緩慢前進．15分鐘后，他們在游客中心A的北偏西37°方向的點D處相遇．（1）求媽媽步行的速度；（2）求明明從C處到D處的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.8，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.73，≈1.41，結(jié)果保留兩位小數(shù)）【分析】（1）根據(jù)正切函數(shù)求出BD的長，即路程，則速度＝路程÷時間，代入計算即可；（2）過點C作CE⊥AB交AB延長線于點E，設(shè)AE＝CE＝akm，過點D作DF⊥CE于點F，得矩形BEFD，可得EF＝DB＝1.5（km），DF＝BE＝AE﹣AB＝（a﹣2）km，CF＝CE﹣EF＝（a﹣1.5）km，在Rt△CDF中，由tan∠DCF＝，得出（a﹣1.5）＝a﹣2，解得a＝，進而求得DF，然后利用30度角所對直角邊等于斜邊的一半即可求得結(jié)果．【解答】解：（1）根據(jù)題意可知：AB＝2km，∠BAD＝37°，∴BD＝AB?tan37°≈2×0.75＝1.5（km），∴1.5÷＝6（km/h），答：媽媽步行的速度為6km/h；（2）如圖，過點C作CE⊥AB交AB延長線于點E，∵∠CAE＝45°，∠AEC＝90°，∴△AEC是等腰直角三角形，∴AE＝CE，設(shè)AE＝CE＝akm，過點D作DF⊥CE于點F，得矩形BEFD，∴EF＝DB＝1.5（km），DF＝BE＝AE﹣AB＝（a﹣2）km，∴CF＝CE﹣EF＝（a﹣1.5）km，在Rt△CDF中，tan∠DCF＝，∴tan30°≈，∴（a﹣1.5）＝a﹣2，∴a＝，∴DF＝a﹣2＝，∴CD＝2DF＝≈1.37（km）．答：明明從C處到D處的距離約為1.37km．5．（2022秋?九龍坡區(qū)校級期中）期中測試臨近學(xué)生都在緊張的復(fù)習(xí)中，小甘和小西相約周末去圖書館復(fù)習(xí)，如圖，小甘從家A地沿著正東方向走900m到小西家B地，經(jīng)測量圖書館C地在B地的北偏東15°，C地在A地的東北方向，（1）求AC的距離；（2）兩人準(zhǔn)備從B地出發(fā)，突然接到疾控中心通知，一名確診的新冠陽性患者昨天經(jīng)過了C地，并沿著C地南偏東22°走了1800m到達(dá)D地，根據(jù)相關(guān)要求，凡是確診者途徑之處800m區(qū)域以內(nèi)都會劃為管控區(qū)，問：小西家會被劃為管控區(qū)嗎？請說明理由（參考數(shù)據(jù)：≈1.73，≈1.41，≈2.45，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）．【分析】（1）過點B作BE⊥AC于點E，根據(jù)題意可得∠BAE＝45°，∠CBA＝90°+15°＝105°，AB＝900m，然后利用含30度角的直角三角形即可解決問題；（2）過點B作BF⊥CD于點F，根據(jù)題意可得∠GBC＝∠BCH＝15°，∠DCH＝22°，所以∠BCF＝15°+22°＝37°，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)即可解決問題．【解答】解：（1）如圖，過點B作BE⊥AC于點E，根據(jù)題意可知：∠BAE＝45°，∠CBA＝90°+15°＝105°，AB＝900m，∴∠BCE＝180°﹣45°﹣105°＝30°，∴BE＝AE＝AB＝450m，∴CE＝BE＝450m，∴AC＝AE+CE＝450+450＝450（+）≈450×3.86≈1737（m）；∴AC的距離約為1737m；（2）小西家會被劃為管控區(qū)，理由如下：如圖，過點B作BF⊥CD于點F，根據(jù)題意可知：∠GBC＝∠BCH＝15°，∠DCH＝22°，∴∠BCF＝15°+22°＝37°，在Rt△CBF中，CB＝2BE＝2×450＝900（m），∴BF＝CB?sin37°≈900×0.6≈764（m），∵764＜800，∴小西家會被劃為管控區(qū)．