上海市重點中學高二數學上學期期末考試試題

PAGE8-用心愛心專心上海市某重點高中2011—2012學年度第一學期高二數學期終答案(滿分100分，90分鐘完成,允許使用計算器，答案一律寫在答題紙上）一、填空題：本大題共12題,滿分36分。請在橫線上方填寫最終的、最準確的、最完整的結果.每題填寫正確得3分，否則一律得0分.過點，且垂直于OA的直線方程為_______________.解：一個法向量，所以方程為，即.▋直線l的一個法向量（），則直線l傾角的取值范圍是_______。解:，所以傾角的取值范圍是。▋已知直線：與：平行,則k的值是____________。解：,所以或。當時，二直線分別為:,:，平行;當時,二直線分別為：,:，平行。▋直線l的一個方向向量,則l與的夾角大小為__________.(用反三角函數表示）解:,所以夾角滿足，所以夾角為。▋已知圓C與直線及都相切，圓心在直線上,則圓C的方程為________________________。解：。▋等軸雙曲線C與橢圓有公共的焦點，則雙曲線C的方程為____________.解：橢圓的焦點坐標為,。由，所以。所以，雙曲線C的方程為.▋有一拋物線形拱橋，中午12點時，拱頂離水面2米，橋下的水面寬4米；下午2點，水位下降了1米，橋下的水面寬_________米.解:設拋物線方程為，其過點，所以，，當時,，所以橋下的水面寬米。▋直線：繞原點逆時針旋轉的直線，則與的交點坐標為_______。解::,與聯(lián)立,解得交點為。▋已知方程表示圓，則___________.解:令，解得或.（1)當時，方程化為,方程表示圓;（2）當時,方程化為，判別式，方程不表示圓。所以。▋已知過拋物線C：（）焦點F的直線l和y軸正半軸交于點A,并且l與C在第一象限內的交點M恰好為A、F的中點,則直線的斜率_____________.解：的焦點為，設（）,所以，將代入，得，所以直線的斜率。▋（2009上海市秋季高考文科第12題)已知、是橢圓C：（）的兩個焦點，P為橢圓C上的一點，且。若的面積為9,則_________。解：有，可得，即，故有。▋已知圓O的半徑為1,PA、PB為該圓的兩條切線，A、B為切點，那么的最小值為_____________.解:設（)，，則,所以,，令，所以，所以，當且僅當,即,即時等號成立。所以的最小值為.▋二、選擇題：本大題共4題,滿分16分。請選擇你認為最正確的答案（每小題有且只有一個）寫在括號內。每題填寫正確得4分，否則得0分.(2009海南寧夏秋季高考文科第5題)已知圓：，圓與圓關于直線對稱，則圓的方程為 ( )(A) (B) （C) （D） 解：設圓的圓心為，則依題意,有，解得:,對稱圓的半徑不變,為1,故選（B）.▋(2010湖北省秋季高考理科第9題、文科第9題)若直線與曲線有公共點,則b的取值范圍是 （ )（A） （B） (C） (D） 解:曲線方程可化簡為(），即表示圓心為，半徑為2的半圓。依據數形結合，直線與此半圓相切，即圓心到直線距離等于2，解得（舍)或.當直線過時，解得，故，所以選（C）.▋給出下列3個命題：①在平面內，若動點M到、兩點的距離之和等于2，則動點M的軌跡是橢圓;②在平面內,給出點、,若動點P滿足,則動點P的軌跡是雙曲線；③在平面內,若動點Q到點和到直線的距離相等，則動點Q的軌跡是拋物線。其中正確的命題有（ ）(A） 0個 (B） 1個 (C） 2個 （D） 3個解：選(A）。▋已知直線l：y=k(x+2）（k〉0）與拋物線C:相交于A、B兩點，F(xiàn)為C的焦點，若，則 （ ）（A) （B) （C） (D） 解:設拋物線C：的準線為,直線y=k（x+2)(k〉0）恒過定點。如圖過A、B分別作AM⊥l于M,BN⊥l于N,由｜FA｜=2｜FB|，則｜AM｜=2｜BN｜，點B為AP的中點。連結OB,則,∴｜OB|=｜BF｜，點B的橫坐標為1，故點B的坐標為（1，），∴，∴選（D)。▋三、解答題：本大題共5題，滿分48分。請在題后空處寫出必要的推理計算過程。（本題滿分8分)已知直線l：與x軸交于點A；以O為圓心，過A的圓記為圓O。求圓O截l所得弦AB的長.解:在中，令，得,所以圓C的半徑， ……2分圓心O到直線l的距離. ……3分所以弦長.▋ ……3分（本題滿分8分)已知雙曲線C關于兩條坐標軸都對稱,且過點，直線與（，為雙曲線C的兩個頂點）的斜率之積，求雙曲線C的標準方程。解:（1）當雙曲線的焦點位于x軸上時，設C:，所以，,，解得。 ……2分將，代入雙曲線方程，得,解得。 ……2分所以雙曲線C的標準方程為. ……2分(2）當雙曲線的焦點位于y軸上時，設C：，所以，，，解得（舍去)。 ……2分綜上,所求雙曲線C的標準方程為。▋

（本題滿分10分）過點作直線l交x軸于A點、交y軸于B點，且P位于AB兩點之間。(Ⅰ),求直線l的方程;(Ⅱ）求當取得最小值時直線l的方程。解：顯然直線l的斜率k存在且，設l：,得，。 ……2分因為P位于AB兩點之間，所以且,所以.，。 ……2分(Ⅰ），所以，所以。直線l的方程為。 ……3分(Ⅱ)，當即時，等號成立.所以當取得最小值時直線l的方程為.▋ ……3分(本題滿分10分）已知曲線C在y軸右邊，C上每一點到點F(1，0）的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差是1。（Ⅰ）求曲線C的方程；（Ⅱ)過點K(—1，0）的直線l與C相交于A、B兩點,點A關于x軸的對稱點為D.證明：點F在直線BD上；解：（Ⅰ)根據題意知，C上每一點到點F（1,0)的距離等于它到直線的距離。所以，曲線C上每一點在開口向右的拋物線上, ……2分其中，所以拋物線方程為。又因為曲線C在y軸的右邊,所以,曲線C的方程為（)。 ……2分(Ⅱ）設A(x1，y1）,B（x2,y2)，∴D（x1,—y1）,l的方程為（m≠0).將代人，整理得，∴從而,。 ……2分直線BD的方程為，即， ……2分令y=0，得，所以點F（1，0)在直線BD上.▋ ……2分（本題滿分12分）已知，直線l：，橢圓C：,，分別為橢圓C的左、右焦點。（Ⅰ)當直線l過右焦點時,求直線l的方程;(Ⅱ）設直線l與橢圓C交于A，B兩點。（ⅰ）求線段AB長度的最大值;（ⅱ)，的重心分別為G,H。若原點O在以線段GH為直徑的圓內,求實數的取值范圍。解：（Ⅰ)因為直線l:經過，所以,得，又因為，所以