數(shù)學導學案：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精3．1。2兩角和與差的正弦、余弦、正切公式1．能根據(jù)兩角差的余弦公式導出并記住兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，并靈活運用．2．能熟練地把asinx＋bcosx化為Asin（ωx＋φ)的形式．和角、差角公式如下表：名稱公式簡記差的正弦sin（α－β)＝____________S（α－β)差的余弦cos(α－β)＝____________C(α－β）差的正切tan（α－β）＝____________T(α－β)和的正弦sin(α＋β)＝____________S(α＋β)和的余弦cos（α＋β）＝____________C(α＋β)和的正切tan（α＋β)＝____________T（α＋β)邏輯聯(lián)系（1)與差角的余弦公式一樣，公式對分配律不成立,即sin(α±β）≠sinα±sinβ，cos(α±β)≠cosα±cosβ,tan(α±β）≠tanα±tanβ.（2)和差角公式是誘導公式的推廣，誘導公式是和差角公式的特例．如sin(2π－α）＝sin2πcosα－cos2πsinα＝0×cosα－1×sinα＝－sinα.當α或β中有一個角是eq\f（π，2）的整數(shù)倍時，通常使用誘導公式較為方便．(3）使用公式時不僅要會正用，還要能夠逆用公式，如化簡sin（α＋β）cosβ－cos(α＋β）sinβ時，不要將sin（α＋β）和cos(α＋β)展開,而應采用整體思想，進行如下變形：sin（α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝sin［（α＋β)－β]＝sinα。這也體現(xiàn)了數(shù)學中的整體原則．（4）注意公式的結構特征和符號規(guī)律：對于公式C(α－β），C（α＋β)可記為“同名相乘，符號反”；對于公式S（α－β),S（α＋β)可記為“異名相乘，符號同”．【做一做1－1】若tanα＝3，tanβ＝eq\f(4，3），則tan(α－β)＝（）A．－3 B．－eq\f（1，3） C．3 D.eq\f(1,3)【做一做1－2】sin75°的值為()A.eq\f(\r（2)－1,2) B。eq\f(\r(2)＋1，2） C.eq\f(\r（6）－\r(2）,4） D.eq\f（\r（6）＋\r（2),4）【做一做1－3】cos75°＝__________.答案：sinαcosβ－cosαsinβcosαcosβ＋sinαsinβeq\f（tanα－tanβ，1＋tanαtanβ)sinαcosβ＋cosαsinβcosαcosβ－sinαsinβeq\f（tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)【做一做1－1】Dtan（α－β)＝eq\f(tanα－tanβ，1＋tanαtanβ）＝eq\f(3－\f（4，3)，1＋3×\f(4，3）)＝eq\f(1,3）?！咀鲆蛔?－2】Dsin75°＝sin（45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝eq\f（\r（6）＋\r(2)，4)。【做一做1－3】eq\f（\r(6)－\r（2）,4）cos75°＝cos(45°＋30°)＝cos45°cos30°－sin45°sin30°＝eq\f(\r(2)，2）×eq\f(\r(3），2)－eq\f（\r(2)，2）×eq\f(1,2）＝eq\f(\r（6)－\r（2)，4)?；哸sinα±bcosα（ab≠0）剖析：逆用兩角和與差的正弦公式，湊出sinαcosβ±cosαsinβ的形式來化簡．asinα±bcosα＝eq\r(a2＋b2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r（a2＋b2)）sinα±\f(b,\r（a2＋b2))cosα）），∵eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（a，\r(a2＋b2））））2＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（b,\r(a2＋b2)）))2＝1，∴可設cosθ＝eq\f(a,\r(a2＋b2)),sinθ＝eq\f（b，\r(a2＋b2)).則tanθ＝eq\f（b，a)（θ又稱為輔助角）．∴asinα±bcosα＝eq\r（a2＋b2）(sinαcosθ±cosαsinθ)＝eq\r（a2＋b2)sin（α±θ)．特別是當eq\f(b,a)＝±1、±eq\r(3)、±eq\f（\r（3),3)時,θ是特殊角，此時θ取±eq\f(π,4)、±eq\f(π，3)、±eq\f（π,6）。例如，3sinα－3eq\r(3)cosα＝eq\r（9＋27）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,\r（9＋27））sinα－\f（3\r（3），\r（9＋27）)cosα)）＝6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，2）sinα－\f(\r(3）,2)cosα)）＝6eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(sinαcos\f（π，3）－cosαsin\f(π,3）)）＝6sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（α－\f（π，3)）)。在公式asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)sin（α＋φ）中,(1）sinφ＝eq\f（b，\r（a2＋b2）），cosφ＝eq\f(a，\r(a2＋b2）),在使用時不必死記上述結論，而重在理解這種逆用公式的思想．(2）asinα＋bcosα中的角必須為同角α,否則不成立．題型一給角求值問題【例1】求下列各式的值:(1）sin347°cos148°＋sin77°cos58°；(2）eq\r（3）sineq\f（π，12）＋coseq\f（π，12）.分析：本題(1）可先用誘導公式再逆用兩角和的正弦公式求解,本題（2）可構造兩角和的正弦公式求解．反思:解答此類題目的方法就是活用、逆用C（α±β），S（α±β）公式,在解答過程中常利用誘導公式實現(xiàn)角的前后統(tǒng)一．題型二給值（式)求值問題【例2】已知cosα＝eq\f（1，3）,α∈eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（0，\f（π，2）)）,sinβ＝－eq\f(3,5），β是第三象限角．求sin(α＋β)，sin（α－β)的值．分析：求出sinα,cosβ的值,代入公式S(α±β)即可．