第03講三角函數(shù)與解三角形(原卷版+解析)

第03講三角函數(shù)與解三角形一、單選題1．（2021·云南昆明市·高三（文））東寺塔與西寺塔為“昆明八景”之一，兩塔一西一東，遙遙相對，已有1100多年歷史．東寺塔基座為正方形，塔身有13級，塔頂四角立有四只銅皮做成的鳥，俗稱金雞，所以也有“金雞塔”之稱．如圖，在A點測得：塔在北偏東30°的點處，塔頂?shù)难鼋菫?0°，且點在北偏東60°．相距80（單位：），在點測得塔在北偏西60°，則塔的高度約為（）A．69 B．40 C．35 D．232．（2021·山東棗莊八中高一期中）《數(shù)書九章》是中國南宋時期杰出數(shù)學家秦九韶的著作，全書十八卷共八十一個問題，分為九類，每類九個問題，《數(shù)書九章》中記錄了秦九昭的許多創(chuàng)造性成就，其中在卷五“三斜求積"中提出了已知三角形三邊a，b，c求面積的公式，這與古希臘的海倫公式完全等價，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實，一為從隅，開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式，即，現(xiàn)在有周長為的滿足，則用以上給出的公式求得的面積為（）A． B． C． D．123．（2021·安徽淮北一中高一月考）“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖），若大、小正方形的面積分別為25和1，直角三角形中較大的銳角為，則等于（）A． B． C． D．4．（2021·蚌埠鐵路中學高三開學考試（文））勒洛三角形是一種特殊三角形，指分別以正三角形的三個頂點為圓心，以其邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形．勒洛三角形的特點是：在任何方向上都有相同的寬度，即能在距離等于其圓弧半徑（等于正三角形的邊長）的兩條平行線間自由轉(zhuǎn)動，并且始終保持與兩直線都接觸．機械加工業(yè)上利用這個性質(zhì)，把鉆頭的橫截面做成勒洛三角形的形狀，就能在零件上鉆出正方形的孔來．如在勒洛三角形ABC內(nèi)隨機選取一點，則該點位于正三角形ABC內(nèi)的概率為（）A． B． C． D．5．（2021·江蘇高一期中）公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派研究過正五邊形和正十邊形的作圖方法，發(fā)現(xiàn)了“黃金分割”.“黃金分割”是工藝美術(shù)、建筑、攝影等許多藝術(shù)門類中審美的要素之一，它表現(xiàn)了恰到好處的和諧，其比值為，這一比值也可以表示為，若，則（）A． B． C． D．6．（2021·貴州貴陽·高三開學考試（文））水車（如圖1），又稱孔明車，是我國最古老的農(nóng)業(yè)灌溉工具，主要利用水流的動力灌溉農(nóng)作物，是先人們在征服世界的過程中創(chuàng)造出來的高超勞動技藝，是珍貴的歷史文化遺產(chǎn)，相傳為漢靈帝時畢嵐造出雛形，經(jīng)三國時孔明改造完善后在蜀國推廣使用，隋唐時廣泛用于農(nóng)業(yè)灌溉，有1700余年歷史．下圖2是一個水車的示意圖，它的直徑為，其中心（即圓心）距水面．如果水車每逆時針轉(zhuǎn)圈，在水車輪邊緣上取一點，我們知道在水車勻速轉(zhuǎn)動時，點距水面的高度（單位：）是一個變量，它是時間（單位：）的函數(shù)．為了方便，不妨從點位于水車與水面交點時開始記時，則我們可以建立函數(shù)關(guān)系式（其中，，）來反映隨變化的周期規(guī)律．下面關(guān)于函數(shù)的描述，正確的是（）A．最小正周期為B．一個單調(diào)遞減區(qū)間為C．的最小正周期為D．圖像的一條對稱軸方程為7．（2021·江蘇南京市·高一期中）托勒密（C.Ptolemy，約90-168），古希臘人，是天文學家?地理學家?地圖學家?