2024-2025學年初中數(shù)學九年級上冊（華師版）教案 第23章圖形的相似23.3.2相似三角形的判定（第3課時）

第23章圖形的相似23.3相似三角形2相似三角形的判定（第3課時）教學目標1.理解三邊成比例的兩個三角形相似..教學重難點重點：理解三邊成比例的兩個三角形相似.難點：會運用定理“兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似”解決問題.教學過程復習鞏固1.判定三角形相似的方法：（1）平行于三角形一邊的直線，和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；（2）判定定理1：兩角分別相等的兩個三角形相似；（3）判定定理2：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似.2.相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等.導入新課【問題1】活動1（學生交流，教師點評）【動手操作】在△ABC和△A′B′C′中，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm，通過實際畫一畫，量一量判定△ABC和△A′B′C′是否相似？通過畫圖測量可知，△ABC和△A′B′C′相似.學生交流，教師點評.教師引出課題：23.3相似三角形2相似三角形的判定（第3課時）探究新知探究點相似三角形的判定定理3.【問題2】活動2（小組討論，師生互學）畫△ABC與△A′B′C′，使都等于給定的值k.設(shè)法比較∠A與∠A′的大小.△ABC和△A′B′C′相似嗎？說說你的理由.改變k值的大小，再試一試.【答案】∠A＝∠A′.△ABC∽△A′B′C′.改變k值的大小仍然成立.思考：如果兩個三角形的三邊成比例，那么這兩個三角形一定相似嗎？學生回答：一定相似.教師總結(jié)：得出結(jié)論相似三角形的判定定理3：三邊成比例的兩個三角形相似.符號語言表示：在△ABC與△A′B′C′中，使，那么△ABC∽△A′B′C′.【提示】由三邊成比例判定兩個三角形相似的方法與三邊對應(yīng)相等判定三角形全等的方法類似，只需把三邊對應(yīng)相等改為三邊對應(yīng)成比例即可.活動3（學生交流，教師點評）典例講解（師生互動）例1如圖，在△ABC和△ADE中，，∠BAD＝20°，求∠CAE的度數(shù).【探索思路】（引發(fā)學生思考）由已知的三邊對應(yīng)成比例可得△ABC∽△ADE，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等，從而進行角之間的轉(zhuǎn)化，即可求出∠CAE的度數(shù).∵，∴△ABC∽△ADE（三邊成比例的兩個三角形相似），∴∠BAC＝∠DAE.∴∠BAC-∠DAC＝∠DAE-∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.∵∠BAD＝20°，∴∠CAE＝20°.【即學即練】（師生互動）1.如圖，＝＝，那么△ABD與△BCE相似嗎？為什么？【探索思路】要證△ABD∽△BCE，現(xiàn)有邊的比例關(guān)系，需要一組夾角.已知eq\f(AB,BD)＝eq\f(BC,BE)＝eq\f(AC,DE)得△ABC∽△DBE，從而可得夾角∠ABD＝∠CBE.證明：∵eq\f(AB,BD)＝eq\f(BC,BE)＝eq\f(AC,DE)，∴△ABC∽△DBE，∴∠ABC＝∠DBE，∴∠ABC-∠DBC＝∠DBE-∠DBC，即∠ABD＝∠CBE.∵eq\f(AB,BD)＝eq\f(BC,BE)，∴eq\f(AB,BC)＝eq\f(BD,BE)，∴△ABD∽△CBE.【總結(jié)】（學生總結(jié)，老師點評）解決此類問題的關(guān)鍵是找出∠ABD＝∠CBE，再結(jié)合相似三角形的判定定理解決問題.活動4（學生交流，教師點評）典例講解（師生互動）例2在△ABC和△A′B′C′中，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm.試證明△ABC與△A′B′C′相似.【探索思路】（引發(fā)學生思考）由已知的各邊長，求出比值，看各組對應(yīng)邊的比值是否相等，如果相等，則這兩個三角形相似，否則不相似.證明：∵，，∴.∴△ABC∽△A′B′C′（三邊成比例的兩個三角形相似）.【方法歸納】利用三角形三邊成比例判定兩個三角形相似的方法：首先把兩個三角形的邊分別按照從小到大的順序排列，找出兩個三角形的對應(yīng)邊；再分別計算小、中、大邊的比，最后看三個比值是否相等，若相等，則兩個三角形相似，否則不相似.特別地，若三個比值相等且等于1，則這兩個三角形全等.【即學即練】（師生互動）2.如圖，每個小正方形邊長均為1，則下列選項中的三角形（陰影部分）與圖中△ABC相似的是（）【答案】B（學生回答，老師點評）三邊成比例的兩個三角形相似.課堂練習1.下列4×4的正方形網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，三角形的頂點都在格點上，則與△ABC相似的三角形所在的網(wǎng)格圖形是（）ABCD2.如圖所示，在正方形網(wǎng)格中有5個三角形：①，②，③，④，⑤，在②～⑤中，與①相似的是（）A.②③B.③④⑤C.②④⑤ D.②③⑤3.如圖，已知，試證明∠BAD＝∠CAE.4.如圖所示，在正方形網(wǎng)格上有△A1B1C1和△A2B2C2，它們相似嗎？如果相似，求出相似比；如果不相似，請說明理由.參考答案1.B2.B【解析】設(shè)網(wǎng)格中小正方形的邊長為1，則三角形①的三邊長分別為2，2

2，2

5，，三邊的比為1∶

2三角形②的三邊長分別為2，2

5，4

2，則三角形②的三邊比為1∶

5∶三角形③的三邊長分別為4，4

2，4

5，則三角形③的三邊比為1∶

2三角形④的三邊長分別為2

5，2

10，10，則三角形④的三邊比為1∶

2三角形⑤的三邊長分別為2

2，4，2

10，則三角形⑤的三邊比為1∶

2所以與①相似的是③④⑤.3.【證明】∵，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC-∠DAC＝∠DAE-∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.4.相似;相似比為2:1.理由略.課堂小結(jié)（學生總結(jié)，老師點評）相似三角形的判定定理3：三邊成比例的兩個三角形相似.如圖所示，在△ABC與△A′B′C′中，在，則△ABC∽△A′B′C′.布置作業(yè)教材第75頁習題2