6．（2022秋?合川區(qū)校級月考）如圖，一艘輪船位于燈塔P的南偏東30°方向，距離燈塔100海里的A處，此時船長接到臺風(fēng)預(yù)警信息，臺風(fēng)將在7小時后襲來，他計劃沿正北方向航行，去往位于燈塔P的北偏東45°方向上的避風(fēng)港B處．（1）問避風(fēng)港B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)？（結(jié)果精確到0.1海里）（2）如果輪船的航速是每小時20海里，問輪船能否在臺風(fēng)到來前趕到避風(fēng)港B處？（參考數(shù)據(jù)：＝1.414，＝1.732）【分析】（1）作PC⊥AB，根據(jù)正弦的定義求出PC，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出PB；（2）根據(jù)路程÷速度＝時間與7比較即可得到結(jié)論．【解答】解：過點P作PC⊥AB于C，在Rt△ACP中，∠A＝30°，∴PC＝PA?sinA＝100×＝50（海里），在Rt△BCP中，∠B＝45°，∴PB＝PC＝50≈70.7海里，答：B處距離燈塔P約70.7海里；（2）∵PB＝50海里，輪船的航速是每小時20海里，∴＝＜7，∴輪船不能在臺風(fēng)到來前趕到避風(fēng)港B處．7．（2022春?沙坪壩區(qū)校級月考）一路文明一路情，魅力輕軌輕松行，重慶軌道交通第三輪規(guī)劃線路正在如火如荼地建設(shè)中．如圖工程隊在由南向北的方向上將軌道線路鋪設(shè)到A處時，測得文史陳列館C在A北偏西26°方向的600米處，再鋪設(shè)276米到達(dá)B處．（1）請通過計算確定C在B的什么方向上；（2）文史陳列館C周圍若干米內(nèi)需要建設(shè)文化廣場，不能鋪設(shè)軌道，工程隊通過計算后發(fā)現(xiàn)，軌道線路鋪設(shè)到B處時，只需沿北偏東15°的BE方向繼續(xù)鋪設(shè)，就能使軌道線路恰好避開文化廣場，請計算文史陳列館C周圍至少多少米內(nèi)不能鋪設(shè)軌道．（參考數(shù)據(jù)：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49，，結(jié)果四舍五入精確到1米）．【分析】（1）過點C作CF⊥BD于點F，連接BC，在Rt△ACF中，sin26°＝≈0.44，cos26°＝≈0.90，求出CF，AF的值，進而可得BF的值，即可得CF＝BF，則∠CBF＝45°，根據(jù)方向角的定義可得答案．（2）過點C作CG⊥BE于點G，在Rt△BCF中，BF＝264米，∠CBF＝45°，可得BC＝BF＝米，由已知條件得∠DBE＝15°，則∠CBG＝60°，在Rt△BCG中，sin60°＝，求出CG的值，即可得出答案．【解答】解：（1）過點C作CF⊥BD于點F，連接BC，由題意得∠A＝26°，AC＝600米，AB＝276米，在Rt△ACF中，sin26°＝≈0.44，cos26°＝≈0.90，解得CF≈264，AF≈540，∴BF＝AF﹣AB＝264（米），∴CF＝BF，∴∠CBF＝45°，∴C在B的北偏西45°方向上．（2）過點C作CG⊥BE于點G，由（1）可知∠CBF＝45°，在Rt△BCF中，BF＝264米，則BC＝BF＝米，∵∠DBE＝15°，∴∠CBG＝60°，在Rt△BCG中，sin60°＝，解得CG＝≈323．∴文史陳列館C周圍至少323米內(nèi)不能鋪設(shè)軌道．8．（2022秋?香坊區(qū)校級月考）如圖，AC是某市環(huán)城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其與環(huán)城路AC的交叉路口分別是A，B，C．經(jīng)測量花卉市場D位于點A的北偏東45°方向，點B的北偏東30°方向上，AB＝2km，∠DAC＝15°．