數(shù)學家，所著《天文集》第一卷中載有弦表.在弦表基礎(chǔ)上，后人制作了正弦和余弦表（部分如下圖所示），該表便于查出0°~90°間許多角的正弦值和余弦值，避免了冗長的計算.例如，依據(jù)該表，角2°12′的正弦值為0.0384，角30°0′的正弦值為0.5000，則角34°36′的正弦值為（）A．0.0017 B．0.0454 C．0.5678 D．0.57368．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·高一期中）今年是偉大、光榮、正確的中國共產(chǎn)黨成立100周年．“紅星閃閃放光彩”，正五角星是一個非常優(yōu)美的幾何圖形，莊嚴美麗的國旗和國徽上的大五角星是中國共產(chǎn)黨的象征，如圖為一個正五角星圖形，由一個正五邊形的五條對角線連結(jié)而成，已知，為的兩個黃金分割點，即．則（）A． B． C． D．二、多選題9．（2021·河北唐山·高三開學考試）聲音是由物體振動產(chǎn)生的波，每一個音都是由純音合成的.已知純音的數(shù)學模型是函數(shù).我們平常聽到的樂音是許多音的結(jié)合，稱為復(fù)合音.若一個復(fù)合音的數(shù)學模型是函數(shù)，則（）A．的最大值為 B．為的最小正周期C．為曲線的對稱軸 D．為曲線的對稱中心10．（2021·江蘇）由倍角公式，可知可以表示為的二次多項式．一般地，存在一個（）次多項式（），使得，這些多項式稱為切比雪夫（P．L．Tschebyscheff)多項式．運用探究切比雪夫多項式的方法可得（）A． B．C． D．11．（2021·全國）海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近船塢；卸貨后，在落潮時返回海洋.一艘貨船的吃水深度（船底到水面的距離）為4m.安全條例規(guī)定至少要有2.25m的安全間隙（船底到海底的距離），下表給出了某港口在某季節(jié)每天幾個時刻的水深.時刻水深/m時刻水深/m時刻水深/m0：005.09：002.518：005.03：007.512：005.021：002.56：005.015：007.524：005.0若選用一個三角函數(shù)來近似描述這個港口的水深與時間的函數(shù)關(guān)系，則下列說法中正確的有（）A． B．C．該貨船在2：00至4：00期間可以進港 D．該貨船在13：00至17：00期間可以進港12．（2020·全國高三月考）斐波那契螺線又叫黃金螺線，廣泛應(yīng)用于繪畫、建筑等，這種螺線可以按下列方法畫出：如圖，在黃金矩形中作正方形，以為圓心，長為半徑作?。蝗缓笤邳S金矩形中作正方形，以為圓心，長為半徑作?。?；如此繼續(xù)下去，這些弧就連接成了斐波那契螺線.記弧，，的長度分別為，，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．三、填空題13．（2021·安徽高三開學考試（理））正割（secant）及余割（cosecant）這兩個符號是荷蘭數(shù)學家基拉德在《三角學》中首先使用，后經(jīng)歐拉采用得以通行．在三角中，定義正割，余割．已知，且對任意的實數(shù)均成立，則的最小值為__________．14．（2021·江蘇儀征中學高一月考）趙爽是我國古代數(shù)學家，大約在公元年，趙爽在為《周髀算經(jīng)》，作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱為“趙爽弦圖”.可類似地構(gòu)造如圖所示的圖形，由三個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成一個大的等邊三角形，設(shè)，若，則的面積為____________.15．（2021·安徽阜陽·高一期末）筒車是一種水利灌溉工具（如圖1所示），筒車上的每一個盛水筒都做逆時針勻速圓周運動，筒車轉(zhuǎn)輪的中心為，筒車的半徑為，筒車轉(zhuǎn)動的周期為，如圖2所示，盛水桶在處距水面的距離為．