第8講多邊形和平行四邊形

第8講多邊形和平行四邊形多邊形是四邊形章節(jié)第一節(jié)的內(nèi)容，主要講解的是多邊形的內(nèi)角和及外角和與邊數(shù)之間的關(guān)系，比較基礎(chǔ)，題目相對(duì)較簡(jiǎn)單．平行四邊形是特殊的四邊形的基礎(chǔ)內(nèi)容，奠定了特殊的四邊形的基礎(chǔ)，題型比較靈活，綜合性也比較強(qiáng)，是綜合證明題及計(jì)算題的理論依據(jù)，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)特殊的平行四邊形打好基礎(chǔ)．模塊一：多邊形知識(shí)精講1、由平面內(nèi)不在同一直線上的一些線段首尾順次聯(lián)結(jié)所組成的封閉圖形叫做多邊形．2、組成多邊形的每一條線段叫做多邊形的邊；相鄰的兩條線段的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn)．3、多邊形相鄰兩邊所在的射線組成的角叫做多邊形的內(nèi)角．4、聯(lián)結(jié)多邊形的兩個(gè)不相鄰頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線．5、對(duì)于一個(gè)多邊形，畫(huà)出它的任意一邊所在的直線，如果其余各邊都在這條直線的一側(cè)，那么這個(gè)多邊形叫做凸多邊形；否則叫做凹多邊形．6、多邊形內(nèi)角和定理：邊形的內(nèi)角和等于．7、由多邊形的一個(gè)內(nèi)角的一邊和另一邊的反向延長(zhǎng)線組成的角，叫做多邊形的外角．8、對(duì)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角，從與它相鄰的兩個(gè)外角中取一個(gè)，這樣取得的所有外角的和，叫做多邊形的外角和．9、多邊形的外角和等于360°．例題解析例1．（2020·上海楊浦區(qū)·八年級(jí)期末）若一個(gè)多邊形的外角和與它的內(nèi)角和相等，則這個(gè)多邊形是（）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【答案】B【分析】任意多邊形的外角和為360°，然后利用多邊形的內(nèi)角和公式計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n．根據(jù)題意得：（n2）×180°=360°，解得：n=4．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是多邊形的內(nèi)角和和外角和，掌握任意多邊形的外角和為360°和多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．例2．（2019·上海金山區(qū)·八年級(jí)期中）八邊形的內(nèi)角和為_(kāi)_______度．【答案】1080【詳解】解：八邊形的內(nèi)角和=例3．（2018·上海金山區(qū)·八年級(jí)期中）如果一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是，那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)是_________．【答案】14【分析】n邊形的內(nèi)角和可以表示成（n2）?180°，設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是n，就得到方程，從而求出邊數(shù)．【詳解】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是n，則（n2）?180°=2160°，

解得：n=14．則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是14．故答案為：14．【點(diǎn)睛】本題考查多邊行的內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是根據(jù)n邊形的內(nèi)角和為（n2）×180°解答．例4．（2019·上海上外附中）邊形的內(nèi)角和是外角和的三倍，則_________【答案】8【分析】根據(jù)“多邊形的內(nèi)角和是外角和的三倍”，結(jié)合邊形的內(nèi)角和公式和多邊形的外角和為360°，列出關(guān)于的一元一次方程，解之即可．【詳解】解：邊形的內(nèi)角和為：(?2)×180°，邊形的外角和為：360°，

