2023-2024學(xué)年甘肅省金昌市永昌四中高三下學(xué)期階段性考試(期末考)數(shù)學(xué)試題_第1頁(yè)
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2022-2023學(xué)年甘肅省金昌市永昌四中高三下學(xué)期階段性考試(期末考)數(shù)學(xué)試題考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)遞增的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,已知,,則()A.9 B.27 C.81 D.2.已知數(shù)列滿足:,則()A.16 B.25 C.28 D.333.已知集合,,若,則()A.4 B.-4 C.8 D.-84.函數(shù)的最小正周期是,則其圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)的一條對(duì)稱軸是()A. B. C. D.5.設(shè)函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.6.在中,,,,則邊上的高為()A. B.2 C. D.7.已知直線:與橢圓交于、兩點(diǎn),與圓:交于、兩點(diǎn).若存在,使得,則橢圓的離心率的取值范圍為()A. B. C. D.8.在中,內(nèi)角的平分線交邊于點(diǎn),,,,則的面積是()A. B. C. D.9.如果實(shí)數(shù)滿足條件,那么的最大值為()A. B. C. D.10.若,,,則()A. B.C. D.11.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是,則()A.0 B.55 C.66 D.7812.設(shè),滿足,則的取值范圍是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,在中,,,,點(diǎn)在邊上,且,將射線繞著逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),并在所得射線上取一點(diǎn),使得,連接,則的面積為_(kāi)_________.14.利用等面積法可以推導(dǎo)出在邊長(zhǎng)為a的正三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到三邊的距離之和為定值,類比上述結(jié)論,利用等體積法進(jìn)行推導(dǎo),在棱長(zhǎng)為a的正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和也為定值,則這個(gè)定值是______15.在《九章算術(shù)》中,將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬.如圖,若四棱錐為陽(yáng)馬,側(cè)棱底面,且,,設(shè)該陽(yáng)馬的外接球半徑為,內(nèi)切球半徑為,則__________.16.若,且,則的最小值是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)設(shè)為拋物線的焦點(diǎn),,為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn).(Ⅰ)若點(diǎn)在線段上,求的最小值;(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍.18.(12分)已知數(shù)列滿足,,,且.(1)求證:數(shù)列為等比數(shù)列,并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.19.(12分)已知函數(shù).(1)若恒成立,求的取值范圍;(2)設(shè)函數(shù)的極值點(diǎn)為,當(dāng)變化時(shí),點(diǎn)構(gòu)成曲線,證明:過(guò)原點(diǎn)的任意直線與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).20.(12分)已知函數(shù).若在定義域內(nèi)存在,使得成立,則稱為函數(shù)的局部對(duì)稱點(diǎn).(1)若a,且a≠0,證明:函數(shù)有局部對(duì)稱點(diǎn);(2)若函數(shù)在定義域內(nèi)有局部對(duì)稱點(diǎn),求實(shí)數(shù)c的取值范圍;(3)若函數(shù)在R上有局部對(duì)稱點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.21.(12分)已知均為正實(shí)數(shù),函數(shù)的最小值為.證明:(1);(2).22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,并在兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù),α為直線的傾斜角).(1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線l與曲線C有唯一的公共點(diǎn),求角α的大?。?/p>

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.A【解析】

根據(jù)兩個(gè)已知條件求出數(shù)列的公比和首項(xiàng),即得的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q.由,得,解得或.因?yàn)?且數(shù)列遞增,所以.又,解得,故.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.2.C【解析】

依次遞推求出得解.【詳解】n=1時(shí),,n=2時(shí),,n=3時(shí),,n=4時(shí),,n=5時(shí),.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查遞推公式的應(yīng)用,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.3.B【解析】

根據(jù)交集的定義,,可知,代入計(jì)算即可求出.【詳解】由,可知,又因?yàn)椋詴r(shí),,解得.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查交集的概念,屬于基礎(chǔ)題.4.D【解析】