求花卉市場D點到環(huán)城路AC之間的距離．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，方向角的定義以及三角形外角的性質(zhì)求出∠ADB＝15°，再根據(jù)等角對等邊，證得BD＝AB，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求解．【解答】解：如圖，過D作DH⊥AB于H，由題意得，∠EAD＝45°，∠FBD＝30°，∴∠EAC＝∠EAD+∠DAC＝45°+15°＝60°．∵AE∥BF∥CD，∴∠FBC＝∠EAC＝60°．∵∠FBD＝30°，∴∠DBC＝∠FBC﹣∠FBD＝30°．又∵∠DBC＝∠DAB+∠ADB，∴∠ADB＝15°，∴∠DAB＝∠ADB，∴BD＝AB＝2km．∵∠DBC＝∠DAB+∠ADB＝30°，∴DH＝BD＝1（km），答：花卉市場D點到環(huán)城路AC之間的距離為1km．9．（2022春?大渡口區(qū)校級月考）海洋安全預(yù)警系統(tǒng)為海洋安全管理起到了巨大作用，某天海洋監(jiān)控中心收到信息，在A的北偏西60°方向的120海里的C處，疑似有海盜船在沿CB方向行駛，C在B的北偏西30°方向上，監(jiān)控中心向A正西方向的B處海警船發(fā)出指令，海警船立即從B出發(fā)沿BC方向行駛，在距離A為60海里的D處攔截到該可疑船只．（1）求點A到直線CB的距離；（2）若海警船的速度是30海里/小時，那么海警船能否在1小時內(nèi)攔截到可疑船只？請說明理由．（結(jié)果保留一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：【分析】（1）過點A作AH⊥CB于點H，如圖．根據(jù)題意得到∠CAB＝90°﹣60°＝30°，∠ABC＝180°﹣60°＝120°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)勾股定理得到DH＝＝60海里，解直角三角形想即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）過點A作AH⊥CB于點H，如圖．由題意得：∠CAB＝90°﹣60°＝30°，∠ABC＝180°﹣60°＝120°，∴∠C＝180°﹣30°﹣120°＝30°，∴AH＝AC＝×120＝60（海里）．答：點A到直線CB的距離是60海里；（2）海警船能否在1小時內(nèi)攔截到可疑船只，理由：在Rt△ADH中，AD＝60海里，AH＝60海里，∴DH＝＝60（海里），∵∠ABH＝∠BAC+∠C＝60°，在Rt△ABH中，∠BAH＝90°﹣∠ABH＝30°，∴BH＝AB，∴AB＝2BH，∵BH2+AH2＝AB2，∴BH2+602＝（2BH）2，∴BH＝20，∴BD＝DH﹣BH＝（60﹣20）海里，∵海警船的速度是30海里/小時，∴（60﹣20）÷30≈0.9＜1，答：海警船能否在1小時內(nèi)攔截到可疑船只．10．（2022春?沙坪壩區(qū)校級期中）如圖，A，B，C，D，E為同一地區(qū)的五個景點．已知景點B位于景點A的南偏西30°方向，位于景點C的東南方向800米處，若景點A，C與E，D都位于東西方向，且景點D位于景點C的北偏西30°方向1000米處，景點E位于景點A的西北方向．（1）求景點A與景點C相距多少米？（結(jié)果保留根號）（2）為了方便旅客游覽，景區(qū)決定在景點D和E之間修一條筆直的道路，求道路DE的長度．（參考數(shù)據(jù)：＝1.732，結(jié)果精確到1米）【分析】（1）過點B作BF⊥AC于點F，在Rt△CBF中，可得BF＝CF＝＝米，在Rt△ABF中，tan30°＝＝，求出AF，根據(jù)AC＝CF+AF可得答案．