《等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式》教學(xué)設(shè)計(jì)1

高中數(shù)學(xué)精編資源3/3《等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式》教學(xué)設(shè)計(jì)一、創(chuàng)設(shè)情境,提出問題師:高斯是近代偉大的數(shù)學(xué)家之一.據(jù)說,二百多年前,高斯的算術(shù)老師提出了下面的問題:當(dāng)其他同學(xué)忙于把100個數(shù)逐項(xiàng)相加時,10歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確答案：師:通過前面的學(xué)習(xí),不難看到,這是一個計(jì)算等差數(shù)列前100項(xiàng)和的問題,那么對于一般的等差數(shù)列如何求其前項(xiàng)和呢?這就是本節(jié)課我們要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.設(shè)計(jì)意圖:用多媒體課件展示小故事,使學(xué)生進(jìn)入問題情境,激發(fā)學(xué)生的興趣,鼓勵學(xué)生要善于觀察,敢于思考.培養(yǎng)學(xué)生從一些簡單的事物中發(fā)現(xiàn)和總結(jié)出某些規(guī)律的能力.二、主動探究,學(xué)習(xí)新課1.等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法一師:請同學(xué)們想一想,高斯在求和過程中利用了等差數(shù)列的什么性質(zhì)?生:設(shè),高斯在計(jì)算過程中利用了等差數(shù)列的性質(zhì):.師:利用等差數(shù)列的性質(zhì):若,則,將不同數(shù)(即)的求和問題轉(zhuǎn)化為了相同數(shù)(即101)的求和問題,簡化了運(yùn)算.師:利用此方法,如何計(jì)算呢?生:.師:你能從中得到求等差數(shù)列的前項(xiàng)和的方法嗎?師生活動:讓學(xué)生分組討論,在求前個正整數(shù)的和時,要對分奇數(shù)、偶數(shù)進(jìn)行討論.師:當(dāng)是偶數(shù)時,有,于是有.當(dāng)是奇數(shù)時,有.所以,對任意正整數(shù),都有設(shè)計(jì)意圖:幫助學(xué)生理解分類討論思想,開拓學(xué)生的解題思路,為接下來學(xué)習(xí)運(yùn)用“倒序相加法”求等差數(shù)列的前項(xiàng)和作鋪墊.2.等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法二師:在求等差數(shù)列的前項(xiàng)和時,要對分奇數(shù)、偶數(shù)進(jìn)行討論,過程比較麻煩,能否設(shè)法避免分類討論?師生活動:讓學(xué)生分組討論,探究新的推導(dǎo)方法.師:如果對公式作變形,可得,它相當(dāng)于兩個相加,而結(jié)果變成個相加.受此啟發(fā),我們得到下面的方法:,將上述兩式相加,可得,所以.設(shè)計(jì)意圖:引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用“倒序相加法”探究等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式,發(fā)展學(xué)生的邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).3.等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式(1)的推導(dǎo)師:可以發(fā)現(xiàn),上述方法的妙處在于將“倒序”為,再將兩式相加,得到個相同的數(shù)(即相加,從而把不同數(shù)的求和轉(zhuǎn)化為個相同的數(shù)求和.這種方法能夠推廣到求等差數(shù)列的前項(xiàng)和嗎?師生活動:讓學(xué)生分組討論,探究新的方法,然后選代表進(jìn)行板演.生:對于等差數(shù)列,因?yàn)?由上述方法得到啟示,我們用兩種方式表示:得.由此得到等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式.①師:對于等差數(shù)列,利用公式(1),只要已知等差數(shù)列的首項(xiàng)和末項(xiàng),就可以求得前項(xiàng)和.設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生經(jīng)歷由特殊到一般的思維過程,利用前面由特殊實(shí)例總結(jié)出的規(guī)律推導(dǎo)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式.4.等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式(2)的推導(dǎo)師:對于等差數(shù)列,如果已知首項(xiàng)和公差,那么這個等差數(shù)列就完全確定了,所以我們也可以用和來表示,你能推導(dǎo)出此公式嗎?師生活動:讓學(xué)生分組討論,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和上面推出的等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式(1)探究等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式(2).生:把等差數(shù)列的通項(xiàng)公式代入公式(1),可得.(2)師:不從公式(1)出發(fā),你能用其他方法得到公式(2)嗎?師生活動:指導(dǎo)學(xué)生分組討論,探究新的方法.師:給出參考方法:,因?yàn)閷θ我庹麛?shù),都有,所以,所以.師:我們接下來研究一下等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系,請同學(xué)們將求和公式寫成關(guān)于的函數(shù)形式.生:將等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式變形、整理得到師:我們能否說式是關(guān)于的二次函數(shù)呢?師生活動:讓學(xué)生分組討論發(fā)表意見后,教師進(jìn)行解釋.師:(*)式不一定是關(guān)于的二次函數(shù).當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的公差且首項(xiàng)時,式是關(guān)于的一次函數(shù);只有當(dāng)公差時,式才是關(guān)于的二次函數(shù).設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生經(jīng)歷等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程,并從函數(shù)的角度認(rèn)識公式,從而加深對公式的理解.三、典例講解,鞏固新知例1已知數(shù)列是等差數(shù)列.(1)若,求;(2)若,求;(3)若,求.師生活動:三名學(xué)生板演,教師巡視,糾正錯誤.