新高考數學之圓錐曲線綜合講義第1講軌跡問題(原卷版+解析)

第1講軌跡問題一．選擇題（共12小題）1．方程所表示的曲線是A．一個圓 B．兩個圓 C．半個圓 D．兩個半圓2．方程表示的曲線為A．兩個半圓 B．一個圓 C．半個圓 D．兩個圓3．在數學中有這樣形狀的曲線：．關于這種曲線，有以下結論：①曲線恰好經過9個整點（即橫、縱坐標均為整數的點）；②曲線上任意兩點之間的距離都不超過2；③曲線所圍成的“花瓣”形狀區(qū)域的面積大于5．其中正確的結論有A．①③ B．②③ C．①② D．①②③4．雙紐線最早于1694年被瑞士數學家雅各布伯努利用來描述他所發(fā)現的曲線．在平面直角坐標系中，把到定點，距離之積等于的點的軌跡稱為雙紐線、已知點，是雙紐線上一點，下列說法中正確的有①雙紐線經過原點；②雙紐線關于原點中心對稱；③；④雙紐線上滿足的點有兩個．A．①② B．①②③ C．②③ D．②③④5．雙紐線最早于1694年被瑞士數學家雅各布伯努利用來描述他所發(fā)現的曲線．在平面直角坐標系中，把到定點，距離之積等于的點的軌跡稱為雙紐線．已知點，是雙紐線上一點，下列說法中正確的有①雙紐線關于原點中心對稱；②；③雙紐線上滿足的點有兩個；④的最大值為．A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③6．如圖，設點和為拋物線上除原點以外的兩個動點，已知，，則點的軌跡方程為A．（原點除外） B．（原點除外） C．（原點除外） D．（原點除外）7．如果把一個平面區(qū)域內兩點間的距離的最大值稱為此區(qū)域的直徑，那么曲線圍成的平面區(qū)域的直徑為A． B．3 C． D．48．由曲線圍成的圖形面積為A． B． C． D．9．如圖，平面直角坐標系中，曲線（實線部分）的方程可以是A． B． C． D．10．已知點集，則平面直角坐標系中區(qū)域的面積是A．1 B． C． D．11．數學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，例如：四葉草曲線就是其中一種，其方程為．給出下列四個結論：①曲線有四條對稱軸；②曲線上的點到原點的最大距離為；③曲線第一象限上任意一點作兩坐標軸的垂線與兩坐標軸圍成的矩形面積最大值為；④四葉草面積小于．其中，所有正確結論的序號是A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④12．曲線為：到兩定點、距離乘積為常數16的動點的軌跡．以下結論正確的個數為（1）曲線一定經過原點；（2）曲線關于軸、軸對稱；（3）的面積不大于8；（4）曲線在一個面積為64的矩形范圍內．A．1 B．2 C．3 D．4二．多選題（共2小題）13．數學中的很多符號具有簡潔、對稱的美感，是形成一些常見的漂亮圖案的基石，也是許多藝術家設計作品的主要幾何元素．如我們熟悉的符號，我們把形狀類似的曲線稱為“曲線”．經研究發(fā)現，在平面直角坐標系中，到定點，距離之積等于的點的軌跡是“曲線”．若點，是軌跡上一點，則下列說法中正確的有A．曲線關于原點中心對稱 B．的取值范圍是， C．曲線上有且僅有一個點滿足 D．的最大值為14．在平面直角坐標系中，為曲線上一點，則A．曲線關于原點對稱 B． C．曲線圍成的區(qū)域面積小于18 D．到點的最近距離為三．填空題（共6小題）15．數學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線就是其中之一（如圖），給出下列三個結論：①曲線恰好經過4個整點（即橫、縱坐標均為整數的點）；②曲線上任意一點到原點的距離都不超過．③曲線所圍成的“花形”區(qū)域的面積小于4．其中，所有正確結論的序號是．16．數學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線就是其中之一（如圖），給出下列三個結論：①曲線恰好經過6個整點（即橫、縱坐標均為整數的點）；②曲線上任意一點到原點的距離都不超過；③曲線所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3．其中，所有正確結論的序號是．17．數學中的數形結合，也可以組成世間萬物的絢麗畫面．一些優(yōu)美的曲線是數學形象美、對稱美、和諧美的結合產物，曲線恰好是四葉玫瑰線．