（2）過點C作CG⊥DE于點G，過點E作EH⊥AC于點H，在Rt△CDG中，sin30°＝，cos30°＝，解得DG＝500，CG＝，則EH＝米，在Rt△AEH中，可得EH＝AH＝米，則CH＝EG＝AC﹣AH＝（800+）米，最后根據(jù)DE＝DG+EG可得答案．【解答】解：（1）過點B作BF⊥AC于點F，由題意得，BC＝800米，∠CBF＝45°，∠ABF＝30°，∴BF＝CF＝＝＝（米），在Rt△ABF中，tan30°＝＝，解得AF＝800，∴AC＝CF+AF＝（800+）米．∴景點A與景點C相距（800+）米．（2）過點C作CG⊥DE于點G，過點E作EH⊥AC于點H，由題意得，CD＝1000米，∠DCG＝30°，∠AEH＝45°，CG＝EH，EG＝CH，在Rt△CDG中，sin30°＝，cos30°＝，解得DG＝500，CG＝，∴EH＝米，在Rt△AEH中，∠AEH＝45°，可得EH＝AH＝米，∴CH＝EG＝AC﹣AH＝800+﹣＝（800+）米，∴DE＝DG+EG＝500+800+≈1820米．∴道路DE的長度約為1820米．11．（2022?榮昌區(qū)自主招生）如圖，為學(xué)校創(chuàng)造安全環(huán)境，決定在A點東偏北30°方向直線延伸的主公路的旁邊修一條學(xué)生的步行路．測繪員在A處測學(xué)校M在A點東偏北60°方向，測繪員沿主公路步行2000米到達(dá)C處，測得學(xué)校M位于C的北偏西60°方向，請你在主公路上尋找點N，使到學(xué)校的路程最短，并求AN的長．【分析】過點M作MN⊥AC于N，過點C作CD⊥東西方向與D，根據(jù)方向角的概念求出∠AMC＝90°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出MC，根據(jù)余弦的定義求出CN，進而求出AN．【解答】解：過點M作MN⊥AC于N，過點C作CD⊥東西方向與D，則MN為主公路到學(xué)校的路程最短距離，由題意得：∠MAD＝60°，∠CAD＝30°，∴∠MAC＝60°﹣30°＝30°，∠ACD＝90°﹣30°＝60°，∴∠ACM＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠AMC＝90°，∴MC＝AC＝1000米，∴CN＝MC?cos∠ACM＝500（米），∴AN＝AC﹣CN＝1500（米），答：AN的長為1500米．12．（2022春?江津區(qū)校級期中）某海域有一小島P，在以P為圓心，半徑r為10（3+）海里的圓形海域內(nèi)有暗礁．一海監(jiān)船自西向東航行，它在A處測得小島P位于北偏東60°的方向上，當(dāng)海監(jiān)船行駛20海里后到達(dá)B處，此時觀測小島P位于B處北偏東45°方向上．（1）求A、P之間的距離AP；（2）若海監(jiān)船由B處繼續(xù)向東航行是否有觸礁危險？請說明理由．【分析】（1）過點P作PC⊥AB交AB的延長線于C，設(shè)PC＝x海里，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)用x表示出BC，根據(jù)正切的定義用x表示出AC，根據(jù)題意列出方程，解方程求出x，進而求出PA；（2）比較PC與半徑的大小，得到答案．【解答】解：（1）過點P作PC⊥AB交AB的延長線于C，設(shè)PC＝x海里，在Rt△PBC中，∠PBC＝45°，則BC＝PC＝x海里，在Rt△PAC中，∠PAC＝30°，則PA＝2PC＝2x海里，AC＝＝x（海里），由題意得：AC﹣BC＝AB，即x﹣x＝20，解得：x＝10+10，則AP＝20+20，答：A、P之間的距離AP為（20+20）海里；（2）海監(jiān)船由B處繼續(xù)向東航行沒有觸礁危險，理由如下：∵10+10＞10（3+），∴海監(jiān)船由B處繼續(xù)向東航行沒有觸礁危險．13．（2022?渝北區(qū)校級模擬）3月份，長江重慶段開始進入枯水期，有些航道狹窄的水域通航壓力開始慢慢增加．