分析:對于(1),可以直接利用公式求和;在(2)中,可以先利用和的值求出,再利用公式求和;(3)已知公式中的和,解方程即可求得.解:(1)因?yàn)?根據(jù)公式,可得.(2)因?yàn)?所以.根據(jù)公式,可得.(3)把代入,得.整理,得.解得,或(舍去).所以.例2已知一個等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和是310,前20項(xiàng)的和是1220.由這些條件能確定這個等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差嗎?師生活動:教師引領(lǐng)學(xué)生分析后,選學(xué)生板演,教師巡視,糾正錯誤.分析:把已知條件代入等差數(shù)列前項(xiàng)和的公式(2)后,可得到兩個關(guān)于與的二元一次方程.解這兩個二元一次方程所組成的方程組,就可以求得和.解:由題意,知,把它們代入公式,得解方程組,得所以,由所給的條件可以確定等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差.例3某校新建一個報告廳,要求容納800個座位,報告廳共有20排座位,從第2排起后一排都比前一排多2個座位.問第1排應(yīng)安排多少個座位?師生活動:引領(lǐng)學(xué)生分析后,教師板書講解.分析:將第1排到第20排的座位數(shù)依次排成一列,構(gòu)成數(shù)列.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.由題意可知,是等差數(shù)列,且公差及前20項(xiàng)的和已知,所以可利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求首項(xiàng).解:設(shè)報告廳的座位從第1排到第20排,各排的座位數(shù)依次排成一列,構(gòu)成數(shù)列,其前項(xiàng)和為.根據(jù)題意,數(shù)列是一個公差為2的等差數(shù)列,且.由,可得.因此,第1排應(yīng)安排21個座位.例4已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若10,公差,則是否存在最大值?若存在,求的最大值及取得最大值時的值;若不存在,請說明理由.師生活動:引領(lǐng)學(xué)生分析后,教師板書講解.分析:由和,可以證明是遞減數(shù)列,且存在正整數(shù),使得當(dāng)時,遞減.這樣,就把求的最大值轉(zhuǎn)化為求的所有正數(shù)項(xiàng)的和.另一方面,等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可寫成,所以當(dāng)時,可以看成二次函數(shù)當(dāng)時的函數(shù)值.如圖,當(dāng)時,關(guān)于的圖象是一條開口向下的拋物線上的一些點(diǎn).因此,可以利用二次函數(shù)求相應(yīng)的的值.解法1:由,得,所以是遞減數(shù)列.又由,可知:當(dāng)時,;當(dāng)時,;當(dāng)時,.所以.也就是說,當(dāng)或6時,最大.因?yàn)?所以的最大值為30.解法2:因?yàn)?所以,當(dāng)取與最接近的整數(shù)即5或6時,最大,最大值為30.師生活動:對于解法2,讓學(xué)生想一想“當(dāng)取與最接近的整數(shù)即5或6時,最大”的原因.提示:可依據(jù)關(guān)于的圖象是一條開口向下的拋物線上的一些點(diǎn),將問題轉(zhuǎn)化為尋找圖象中最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)的問題.由于此拋物線開口向下,對稱軸是直線,所以最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)是與最接近的整數(shù)即5或6,此時最大.設(shè)計(jì)意圖:通過幾道例題,鞏固對等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的理解及運(yùn)用,培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識解決問題的能力.四、總結(jié)思考,提高能力師:同學(xué)們,本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些數(shù)學(xué)內(nèi)容?生:等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式,等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式(2):.師:通過等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的推導(dǎo),你們從中體會到了哪些數(shù)學(xué)思想方法?生:(1)通過等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的推導(dǎo),我們了解了求數(shù)列前項(xiàng)和的一種重要方法——倒序相加法”.(2)“知三求二”的方程思想,即已知等差數(shù)列的,這五個量中的三個變量,可利用構(gòu)造方程或方程組的方法來求另外兩個變量.師:本節(jié)課我們通過探究還從函數(shù)的角度得到了等差數(shù)列前項(xiàng)和的什么相關(guān)內(nèi)容?生:如果一個數(shù)列的前項(xiàng)和公式中的常數(shù)項(xiàng)為0,且是關(guān)于的二次型函數(shù),那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列,從而使我們能從數(shù)列的前項(xiàng)和公式的結(jié)構(gòu)特征上來判斷其是否是等差數(shù)列.五、布置作業(yè)1.教材第頁練習(xí)第1,3題.2.教材第24頁練習(xí)第1,3題.板書設(shè)計(jì):等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式一、創(chuàng)設(shè)情境,提出問題二、主動探究,學(xué)習(xí)新課1.等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法一2.等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法二3.等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式(1)的推導(dǎo)4.等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式(2)的推導(dǎo)三、典例講解,鞏固新知例1例2例3例4四、總結(jié)思考,提高能力五、布置作業(yè)教學(xué)研討:本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)以故事導(dǎo)入,增強(qiáng)了學(xué)生的好奇心,激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望和熱情.同時以問題為導(dǎo)向,組織學(xué)生探究等差數(shù)列