高中數(shù)學 第4章 1.1定積分的背景 面積和路程問題同步檢測 北師大版選修2-2

第四章定積分§1定積分的概念1．1定積分的背景——面積和路程問題一、基礎過關1．把區(qū)間[1,3]n等分，所得n個小區(qū)間的長度均為 ()A.eq\f(1,n) B.eq\f(2,n) C.eq\f(3,n) D.eq\f(1,2n)2．把區(qū)間[a，b](a<b)n等分之后，第i個小區(qū)間是 ()A．[eq\f(i－1,n)，eq\f(i,n)] B．[eq\f(i－1,n)(b－a)，eq\f(i,n)(b－a)]C．[a＋eq\f(i－1,n)，a＋eq\f(i,n)] D．[a＋eq\f(i－1,n)(b－a)，a＋eq\f(i,n)(b－a)]3．當n很大時，函數(shù)f(x)＝x2在區(qū)間[eq\f(i－1,n)，eq\f(i,n)]上的值，可以近似替代為 ()A．f(eq\f(1,n)) B．f(eq\f(2,n))C．f(eq\f(i,n)) D．f(0)4．對于以v＝v(t)在[0，t]內汽車作直線運動經過的路程S，下列敘述正確的是 ()A．B．C．將[0，t]n等分，n越大，求出的s近似替代S的精確度越高D．將[0，t]n等分，當n很大時，求出的s就是S的準確值5．一物體沿直線運動，其速度v(t)＝t，這個物體在t＝0到t＝1這段時間所走的路程為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2) C．1 D.eq\f(3,2)二、能力提升6．由直線x＝1，y＝0，x＝0和曲線y＝x3所圍成的曲邊梯形，將區(qū)間4等分，則曲邊梯形面積的的近似值(取每個區(qū)間的右端點)是 ()A.eq\f(1,19) B.eq\f(111,256)C.eq\f(11,27) D.eq\f(25,64)7．直線x＝0，x＝2，y＝0與曲線y＝x2＋1圍成的曲邊梯形，將區(qū)間[0,2]5等分，按照區(qū)間左端點和右端點估計梯形面積分別為________、________.8．已知某物體運動的速度為v＝t，t∈[0,10]，若把區(qū)間10等分，取每個小區(qū)間右端點處的函數(shù)值為近似小矩形的高，則物體運動的路程近似值為________．9．試估計由曲線y＝eq\r(x)，x＝1及x軸所圍成的平面圖形的面積，并寫出估計值的誤差．10．彈簧在拉伸過程中，力與伸長量成正比，即為：F(x)＝3x(x是伸長量，單位：m，力的單位：N)．試估計彈簧從平衡位置拉長5m所做的功，并寫出估計值的誤差．11．如果汽車在某一段時間內的速度函數(shù)為v(t)＝10t,0≤t≤5，試估計汽車在這段時間走過的路程，并寫出估計值的誤差．三、探究與拓展12．設力F作用在質點m上，使m沿x軸正方向從x＝0運動到x＝10，已知F＝F(x)＝eq\f(1,x＋1)且和x軸正向相同．求F對質點m所做的功．

答案1．B2．D3．C4．C5．B6．D7．3.925.528．559．解首先畫出圖像：將區(qū)間[0,1]5等分，即插入4個分點，在每個分點處作與y軸平行的直線段，將整個曲邊梯形分成5個小曲邊梯形；若用f(0.2)，f(0.4)，f(0.6)，f(0.8)，f(1)分別表示這5個小曲邊梯形的高，則得出曲邊梯形的過剩估計值為S1＝(eq\r(0.2)＋eq\r(0.4)＋eq\r(0.6)＋eq\r(0.8)＋eq\r(1))×0.2≈0.75.若用f(0)，f(0.2)，f(0.4)，f(0.6)，f(0.8)分別表示這5個小曲邊梯形的高，則得出曲邊梯形的不足估計值為S2＝(eq\r(0)＋eq\r(0.2)＋eq\r(0.4)＋eq\r(0.6)＋eq\r(0.8))×0.2≈0.55.無論是過剩估計值還是不足估計值，誤差都不超過0.20.10．解將[0,5]5等分，即插入4個分點，則將整個功分成5個小位移段內的功；若用F(1)，F(xiàn)(2)，F(xiàn)(3)，F(xiàn)(4)，F(xiàn)(5)分別近似替代F引起的物體在0～1m,1～2m，2～3m,3～4m,4～5m段內運動時所受的力的平均大小，則得出功的過剩估計值為W1＝[3×1＋3×2＋3×3＋3×4＋3×5]×1＝45(J)；若用F(0)，F(xiàn)(1)，F(xiàn)(2)，F(xiàn)(3)，F(xiàn)(4)分別近似替代F引起的物體在0～1m,1～2m，2～3m,3～4m,4～5m段內運動時所受的力的平均大小，則得出功的不足估計值為W2＝[3×0＋3×1＋3×2＋3×3＋3×4]×1＝30(J)無論是過剩估計值還是不足估計值，誤差都不超過15J.11．解將區(qū)間[0,5]5等分，即插入4個分點，則將整個路程分成5個時間段內的路程．若用v(1)，v(2)，v(3)，v(4)，v(5)分別近似替代這5個時間段內的平均速度，則得出所求路程的過剩估計值為S＝(10×1＋10×2＋10×3＋10×4＋10×5)×1＝150.若用v(0)，v(1)，v(2)，v(3)，v(4)分別近似替代這5個時間段內的平均速度，則得出所求路程的不足估計值為s＝(10×0＋10×1＋10×2＋10×3＋10×4)×1＝100.無論是過剩估計值還是不足估計值，誤差都不超過50m.12．解(1)將[0,10]10等分，即插入9個分點，則將整個功分成10個小位移段內的功．(2)若用F(0)，F(xiàn)(1)，F(xiàn)(2)，F(xiàn)(3)，F(xiàn)(4)，F(xiàn)(5)，F(xiàn)(6)，F(xiàn)(7)，F(xiàn)(8)，F(xiàn)(9)分別近似替代F引起的物體在0～1m,1～2m，2～3m，3～4m,4～5m,5～6m,6～7m，7～8m,8～9m,9～10m段內運動時所受的力的平均大小，則得出功的過剩估計值為W1＝(eq\f(1,1)＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,10))×1≈2.93；若用F(1)，F(xiàn)(2)，F(xiàn)(3)，F(xiàn)(4)，F(xiàn)(5)，F(xiàn)(6)，F(xiàn)(7)，F(xiàn)(8)，F(xiàn)(9)，F(xiàn)(10)，分別近似替代F引起的物體在0～1m，1～2m，2～3m,3～4m,4～5m,5～6m，