根據(jù)題意得：(?2)×180°=3×360°，解得：=8，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和，正確掌握多邊形的內(nèi)角和公式和多邊形的外角和為360°是解題的關(guān)鍵．5．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）有兩個(gè)各內(nèi)角相等的多邊形，它們的邊數(shù)之比為1∶2，且第二個(gè)多邊形的內(nèi)角比第一個(gè)多邊形的內(nèi)角大15°，求這兩個(gè)多邊形的邊數(shù)．【答案】12；24.【分析】設(shè)它們的邊數(shù)分別為x、2x，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式即可表示出每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，再根據(jù)第二個(gè)多邊形的內(nèi)角比第一個(gè)多邊形的內(nèi)角大15°，即可列方程求解．【詳解】解：設(shè)它們的邊數(shù)分別為x、2x，由題意得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)是分式方程的根答：這兩個(gè)多邊形的邊數(shù)為12和24.【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握多邊形的內(nèi)角和公式：6．（2019·上海八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若一個(gè)多邊形除了一個(gè)內(nèi)角外，其余各內(nèi)角之和為2570°，求這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．【答案】130°【分析】設(shè)出相應(yīng)的邊數(shù)和未知的那個(gè)內(nèi)角度數(shù)，利用內(nèi)角和公式列出相應(yīng)等式，根據(jù)邊數(shù)為正整數(shù)求解，進(jìn)而求出多邊形的內(nèi)角和，減去其余的角即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)這個(gè)內(nèi)角度數(shù)為x°，邊數(shù)為n，則（n2）×180°x=2570°，n×180°=2930°+x，即x＝n×180°﹣2930°，∵0°＜x＜180°，解得16.2＜n＜17.2，又∵n為正整數(shù)，∴n=17，則這個(gè)內(nèi)角度數(shù)為180°×（172）2570°=130°．【點(diǎn)睛】解此題的關(guān)鍵在于利用內(nèi)角和公式（n2）×180°列出等式，再根據(jù)多邊形內(nèi)角的范圍得到關(guān)于邊數(shù)n的不等式，要注意多邊形的邊數(shù)n為正整數(shù)，所以在n的取值范圍內(nèi)取正整數(shù)即為n的值.例7.（1）從五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可畫(huà)出__________條對(duì)角線；（2）從一個(gè)多邊形內(nèi)的一點(diǎn)出發(fā)，分別聯(lián)結(jié)各個(gè)頂點(diǎn)，可得出6個(gè)三角形，這個(gè)多邊形共有__________條對(duì)角線．【難度】★【答案】（1）2；（2）20．【解析】（1）多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以畫(huà)條對(duì)角線，所以是53=2條．（2）由題意知，一個(gè)多邊形可以切割成個(gè)三角形，則=6，由多邊形的對(duì)角線條數(shù)公式，可知這個(gè)多邊形共有條對(duì)角線．【總結(jié)】考察多邊形對(duì)角線的概念及條數(shù)公式．例8.已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的8倍，且這個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)與每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．【難度】★★【答案】邊數(shù)是18，每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為160°．【解析】因?yàn)槎噙呅蔚耐饨嵌际?60°，所以這個(gè)多邊形的內(nèi)角和為360°×8=2880°，又因?yàn)槎噙呅蔚膬?nèi)角和公式是，所以=2880°，解得：．因?yàn)槊總€(gè)內(nèi)角都相等，所以每個(gè)內(nèi)角度數(shù)為2880°÷18=160°.【總結(jié)】考察多邊形內(nèi)角和外角的應(yīng)用．例9.一個(gè)多邊形除了一個(gè)內(nèi)角外，其余各內(nèi)角的和為2750°，這個(gè)內(nèi)角是多少度?這個(gè)多邊形有幾條邊?【難度】★★【答案】18【解析】設(shè)有條邊，則內(nèi)角和為．因?yàn)槎噙呅蚊總€(gè)內(nèi)角度數(shù)都大于0°小于180°．所以，解此不等式地，為邊數(shù)只能取正整數(shù)，所以．【總結(jié)】考察多邊形內(nèi)角和的應(yīng)用．例10.某人從點(diǎn)A出發(fā)，沿直線前進(jìn)100米后向左轉(zhuǎn)30°，在沿著直線前進(jìn)100米，又向左轉(zhuǎn)，...，照這樣下去，他第一次回到出發(fā)點(diǎn)A時(shí)，一共走了多少米．【難度】★★【答案】1200米．【解析】由題意知A回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)，所走軌跡是一個(gè)正多邊形，由多邊形的外交和是360°，所以360°÷30°=12次，所以共走了12個(gè)100米，一共走了12×100=1200米．【總結(jié)】考察多邊形外角和的應(yīng)用．例11.在四邊形ABCD中，∠A=80°，∠B和∠C的外角分別為105°和32°，求∠D的度數(shù)．【難度】★★【答案】57°【解析】多邊形外角和為360°，由題意知∠A的外角為180°80°=100°，所以∠D的外角為360°100°105°32°=123°，對(duì)應(yīng)的∠D=180°123°=57°．【總結(jié)】考察多邊形外角和的應(yīng)用．例12.設(shè)一個(gè)凸多邊形，除去一個(gè)內(nèi)角以外，其他內(nèi)角的和為2570°，則該內(nèi)角為（）40°B、90°C、120°D、130°【難度】★★【答案】D【解析】設(shè)有條邊，則內(nèi)角和為．因?yàn)槎噙呅蚊總€(gè)內(nèi)角度數(shù)都大于0°小于180°．所以，解此不等式地，為邊數(shù)只能取正整數(shù)，所以,所以這個(gè)內(nèi)角為．【總結(jié)】考察多邊形內(nèi)角和的應(yīng)用．例13.一個(gè)凸邊形的內(nèi)角中，恰好有4個(gè)鈍角，則的最大值是（）A、5B、6C、7D、8【難度】★★★【答案】C【解析】因?yàn)槎噙呅蔚膬?nèi)角和是180°的倍數(shù)，所以內(nèi)角中有4個(gè)鈍角，就會(huì)有個(gè)直角或者銳角，可知內(nèi)角和一定小于4×180°+，即<4×180°+，解得：，最大值是7．