給出下列結論：①曲線經過5個整點（即橫、縱坐標均為整數的點）；②曲線上任意一點到坐標原點的距離都不超過2；③曲線圍成區(qū)域的面積大于；④方程表示的曲線在第二象限和第四象限．其中正確結論的序號是．18．曲線是平面內到定點的距離與到定直線的距離之和為3的動點的軌跡．則曲線與軸交點的坐標是；又已知點，為常數），那么的最小值（a）．19．已知點，動點滿足且，則點的軌跡方程為．20．在平面直角坐標系中，拋物線上異于坐標原點的兩不同動點、滿足（如圖所示）．則得重心（即三角形三條中線的交點）的軌跡方程為；四．解答題（共5小題）21．如圖，直線和相交于點，，點．以，為端點的曲線段上的任一點到的距離與到點的距離相等．若為銳角三角形，，，且．建立適當的坐標系，求曲線段的方程．22．已知雙曲線的左、右頂點分別為、，點，，，是雙曲線上不同的兩個動點．求直線與交點的軌跡的方程．23．設圓與兩圓，中的一個內切，另一個外切，求圓心的軌跡的方程．24．已知橢圓的左、右焦點分別是，，是橢圓外的動點，滿足．點是線段與該橢圓的交點，點在線段上，并且滿足，．（Ⅰ）設為點的橫坐標，證明；（Ⅱ）求點的軌跡的方程；（Ⅲ）試問：在點的軌跡上，是否存在點，使△的面積，求的正切值；若不存在，請說明理由．

第1講軌跡問題一．選擇題（共12小題）1．方程所表示的曲線是A．一個圓 B．兩個圓 C．半個圓 D．兩個半圓【解答】解：將方程化簡，得，其中，．因此方程表示以為圓心，半徑的圓．故選：．2．方程表示的曲線為A．兩個半圓 B．一個圓 C．半個圓 D．兩個圓【解答】解：兩邊平方整理得：，化簡得，由得，即或，當時，方程為，表示圓心為且半徑為1的圓的右半圓；當時，方程為，表示圓心為且半徑為1的圓的左半圓綜上所述，得方程表示的曲線為兩個半圓故選：．3．在數學中有這樣形狀的曲線：．關于這種曲線，有以下結論：①曲線恰好經過9個整點（即橫、縱坐標均為整數的點）；②曲線上任意兩點之間的距離都不超過2；③曲線所圍成的“花瓣”形狀區(qū)域的面積大于5．其中正確的結論有A．①③ B．②③ C．①② D．①②③【解答】解：①曲線經過的整點有，，，，，，，，，恰有9個點，即①正確；②點和均在曲線上，而這兩點間的距離為，即②錯誤；③由于圖形是對稱的，所以只需考慮第一象限內的部分即可．此時有，，整理得，，是以為圓心，為半徑的圓，作出曲線在第一象限的圖形如圖所示，面積，故曲線的面積為，即③正確．故選：．4．雙紐線最早于1694年被瑞士數學家雅各布伯努利用來描述他所發(fā)現的曲線．在平面直角坐標系中，把到定點，距離之積等于的點的軌跡稱為雙紐線、已知點，是雙紐線上一點，下列說法中正確的有①雙紐線經過原點；②雙紐線關于原點中心對稱；③；④雙紐線上滿足的點有兩個．A．①② B．①②③ C．②③ D．②③④【解答】解；根據雙紐線的定義可得，，將，代入，符合方程，所以①正確；用替換方程中的，原方程不變，所以雙紐線關于原點中心對稱，②正確；根據三角形的等面積法可知，，即，亦即，③正確；若雙紐線上點滿足，則點在軸上，即，代入方程，解得，所以這樣的點只有一個，④錯誤．故選：．5．雙紐線最早于1694年被瑞士數學家雅各布伯努利用來描述他所發(fā)現的曲線．在平面直角坐標系中，把到定點，距離之積等于的點的軌跡稱為雙紐線．已知點，是雙紐線上一點，下列說法中正確的有①雙紐線關于原點中心對稱；②；③雙紐線上滿足的點有兩個；④的最大值為．A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③【解答】解：根據雙紐線的定義可得，，用替換方程中的，原方程不變，所以雙紐線關于原點中心對稱，①正確；根據三角形的等面積法可知，，即，亦即，②正確；若雙紐線上點滿足，則點在軸上，即，代入方程，解得，所以這樣的點只有一個，③錯誤；因為，所以由余弦定理可得，，所以的最大值為，④正確．故選：．6．如圖，設點和為拋物線上除原點以外的兩個動點，已知，，則點的軌跡方程為A．（原點除外） B．（原點除外） C．（原點除外） D．（原點除外）【解答】解：設，直線的方程為，由得，聯(lián)立和消去得，所以，所以，由得，所以，所以，所以，把代入得，故選：．7．如果把一個平面區(qū)域內兩點間的距離的最大值稱為此區(qū)域的直徑，那么曲線圍成的平面區(qū)域的直徑為A． B．3 C． D．4【解答】解：曲線圍成的平面區(qū)域，關于，軸對稱，設曲線上的點，可得．