后盛水桶在處距水面的距離為，若，則直線與水面的夾角為______．16．（2021·廣東深圳·高三）著名的費馬問題是法國數(shù)學家皮埃爾德費馬（1601-1665）于1643年提出的平面幾何極值問題：“已知一個三角形，求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最?。辟M馬問題中的所求點稱為費馬點，已知對于每個給定的三角形，都存在唯一的費馬點，當?shù)娜齻€內(nèi)角均小于時，則使得的點即為費馬點．已知點為的費馬點，且，若，則實數(shù)的最小值為_________．四、解答題17．（2021·海安市南莫中學高一期中）下圖所示的畢達格拉斯樹畫是由圖（i）利用幾何畫板或者動態(tài)幾何畫板Geogebra做出來的圖片，其中四邊形ABCD，AEFG，PQBE都是正方形.如果改變圖（i）中的大小會得到更多不同的“樹形”.（1）在圖（i）中，，且，求；（2）在圖（ii）中，，設(shè)，求的最大值.18．（2021·昆明·云南師大附中高一期中）仰望星空，時有流星劃過天際，令我們感嘆生命的短暫，又深深震撼我們凡俗的心靈．流星是什么？從古至今，人們作過無數(shù)種猜測．古希臘亞里士多德說，那是地球上的蒸發(fā)物，近代有人進一步認為，那是地球上磷火升空后的燃燒現(xiàn)象．10世紀波斯著名數(shù)學家、天文學家阿爾·庫希設(shè)計出一種方案，通過兩個觀測者異地同時觀察同一顆流星，來測定其發(fā)射點的高度．如圖，假設(shè)地球是一個標準的球體，為地球的球心，為地平線，有兩個觀測者在地球上的，兩地同時觀測到一顆流星，觀測的仰角分別為，，其中，，為了方便計算，我們考慮一種理想狀態(tài)，假設(shè)兩個觀測者在地球上的，兩點測得，，地球半徑為公里，兩個觀測者的距離．（參考數(shù)據(jù)：，）（1）求流星發(fā)射點近似高度；（2）在古希臘，科學不發(fā)達，人們看到流星以為這是地球水分蒸發(fā)后凝結(jié)的固體，已知對流層高度大約在18公里左右，若地球半徑公里，請你據(jù)此判斷該流星是地球蒸發(fā)物還是“天外來客”？并說明理由．19．（2021·奉新縣第一中學高一月考）重慶是我國著名的“火爐”城市之一，如圖，重慶某避暑山莊為吸引游客，準備在門前兩條小路和之間修建一處弓形花園，使之有著類似“冰淇淋”般的涼爽感，已知，弓形花園的弦長，記弓形花園的頂點為，，設(shè).（1）將、用含有的關(guān)系式表示出來；（2）該山莊準備在點處修建噴泉，為獲取更好的觀景視野，如何設(shè)計、的長度，才使得噴泉與山莊的距離的值最大？20．（2021·江蘇省鎮(zhèn)江中學）古希臘數(shù)學家普洛克拉斯曾說：“哪里有數(shù)學，哪里就有美，哪里就有發(fā)現(xiàn)……”，對稱美是數(shù)學美的一個重要組成部分，比如圓，正多邊形……，請解決以下問題：（1）魏晉時期，我國古代數(shù)學家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出了割圓術(shù)：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”，割圓術(shù)可以視為將一個圓內(nèi)接正n邊形等分成n個等腰三角形(如圖所示)，當n變得很大時，等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積，運用割圓術(shù)的思想，求的近似值(結(jié)果保留).（2）正n邊形的邊長為a，內(nèi)切圓的半徑為r，外接圓的半徑為R，求證：.21．（2021·上海徐匯·高一期末）主動降噪耳機工作的原理是：先通過微型麥克風采集周國的噪聲，然后降噪芯片生成與噪聲振幅相同、相位相反的聲波來抵消噪聲（如圖所示）．已知某噪聲的聲波曲線f(x)=Asin（1）求該噪聲聲波曲線的解析式f(x)以及降噪芯片生成的降噪聲波曲線的解析式g(x)；（2）證明：g(x)+g(x+1)+g(x+2)為定值．