【總結(jié)】考察多邊形內(nèi)角和的應(yīng)用．例14.已知，一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與一個(gè)外角的差為1560°，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)和這個(gè)外角的度數(shù)．【難度】★★★【答案】11，60°．【解析】多邊形的內(nèi)角和為，則這個(gè)外角為，由于每一個(gè)外角都大于0°且小于180°，所以，解得，所以，這個(gè)外角的度數(shù)為．【總結(jié)】考察多邊形內(nèi)外角和的應(yīng)用．例15.已知凸邊形（＞4）的所有內(nèi)角都是15°的整數(shù)倍，且，那么__________．【難度】★★★【答案】10【解析】多邊形的內(nèi)角和為，其余共個(gè)內(nèi)角和為，可知是15°的倍數(shù)也是的倍數(shù)，，可知或者，又＞4，所以．【總結(jié)】考察多邊形內(nèi)外角和的應(yīng)用．模塊二：平行四邊形的概念及性質(zhì)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．平行四邊形用符號(hào)“”表示，如：ABCD．2、平行四邊形性質(zhì)定理①如果一個(gè)四邊形是平行四邊形，那么這個(gè)四邊形的兩組對(duì)邊分別相等．簡(jiǎn)述為：平行四邊形的對(duì)邊相等．②如果一個(gè)四邊形是平行四邊形，那么這個(gè)四邊形的兩組對(duì)角分別相等．簡(jiǎn)述為：平行四邊形的對(duì)角相等．③如果一個(gè)四邊形是平行四邊形，那么這個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線互相平分．簡(jiǎn)述為：平行四邊形的兩條對(duì)角線互相平分．④平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)．⑤推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等．例題解析例1．（2018·上海虹口區(qū)·八年級(jí)期中）如圖所示，在平行四邊形中，EF過(guò)對(duì)角線的交點(diǎn)，若AB=4，BC=7，OE=3，則四邊形的周長(zhǎng)是（）A．14 B．11 C．17 D．10【答案】C【分析】由在平行四邊形ABCD中，EF過(guò)兩條對(duì)角線的交點(diǎn)O，易證得△AOF≌△COE，則可得，繼而求得四邊形FECD的周長(zhǎng)．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，OA=OC，CD=AB=4，AD=BC=7∴∠FAO=∠ECO，在△AOE和△COF中，，∴△AOF≌△COE（ASA），∴AF=CE，OF=OE=3，∴EF=6，∴四邊形EFDC的周長(zhǎng)是：CD+DF+EF+CE=CD+DF+AF+EF=CD+AD+EF=4+7+6=17．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．例2．（2019·上海八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，下圖中有（）個(gè)平行四邊形.A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】由在平行四邊形ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，易得平行四邊形有：?ABCD，?ABFE，?EFCD，?AGHD，?BCHG，?OEDH，?OFCH，?OEAG，?OGBF共9個(gè)．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，∵EF∥AB，GH∥AD，∴AD∥GH∥BC，AB∥EF∥CD，∴平行四邊形有：?ABCD，?ABFE，?EFCD，?AGHD，?BCHG，?OEDH，?OFCH，?OEAG，?OGBF共9個(gè)．故選：C.【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．例3．（2020·上海浦東新區(qū)·八年級(jí)月考）已知平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為56cm，AB：BC＝2：5，那么AD＝_____cm．【答案】20【分析】由?ABCD的周長(zhǎng)為56cm，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，即可求得AB+BC＝28cm，又由AB：BC＝2：5，即可求得答案．【詳解】解：∵?ABCD的周長(zhǎng)為56cm，∴AB+BC＝28cm，∵AB：BC＝2：5，∴AD＝BC＝×28＝20（cm）；故答案為：20．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)．此題比較簡(jiǎn)單，注意掌握平行四邊形的對(duì)邊相等的性質(zhì)的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．例4．（2018·上海虹口區(qū)·八年級(jí)期中）如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊AD上，以BE為折痕，將△ABE向上翻折，點(diǎn)A正好落在邊CD上的點(diǎn)F處，若△DEF的周長(zhǎng)為8，△CBF的周長(zhǎng)為18，則FC的長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】5【分析】分析題意，△FBE為△ABE的翻折后的三角形，則△FBE≌△ABE，利用全等三角形各對(duì)應(yīng)邊相等、平行四邊形的性質(zhì)及線段間的等量關(guān)系可求解FC的長(zhǎng)．【詳解】解：根據(jù)題意得△FBE≌△ABE，∴EF＝AE，BF＝AB．∵平行四邊形ABCD，∴AD＝BC，AB＝DC．∵△FDE的周長(zhǎng)為8，即DF+DE+EF＝8，∴DF+DE+AE＝8，即DF+AD＝8．∵△FCB的周長(zhǎng)為18，即FC+BC+BF＝18，∴FC+AD+DC＝18，即2FC+AD+DF＝18．∴2FC+8＝18，∴FC＝5．故答案為5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊問(wèn)題，已知折疊問(wèn)題就是已知圖形的全等，折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，只是位置發(fā)生了變化．例5．（2020·上海嘉定區(qū)·八年級(jí)期末）已知四邊形，點(diǎn)是對(duì)角線與的交點(diǎn)，且，請(qǐng)?jiān)偬砑右粋€(gè)條件，使得四邊形成為平行四邊形，那么添加的條件可以是_____________．（用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)）【答案】【分析】由題意OA=OC，即一條對(duì)角線平分，根據(jù)平行四邊形的判定方法，可以平分另一條對(duì)角線，也可以根據(jù)三角形全等，得出答案．【詳解】解：如圖所示：

