數(shù)字電子技術(shù) 第二章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)本次課主要內(nèi)容概述邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式邏輯代數(shù)的基本定理邏輯函數(shù)及其表示方法數(shù)字電子技術(shù)2.1概述基本概念

邏輯：事物的因果關(guān)系 邏輯運(yùn)算的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：邏輯代數(shù) 在二值邏輯中的變量取值：

0/12.2邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算

與（AND）或（OR）非（NOT）以A=1表示開關(guān)A合上，A=0表示開關(guān)A斷開；

以Y=1表示燈亮，Y=0表示燈不亮；

三種電路的因果關(guān)系不同：與條件同時具備，結(jié)果發(fā)生Y=AANDB=A&B=A·B=ABABY0000100011或條件之一具備，結(jié)果發(fā)生Y=AORB=A+BABY0000110111非條件不具備，結(jié)果發(fā)生

AY0110幾種常用的復(fù)合邏輯運(yùn)算與非 或非 與或非幾種常用的復(fù)合邏輯運(yùn)算異或Y=AB′+A′B=A

BABY0000110110幾種常用的復(fù)合邏輯運(yùn)算同或Y=AB+A′B′=

A⊙BABY0010100011A

B=(A⊙B)′思考題

以下三個表達(dá)式都是正確的，說明其原理。

1+1=11+1=101+1=2 2.3.1基本公式

2.3.2常用公式2.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式2.3.1基本公式根據(jù)與、或、非的定義，得表2.3.1的布爾恒等式序號公式序號公式101′

=0;0′=110

A=0111+A=121A=A120+A=A3AA=A13A+A=A4AA′=014A+A′=15AB=BA15A+B=B+A6A(BC)=(AB)C16A+(B+C)=(A+B)+C7A(B+C)=AB+AC17A+BC=(A+B)(A+C)8(AB)′=A′+B′18(A+B)′=A′B′9(A′)′=A證明方法：推演真值表公式（17）的證明（公式推演法）：公式（17）的證明（真值表法）：ABCBCA+BCA+BA+C（A+B）(A+C)00000000001000100100010001111111100011111010111111001111111111112.3.2若干常用公式序號公式21A+AB=A22A+A′B=A+B23AB+AB′=A24A(A+B)=A25AB+A′C+BC=AB+A′CAB+A′C+BCD=AB+A′C26A(AB)′=AB′;A′(AB)′=A′2.4邏輯代數(shù)的基本定理2.4.1代入定理

------在任何一個包含A的邏輯等式中，若以另外一個邏輯式代入式中A的位置，則等式依然成立。2.4.1代入定理應(yīng)用舉例：式（17）A+BC=(A+B)(A+C) A+B(CD)=(A+B)(A+CD) =(A+B)(A+C)(A+D)2.4.1代入定理應(yīng)用舉例：式（8）2.4邏輯代數(shù)的基本定理2.4.2反演定理

-------對任一邏輯式

變換順序先括號，然后乘，最后加

不屬于單個變量的上的反號保留不變2.4.2反演定理應(yīng)用舉例：對偶式：對任一邏輯式Y(jié)，將其中的“?”換成“＋”，“＋”換成“?”，“０”換成“１”，“1”換成“0”，得到Y(jié)D，YD稱為Y的對偶式。（1）若兩個邏輯式相等，則它們的對偶式也相等。（2）對對偶式再求對偶得原函數(shù)本身。利用對偶式，有時可以簡化對等式的證明。例如：2.4.3對偶定理2.5.1邏輯函數(shù)Y=F(A,B,C,······)------若以邏輯變量為輸入，運(yùn)算結(jié)果為輸出，則輸入變量值確定以后，輸出的取值也隨之而定。輸入/輸出之間是一種函數(shù)關(guān)系。注：在二值邏輯中， 輸入/輸出都只有兩種取值0/1。2.5邏輯函數(shù)及其表示方法例：舉重裁判電路2.5.2邏輯函數(shù)的表示方法真值表邏輯式邏輯圖波形圖卡諾圖計算機(jī)軟件中的描述方式（VHDL）各種表示方法之間可以相互轉(zhuǎn)換真值表輸入變量ABC····輸出Y1Y2