由三角函數(shù)的周期可得,由函數(shù)圖像的變換可得,平移后得到函數(shù)解析式為,再求其對(duì)稱軸方程即可.【詳解】解:函數(shù)的最小正周期是,則函數(shù),經(jīng)過(guò)平移后得到函數(shù)解析式為,由,得,當(dāng)時(shí),.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦函數(shù)圖像的性質(zhì)及函數(shù)圖像的平移變換,屬基礎(chǔ)題.5.C【解析】

恰有兩個(gè)極值點(diǎn),則恰有兩個(gè)不同的解,求出可確定是它的一個(gè)解,另一個(gè)解由方程確定,令通過(guò)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)值域求出方程有一個(gè)不是1的解時(shí)t應(yīng)滿足的條件.【詳解】由題意知函數(shù)的定義域?yàn)椋?因?yàn)榍∮袃蓚€(gè)極值點(diǎn),所以恰有兩個(gè)不同的解,顯然是它的一個(gè)解,另一個(gè)解由方程確定,且這個(gè)解不等于1.令,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,從而,且.所以,當(dāng)且時(shí),恰有兩個(gè)極值點(diǎn),即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值,函數(shù)與方程的應(yīng)用,屬于中檔題.6.C【解析】

結(jié)合正弦定理、三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式,求得邊長(zhǎng),由此求得邊上的高.【詳解】過(guò)作,交的延長(zhǎng)線于.由于,所以為鈍角,且,所以.在三角形中,由正弦定理得,即,所以.在中有,即邊上的高為.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查正弦定理解三角形,考查三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式,屬于中檔題.7.A【解析】

由題意可知直線過(guò)定點(diǎn)即為圓心,由此得到坐標(biāo)的關(guān)系,再根據(jù)點(diǎn)差法得到直線的斜率與坐標(biāo)的關(guān)系,由此化簡(jiǎn)并求解出離心率的取值范圍.【詳解】設(shè),且線過(guò)定點(diǎn)即為的圓心,因?yàn)?,所以,又因?yàn)椋?,所以,所以,所以,所以,所以,所?故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓與圓的綜合應(yīng)用,著重考查了橢圓離心率求解以及點(diǎn)差法的運(yùn)用,難度一般.通過(guò)運(yùn)用點(diǎn)差法達(dá)到“設(shè)而不求”的目的,大大簡(jiǎn)化運(yùn)算.8.B【解析】

利用正弦定理求出,可得出,然后利用余弦定理求出,進(jìn)而求出,然后利用三角形的面積公式可計(jì)算出的面積.【詳解】為的角平分線,則.,則,,在中,由正弦定理得,即,①在中,由正弦定理得,即,②①②得,解得,,由余弦定理得,,因此,的面積為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積的計(jì)算,涉及正弦定理和余弦定理以及三角形面積公式的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.9.B【解析】

解:當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí),最大,故選B10.C【解析】

利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較、、三個(gè)數(shù)與和的大小關(guān)系,進(jìn)而可得出、、三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系.【詳解】對(duì)數(shù)函數(shù)為上的增函數(shù),則,即;指數(shù)函數(shù)為上的增函數(shù),則;指數(shù)函數(shù)為上的減函數(shù),則.綜上所述,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)冪與對(duì)數(shù)式的大小比較,一般利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值法來(lái)比較,考查推理能力,屬于基礎(chǔ)題.11.D【解析】

先分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況計(jì)算出的值,可進(jìn)一步得到數(shù)列的通項(xiàng)公式,然后代入轉(zhuǎn)化計(jì)算,再根據(jù)等差數(shù)列求和公式計(jì)算出結(jié)果.【詳解】解:由題意得,當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí),;當(dāng)為偶數(shù)時(shí),,所以故選:D【點(diǎn)睛】此題考查數(shù)列與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題,以及數(shù)列求和,考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用,等差數(shù)列的求和公式,屬于中檔題.12.C【解析】