∵OA=OC，由定理：兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，

∴可以是OB=OD（答案不唯一）．

故答案為：OB=OD（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定，一般有幾種方法：

①兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，

②一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，

③兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，

④兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，

⑤兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形．例6．（2018·上海虹口區(qū)·八年級(jí)期中）在平行四邊形ABCD中，兩鄰角的度數(shù)比是7：2，那么較小角的度數(shù)為_(kāi)_____度．【答案】40【分析】本題主要依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得出兩鄰角之和180°，再有兩鄰角的度數(shù)比是7：2，得出較小角的度數(shù)．【詳解】解：設(shè)兩鄰角分別為，則，解得：，∴較小的角為40°．故答案為：40．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的兩鄰角之和為180°．例7．（2019·上海民辦張江集團(tuán)學(xué)校八年級(jí)月考）以不共線的三個(gè)已知點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)平行四邊形，可以畫(huà)出_____________個(gè)平行四邊形【答案】3【分析】不在同一直線上的三點(diǎn)為、、，連接、、，分別以其中一條線段為對(duì)角線，另兩邊為平行四邊形的邊，可構(gòu)成三個(gè)平行四邊形．【詳解】解：已知三點(diǎn)為、、，連接、、，①以為平行四邊形的對(duì)角線，、為兩邊可以畫(huà)出；②以為平行四邊形的對(duì)角線，、為兩邊可以畫(huà)出；③以為平行四邊形的對(duì)角線，、為兩邊可以畫(huà)出；如圖，可構(gòu)成的平行四邊形有三個(gè)：，，．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了畫(huà)平行四邊形的方法，關(guān)鍵是首先確定平行四邊形的對(duì)角線與兩邊，再畫(huà)出圖形．例8．（2019·上海市婁山中學(xué)八年級(jí)月考）在ABCD中,∠A的平分線分BC成4和3的兩條線段,則ABCD的周長(zhǎng)為_(kāi)____.【答案】20或22；【分析】∠A的平分線分BC成4cm和3cm的兩條線段，設(shè)∠A的平分線交BC于E點(diǎn)，有兩種可能，BE=4或3，證明△ABE是等腰三角形，分別求周長(zhǎng)．【詳解】解：設(shè)∠A的平分線交BC于E點(diǎn)，∵AD∥BC，∴∠BEA=∠DAE，

