高中數(shù)學 第一章 1.1.1-1.1.2變化率問題導數(shù)的概念同步檢測 新人教A版選修2-2

§1.1變化率與導數(shù)1．1.1變化率問題1．1.2導數(shù)的概念一、基礎過關1．一物體的運動方程是s＝3＋t2，則在一小段時間[2,2.1]內相應的平均速度為 ()A．0.41 B．3C．4 D．4.12．函數(shù)y＝1在[2,2＋Δx]上的平均變化率是 ()A．0 B．1C．2 D．Δx3．設函數(shù)f(x)可導，則eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,3Δx)等于 ()A．f′(1) B．3fC.eq\f(1,3)f′(1) D．f′(3)4．一質點按規(guī)律s(t)＝2t3運動，則t＝1時的瞬時速度為 ()A．4 B．6C．24 D．485．函數(shù)y＝3x2在x＝1處的導數(shù)為 ()A．12 B．6C．3 D．26．甲、乙兩廠污水的排放量W與時間t的關系如圖所示，治污效果較好的是 ()A．甲 B．乙C．相同 D．不確定7．函數(shù)f(x)＝5－3x2在區(qū)間[1,2]上的平均變化率為______．二、能力提升8．過曲線y＝f(x)＝x2＋1上兩點P(1,2)和Q(1＋Δx,2＋Δy)作曲線的割線，當Δx＝0.1時，割線的斜率k＝________.9．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x2)＋2在x＝1處的導數(shù)f′(1)＝__________.10．求函數(shù)y＝－2x2＋5在區(qū)間[2,2＋Δx]內的平均變化率．11．求函數(shù)y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3處的導數(shù)．12．若函數(shù)f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，求a的值．三、探究與拓展13．若一物體運動方程如下：(位移單位：m，時間單位：s)s＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3t2＋2t≥3①,29＋3t－320≤t<3②))求：(1)物體在t∈[3,5]內的平均速度；(2)物體的初速度v0；(3)物體在t＝1時的瞬時速度．

答案1．D2．A3．C4．B5．B6．B7．－98．2.19．－210．解因為Δy＝－2(2＋Δx)2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx－2(Δx)2，所以函數(shù)在區(qū)間[2,2＋Δx]內的平均變化率為eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(－8Δx－2Δx2,Δx)＝－8－2Δx.11．解Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2Δx2＋16Δx,Δx)＝2Δx＋16.∴y′|x＝3＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(2Δx＋16)＝16.12．解∵f(1＋Δx)－f(1)＝a(1＋Δx)2＋c－a－c＝a(Δx)2＋2aΔx∴f′(1)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(aΔx2＋2aΔx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(aΔx＋2a)＝2，即2a＝2，∴a＝1.13．解(1)∵物體在t∈[3,5]內的時間變化量為Δt＝5－3＝2，物體在t∈[3,5]內的位移變化量為Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物體在t∈[3,5]內的平均速度為eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(48,2)＝24(m/s)．(2)求物體的初速度v0即求物體在t＝0時的瞬時速度．∵物體在t＝0附近的平均變化率為eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(f0＋Δt－f0,Δt)＝eq\f(29＋3[0＋Δt－3]2－29－30－32,Δt)＝3Δt－18，∴物體在t＝0處的瞬時變化率為eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))(3Δt－18)＝－18，即物體的初速度為－18m/s.(3)物體在t＝1時的瞬時速度即為函數(shù)在t＝1處的瞬時變化率．∵物體在t＝1附近的平均變化率為eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(f1＋Δt－f1,Δt)＝eq\f(29＋3[1＋Δt－3]2－29－31－32,Δt)＝3Δt－12.∴物體在t＝1處的