為及時掌握轄區(qū)通航環(huán)境實時情況，嚴(yán)防船舶擱淺、觸礁等險情事故發(fā)生，沿江海事執(zhí)法人員持續(xù)開展巡航檢查，確保近七百公里的長江干線通航安全．如圖，巡航船在一段自西向東的航道上的A處發(fā)現(xiàn)，航標(biāo)B在A處的北偏東45°方向200米處，以航標(biāo)B為圓心，150米長為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)有淺灘，會使過往船舶有危險．（1）由于水位下降，巡航船還發(fā)現(xiàn)在A處北偏西15°方向300米的C處，露出一片礁石，求B、C兩地的距離；（精確到1米）（2）為保證航道暢通，航道維護項目部會組織挖泥船對該條航道被淺灘影響的航段進行保航施工．請判斷該條航道是否被這片淺灘區(qū)域影響？如果有被影響，請求出被影響的航道長度為多少米？如果沒有被影響，請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈2.646）【分析】（1）過點B作BD⊥AC于點D，由題意可得∠BAC＝60°，在Rt△ABD中，由三角函數(shù)可求得BD＝米，AD＝100米，則CD＝AC﹣AD＝200米，再根據(jù)勾股定理BC＝可得出答案．（2）過點B作航道的垂線BE，在Rt△ABE中，sin45°＝，求出BE的值，與150作比較，可得結(jié)論；設(shè)BF＝150米，利用勾股定理求出EF，再根據(jù)對稱性可得被影響的航道長度．【解答】解：（1）過點B作BD⊥AC于點D，由題意得，∠BAC＝15°+45°＝60°，AB＝200米，AC＝300米，在Rt△ABD中，sin60°＝，cos60°＝，解得BD＝，AD＝100，∴CD＝AC﹣AD＝200米，∴由勾股定理得，BC＝＝≈265米．∴B、C兩地的距離約為265米．（2）該條航道會被這片淺灘區(qū)域影響，長度為100米，理由如下：過點B作航道的垂線BE，由題意得，AB＝200米，∠BAE＝45°，在Rt△ABE中，sin45°＝，解得BE＝≈141，∵141＜150，∴該條航道會被這片淺灘區(qū)域影響．設(shè)BF＝150米，在Rt△BEF中，EF＝＝＝50（米），根據(jù)對稱性可知，被影響的航道長度為100米．14．（2022?岳麓區(qū)校級三模）湘江流經(jīng)永州、衡陽、株洲、湘潭、長沙等市，至岳陽注入洞庭湖，干流全長844公里，是湖南省內(nèi)最大的河流，在一次數(shù)學(xué)活動課上，老師帶領(lǐng)學(xué)生去測量湘江某段的寬度（假設(shè)兩岸是平行的），如圖，某學(xué)生在河?xùn)|岸點A處觀測河對岸水邊點C，測得C在A北偏西30°的方向上，沿河岸向北前行400米到達(dá)B處，測得C在B北偏西60°的方向上．（1）求BC的長；（2）求此段湘江的寬度．（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）．【分析】（1）過點C作CD⊥AB，交AB的延長線于點D，由題意得∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，則∠ACB＝∠CBD﹣∠CAB＝30°，即可得BC＝AB＝400米．（2）在Rt△BCD中，sin60°＝，解方程即可得出答案．【解答】解：（1）過點C作CD⊥AB，交AB的延長線于點D，由題意得，∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，AB＝400米，∴∠ACB＝∠CBD﹣∠CAB＝30°，∴∠ACB＝∠CAB，∴BC＝AB＝400米．即BC的長為400米．（2）由（1）得，BC＝400米，在Rt△BCD中，sin60°＝，解得CD＝≈346.4．∴此段湘江的寬度約為346.4米．15．（2022?秀英區(qū)校級模擬）如圖，在一條東西走向的公路MN的同側(cè)有A，B兩個村莊，村莊B位于村莊A的北偏東60°的方向上，公路旁的貨站P位于村莊A的北偏東15°的方向上，已知PA平分∠BPN，AP＝2km．