又∠BAE=∠DAE，∴∠BEA=∠BAE∴AB=BE．而B(niǎo)C=3+4=7．

①當(dāng)BE=4時(shí)，AB=BE=4，?ABCD的周長(zhǎng)=2×（AB+BC）=2×（4+7）=22；

②當(dāng)BE=3時(shí)，AB=BE=3，?ABCD的周長(zhǎng)=2×（AB+BC）=2×（3+7）=20．

所以?ABCD的周長(zhǎng)為22cm或20cm．

故答案為22cm或20cm．【點(diǎn)睛】主要考查了平行四邊形的基本性質(zhì)，并利用性質(zhì)解題．平行四邊形基本性質(zhì)：

①平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行；

②平行四邊形的兩組對(duì)邊分別相等；

③平行四邊形的兩組對(duì)角分別相等；

④平行四邊形的對(duì)角線互相平分．例9．（2020·上海楊浦區(qū)·八年級(jí)期末）在平行四邊形ABCD中，如果，那么_________度．【答案】45【分析】由四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對(duì)角相等，即可得，，又由，即可求得答案．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，，，．故答案為：45．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想與平行四邊形的對(duì)角相等定理的應(yīng)用．例10．（2019·上海普陀區(qū)·八年級(jí)期中）如圖，在中，，將繞頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，當(dāng)首次經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)時(shí)，旋轉(zhuǎn)角_________°．【答案】40【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：BC=BC1，得到∠BCC1=∠C1，又因?yàn)樾D(zhuǎn)角∠ABA1=∠CBC1，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】∵?ABCD繞頂點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到?A1BC1D1，∴BC=BC1，∴∠BCC1=∠C1，

∵∠A=70°，∴∠BCD=∠A=∠C1=70°，∴∠BCC1=∠C1=70°，

∴∠CBC1=180°2×70°=40°，∴∠ABA1=40°，故答案為：40．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是證明三角形CBC1是等腰三角形．例11.在平行四邊形ABCD中，若∠A的度數(shù)比∠B大20°，則∠B的度數(shù)為_(kāi)_________，∠C的度數(shù)為_(kāi)_________．【難度】★【答案】80°，100°．【解析】因?yàn)槭瞧叫兴倪呅?，所以，又，解得．因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角相等，所以．【總結(jié)】考察平行四邊形的內(nèi)角和及內(nèi)角的性質(zhì)．例12.在ABCD中，E在BC上，AB=BE，∠AEB=70°，求平行四邊形ABCD各內(nèi)角的度數(shù)．【難度】★【答案】．【解析】由題知，在BAE中，，所以，．【總結(jié)】考察平行四邊形的內(nèi)角度數(shù)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)．例13.如果ABCD的周長(zhǎng)是50cm，AB比BC短3cm，那么CD、DA分別是多少．【難度】★【答案】．【解析】平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，所以，又，解得又因?yàn)?所以．【總結(jié)】考察平行四邊形的邊的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)．例14如圖，在△ABC中，AB=AC=8，D是底邊BC上一點(diǎn)，DE//AC，DF//AB，求四邊形AEDF的周長(zhǎng)．【難度】★【答案】16【解析】由題意知DE//AC，所以,又因?yàn)樗?，得EB=ED．同理可得FD=FC，所以四邊形AEDF的周長(zhǎng)=AE+ED+DF+AF=AE+EB+CF+AF=AB+AC=8+8=16．【總結(jié)】考察平行四邊形的邊的平行性質(zhì)的應(yīng)用．例15.如圖，已知平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，且AE=2，DE=1，則平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)等于__________．【難度】★【答案】10【解析】由題知．因?yàn)锳D//BC，所以，得，即AE=AB=2．因?yàn)锳D=AE+ED=2+1=3，所以平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)等于=2×（AB+AD）=2×（2+3）=10．【總結(jié)】考察平行四邊形的綜合應(yīng)用．例16.（2019·上海普陀區(qū)·八年級(jí)期中）如圖，在中，，，，垂足分別為點(diǎn)、（1）求的度數(shù)；（2）如果，求線段的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用平行四邊形的鄰角互補(bǔ)的知識(shí)先求出∠C的度數(shù)，然后利用四邊形的內(nèi)角和定理即可求出∠EAF的度數(shù)．

