高中數(shù)學 第3章 3.1.2共面向量定理同步訓練 蘇教版選修2-1

3.1.2共面向量定理一、基礎(chǔ)過關(guān)1．當|a|＝|b|≠0，且a，b不共線時，a＋b與a－b的關(guān)系是________．(填“共面”“不共面”)2．在下列等式中，使點M與點A，B，C一定共面的是________(填序號)．①eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(1,5)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(1,5)eq\o(OC,\s\up6(→))②eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))③eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0④eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝03．三個向量xa－yb，yb－zc，zc－xa的關(guān)系是________．(填“共面”“不共面”“無法確定是否共面”)．4．已知點G是△ABC的重心，O是空間任一點，若eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OG,\s\up6(→))，λ的值為________．5．已知長方體ABCD—A1B1C1D1中，點E是上底面A1C1的對角線的交點，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))，則x，y的值分別為________．6．下面關(guān)于空間向量的說法正確的是________(填序號)．①若向量a、b平行，則a、b所在的直線平行；②若向量a、b所在直線是異面直線，則a、b不共面；③若A、B、C、D四點不共面，則向量eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(CD,\s\up6(→))不共面；④若A、B、C、D四點不共面，則向量eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AC,\s\up6(→))、eq\o(AD,\s\up6(→))不共面．7．下列結(jié)論中，正確的是________(填序號)．①若a、b、c共面，則存在實數(shù)x，y，使a＝xb＋yc；②若a、b、c不共面，則不存在實數(shù)x，y，使a＝xb＋yc；③若a、b、c共面，b、c不共線，則存在實數(shù)x，y，使a＝xb＋yc；④若a＝xb＋yc，則a、b、c共面．8．在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，M、N分別是棱CC1、CD①eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(C1D,\s\up6(→))；②eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))；③eq\o(B1M,\s\up6(→))、eq\o(A1D,\s\up6(→))與eq\o(A1D1,\s\up6(→))共面；④eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))．二、能力提升9．已知非零向量e1，e2不共線，如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq\o(AC,\s\up6(→))＝2e1＋8e2，eq\o(AD,\s\up6(→))＝3e1－3e2.求證：A、B、C、D共面．10．已知A、B、C三點不共線，對平面ABC外一點O，有eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\o(OC,\s\up6(→)).求證：P、A、B、C四點共面．11．對于任意空間四邊形ABCD，E、F分別是AB、CD的中點．試判斷：eq\o(EF,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))、eq\o(AD,\s\up6(→))的關(guān)系．12．如圖所示，平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在B1B和D1D上，且BE＝eq\f(1,3)BB1，DF＝eq\f(2,3)DD1.(1)求證：A，E，C1，F(xiàn)四點共面；(2)若eq\o(EF,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AA1,\s\up6(→))，求x＋y＋z的值．三、探究與拓展13．如圖所示，在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中點，求證：eq\o(B1C,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))，eq\o(OC1,\s\up6(→))是共面向量．

答案1．共面2．③3．共面4．35．eq\f(1,2)，eq\f(1,2)6．④7．②③④8．④9．證明令λ(e1＋e2)＋μ(2e1＋8e2)＋v(3e1－3e2)＝0.則(λ＋2μ＋3v)e1＋(λ＋8μ－3v)e2＝0.∵e1、e2不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＋2μ＋3v＝0，,λ＋8μ－3v＝0，))易知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－5,μ＝1,v＝1))是其中一組解，則－5eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，∴A、B、C、D共面．10．證明∵eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)－\f(2,5)))eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋eq\f(2,5)(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴向量eq\o(AP,\s\up6(→))、eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AC,\s\up6(→))共面，而線段AP、AB、AC有公共點，∴P、A、B、C四點共面．11．解如圖所示．空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點，利用多邊形加法法則可得：eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))①eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))②又E、F分別是AB、CD的中點．故有eq\o(EA,\s\up6(→))＝－eq\o(EB,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))＝－eq\o(CF,\s\up6(→))③將③代入①得eq\o(EF,\s\up6(→))＝－eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(CF,\s\up6(→))④②＋④得：2eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，即eq\o(EF,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))、eq\o(AD,\s\up6(→))共面．12．(1)證明∵eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AA1,\s\up6(→))))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))＋\f(2,3)\o(AA1,\s\up6(→))))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))＋(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→)))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→)).∴A、E、C1、F四點共面．(2)解∵eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))－(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(DD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(BB1,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))，且eq\o(EF,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AA1,\s\up6(→)).則x＋y＋z＝－1＋1＋eq\f(1,3)＝eq\f(1,3).13．證明設eq\o(C1B1,\s\up6(→))＝a，eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝b，eq\o(C1C,\s\up6(→))＝c，∵四邊形B1BCC1為平行四邊形，∴eq\o(B1C,\s\up6(→))＝c－a，又O是B1D1的中點，∴eq\o(C1O,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，∴eq\o(OC1,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(OD1,\s\up6(→))＝eq\o(C1D1,\s\up6(→))－eq\o(C1O,\s\up6(→))＝b－eq\f(1,2)(a＋b)＝eq\f(1,2)(b－a)．∵D1D綊C1C，∴eq\o(D1D,\s\up6(→))＝c，∴eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OD1,\s\up6(→))＋eq\o(D1D,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(b－a)＋c.若存在實數(shù)x、y，使eq\o(B1C,\s\up6(→))＝xeq\o(OD,\s\up6(→))＋yeq\o(OC1,\s\up6(→))(x，y∈R)成立，則c－a＝xeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)b－a＋c))＋yeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)a＋b))＝－eq\