山東省濟(jì)南市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省濟(jì)南市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意，解得或，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：B.2.（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗.故選：C.3.命題“”的否定是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題知，命題“”的否定是.故選：A.4.工藝扇面是中國(guó)書畫的一種常見(jiàn)表現(xiàn)形式.如圖所示，已知扇面展開(kāi)后形成一個(gè)中心角為的扇環(huán)，其中扇環(huán)的外圓半徑為，內(nèi)圓半徑為，某同學(xué)準(zhǔn)備用布料制作這樣一個(gè)扇面，若不計(jì)損耗，則需要布料（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知，扇環(huán)的面積為.故選：C.5.已知函數(shù)則的圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗結(jié)合題意可得：當(dāng)時(shí)，易知為冪函數(shù)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，易知為冪函數(shù)，在單調(diào)遞增，故函數(shù)，圖象如圖所示：要得到，只需將的圖象沿軸對(duì)稱即可得到.故選：C.6.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意.故選：B.7.如圖所示，線段為半圓的直徑，為圓心，為半圓弧上不與重合的點(diǎn)，.作于于，設(shè)，則下列不等式中可以直接表示的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以，在中，，又，所以，在中，，故，得到，所以，所以，即，故選：D.8.已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)在區(qū)間有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，則這兩個(gè)零點(diǎn)只能是，則當(dāng)時(shí)，，解得.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，又，所以，正確；對(duì)于C，由，可得，根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得，正確；對(duì)于D，取，滿足，而，錯(cuò)誤故選：BC.10.已知函數(shù)，則（）A.為奇函數(shù) B.為增函數(shù)C.的值域?yàn)? D.對(duì)，方程有兩個(gè)根〖答案〗ACD〖解析〗因?yàn)?，易知定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，即為奇函數(shù)，所以選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)槎x域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，而，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以的增區(qū)間為，又易知，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，所以?duì)，方程有兩個(gè)根，即選項(xiàng)C和D均正確.故選：ACD.11.如圖所示，已知角的始邊為軸的非負(fù)半軸，終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為，為線段的中點(diǎn)，射線與單位圓交于點(diǎn)，則（）A.B.C.點(diǎn)的坐標(biāo)為D.點(diǎn)的坐標(biāo)為〖答案〗ABC〖解析〗對(duì)于A：因?yàn)椋?，所以，正確；對(duì)于B：依題意為線段的中點(diǎn)，則，則，又，所以，正確；對(duì)于C：為線段的中點(diǎn)，射線與單位圓交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，所以，又，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，正確；對(duì)于D：，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，錯(cuò)誤.故選：ABC.12.通常我們把一個(gè)以集合作為元素的集合稱為族.若以集合的子集為元素的族，滿足下列三個(gè)條件：（1）和在中；（2）中的有限個(gè)元素取交后得到的集合在中；（3）中的任意多個(gè)元素取并后得到的集合在中，則稱族為集合上的一個(gè)拓?fù)?已知全集為的非空真子集，且，則（）A.族為集合上的一個(gè)拓?fù)銪.族為集合上的一個(gè)拓?fù)銫.族為集合上的一個(gè)拓?fù)銬.若族為集合上的一個(gè)拓?fù)?，將的每個(gè)元素的補(bǔ)集放在一起構(gòu)成族，則也是集合上的一個(gè)拓?fù)洹即鸢浮紸BD〖解析〗對(duì)于A，首先滿足條件（1），其次，中有限個(gè)元素取交后得到的集合為或，都在中，滿足條件（2），再次，中的任意多個(gè)元素取并后得到的集合為或，都在中，滿足條件（3），故A正確；對(duì)于B，首先滿足條件（1），其次，中的有限個(gè)元素取交后得到的集合為或或，都在中，滿足條件（2），再次，中的任意多個(gè)元素取并后得到的集合為或或，都在中，滿足條件（3），故B正確；對(duì)于C，不妨設(shè)，則，不在中，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由題意不妨設(shè)族為集合上的一個(gè)拓?fù)洌蓷l件（2）可知中的有限個(gè)元素取交后得到的集合都在，且由條件（3）可知中的任意多個(gè)元素取并后得到的集合都在，所以不妨設(shè)，則，且，首先滿足條件（1），其次，中的有限個(gè)元素取交后得到的集合都在中，滿足條件（2），再次，中的任意多個(gè)元素取并后得到的集合都在中，滿足條件（3），故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知為第二象限角，若，則的值為_(kāi)_____.