（2）求出∠BAE的度數(shù)，然后在直角三角形中利用30°及勾股定理的知識(shí)求出AE的長(zhǎng)．【詳解】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠B+∠C=180°，

∵∠B=60°，∴∠C=120°，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEC=∠AFC=90°，

在四邊形AECF中，∠EAF+∠AEC+∠C+∠AFC=360°，∴∠EAF=60°；（2）在中，，，∵，∴，∴．由勾股定理，得，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，掌握平行四邊形的鄰角互補(bǔ)及勾股定理是解題的關(guān)鍵．例17．（2019·上海市西延安中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在□ABCD中，∠B、∠D的平分線分別交對(duì)邊于點(diǎn)E、F，交四邊形的對(duì)角線AC于點(diǎn)G、H．求證：AG=CH．【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，利用ASA判定△ADH≌△CBG；再根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，從而得到AH=CG，則AH+HG=CG+HG，即AG=CH．【詳解】證明：∵平行四邊形ABCD,∴AD=CB,AD∥CB，∠ADC=∠CBA∵DE、DF分別為角平分線，∴∠DAH=∠BCG,∠CBG=∠ADH，在△ADH和△CBG中∠DAH=∠BCGAD=CB∠CBG=∠ADH∴∴AH=CG．∴AH+HG=CG+HG，即AG=CH．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．例18.如圖，ABCD的周長(zhǎng)為60cm，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，已知△BOC的周長(zhǎng)比△AOB的周長(zhǎng)多8cm，求ABCD各邊的長(zhǎng)．【難度】★【答案】AB=CD=11cm，BC=AD=19cm．【解析】由題知，且OA=OC，即BO+OC+BC(BO+OA+AB)=BCAB=8，又因?yàn)?×(AB+BC)=60，所以得BC+AB=30，BCAB=8，所以AB=CD=11cm，BC=AD=19cm．【總結(jié)】考察平行四邊形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用．例19.平行四邊形的一角平分線分對(duì)邊為3和4兩部分，這個(gè)平行四邊形的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．【難度】★★【答案】20或22．【解析】如圖由題意可分兩種情況：1、AE=3，ED=4，由題知．因?yàn)锳D//BC，所以，得，即AE=AB=3，因?yàn)锳D=AE+ED=3+4=7，所以這個(gè)平行四邊形的周長(zhǎng)為2×(AB+AD)=2×(3+7)=20；2、AE=4，ED=3，同理可求這個(gè)平行四邊形的周長(zhǎng)為22；故該平行四邊形的周長(zhǎng)為20或22．【總結(jié)】考察平行四邊形的性質(zhì)及等腰三角形的綜合應(yīng)用．例20.如圖，在ABCD中，AE⊥BC、AF⊥CD，垂足分別為E、F，若∠B=50°，求∠FAE的度數(shù)．【難度】★★【答案】50゜．【解析】因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角相等，所以．因?yàn)槠叫嗡倪呅蔚泥徑腔パa(bǔ)，所以．在直角三角形BAE中，，同理，所以．【總結(jié)】考察平行四邊形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用．例21.平面直角坐標(biāo)系中，ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，若A點(diǎn)的坐標(biāo)為(4，3)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，2)，求點(diǎn)C、D的坐標(biāo)及ABCD的周長(zhǎng)．【難度】★★【答案】C（4，3）；D（2，2）；．【解析】因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線相互平分，所以可知C點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，3），D點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2）．由兩點(diǎn)間的距離公式可得，，所以ABCD的周長(zhǎng)=2×()=．【總結(jié)】考察平行四邊形的性質(zhì)的在平面直角坐標(biāo)系中的運(yùn)用．例22.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，平行四邊形ABCD的邊AB//x軸，B、D均在y軸上，又知道A、D在直線y=2x1上，且B點(diǎn)坐標(biāo)(0，1)，求A、C、D的坐標(biāo)及．【難度】★★【答案】A(1