····遍歷所有可能的輸入變量的取值組合輸出對應(yīng)的取值A(chǔ)BCY00000010010001101000101111011111舉重裁判電路真值表邏輯式將輸入/輸出之間的邏輯關(guān)系用與/或/非的運(yùn)算式表示就得到邏輯式。邏輯圖用邏輯圖形符號表示邏輯運(yùn)算關(guān)系，與邏輯電路的實現(xiàn)相對應(yīng)。波形圖將輸入變量所有取值可能與對應(yīng)輸出按時間順序排列起來畫成時間波形。各種表示方法之間的相互轉(zhuǎn)換：真值表邏輯式舉重裁判電路的真值表A=1,B=0,C=1使

AB′C=1A=1,B=1,C=0使ABC′=1A=1,B=1,C=1使

ABC

=1這三種取值的任何一種都使Y=1,所以

Y=?ABCY00000010010001101000101111011111Y=AB′C+ABC′+ABC=AB′C+AB=A(B′C+B)=A(B+C)真值表邏輯式：找出真值表中使Y=1的輸入變量取值組合。每組輸入變量取值對應(yīng)一個乘積項，其中取值為1的寫原變量，取值為0的寫反變量。將這些變量相加即得Y。1.把輸入變量取值的所有組合逐個代入邏輯式中求出Y，列表真值表邏輯式例：奇偶判別函數(shù)的真值表

Y=?ABCY00000010010001111000101111011110邏輯式邏輯圖1.用圖形符號代替邏輯式中的邏輯運(yùn)算符。邏輯式邏輯圖1.從輸入到輸出逐級寫出每個圖形符號對應(yīng)的邏輯運(yùn)算式。波形圖真值表ABCY00000010010001101000101111011111最小項m：m是乘積項包含n個因子n個變量均以原變量和反變量的形式在m中出現(xiàn)一次對于n變量函數(shù)有2n個最小項2.5.3邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式

最小項之和最大項之積

最小項舉例：兩變量A,B的最小項三變量A,B,C的最小項最小項的編號：最小項取值對應(yīng)編號ABC十進(jìn)制數(shù)0000m00011m10102m20113m31004m41015m51106m61117m7最小項的性質(zhì)在輸入變量任一取值下，有且僅有一個最小項的值為1。全體最小項之和為1。任何兩個最小項之積為0。兩個相鄰的最小項之和可以合并，消去一對因子，只留下公共因子。

------相鄰：僅一個變量不同的最小項如邏輯函數(shù)最小項之和的形式：例：利用公式可將任何一個函數(shù)化為邏輯函數(shù)最小項之和的形式：例：利用公式可將任何一個函數(shù)化為邏輯函數(shù)最小項之和的形式：例：利用公式可將任何一個函數(shù)化為邏輯函數(shù)最小項之和的形式：例：邏輯函數(shù)最小項之和的形式：例：邏輯函數(shù)最小項之和的形式：例：邏輯函數(shù)最小項之和的形式：例：最大項：M是相加項；包含n個因子。n個變量均以原變量和反變量的形式在M中出現(xiàn)一次。如：兩變量A,B的最大項對于n變量函數(shù)2n個最大項的性質(zhì)在輸入變量任一取值下，有且僅有一個最大項的值為0；全體最大項之積為0；任何兩個最大項之和為1；只有一個變量不同的最大項的乘積等于各相同變量之和。最大項的編號：最大項取值對應(yīng)編號ABC十進(jìn)制數(shù)1117M71106M61015M51004M40113M30102M20011M10000M0邏輯函數(shù)的最大項之積形式

任何邏輯函數(shù)都可化為最大項之積的標(biāo)準(zhǔn)形式。如果已知邏輯函數(shù)為Y=∑mi時，定可將它化成編號為i以外的最大項之積。[例]

將邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)換成最大項表達(dá)式。2.5.4邏輯函數(shù)形式的變換邏輯函數(shù)的與或式（最常用）利用公式由則與或式→與非式與或式→與或非式邏輯函數(shù)的最簡形式最簡與或式

------包含的乘積項已經(jīng)最少，每個乘積項的因子也最少，稱為最簡的與-或邏輯式。2.6邏輯函數(shù)的化簡法常用的公式化簡法

并項法

吸收法

消項法

消因子法

配項法2.6.1邏輯函數(shù)的公式化簡法邏輯函數(shù)的公式化簡法

一、并項法

利用公式將兩項并成一項，消去一個變量。[例]

化簡解：邏輯函數(shù)的公式化簡法

二、吸收法

利用公式

A+AB=A，消去多余項AB。[例]