反思：分別已知α，β的某一三角函數(shù)值，求sin（α±β)，cos(α±β），tan(α±β)時，其步驟是：（1)利用同角三角函數(shù)基本關系式求出α，β其余的三角函數(shù)值;(2)代入公式S(α±β），C(α±β)，T（α±β）計算即可．題型三利用角的變換求值【例3】已知cos（α＋β）＝eq\f(4,5),cos(α－β)＝－eq\f（4,5）,eq\f(3π,2)＜α＋β＜2π，eq\f(π,2)＜α－β＜π，求cos2α的值．分析：解答本題關鍵是探尋α＋β，α－β與2α之間的關系，再利用兩角和的余弦公式求解．反思：解此類問題的關鍵是把“所求角”用“已知角"表示出來．(1）當“已知角”有兩個時，“所求角"一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式，如本題．（2）當“已知角”有一個時,此時應著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關系，然后應用誘導公式把“所求角”變成“已知角”．（3）角的拆分方法不唯一，可根據(jù)題目合理選擇拆分方式．題型四易錯辨析【例4】已知π＜α＜α＋β＜2π,且滿足cosα＝－eq\f(12,13），cos（α＋β)＝eq\f（17\r(2)，26）,求β.錯解：∵cosα＝－eq\f（12，13),cos（α＋β)＝eq\f（17\r(2)，26)，且π＜α＜α＋β＜2π,∴sinα＝－eq\f（5，13），sin（α＋β)＝－eq\f（7\r(2),26).∴sinβ＝sin[（α＋β）－α］＝sin（α＋β）cosα－cos(α＋β）sinα＝eq\f（\r(2），2）?！擀校鸡粒鸡粒拢?π，∴0＜β＜π?！唳拢絜q\f(π,4）或eq\f（3π,4)。錯因分析：以上錯解是由于求β的三角函數(shù)值時，函數(shù)選擇不當所致．由于滿足sinβ＝eq\f(\r(2）,2）且β∈(0,π)的β有兩值,兩值的取舍就是個問題，事實上cosβ＝－eq\f(\r(2）,2），故β＝eq\f(3π，4），只有一值，故應計算角β的余弦值．反思:此類題目是給值求角問題,一般步驟是：(1）先確定角α的范圍，且使這個范圍盡量??；(2)根據(jù)（1)所得范圍來確定求tanα，sinα,cosα中的一個值，盡量使所選函數(shù)在(1）得到的范圍內是單調函數(shù)；（3）求α的一個三角值；（4)寫出α的大?。鸢福骸纠?】解：（1)原式＝sin（360°－13°)cos(180°－32°）＋sin(90°－13°)cos(90°－32°）＝sin13°cos32°＋cos13°sin32°＝sin（13°＋32°）＝sin45°＝eq\f（\r（2），2).（2）原式＝2eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（\r(3),2）sin\f（π，12)＋\f(1,2）cos\f(π，12))）＝2eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(sin\f（π,12)cos\f（π,6）＋sin\f（π,6)cos\f（π，12)）)＝2sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(π，12)＋\f（π,6）))＝2sineq\f（π,4)＝eq\r（2）.【例2】解：∵cosα＝eq\f（1，3)，α∈eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2)）），∴sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(2,3）eq\r(2).∵sinβ＝－eq\f（3，5），β是第三象限角,∴cosβ＝－eq\r(1－sin2β)＝－eq\f（4,5).∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝eq\f(2,3）eq\r(2）×eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(4，5）)）＋eq\f(1，3)×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（3，5)))＝－eq\f（3＋8\r(2），15).sin（α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝eq\f(2,3)eq\r（2)×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(4,5）））－eq\f（1，3)×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（3，5）））＝eq\f（3－8\r(2),15).【例3】解:∵cos（α＋β)＝eq\f(4，5），eq\f（3π,2）＜α＋β＜2π，∴sin(α＋β)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(4,5）))2）＝－eq\f（3,5）?！遚os(α－β）＝－eq\f(4，5)，eq\f(π，2)＜α－β＜π，∴sin（α－β)＝eq\r(1－\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(4,5)）)2）＝eq\f（3,5）.∴cos2α＝cos［(α＋β)＋（α－β）］＝cos（α＋β）cos(α－β）－sin(α＋β）sin(α－β)＝eq\f(4,5)×eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（4，5)））－eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（3,5)))×eq\f(3,5)＝－eq\f(7，25).【例4】正解：∵cosα＝－eq\f(12,13）,cos(α＋β）＝eq\f（17\r(2），26)，且π＜α＜α＋β＜2π,∴sinα＝－eq\f(5，13)，sin(α＋β)＝－eq\f(7\r(2）,26).∴cosβ＝cos[(α＋β）－α]＝cos（α＋β）cosα＋sin（α＋β)sinα＝－eq\f（\r（2），2).∵π＜α＜α＋β＜2π，∴0＜β＜π?！唳拢絜q\f（3π,4）.1．（2011·山東青島高三質檢)已知cosα＝，且α∈，則等于（）A． B．－7 C. D．72．化簡的結果是（)A． B．C． D．3．＝__________.4．在△ABC中，cosA＝且cosB＝，則cosC的值是__________．5．已知tan（α－β）＝,tanβ＝，且α,β∈(0，π）．(1)求tanα的值；(2）求2α－β的值．答案:1．D由于α∈，則sinα＝＝，所以tan