，1)；C(1

，1)；D(0

，1)；=2．【解析】由題意知A的縱坐標(biāo)與B相同，把y=1代入y=2x1中,可得A的橫坐標(biāo)為1，所以A的坐標(biāo)為A(1

，1)，D為y=2x1與y軸的交點(diǎn)，所以D為（0，1）．因?yàn)锳B//CD且AB=CD，所以C的坐標(biāo)為（1，1）．從而可求CD=1，BD=2，且BDCD，所以=．【總結(jié)】考察平行四邊形的性質(zhì)在平面直角坐標(biāo)系中的應(yīng)用．例23.如圖，已知ABCD的面積為24，求陰影部分的面積．【難度】★★【答案】12．【解析】因?yàn)槠叫兴倪呅问侵行膶?duì)稱圖形，可知每一個(gè)小陰影三角形都有一個(gè)小空白三角形與之完全重合．所以陰影部分的面積是24．【總結(jié)】考察平行四邊形的中心對(duì)稱性的運(yùn)用．例24.已知在ABCD中，M是AD的中點(diǎn)，AD=2AB，求∠BMC的度數(shù)．【難度】★★【答案】90°．【解析】由題知AM=AB=CD=MD，設(shè)．則可得，在三角形DMC中，DM=DC，，可得，所以．【總結(jié)】考察平行四邊形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用．例25.如圖所示，平行四邊形ABCD中，G、H是對(duì)角線BD上兩點(diǎn)，DG=BH，DF=BE．求證：∠GEH=∠GFH．【難度】★★【解析】在與中，因?yàn)镈G=BH，DF=BE，，所以，所以GF=EH，．從而，所以GF//EH．又因?yàn)镚F=EH，所以四邊形GEHF為平行四邊形，從而∠GEH=∠GFH．【總結(jié)】考察平行四邊形的性質(zhì)的應(yīng)用．例26.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，DE⊥AB于點(diǎn)E，BM=MC=DC．求證：∠EMC=3∠BEM．【難度】★★【解析】延長(zhǎng)EM交DC于F點(diǎn)，易證，則MF=ME，即M為EF中點(diǎn)．設(shè)，則，在直角FED中，ME=MF=MD，得，所以，又因?yàn)镃M=CD，所以，綜上，．【總結(jié)】考察平行四邊形的性質(zhì)及角的和差的綜合應(yīng)用．例27.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，直線FH與AB、CD相交，過(guò)點(diǎn)A、D、C、B向直線FH作垂線，垂足分別為點(diǎn)G、F、E、H，求證：．【難度】★★★【解析】過(guò)A點(diǎn)做AMDF，易證四邊形AMFG為矩形，則AG=MF，所以AGDF=MFDF=DM．同理過(guò)C點(diǎn)做CNBH，可證CE=HN，CEBH=HNBH=BN．因?yàn)锽H//AG，所以，可知，又，所以．可得，從而得(同角的余角相等)．在ADM和CNB中，AD=BC，，又得，可得DM=BN，從而DM=BN，再得CEBH=AGDF．【總結(jié)】考察平行四邊形的性質(zhì)的應(yīng)用．例28.如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAD=60°，AE平分∠BAD交CD于E，BF平分∠ABC交CD于F，又AE與BF交于O，已知OB=OE=1．試求平行四邊形ABCD的面積．【難度】★★★【答案】1+．【解析】因?yàn)锳E、BF分別平分和，又+=180°，所以=90°．在直角AOB中，∠BAO=∠BAD=30°，OB=1，得OA=．連接BE，可求得BAE的面積=，所以平行四邊形ABCD的面積=2×=．【總結(jié)】考察平行四邊形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用．例29.在□ABCD中，∠BAD的平分線交直線BC于點(diǎn)E，交直線DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）在圖1中證明CE＝CF；（2）若∠ABC＝90°，G是EF的中點(diǎn)（如圖2），求∠BDG的度數(shù)．【難度】★★★【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）45°．【解析】（1）因?yàn)锳E平分∠BAD，所以∠BAE=∠BEA．又因?yàn)锳B//CD，所以∠F=∠BAE=∠BEA=∠CEF,從而得CE=CF；（2）連接BG、CG．