化簡三、消項法

利用公式，消去多余項BC；利用公式，消去多余項BCD。[例]

化簡邏輯函數(shù)的公式化簡法四、消因子法

利用公式

，將多余因子消去。[例]

化簡五、配項法

在不能直接運(yùn)用公式、定理化簡時，可以根據(jù)A+A＝A在邏輯函數(shù)式中重復(fù)寫入某項，或通過乘，進(jìn)行配項再化簡。[例]

化簡公式化簡法反復(fù)應(yīng)用基本公式和常用公式，消去多余的乘積項和多余的因子。例：

公式化簡法反復(fù)應(yīng)用基本公式和常用公式，消去多余的乘積項和多余的因子。例：

2.6.1公式化簡法反復(fù)應(yīng)用基本公式和常用公式，消去多余的乘積項和多余的因子。例：

2.6.1公式化簡法反復(fù)應(yīng)用基本公式和常用公式，消去多余的乘積項和多余的因子。例：

2.6.1公式化簡法反復(fù)應(yīng)用基本公式和常用公式，消去多余的乘積項和多余的因子。例：

優(yōu)點：不受變量數(shù)目的限制。缺點：沒有固定的步驟可循；需要熟練運(yùn)用各種公式和定理；在化簡一些較為復(fù)雜的邏輯函數(shù)時還需要一定的技巧和經(jīng)驗；有時很難判定化簡結(jié)果是否最簡。邏輯函數(shù)的公式化簡法2.6.2卡諾圖化簡法

邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法實質(zhì)：將邏輯函數(shù)的最小項之和的形式以圖形的方式表示出來以2n個小方塊分別代表n變量的所有最小項，并將它們排列成表格，而且使幾何位置相鄰的兩個最小項在邏輯上也是相鄰的（只有一個變量不同），就得到表示n變量全部最小項的卡諾圖。表示最小項的卡諾圖二變量卡諾圖三變量的卡諾圖4變量的卡諾圖表示最小項的卡諾圖二變量卡諾圖三變量的卡諾圖4變量的卡諾圖表示最小項的卡諾圖二變量卡諾圖三變量的卡諾圖4變量的卡諾圖五變量的卡諾圖用卡諾圖表示邏輯函數(shù)將函數(shù)表示為最小項之和的形式。在卡諾圖上與這些最小項對應(yīng)的位置上添入1，其余地方添0。用卡諾圖表示邏輯函數(shù)例：用卡諾圖表示邏輯函數(shù)

用卡諾圖化簡函數(shù)依據(jù)：具有相鄰性的最小項可合并，消去不同因子。

在卡諾圖中，最小項的相鄰性可以從圖形中直觀地反映出來。合并最小項的原則：兩個相鄰最小項可合并為一項，消去一對因子四個排成矩形的相鄰最小項可合并為一項，消去兩對因子八個相鄰最小項可合并為一項，消去三對因子兩個相鄰最小項可合并為一項，

消去一對因子化簡步驟：

------用卡諾圖表示邏輯函數(shù)

------找出可合并的最小項

------化簡后的乘積項相加 （項數(shù)最少，每項因子最少）

用卡諾圖化簡函數(shù)卡諾圖化簡的原則化簡后的乘積項應(yīng)包含函數(shù)式的所有最小項，即覆蓋圖中所有的1。乘積項的數(shù)目最少，即圈成的矩形最少。每個乘積項因子最少，即圈成的矩形最大。例：0001111001ABC例：000111100011111101ABC例：000111100011111101ABC例：化簡結(jié)果不唯一例：0001111000011110ABCD例：00011110001001011001111111101111ABCD約束項任意項邏輯函數(shù)中的無關(guān)項：約束項和任意項可以寫入函數(shù)式，也可不包含在函數(shù)式中，因此統(tǒng)稱為無關(guān)項。在邏輯函數(shù)中，對輸入變量取值的限制，在這些取值下為1的最小項稱為約束項在輸入變量某些取值下，函數(shù)值為1或為0不影響邏輯電路的功能，在這些取值下為1的最小項稱為任意項2.7具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)及其化簡

2.7.1約束項、任意項和邏輯函數(shù)式中的無關(guān)項2.7.2無關(guān)項在化簡邏輯函數(shù)中的應(yīng)用合理地利用無關(guān)項，可得更簡單的化簡結(jié)果。加入（或去掉）無關(guān)項，應(yīng)使化簡后的項數(shù)最少，每項因子最少······