22．（2021·合肥市第六中學高一期末）合肥逍遙津公園是三國古戰(zhàn)場，也是合肥最重要的文化和城市地標，是休閑游樂場，更是幾代合肥人美好記憶的承載地.2020年8月啟動改造升級工作，欲對該公園內(nèi)一個平面凸四邊形的區(qū)域進行改造，如圖所示，其中米，米，為正三角形.改造后將作為人們旅游觀光、休閑娛樂的區(qū)域，將作為對三國歷史文化的介紹區(qū)域.（1）當時，求旅游觀光、休閑娛樂的區(qū)域的面積；（2）求旅游觀光、休閑娛樂的區(qū)域的面積的最大值.第03講三角函數(shù)與解三角形一、單選題1．（2021·云南昆明市·高三（文））東寺塔與西寺塔為“昆明八景”之一，兩塔一西一東，遙遙相對，已有1100多年歷史．東寺塔基座為正方形，塔身有13級，塔頂四角立有四只銅皮做成的鳥，俗稱金雞，所以也有“金雞塔”之稱．如圖，在A點測得：塔在北偏東30°的點處，塔頂?shù)难鼋菫?0°，且點在北偏東60°．相距80（單位：），在點測得塔在北偏西60°，則塔的高度約為（）A．69 B．40 C．35 D．23【答案】B【分析】根據(jù)題意構(gòu)造四面體C-ABD,再運用線面位置關(guān)系及三角形相關(guān)知識求解出相應(yīng)的線段長即可.【詳解】如圖，根據(jù)題意，圖中平面ABD,,

中，，

又平面ABD，是直角三角形中，，選項B正確，選項ACD錯誤故選：B.2．（2021·山東棗莊八中高一期中）《數(shù)書九章》是中國南宋時期杰出數(shù)學家秦九韶的著作，全書十八卷共八十一個問題，分為九類，每類九個問題，《數(shù)書九章》中記錄了秦九昭的許多創(chuàng)造性成就，其中在卷五“三斜求積"中提出了已知三角形三邊a，b，c求面積的公式，這與古希臘的海倫公式完全等價，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實，一為從隅，開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式，即，現(xiàn)在有周長為的滿足，則用以上給出的公式求得的面積為（）A． B． C． D．12【答案】A【分析】利用正弦定理結(jié)合三角形的周長可求得的三邊邊長，利用題中公式可求得的面積.【詳解】由題意結(jié)合正弦定理可得：，周長為，即，，，.所以，故選：A.3．（2021·安徽淮北一中高一月考）“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖），若大、小正方形的面積分別為25和1，直角三角形中較大的銳角為，則等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得出，平方可得，即可求出.【詳解】因為大正方形的面積為25，小正方形的面積為1，所以大正方形的邊長為5，小正方形的邊長為1，所以，即，兩邊平方得，即.因為是直角三角形中較大的銳角，所以，所以，所以.故選：B.4．（2021·蚌埠鐵路中學高三開學考試（文））勒洛三角形是一種特殊三角形，指分別以正三角形的三個頂點為圓心，以其邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形．勒洛三角形的特點是：在任何方向上都有相同的寬度，即能在距離等于其圓弧半徑（等于正三角形的邊長）的兩條平行線間自由轉(zhuǎn)動，并且始終保持與兩直線都接觸．機械加工業(yè)上利用這個性質(zhì)，把鉆頭的橫截面做成勒洛三角形的形狀，就能在零件上鉆出正方形的孔來．如在勒洛三角形ABC內(nèi)隨機選取一點，則該點位于正三角形ABC內(nèi)的概率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可得曲邊三角形的面積為一個扇形加兩個拱形的面積，或者3個扇形面積減去2個三角形的面積，然后由幾何概型的概率公式求出概率．