首先繪制出可行域,再繪制出目標(biāo)函數(shù),根據(jù)可行域范圍求出目標(biāo)函數(shù)中的取值范圍.【詳解】由題知,滿足,可行域如下圖所示,可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最小值,故目標(biāo)函數(shù)的最小值為,故的取值范圍是.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線性規(guī)劃中目標(biāo)函數(shù)的取值范圍的問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

由余弦定理求得,再結(jié)合正弦定理得,進(jìn)而得,得,則面積可求【詳解】由,得,解得.因?yàn)?,所以,,所?又因?yàn)?,所?因?yàn)?,所?故答案為【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力,是中檔題14.【解析】

計(jì)算正四面體的高,并計(jì)算該正四面體的體積,利用等體積法,可得結(jié)果.【詳解】作平面,為的重心如圖則,所以設(shè)正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和為則故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查類比推理的應(yīng)用,還考查等體積法,考驗(yàn)理解能力以及計(jì)算能力,屬基礎(chǔ)題.15.【解析】

該陽(yáng)馬補(bǔ)形所得到的長(zhǎng)方體的對(duì)角線為外接球的直徑,由此能求出,內(nèi)切球在側(cè)面內(nèi)的正視圖是的內(nèi)切圓,從而內(nèi)切球半徑為,由此能求出.【詳解】四棱錐為陽(yáng)馬,側(cè)棱底面,且,,設(shè)該陽(yáng)馬的外接球半徑為,該陽(yáng)馬補(bǔ)形所得到的長(zhǎng)方體的對(duì)角線為外接球的直徑,,,側(cè)棱底面,且底面為正方形,內(nèi)切球在側(cè)面內(nèi)的正視圖是的內(nèi)切圓,內(nèi)切球半徑為,故.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體外接球和內(nèi)切球的相關(guān)問(wèn)題,補(bǔ)形法的運(yùn)用,以及數(shù)學(xué)文化,考查了空間想象能力,是中檔題.解決球與其他幾何體的切、接問(wèn)題,關(guān)鍵是能夠確定球心位置,以及選擇恰當(dāng)?shù)慕嵌茸龀鼋孛?球心位置的確定的方法有很多,主要有兩種:(1)補(bǔ)形法(構(gòu)造法),通過(guò)補(bǔ)形為長(zhǎng)方體(正方體),球心位置即為體對(duì)角線的中點(diǎn);(2)外心垂線法,先找出幾何體中不共線三點(diǎn)構(gòu)成的三角形的外心,再找出過(guò)外心且與不共線三點(diǎn)確定的平面垂直的垂線,則球心一定在垂線上.16.8【解析】

利用的代換,將寫成,然后根據(jù)基本不等式求解最小值.【詳解】因?yàn)椋慈〉忍?hào)),所以最小值為.【點(diǎn)睛】已知,求解()的最小值的處理方法:利用,得到,展開(kāi)后利用基本不等式求解,注意取等號(hào)的條件.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】

(1)由拋物線的性質(zhì),當(dāng)軸時(shí),最小;(2)設(shè)點(diǎn),,分別代入拋物線方程和得到三個(gè)方程,消去,得到關(guān)于的一元二次方程,利用判別式即可求出的范圍.【詳解】解:(1)由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,,根據(jù)拋物線的性質(zhì),當(dāng)軸時(shí),最小,最小值為,即為4.(2)由題意,設(shè)點(diǎn),,其中,.則,①,②因?yàn)椋?,,所?③由①②③,得,由,且,得,解不等式,得點(diǎn)縱坐標(biāo)的范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的方程和性質(zhì)和二次方程的解的問(wèn)題,考查運(yùn)算能力,此類問(wèn)題能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力等,易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足,導(dǎo)致錯(cuò)解.18.(1)證明見(jiàn)解析;(2)【解析】