〖答案〗〖解析〗因?yàn)闉榈诙笙藿?，且，所以，所?故〖答案〗為：.14.定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則的值為_(kāi)_________.〖答案〗1〖解析〗由題意.故〖答案〗為：1.15.已知函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的值為_(kāi)_____.〖答案〗0〖解析〗由題意得函數(shù)，顯然，，又函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故，則，故，則，故.故〖答案〗為：0.16.已知函數(shù)，，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗由題意設(shè)，則函數(shù)的零點(diǎn)即為方程的根，在同一平面直角坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)的圖象以及直線如圖所示：若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，（不妨設(shè)為），則方程的根有三個(gè)根，且，所以，且，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以，即，所以，令，，解得，令，，解得，所以.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.已知集合.（1）若，求；（2）若是的充分不必要條件，求的取值范圍.解：（1）解可得，故可知，當(dāng)時(shí)，，所以，.（2）因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，所以?，則，解得.18.已知函數(shù)的最大值為3，最小值為1.（1）求和的值；（2）把的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，求的單調(diào)遞減區(qū)間.解：（1）因?yàn)?，由題意可得，解得.（2）由（1）得，所以，由，得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.19.已知函數(shù)為偶函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）解不等式.解：（1）設(shè)的定義域?yàn)?，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，都有，即對(duì)都成立，等價(jià)于對(duì)都成立，整理得都成立，所以，解得，所以的值為1.（2）由題意，移項(xiàng)得，所以，所以，整理得，即，解得，所以不等式的解集為.20.如圖所示，在等腰直角中，為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)分別在線段上運(yùn)動(dòng)，且，設(shè).（1）設(shè)，求的取值范圍及；（2）求面積的最小值.解：（1）因?yàn)闉榈妊苯侨切危瑸榫€段的中點(diǎn)，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，所以，因?yàn)?，所以，所?（2）因?yàn)?，所以，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以面積的最小值為.21.中國(guó)茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān).經(jīng)驗(yàn)表明：某種紅茶用的水泡制，再等到茶水溫度降至?xí)r飲用可以產(chǎn)生最佳口感，現(xiàn)在室溫下，某實(shí)驗(yàn)小組為探究剛泡好的茶水達(dá)到最佳飲用口感的放置時(shí)間，每隔測(cè)量一次茶水溫度，得到茶水溫度隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù)：時(shí)間012345水溫95.0088.0081.7076.0570.9366.30設(shè)茶水溫度從開(kāi)始，經(jīng)過(guò)后的溫度為，現(xiàn)給出以下三種函數(shù)模型：①；②；③.（1）從上述三種函數(shù)模型中選出你認(rèn)為最符合實(shí)際的函數(shù)模型，簡(jiǎn)單敘述理由，并利用前的數(shù)據(jù)求出相應(yīng)的〖解析〗式；（2）根據(jù)（1）中所求的函數(shù)模型，求剛泡好的紅茶達(dá)到最佳飲用口感的放置時(shí)間.參考數(shù)據(jù)：.解：（1）選擇②作為函數(shù)模型，對(duì)于模型①，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)意義，故而排除；對(duì)于模型③，由表中數(shù)據(jù)可知當(dāng)自變量增大時(shí)，函數(shù)值減小，故而排除；對(duì)于模型②，所給函數(shù)單調(diào)遞減，且符合茶水溫度不低于室溫的要求；故應(yīng)選擇模型②，將前的數(shù)據(jù)帶入，得，解得，所以所求函數(shù)〖解析〗式為.（2）由（1）中模型可得，即，所以，即所以剛泡好的紅茶放置能達(dá)到最佳飲用口感.22.已知函數(shù).（1）若為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)，記的最大值為.（i）當(dāng)時(shí)，求的最小值；（ii）證明：對(duì).解：（1）由，