由（1）可知CE=CF,且BE=BA=DC又∠ECF=90°．因?yàn)镚是EF的中點(diǎn)，CG=EG,∠F=∠FEC=45°，從而∠GCD=∠GEB=135°．綜上，可得，可得GB=GD，∠DGC=∠BGE，所以90°=∠BGD=∠DGA+∠BGE=∠DGA+∠DGC，從而知GBD是等腰直角三角形，所以∠BDG=45°．【總結(jié)】考察平行四邊形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用．隨堂檢測(cè)1.如果一個(gè)凸多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都等于140°，那么，這個(gè)多邊形共有多少條對(duì)角線?【難度】★【答案】27【解析】由題意知共有360°÷（180°140°）=9條邊，根據(jù)多邊形的對(duì)角線條數(shù)公式條．【總結(jié)】考察多邊形的基本知識(shí)的應(yīng)用．2.兩個(gè)凸多邊形，它們的邊長(zhǎng)之和為12，對(duì)角線的條數(shù)之和為19，那么這兩個(gè)多邊形的邊數(shù)分別是_________和_________．【難度】★【答案】5，7【解析】設(shè)這兩個(gè)凸多邊形的邊數(shù)分別為條和條，可列方程+=12，，解得：．所以這兩個(gè)多邊形的邊數(shù)分別是5和7．【總結(jié)】考察多邊形的基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用．3.若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是它外角和的3倍，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)．【難度】★【答案】8【解析】由題可知該多邊形的內(nèi)角和為360°×3=1080°，解得．【總結(jié)】考察多邊形的內(nèi)外角和的應(yīng)用．4.如圖，ABCD中，AF∶FC＝1∶2，S△ADF＝6cm2，則的值為_(kāi)_______．【難度】★【答案】36cm2．【解析】AFD與CFD同高，所以面積比等于底之比AF:FC=1:2，所以，則，所以．【總結(jié)】考察平行四邊邊形的性質(zhì)的應(yīng)用．5.如圖，中，BE⊥CD，BF⊥AD，垂足分別為E、F，若CE＝2，DF＝1，∠EBF＝60°，則的面積為_(kāi)_______．【難度】★★【答案】．【解析】因?yàn)?360°90°90°60°=120°，所以，又，在直角BEC中，，EC=2，可得BC=4，BE=．又AD=BC=4，所以AF=ADDF=41=3．在在直角AFB中，，AF=3，可得AB=6．綜上平行四邊形的面積為．【總結(jié)】考察平行四邊形的性質(zhì)的應(yīng)用．6.如圖，□ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，且AD≠CD，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AC，交AD于點(diǎn)M，若△CDM周長(zhǎng)為a，那么□ABCD的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．【難度】★★【答案】2．【解析】由平行四邊形的性質(zhì)可知OA=OC，又MO=MO，，所以MOAMOC，所以MA=MC．所以CMD的周長(zhǎng)==CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD，所以平行四邊形的周長(zhǎng)=．【總結(jié)】考察平行四邊形的對(duì)角線互相平分的性質(zhì)的應(yīng)用．7.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，平行四邊形ABCD的邊AB//y軸，B、D均在x軸上，又知道A、D在直線y=2x+1上，且B點(diǎn)坐標(biāo)(1，0)，求A、C、D的坐標(biāo)及和．【難度】★★【答案】A(1，3)；C(，3)；D(，0)；=；=．【解析】由題可知A的橫坐標(biāo)為1，代入y=2x+1可得A的縱坐標(biāo)為3，所以A(1，3)．因?yàn)镈為y=2x+1與軸的交點(diǎn)，所以可得D(，0)．因?yàn)锳BCD為平行四