從卡諾圖上直觀地看，加入無關(guān)項的目的是為矩形圈最大，矩形組合數(shù)最少。或?qū)憺榻猓河霉交喎?001111000101111101ABCD000111100001x0010x1011x0xx101x0xABCD000111100001x0010x1011x0xx101x0xABCD例：00011110000001011x0111xxxx1010xxABCD[例1]

某水庫設(shè)有三個水位檢測點，裝有A、B、C三個干濕傳感器，當(dāng)傳感器被水浸泡時輸出1，否則（不浸水時）輸出0。A為警戒水位點，B比警戒水位A高1米，C比警戒水位高2米。該水庫有大小兩個閘門GL、GS。防汛部規(guī)定當(dāng)水位低于警戒水位A時，關(guān)閘蓄水。當(dāng)水位超過A時，開小閘門GS放水，當(dāng)水位超過B時，開啟大閘門GL（關(guān)閉小閘門GS

）泄洪；當(dāng)水位超過C時，大小閘門ＧLＧS同時開啟泄洪。如果用0表示閘門關(guān)閉，1表示閘門放水。閘門與水庫水位之間的邏輯關(guān)系真值表如右：[例1]由題意知，A、B、C永遠(yuǎn)不可能取001、010、011和101，故與之對應(yīng)的約束條件為∑d(1,2,3,5)=0[例1]ABC1101000110GL：011XXXX0ABC1101000110GS：110XXXX0[例2]

將下列邏輯函數(shù)化為最簡與或函數(shù)式。四變量邏輯函數(shù)約束條件為m0+m1+

m2+

m4+

m8=0ABCD1100010001101110解：11111XXXXX000000化簡結(jié)果：返回2.8用multisim進(jìn)行邏輯函數(shù)的化簡與變換例:已知邏輯函數(shù)Y的真值表如下,試用multisim求出Y的邏輯函數(shù)式,并將其化簡為與-或形式ABCDY1000010010101001011X1100X110101110X11111ABCDY0000000011001000011X01000010110110101111數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)實驗實驗二譯碼器與數(shù)據(jù)選擇器一、實驗?zāi)康?.理解用變量譯碼器實現(xiàn)邏輯函數(shù)的方法2.理解用數(shù)據(jù)選擇器實現(xiàn)邏輯函數(shù)的方法3.掌握用數(shù)據(jù)選擇器和譯碼器實現(xiàn)數(shù)據(jù)傳輸系統(tǒng)4.掌握數(shù)據(jù)選擇器的擴(kuò)展方法二、實驗原理1.譯碼器

（變量、碼制、顯示）譯碼器是將一種數(shù)碼轉(zhuǎn)換為另一種數(shù)碼的電路。二、實驗原理1.譯碼器

（變量、碼制、顯示）74LS138內(nèi)部邏輯圖74LS138工作原理如下：

當(dāng)一個選通端（S1）為高電平，另兩個選通端（）和（）為低電平時，可將地址端（A0、A1、A2）的二進(jìn)制編碼在一個對應(yīng)的輸出端以低電平譯出。二、實驗原理74LS138功能表

無論從邏輯圖還是功能表可以看到74LS138的八個輸出管腳，任何時刻要么全為高電平1—芯片處于不工作狀態(tài)，要么只有一個為低電平0，其余7個輸出管腳全為高電平1。如果出現(xiàn)兩個輸出管腳在同一個時間為0的情況，說明該芯片已經(jīng)損壞。二、實驗原理74LS138引腳圖

三個使能端：三線地址輸入端：八線輸出端：譯碼器輸出低電平有效G1、G2A、G2BA2、A1、A0Y7——Y0二、實驗原理2.數(shù)據(jù)選擇器A1A0地址碼D0D1D2D3數(shù)據(jù)輸入Y輸出四選一數(shù)據(jù)選擇器示意圖數(shù)據(jù)選擇器又稱多路轉(zhuǎn)換器或多路開關(guān)，是多輸入、單輸出的組合邏輯電路。功能：從多個輸入數(shù)據(jù)源中選擇一個送往唯一通道輸出。用途：

1）數(shù)據(jù)選擇

2）實現(xiàn)復(fù)雜的邏輯函數(shù)。

輸入

輸出1×××

0000

0001

0010

0011

0100

0101

01100111

A2A1A0YYD0D0D1D2D3D4D5D6D7D1D2D3D5