第一章空間向量與立體幾何夯實基礎-01空間向量的線性運算

第一章空間向量與立體幾何01空間向量的線性運算問題導學：平面向量的基本概念、基本運算有哪些？空間向量的基本概念？線性運算是什么？空間向量的共線定理、共面定理如何理解？知識構建知識點一空間向量的概念1.定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量2．長度或模：向量的大小．3．表示方法：①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點是A，終點是B，也可記作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.4.幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量長度為0的向量叫做零向量，記為0單位向量模為1的向量稱為單位向量相反向量與向量a長度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為－a共線向量(平行向量)如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．規(guī)定：對于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量知識點二空間向量的線性運算空間向量的線性運算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))減法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))數(shù)乘當λ>0時，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；當λ<0時，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；當λ＝0時，λa＝0運算律交換律：a＋b＝b＋a；結合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.知識點三共線向量1．空間兩個向量共線的充要條件：對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb.2．直線的方向向量：在直線l上取非零向量a，我們把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．知識點四共面向量1．共面向量：如圖，如果表示向量a的有向線段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直線OA與直線l平行或重合，那么稱向量a平行于直線l.如果直線OA平行于平面α或在平面α內，那么稱向量a平行于平面α.平行于同一個平面的向量，叫做共面向量．2．向量共面的充要條件：如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序實數(shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.拓展：對于空間任意一點，四點共面（其中不共線）的充要條件是（其中）．三、類型歸納類型一、空間向量的基本概念類型二、空間向量的加減數(shù)乘運算類型三：空間向量線性運算綜合問題類型四、空間共面向量定理四、類型剖析題型一空間向量概念【例1】下列關于空間向量的說法中正確的是（

）A．方向相反的兩個向量是相反向量B．空間中任意兩個單位向量必相等C．若向量滿足，則D．相等向量其方向必相同【答案】D【分析】根據(jù)向量的相關概念逐一判斷即可.【詳解】相反向量指的是長度相等，方向相反的向量，故A錯誤；單位向量指的是模為1的向量，方向未定，故B錯誤；向量不能比較大小，故C錯誤；相等向量其方向必相同，故D正確；故選：D.【跟蹤訓練1】下列說法正確的是（

）A．任一空間向量與它的相反向量都不相等B．將空間向量所有的單位向量平移到同一起點，則它們的終點構成一個圓C．模長為3的空間向量大于模長為1的空間向量D．不相等的兩個空間向量的?？赡芟嗟取敬鸢浮緿【分析】根據(jù)空間向量的定義，從向量的大小和方向兩個方面依次判斷選項；【詳解】對A，零向量的相反向量是本身，故A錯；對B，終點構成一個球，故B錯；對C，向量不能比較大小，故C錯；對D，相反向量是不相等向量，但它們的模長相等，故D正確；故選：D題型二、空間向量的加減數(shù)乘運算【例2】（2024·山東濱州·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四面體OABC中，，，．點M在OA上，且滿足，N為BC的中點，則（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的加法和減法的三角形法則得到．【詳解】如圖，連接，

是的中點，，，，．故選：．【跟蹤訓練21】.（2023秋·北京大興·高二統(tǒng)考期末）空間向量（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】故選：D【跟蹤訓練22】.（2024·江蘇淮安·高二?？茧A段練習）在長方體中，等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)長方體，得到相等的向量，再利用空間向量的加法法則進行計算.【詳解】如圖，可得，，所以.故選：B【跟蹤訓練23】.已知空間四邊形ABCD，連接AC，BD，N為CD中點，如圖所示，則（）A． B．C． D．【答案】A【分析】直接利用向量的加法運算得答案.【詳解】連接，因為為的中點，所以，所以，故選：A.【跟蹤訓練24】.在三棱錐中，為的中點，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】連接，根據(jù)空間向量的運算法則，準確化簡，即可求解.【詳解】連接，根據(jù)向量的運算法則，可得.故選：B.【跟蹤訓練25】.已知三棱錐分別是的中點，是的中點，設，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用空間向量線性運算，結合圖形即可得解.【詳解】因為分別是的中點，是的中點，所以，，則.故選：D.【跟蹤訓練26】.（2023秋·北京·高二中央民族大學附屬中學?？计谀┰谄叫辛骟w中，點M滿足．若，則下列向量中與相等的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由點M滿足，所以M為中點，因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以M為中點,所以，所以.故選：C題型三：空間向量線性運算綜合問題【例3】.已知平行六面體，化簡下列向量表達式，并在圖中標出化簡得到的向量：