所以曲線圍成的平面區(qū)域的直徑為：3．故選：．8．由曲線圍成的圖形面積為A． B． C． D．【解答】解：根據對稱性，曲線圍成的圖形面積等于在第一象限圍成面積的4倍，當且時等價為，即，即，圓心，半徑，則的面積，的面積，在第一象限部分的面積，則四個象限的面積為，故選：．9．如圖，平面直角坐標系中，曲線（實線部分）的方程可以是A． B． C． D．【解答】解：如圖曲線表示折線段的一部分和雙曲線，選項等價于或，表示折線的全部和雙曲線，故錯誤；選項等價于，或，表示折線的全部，故錯誤；選項等價于或，表示折線在雙曲線的外部（包括有原點）的一部分，表示雙曲線，符合題中圖象，故正確；選項等價于或，表示表示折線在雙曲線的外部（包括有原點）的一部分，表示雙曲線在軸下方的一部分，故錯誤．故選：．10．已知點集，則平面直角坐標系中區(qū)域的面積是A．1 B． C． D．【解答】解：當時，只需要滿足，即可；當時，對不等式兩邊平方整理得到，所以區(qū)域如下圖．易知其面積為．故選：．11．數學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，例如：四葉草曲線就是其中一種，其方程為．給出下列四個結論：①曲線有四條對稱軸；②曲線上的點到原點的最大距離為；③曲線第一象限上任意一點作兩坐標軸的垂線與兩坐標軸圍成的矩形面積最大值為；④四葉草面積小于．其中，所有正確結論的序號是A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④【解答】解：四葉草曲線方程為，將換為，不變，可得方程不變，則曲線關于軸對稱；將換為，不變，可得方程不變，則曲線關于軸對稱；將換為，換為，可得方程不變，則曲線關于直線對稱；將換為，換為，可得方程不變，則曲線關于直線對稱；曲線有四條對稱軸，故①正確；由與聯(lián)立，可得或，即有曲線上的點到原點的最大距離為，故②錯誤；設曲線第一象限上任意一點為，，可得圍成的矩形面積為，由，則，即，當且僅當取得最大值，故③正確；易得四葉草曲線在以原點為圓心，為半徑的圓內，故四葉草面積小于，則④正確．故選：．12．曲線為：到兩定點、距離乘積為常數16的動點的軌跡．以下結論正確的個數為（1）曲線一定經過原點；（2）曲線關于軸、軸對稱；（3）的面積不大于8；（4）曲線在一個面積為64的矩形范圍內．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：設，則，對于（1），原點代入方程，得，即方程不成立，則曲線一定經過原點，命題錯誤；對于（2），以代替，代替，方程成立，方程也成立，即曲線關于、軸對稱，命題正確；對于（3），，，的最大面積為，命題正確；對于（4），令，可得，根據距離乘積為16可以得出的取值只可能在到之間；同理的取值只可能在到之間；所以曲線在一個面積為的矩形范圍內，命題錯誤．綜上，正確的命題有（2）（3），共2個．故選：．二．多選題（共2小題）13．數學中的很多符號具有簡潔、對稱的美感，是形成一些常見的漂亮圖案的基石，也是許多藝術家設計作品的主要幾何元素．如我們熟悉的符號，我們把形狀類似的曲線稱為“曲線”．經研究發(fā)現，在平面直角坐標系中，到定點，距離之積等于的點的軌跡是“曲線”．若點，是軌跡上一點，則下列說法中正確的有A．曲線關于原點中心對稱 B．的取值范圍是， C．曲線上有且僅有一個點滿足 D．的最大值為【解答】解：在平面直角坐標系中，到定點，距離之積等于的點的軌跡是“曲線”．故點，滿足，點，代入，得到，故正確；對于：設軸上范圍的最大值為，所以，解得，故的范圍為．故錯誤；對于：若，則點在的垂直平分線上，即，設點，所以，所以，即僅原點滿足，故正確；對于，化簡得，根據，，得到，所以的最大值為，的最大值為，故錯誤．故選：．14．在平面直角坐標系中，為曲線上一點，則A．曲線關于原點對稱 B． C．曲線圍成的區(qū)域面積小于18 D．到點的最近距離為【解答】解：當，時，曲線的方程為，去掉絕對值化簡可得，將的中心平移到位于第一象限的部分，因為點，，都在曲線上，所以曲線的圖象關于軸、軸和坐標原點對稱，作出圖象如圖所示，由圖可知曲線關于原點對稱，故選項正確；令中的，解得，向右平移一個單位可得到橫坐標為3，根據對稱性可知，故選項錯誤；令中的，解得，向上平移個單位可得縱坐標的最大值為，曲線第一象限的部分被包圍在矩形內，矩形面積為，所以曲線圍成的區(qū)域面積小于，故選項正確；令中的，可得，所以到點的最近距離為，故選項正確．