【詳解】解：由題意可得正三角形的邊長為半徑的三段圓弧組成的曲邊三角形的面積S曲＝S扇形CAB+2S拱＝22+2（S扇形﹣S△ABC）＝3﹣222＝2π﹣2，三角形ABC的面積S△ABC＝＝，所以由幾何概型的概率公式可得：所求概率＝＝，故選：A．5．（2021·江蘇高一期中）公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派研究過正五邊形和正十邊形的作圖方法，發(fā)現(xiàn)了“黃金分割”.“黃金分割”是工藝美術(shù)、建筑、攝影等許多藝術(shù)門類中審美的要素之一，它表現(xiàn)了恰到好處的和諧，其比值為，這一比值也可以表示為，若，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題知,再根據(jù)二倍角公式化簡整理即可得答案.【詳解】解:因為，,所以,所以故選:C6．（2021·貴州貴陽·高三開學考試（文））水車（如圖1），又稱孔明車，是我國最古老的農(nóng)業(yè)灌溉工具，主要利用水流的動力灌溉農(nóng)作物，是先人們在征服世界的過程中創(chuàng)造出來的高超勞動技藝，是珍貴的歷史文化遺產(chǎn)，相傳為漢靈帝時畢嵐造出雛形，經(jīng)三國時孔明改造完善后在蜀國推廣使用，隋唐時廣泛用于農(nóng)業(yè)灌溉，有1700余年歷史．下圖2是一個水車的示意圖，它的直徑為，其中心（即圓心）距水面．如果水車每逆時針轉(zhuǎn)圈，在水車輪邊緣上取一點，我們知道在水車勻速轉(zhuǎn)動時，點距水面的高度（單位：）是一個變量，它是時間（單位：）的函數(shù)．為了方便，不妨從點位于水車與水面交點時開始記時，則我們可以建立函數(shù)關(guān)系式（其中，，）來反映隨變化的周期規(guī)律．下面關(guān)于函數(shù)的描述，正確的是（）A．最小正周期為B．一個單調(diào)遞減區(qū)間為C．的最小正周期為D．圖像的一條對稱軸方程為【答案】D【分析】首先求得，，然后結(jié)合選項由三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷即可.【詳解】依題意可知，水車轉(zhuǎn)動的角速度，，，解得，，由得，又，則，所以，.對于選項A：函數(shù)的最小正周期為，故A錯誤；對于選項B：當時，，因為，所以函數(shù)在上不具有單調(diào)性，故B錯誤；對于選項C：，所以C錯誤；對于選項D：（最小值），所以D正確.故選：D.7．（2021·江蘇南京市·高一期中）托勒密（C.Ptolemy，約90-168），古希臘人，是天文學家?地理學家?地圖學家?數(shù)學家，所著《天文集》第一卷中載有弦表.在弦表基礎(chǔ)上，后人制作了正弦和余弦表（部分如下圖所示），該表便于查出0°~90°間許多角的正弦值和余弦值，避免了冗長的計算.例如，依據(jù)該表，角2°12′的正弦值為0.0384，角30°0′的正弦值為0.5000，則角34°36′的正弦值為（）A．0.0017 B．0.0454 C．0.5678 D．0.5736【答案】C【分析】先看左邊列找，再往右找對第一行的即可.【詳解】由題意查表可得的正弦值為0.5678.故選:C.8．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·高一期中）今年是偉大、光榮、正確的中國共產(chǎn)黨成立100周年．“紅星閃閃放光彩”，正五角星是一個非常優(yōu)美的幾何圖形，莊嚴美麗的國旗和國徽上的大五角星是中國共產(chǎn)黨的象征，如圖為一個正五角星圖形，由一個正五邊形的五條對角線連結(jié)而成，已知，為的兩個黃金分割點，即．則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圖形和已知條件表示出，然后用余弦定理求解即可【詳解】由正五角星的對稱性知：，不妨設(shè)，則，又，則，所以，，，故選：A二、多選題9．（2021·河北唐山·高三開學考試）聲音是由物體振動產(chǎn)生的波，每一個音都是由純音合成的.