(1)；(2)；(3).【答案】(1)，圖見解析(2)，圖見解析(3)，圖見解析【分析】根據(jù)空間向量的線性運算依次求解即可.【詳解】（1），向量如圖所示，

（2）；向量如圖所示，

（3），設是線段的中點，則.向量如圖所示，

【跟蹤訓練3】如圖E，F(xiàn)分別是長方體的棱AB，CD的中點，化簡下列表達式：(1)； (2)； (3)； (4).【答案】(1)；(2)；(3)；(4).【分析】（1）（2）（3）（4）根據(jù)空間向量的線性運算，結合長方體性質可得.【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）因為E，F(xiàn)分別是棱AB，CD的中點，所以.題型四、空間共面向量定理【例4】如圖1.19，已知平行四邊形，過平面外一點，作射線，，，，在四條射線上分別取點，，，，使．求證：，，，四點共面．師生活動：欲證，，，四點共面，只需證明，，共面．而由已知，，共面，可以利用向量運算由，，共面的表達式推得，，共面的表達式．證明：因為，所以，，，．因為四邊形是平行四邊形，所以．因此．由向量共面的充要條件可知，，，共面，又，，過同一點，從而，，，四點共面．選擇恰當?shù)南蛄勘硎締栴}中的幾何元素，通過向量運算得出幾何元素的關系，是解決立體幾何問題的常用方法．【跟蹤訓練4】.因為，，，所以，所以與、共面．五、素養(yǎng)提升：1．（2024·遼寧鞍山·高二鞍山一中校聯(lián)考期末）在四面體中，是棱的中點，且，則的值為__________.【答案】0【分析】利用空間向量加減法法則，把用表示出來，即可求出結果.【詳解】如圖所示，因為是棱的中點，所以，則，所以，故答案為：0.2.已知四面體，空間的一點滿足，若，，，共面，則實數(shù)的值為.【答案】【分析】由向量的線性運算可知，再由共面定理可知，即可得解.【詳解】由，得，即，又，，，四點共面，即，，共面，所以存在唯一實數(shù)對，使，所以，解得，故答案為：.3．為空間任意一點，若，若，，，四點共面，則（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】將化簡為：，利用四點共面定理可得，即可求解.【詳解】因為，所以，可化簡為：，即，由于，，，四點共面，則，解得：；故選：C六、隨堂檢測：1．下列關于空間向量的說法中正確的是（

）A．單位向量都相等B．若，則，的長度相等而方向相同或相反C．若向量，滿足，則D．相等向量其方向必相同【答案】D【分析】根據(jù)向量的相關概念及向量的性質，即可判斷各項的正誤.【詳解】對于A，單位向量長度相等，方向不確定，故A錯誤；對于B，只能說明，的長度相等而方向不確定，故B錯誤；對于C，向量作為矢量不能比較大小，故C錯誤；對于D，相等向量方向相同大小相等，故D正確.故選：D.2．在正方體中，與向量相反的向量是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正方體的特征及相反向量的概念判定即可.【詳解】

如圖所示，可知是的相反向量.故選：A3．在空間四邊形中，（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的加減法則計算.【詳解】.故選：B.4．如圖：在平行六面體中，為的交點．若，則向量（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量的線性運算求解即可.【詳解】因為,所以.故選：B.5．如圖，在斜棱柱中，與的交點為點M，，，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量的基本運算求解即可.【詳解】由題意，.故選：B6．如圖，平行六面體中，分別為的中點.若，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，利用空間向量的線性運算法，求得，進而求得的值，即可求解.【詳解】因為平行六面體中，分別為的中點，可得，又因為，可得，即.故選：A.二、多選題7．如圖所示，在正方體中，下列各式中運算結果為向量的是（）A．； B．；C．； D．．【答案】ABCD【分析】利用向量加法的運算，對四個式子逐一計算出結果，由此得出正確選項.【詳解】對于A,；對于B，；對于C,；對于D,．故選：ABCD.8.（2024·高二課時練習）