（1）填空：∠PAB＝45度；（2）求村莊A，B之間的距離．（結(jié)果保留根號）【分析】（1）根據(jù)∠PAB＝∠QAB﹣∠QAP可得出答案．（2）過點P作PC⊥AB于點C，由題意可得∠APN＝∠APB＝75°，進而可得∠BPC＝30°，在Rt△ACP中，sin45°＝，解得PC＝，則PC＝AC＝km，在Rt△BCP中，tan30°＝＝，解得BC＝，由AB＝AC+BC可得出答案．【解答】解：（1）由題意得，∠BAQ＝60°，∠PAQ＝15°，∴∠PAB＝∠QAB﹣∠QAP＝45°，故答案為：45．（2）過點P作PC⊥AB于點C，由題意可得∠APN＝75°，∠PAC＝∠APC＝45°，∵PA平分∠BPN，∴∠APN＝∠APB＝75°，∴∠BPC＝75°﹣45°＝30°，在Rt△ACP中，∠PAC＝45°，AP＝2km，sin45°＝，解得PC＝，∴PC＝AC＝km，在Rt△BCP中，tan30°＝＝，解得BC＝，∴AB＝AC+BC＝（+）km．∴村莊A，B之間的距離為（+）km．16．（2022?南山區(qū)校級模擬）如圖，海島A為物資供應(yīng)處，海上事務(wù)處理中心B島在A島的南偏西63.4°方向．一艘漁船在行駛到B島正東方向30海里的點C處時發(fā)生故障，同時向A、B島發(fā)出求助信號，此時漁船在A島南偏東53.1°位置．（參考數(shù)據(jù)：tan53.1≈，sin53.1°≈，cos53.1°≈，tan63.4°≈2，sin63.4°≈，cos63.4°≈．（1）求C點到A島的距離；（2）在收到求助信號后，A、B兩島同時派人員出發(fā)增援，由于A島所派快艇裝運物資較多，速度比B島所派快艇慢25海里/小時，若兩島派出的快艇同時到達(dá)C處，求A處所派快艇的速度．【分析】（1）過點A作AD⊥BC于點D，設(shè)AD＝x海里，在Rt△ADC中，tan53.1°＝≈，cos53.1°＝≈，解得CD＝，AC＝，在Rt△ADB中，tan63.4°＝≈2，解得BD＝2x，則可得2x+＝30，求出x的值，進而可得出答案．（2）根據(jù)路程＝速度×?xí)r間列出分式方程，即可求解．【解答】解：（1）過點A作AD⊥BC于點D，設(shè)AD＝x海里，在Rt△ADC中，tan53.1°＝≈，cos53.1°＝≈，解得CD＝，AC＝，在Rt△ADB中，tan63.4°＝≈2，解得BD＝2x，∴2x+＝30，解得x＝9，∴AC＝15海里．∴C點到A島的距離約為15海里．（2）設(shè)A島所派快艇的速度為y海里/小時，則B島所派快艇的速度為（y+25）海里/小時，由題意得，，解得y＝25，經(jīng)檢驗，y＝25為原方程的解，且符合題意．答：A島所派快艇的速度為25海里/小時．17．（2022?沙坪壩區(qū)校級開學(xué)）如圖，在一筆直的海岸線l上有A，B兩個觀測站，A在B的正東方向．有一艘漁船在點P處，從A處測得漁船在北偏西60°的方向，從B處測得漁船在其東北方向，且測得B，P兩點之間的距離為20海里．（1）求觀測站A，B之間的距離（結(jié)果保留根號）；（2）漁船從點P處沿射線AP的方向航行一段時間后，到點C處等待補給，此時，從B測得漁船在北偏西15°的方向．在漁船到達(dá)C處的同時，一艘補給船從點B出發(fā)，以每小時20海里的速度前往C處，請問補給船能否在83分鐘之內(nèi)到達(dá)C處？（參考數(shù)據(jù)：≈1.73）【分析】（1）過點P作PD⊥AB于D點，可得∠BDP＝∠ADP＝90°，然后在Rt△PBD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BD，DP的長，再在Rt△PAD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD的長，進行計算即可解答；（2）過點B作BF⊥AC，垂足為F，根據(jù)題意得：∠ABC＝105°，∠PAD＝30°，從而求出∠C＝45°，然后在Rt△ABF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BF的長，再在Rt△BCF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BC的長，進行計算即可解答．