故選：．三．填空題（共6小題）15．數學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線就是其中之一（如圖），給出下列三個結論：①曲線恰好經過4個整點（即橫、縱坐標均為整數的點）；②曲線上任意一點到原點的距離都不超過．③曲線所圍成的“花形”區(qū)域的面積小于4．其中，所有正確結論的序號是②．【解答】解：①令，方程化為：，解得，可得點；令，方程化為：，解得，可得點；令，方程化為：，解得，可得點．由此可得：曲線恰好經過8個整點，因此不正確．②，方程化為：，曲線上任意一點到原點的距離，即曲線上任意一點到原點的距離都不超過，可知正確．③由四個點作為正方形的頂點，可得正方形的面積為4，曲線所圍成的“花形”區(qū)域的面積大于4．其中，所有正確結論的序號是②．故答案為：②．16．數學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線就是其中之一（如圖），給出下列三個結論：①曲線恰好經過6個整點（即橫、縱坐標均為整數的點）；②曲線上任意一點到原點的距離都不超過；③曲線所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3．其中，所有正確結論的序號是①②．【解答】解：根據題意，曲線，用替換曲線方程中的，方程不變，所以曲線關于軸對稱，對于①，當時，，即為，，可得，所以曲線經過點，，，，再根據對稱性可知，曲線還經過點，，故曲線恰好經過6個整點，①正確；對于②，由上可知，當時，，即曲線右側部分的點到原點的距離都不超過，再根據對稱性可知，曲線上的所有點到原點的距離都不超過，②正確；對于③，因為在軸上方，圖形面積大于四點，，，圍成的矩形面積，在軸下方，圖形面積大于三點，，圍成的等腰直角三角形的面積，所以曲線所圍成的“心形”區(qū)域的面積大于3，③錯誤．故答案為：①②．17．數學中的數形結合，也可以組成世間萬物的絢麗畫面．一些優(yōu)美的曲線是數學形象美、對稱美、和諧美的結合產物，曲線恰好是四葉玫瑰線．給出下列結論：①曲線經過5個整點（即橫、縱坐標均為整數的點）；②曲線上任意一點到坐標原點的距離都不超過2；③曲線圍成區(qū)域的面積大于；④方程表示的曲線在第二象限和第四象限．其中正確結論的序號是②④．【解答】解：，（當且僅當時取等號），則②正確；將和聯(lián)立，解得，即圓與曲線相切于點，，，，則①和③都錯誤；由，得方程表示的曲線在第二象限和第四象限，故④正確．故答案為：②④．18．曲線是平面內到定點的距離與到定直線的距離之和為3的動點的軌跡．則曲線與軸交點的坐標是；又已知點，為常數），那么的最小值（a）．【解答】解：（1）設動點，由題意可得，①當時，，無軌跡；②當時，化為，化為，與軸無交點；③當時，化為，化為，．令，解得．綜上①②③可知：曲線與軸的交點為；（2）由（1）可知：．如圖所示，令，則，或，解得或1．①當或時，，（a）；②當時，當直線與相交時的交點滿足取得最小值，此拋物線的準線為，直線與準線的交點，此時（a）；③當時，當直線與相交時的交點滿足取得最小值，此拋物線的準線為，直線與準線的交點，此時（a）．綜上可知：（a）19．已知點，動點滿足且，則點的軌跡方程為．【解答】解：由，，則，，所以，而在三角形中，所以可得，而，所以可得，所以為定值且大于，所以可得的軌跡為橢圓，且長軸長，焦距，焦點在軸上，中心在原點的橢圓，即，，所以，所以的軌跡方程為：，故答案為：．20．在平面直角坐標系中，拋物線上異于坐標原點的兩不同動點、滿足（如圖所示）．則得重心（即三角形三條中線的交點）的軌跡方程為；【解答】解：顯然直線的斜率存在，記為，的方程記為：，，，，，，將直線方程代入得：，則有：△①，②，③，又，；，，得：且，，代入①驗證，滿足；故；設的重心為，則④，⑤，由④⑤兩式消去參數得：的軌跡方程為．故答案為：．四．解答題（共5小題）21．如圖，直線和相交于點，，點．以，為端點的曲線段上的任一點到的距離與到點的距離相等．若為銳角三角形，，，且．建立適當的坐標系，求曲線段的方程．【解答】解：法一：如圖建立坐標系，以為軸，的垂直平分線為軸，點為坐標原點．依題意知：曲線段是以點為焦點，以為準線