(1)根據(jù)題目所給遞推關(guān)系式得到,由此證得數(shù)列為等比數(shù)列,并求得其通項(xiàng)公式.然后利用累加法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)利用錯(cuò)位相減求和法求得數(shù)列的前項(xiàng)和【詳解】(1)已知,則,且,則為以3為首相,3為公比的等比數(shù)列,所以,.(2)由(1)得:,,①,②①-②可得,則即.【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)遞推關(guān)系式證明等比數(shù)列,考查累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查錯(cuò)位相減求和法,屬于中檔題.19.(1);(2)證明見(jiàn)解析【解析】

(1)由恒成立,可得恒成立,進(jìn)而構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)可判斷出的單調(diào)性,進(jìn)而可求出的最小值,令即可;(2)由,可知存在唯一的,使得,則,,進(jìn)而可得,即曲線的方程為,進(jìn)而只需證明對(duì)任意,方程有唯一解,然后構(gòu)造函數(shù),分、和三種情況,分別證明函數(shù)在上有唯一的零點(diǎn),即可證明結(jié)論成立.【詳解】(1)由題意,可知,由恒成立,可得恒成立.令,則.令,則,,,在上單調(diào)遞增,又,時(shí),;時(shí),,即時(shí),;時(shí),,時(shí),單調(diào)遞減;時(shí),單調(diào)遞增,時(shí),取最小值,.(2)證明:由,令,由,結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可知,存在唯一的,使得,故存在唯一的極值點(diǎn),則,,,曲線的方程為.故只需證明對(duì)任意,方程有唯一解.令,則,①當(dāng)時(shí),恒成立,在上單調(diào)遞增.,,,存在滿足時(shí),使得.又單調(diào)遞增,所以為唯一解.②當(dāng)時(shí),二次函數(shù),滿足,則恒成立,在上單調(diào)遞增.,,存在使得,又在上單調(diào)遞增,為唯一解.③當(dāng)時(shí),二次函數(shù),滿足,此時(shí)有兩個(gè)不同的解,不妨設(shè),,,列表如下:00↗極大值↘極小值↗由表可知,當(dāng)時(shí),的極大值為.,,,,,..下面來(lái)證明,構(gòu)造函數(shù),則,當(dāng)時(shí),,此時(shí)單調(diào)遞增,,時(shí),,,故成立.,存在,使得.又在單調(diào)遞增,為唯一解.所以,對(duì)任意,方程有唯一解,即過(guò)原點(diǎn)任意的直線與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,考查不等式恒成立問(wèn)題,考查利用單調(diào)性研究圖象交點(diǎn)問(wèn)題,考查學(xué)生的計(jì)算求解能力與推理論證能力,屬于難題.20.(1)見(jiàn)解析(2)(3)【解析】

(1)若函數(shù)有局部對(duì)稱點(diǎn),則,即有解,即可求證;(2)由題可得在內(nèi)有解,即方程在區(qū)間上有解,則,設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)求得的范圍,即可求得的范圍;(3)由題可得在上有解,即在上有解,設(shè),則可變形為方程在區(qū)間內(nèi)有解,進(jìn)而求解即可.【詳解】(1)證明:由得,代入得,則得到關(guān)于x的方程,由于且,所以,所以函數(shù)必有局部對(duì)稱點(diǎn)(2)解:由題,因?yàn)楹瘮?shù)在定義域內(nèi)有局部對(duì)稱點(diǎn)所以在內(nèi)有解,即方程在區(qū)間上有解,所以,設(shè),則,所以令,則,當(dāng)時(shí),,故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以,因?yàn)?,所以,所以,所以(3)解:由題,,由于,所以,所以(*)在R上有解,令,則,所以方程(*)變?yōu)樵趨^(qū)間內(nèi)有解,需滿足條件:,即,得【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的局部對(duì)稱點(diǎn)的理解,利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的最值問(wèn)題,考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算能力.21.(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【解析】

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