【解答】解：（1）過點P作PD⊥AB于D點，∴∠BDP＝∠ADP＝90°，在Rt△PBD中，∠PBD＝90°﹣45°＝45°，BP＝20海里，∴DP＝BP?sin45°＝20×＝10（海里），BD＝BP?cos45°＝20×＝10（海里），在Rt△PAD中，∠PAD＝90°﹣60°＝30°，∴AD＝＝＝10（海里），∴AB＝BD+AD＝（10+10）海里，∴觀測站A，B之間的距離為（10+10）海里；（2）補給船能在82分鐘之內(nèi)到達(dá)C處，理由：過點B作BF⊥AC，垂足為F，∴∠AFB＝∠CFB＝90°由題意得：∠ABC＝90°+15°＝105°，∠PAD＝90°﹣60°＝30°，∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠PAD＝45°，在Rt△ABF中，∠BAF＝30°，∴BF＝AB＝（5+5）海里，在Rt△BCF中，∠C＝45°，∴BC＝＝＝（10+10）海里，∴補給船從B到C處的航行時間＝×60＝30+30≈81.9（分鐘）＜83分鐘，∴補給船能在83分鐘之內(nèi)到達(dá)C處．18．（2022?錦州）如圖，一艘貨輪在海面上航行，準(zhǔn)備要?？康酱a頭C，貨輪航行到A處時，測得碼頭C在北偏東60°方向上．為了躲避A，C之間的暗礁，這艘貨輪調(diào)整航向，沿著北偏東30°方向繼續(xù)航行，當(dāng)它航行到B處后，又沿著南偏東70°方向航行20海里到達(dá)碼頭C．求貨輪從A到B航行的距離（結(jié)果精確到0.1海里．參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）．【分析】過B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中，利用正弦函數(shù)求得BD＝15.32海里，再在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求解．【解答】解：過B作BD⊥AC于D，由題意可知∠ABE＝30°，∠BAC＝30°，則∠C＝180°﹣30°﹣30°﹣70°＝50°，在Rt△BCD中，∠C＝50°，BC＝20（海里），∴BD＝BCsin50°≈20×0.766＝15.32（海里），在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，BD＝15.32（海里），∴AB＝2BD＝30.64≈30.6（海里），答：貨輪從A到B航行的距離約為30.6海里．19．（2022?丹東）如圖，我國某海域有A，B，C三個港口，B港口在C港口正西方向33.2nmile（nmile是單位“海里”的符號）處，A港口在B港口北偏西50°方向且距離B港口40nmile處，在A港口北偏東53°方向且位于C港口正北方向的點D處有一艘貨船，求貨船與A港口之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）【分析】過點A作AE⊥CD，垂足為E，過點B作BF⊥AE，垂足為F，根據(jù)題意得：EF＝BC＝33.2海里，AG∥DC，從而可得∠ADC＝53°，然后在Rt△AEF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AF的長，從而求出AE的長，最后在Rt△ADE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD的長，進行計算即可解答．