已知純音的數(shù)學模型是函數(shù).我們平常聽到的樂音是許多音的結(jié)合，稱為復(fù)合音.若一個復(fù)合音的數(shù)學模型是函數(shù)，則（）A．的最大值為 B．為的最小正周期C．為曲線的對稱軸 D．為曲線的對稱中心【答案】BD【分析】分析函數(shù)與不能同時取得最大值可判斷A；由的最小正周期是，的最小正周期是可判斷B；計算是否成立可判斷C；計算是否成立可判斷D；進而可得正確選項.【詳解】對于A：若的最大值為，則與同時取得最大值，當取得最大值時，，可得取不到，若取得最大值時，，此時，而取不到，所以與不可能同時取得最大值，故選項A不正確；對于B：因為的最小正周期是，的最小正周期是，且，所以為的最小正周期，故選項B正確；對于C：，，所以不恒成立，即，所以不是曲線的對稱軸，故選項C不正確；對于D：，所以對于任意的恒成立，所以為曲線的對稱中心，故選項D正確；故選：BD.10．（2021·江蘇）由倍角公式，可知可以表示為的二次多項式．一般地，存在一個（）次多項式（），使得，這些多項式稱為切比雪夫（P．L．Tschebyscheff)多項式．運用探究切比雪夫多項式的方法可得（）A． B．C． D．【答案】BC【分析】通過求，來判斷出正確選項.【詳解】，所以，A錯誤.，所以，B正確..所以，由于，所以，由于，所以，所以由解得，所以，C正確.，所以D錯誤.故選：BC【點睛】三角函數(shù)化簡求值問題，關(guān)鍵是根據(jù)題意，利用三角恒等變換的公式進行化簡.11．（2021·全國）海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近船塢；卸貨后，在落潮時返回海洋.一艘貨船的吃水深度（船底到水面的距離）為4m.安全條例規(guī)定至少要有2.25m的安全間隙（船底到海底的距離），下表給出了某港口在某季節(jié)每天幾個時刻的水深.時刻水深/m時刻水深/m時刻水深/m0：005.09：002.518：005.03：007.512：005.021：002.56：005.015：007.524：005.0若選用一個三角函數(shù)來近似描述這個港口的水深與時間的函數(shù)關(guān)系，則下列說法中正確的有（）A． B．C．該貨船在2：00至4：00期間可以進港 D．該貨船在13：00至17：00期間可以進港【答案】BCD【分析】依據(jù)題中所給表格，寫出的表達式而判斷選項A，B；再根據(jù)船進港的條件列出不等式，求解即可判斷選項C，D.【詳解】依據(jù)表格中數(shù)據(jù)知，可設(shè)函數(shù)為，由已知數(shù)據(jù)求得，，周期，所以﹐所以有，選項A錯誤；選項B正確；由于船進港水深至少要6.25，所以，得，又，則有或，從而有或，選項C，D都正確.故選：BCD【點睛】解三角不等式關(guān)鍵在于：找準不等式中的函數(shù)值m所對角；長為一個周期的區(qū)間內(nèi)相位所在范圍.12．（2020·全國高三月考）斐波那契螺線又叫黃金螺線，廣泛應(yīng)用于繪畫、建筑等，這種螺線可以按下列方法畫出：如圖，在黃金矩形中作正方形，以為圓心，長為半徑作?。蝗缓笤邳S金矩形中作正方形，以為圓心，長為半徑作?。?；如此繼續(xù)下去，這些弧就連接成了斐波那契螺線.記弧，，的長度分別為，，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】AB【分析】設(shè)，則，再由圓弧分別求得，，，然后再逐項判斷.【詳解】不妨設(shè)，則，所以.因為，所以.同理可得，所以，，，，所以A，B正確，C，D錯誤.故選：AB三、填空題13．（2021·安徽高三開學考試（理））正割（secant）及余割（cosecant）這兩個符號是荷蘭數(shù)學家基拉德在《三角學》中首先使用，后經(jīng)歐拉采用得以通行．在三角中，定義正割，余割．已知，且對任意的實數(shù)均成立，則的最小值為__________．【答案】9【分析】根據(jù)正余割的定義，得到和為1，結(jié)合基本不等式1的代入即可求解【詳解】由題得：，所以即：，所以，解得：（舍）或，所以故答案為：914．（2021·江蘇儀征中學高一月考）趙爽是我國古代數(shù)學家，大約在公元年，趙爽在為《周髀算經(jīng)》，作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱為“趙爽弦圖”.可類似地構(gòu)造如圖所示的圖形，由三個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成一個大的等邊三角形，設(shè)，若，則的面積為____________.【答案】【分析】設(shè)，可得出，，利用余弦定理求出的值，再利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】設(shè)，則，因為為等邊三角形，則，故，在中，由余弦定理得，解得，故，，因此，的面積為.故答案為：.15．（2021·安徽阜陽·高一期末）筒車是一種水利灌溉工具（如圖1所示），筒車上的每一個盛水筒都做逆時針勻速圓周運動，筒車轉(zhuǎn)輪的中心為，筒車的半徑為，筒車轉(zhuǎn)動的周期為，如圖2所示，盛水桶在處距水面的距離為．后盛水桶在處距水面的距離為，若，則直線與水面的夾角為______．【答案】【分析】根據(jù)題意構(gòu)建平面幾何模型，在借助三角函數(shù)求解答案.【詳解】如圖，過作直線與水面平行，過作于，過作于．設(shè)，，則，，由圖知，，，，所以，整理得，則，即．故答案為：.16．（2021·廣東深圳·高三）著名的費馬問題是法國數(shù)學家皮埃爾德費馬（1601-1665）于1643年提出的平面幾何極值問題：“已知一個三角形，求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小．”費馬問題中的所求點稱為費馬點，已知對于每個給定的三角形，都存在唯一的費馬點，當?shù)娜齻€內(nèi)角均小于時，則使得的點即為費馬點．已知點為的費馬點，且，若，則實數(shù)的最小值為_________．【答案】【分析】根據(jù)題意，不妨設(shè)，故，進而得，所以在和中，由正弦定理得，，故，在結(jié)合三角恒等變換化簡整理求函數(shù)最值即可.【詳解】根據(jù)題意,點為的費馬點，的三個內(nèi)角均小于,所以，設(shè)，所以在和中，，且均為銳角，所以所以由正弦定理得：，，所以，，因為所以，因為，所以，所以，所以故實數(shù)的最小值為.故答案為：【點睛】本題考查數(shù)學文化背景下的解三角形，三角恒等變換解決三角函數(shù)取值范圍問題，考查運算求解能力，數(shù)學建模能力，化歸轉(zhuǎn)化思想，是難題.本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題目背景，通過設(shè)，進而建立解三角形的模型，再根據(jù)正弦定理及三角恒等變換化簡求最值即可.四、解答題17．（2021·海安市南莫中學高一期中）下圖所示的畢達格拉斯樹畫是由圖（i）利用幾何畫板或者動態(tài)幾何畫板Geogebra做出來的圖片，其中四邊形ABCD，AEFG，PQBE都是正方形.如果改變圖（i）中的大小會得到更多不同的“樹形”.（1）在圖（i）中，，且，求；（2）在圖（ii）中，，設(shè)，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知條件結(jié)合誘導公式求得，在中，利用余弦定理，即可求解；（2）由已知條件結(jié)合余弦定理，求得，再利用正弦定理、余弦定理及三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）當時，，則在中，由余弦定理可得，所以.（2）在中，由余弦定理知，，所以在中，由正弦定理知，可得，在中，由余弦定理可得，所以當時，的取最大值.答：（1）；（2）的最大值為.18．