【解答】解：過點A作AE⊥CD，垂足為E，過點B作BF⊥AE，垂足為F，由題意得：EF＝BC＝33.2海里，AG∥DC，∴∠GAD＝∠ADC＝53°，在Rt△ABF中，∠ABF＝50°，AB＝40海里，∴AF＝AB?sin50°≈40×0.77＝30.8（海里），∴AE＝AF+EF＝64（海里），在Rt△ADE中，AD＝≈＝80（海里），∴貨船與A港口之間的距離約為80海里．20．（2022?渠縣一模）如圖，在某港口M的正南方向有一漁船在A處作業(yè)，到了上午11：00時漁船發(fā)出求救信號，港口指揮中心指示位于港口東南方向距離50海里B處的巡邏船去營救，并且最遲在中午12：00趕到，此時巡邏船發(fā)現(xiàn)漁船在它的南偏西30°方向，同時正南方向C處有觸礁警示．如果巡邏船沿BA前去營救，行駛20海里到D處，測得DA與DC的夾角為45°，請問仍按原航線行駛是否有觸礁的危險？若無危險，巡邏船的速度至少要達(dá)到每小是多少海里？【分析】過點C作CE⊥AB于點E，過點B作BF⊥AM于點F，設(shè)CE的長為x海里，由題意得：∠ABC＝30°，∠CDE＝45°，BD＝20海里，∠AMB＝45°，MB＝50海里，BF⊥AM，然后利用特殊角三角函數(shù)即可解決問題．【解答】解：如圖，過點C作CE⊥AB于點E，過點B作BF⊥AM于點F，設(shè)CE的長為x海里，由題意知：∠ABC＝30°，∠CDE＝45°，BD＝20海里，∵CE⊥AB，∴CE＝DE＝x海里，∴BE＝（x+20）海里，∵BE＝CE＝x（海里），∴x+20＝x，.解得x＝10√+10，∵10+10≈27.3＞25，∴巡邏船按原航線行駛沒有觸礁的危險；∵BC∥AM，∴∠ABC＝∠A＝30°，由題意知：∠AMB＝45°，MB＝50海里，BF⊥AM，∴MF＝BF＝50海里，∵∠A＝30°，∠BFA＝90°，∴AB＝2BF＝100（海里）．∵上午11：00時漁船發(fā)出求救信號，最遲在中午12：00趕到，巡邏船的速度至少要達(dá)到每小時100海里，∴巡邏船按原航線行駛沒有觸礁的危險；速度至少要達(dá)到每小時100海里．21．（2022?睢陽區(qū)二模）長征18號已于2021年4月23日在海南三亞某軍港交接入列，如圖，某日長征18號艇從點A出發(fā)沿正東方向巡航，在點A處測得島嶼D在點A的北偏東42°方向上，航行4海里后到達(dá)點B，測得島嶼C在點B的北偏東57°方向上，此時長征18號艇與島嶼C相距18海里．已知島嶼D在島嶼C的正北方向上，求島嶼C，D之間的距離．（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，sin57°≈0.84，cos57°≈0.54，tan57°≈1.54）．【分析】延長DC交AB的延長線于點E，根據(jù)題意利用銳角三角函數(shù)即可解決問題．【解答】解：延長DC交AB的延長線于點E，根據(jù)題意，得∠BEC＝90°，∠ADC＝42°，∠BCE＝57°，AB＝4海里．在Rt△BCE中，BE＝BC×sin∠BCE＝18×sin57°≈15.12（海里），∴CE＝BC?cos∠BCE＝18×cos57°≈9.72（海里），∴AE＝AB+BE≈19.12（海里）．在Rt△ADE中，（海里），∴CD＝DE﹣CE≈21.24﹣9.72≈12（海里）．答：島嶼C、D之間的距離約為12海里．22．（2022春?永州期末）如圖，一條筆直的公路l經(jīng)過某水廠A和寶塔B，我區(qū)某鎮(zhèn)準(zhǔn)備開發(fā)桑葚基地C，經(jīng)測量C位于A北偏東60°，B的北偏東30°上，且AB＝20km．（1）求寶塔B到桑葚基地C的距離．（2）為了方便游客到桑葚基地C采摘桑葚，鎮(zhèn)里決定由C向公路l修建一條距離最短的公路，不考慮其他因數(shù)，求出這條最短公路的長．【分析】（1）先根據(jù)方向角的定義得出∠CAB＝30°，∠ABC＝120