（2021·昆明·云南師大附中高一期中）仰望星空，時有流星劃過天際，令我們感嘆生命的短暫，又深深震撼我們凡俗的心靈．流星是什么？從古至今，人們作過無數(shù)種猜測．古希臘亞里士多德說，那是地球上的蒸發(fā)物，近代有人進一步認為，那是地球上磷火升空后的燃燒現(xiàn)象．10世紀波斯著名數(shù)學家、天文學家阿爾·庫希設(shè)計出一種方案，通過兩個觀測者異地同時觀察同一顆流星，來測定其發(fā)射點的高度．如圖，假設(shè)地球是一個標準的球體，為地球的球心，為地平線，有兩個觀測者在地球上的，兩地同時觀測到一顆流星，觀測的仰角分別為，，其中，，為了方便計算，我們考慮一種理想狀態(tài)，假設(shè)兩個觀測者在地球上的，兩點測得，，地球半徑為公里，兩個觀測者的距離．（參考數(shù)據(jù)：，）（1）求流星發(fā)射點近似高度；（2）在古希臘，科學不發(fā)達，人們看到流星以為這是地球水分蒸發(fā)后凝結(jié)的固體，已知對流層高度大約在18公里左右，若地球半徑公里，請你據(jù)此判斷該流星是地球蒸發(fā)物還是“天外來客”？并說明理由．【答案】（1）公里；（2）該流星不是地球蒸發(fā)物，而是“天外來客”，理由見解析.【分析】（1）由已知條件在中利用正弦定理求出，在中再利用余弦定理求出，從而可得；（2）由（1）求出的值可得流星發(fā)射點近似高度為3185公里，遠遠大于對流層最高近似高度18公里，從而可得結(jié)論【詳解】（1）因為，則，所以為等邊角形，所以．又因為，所以，所以，所以，，．在中，由正弦定理：，得，解得，在中，由余弦定理：．所以，所以公里．（2）公里，所以流星發(fā)射點近似高度為3185公里，遠遠大于對流層最高近似高度18公里，所以該流星不是地球蒸發(fā)物，而是“天外來客”．（言之有理即可）．19．（2021·奉新縣第一中學高一月考）重慶是我國著名的“火爐”城市之一，如圖，重慶某避暑山莊為吸引游客，準備在門前兩條小路和之間修建一處弓形花園，使之有著類似“冰淇淋”般的涼爽感，已知，弓形花園的弦長，記弓形花園的頂點為，，設(shè).（1）將、用含有的關(guān)系式表示出來；（2）該山莊準備在點處修建噴泉，為獲取更好的觀景視野，如何設(shè)計、的長度，才使得噴泉與山莊的距離的值最大？【答案】（1），；（2）當時，取最大值.【分析】（1）本題可通過正弦定理得出、；（2）本題首先可根據(jù)題意得出，然后通過余弦定理得出，通過轉(zhuǎn)化得出，最后通過以及正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出最值.【詳解】（1）因為，，，所以，，.（2）因為，，所以，在中，由余弦定理易知，即，因為，所以，，當，即時，取最大值，取最大值，此時，，故當時，取最大值.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查解三角形的實際應(yīng)用，考查正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，考查三角恒等變換，考查根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求最值，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，體現(xiàn)了綜合性，是難題.20．（2021·江蘇省鎮(zhèn)江中學）古希臘數(shù)學家普洛克拉斯曾說：“哪里有數(shù)學，哪里就有美，哪里就有發(fā)現(xiàn)……”，對稱美是數(shù)學美的一個重要組成部分，比如圓，正多邊形……，請解決以下問題：（1）魏晉時期，我國古代數(shù)學家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出了割圓術(shù)：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”，割圓術(shù)可以視為將一個圓內(nèi)接正n邊形等分成