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文檔簡介
專題八向量問題考情分析1.給出,等于已知與的中點三點共線;2.給出以下情形之一:①;②存在實數(shù);③若存在實數(shù),等于已知三點共線;二、經(jīng)驗分享1.三點共線問題證題策略一般有以下幾種:①斜率法:若過任意兩點的直線的斜率都存在,通過計算證明過任意兩點的直線的斜率相等證明三點共線;②距離法:計算出任意兩點間的距離,若某兩點間的距離等于另外兩個距離之和,則這三點共線;③向量法:利用向量共線定理證明三點共線;④直線方程法:求出過其中兩點的直線方程,在證明第3點也在該直線上;⑤點到直線的距離法:求出過其中某兩點的直線方程,計算出第三點到該直線的距離,若距離為0,則三點共線.⑥面積法:通過計算求出以這三點為三角形的面積,若面積為0,則三點共線,在處理三點共線問題,離不開解析幾何的重要思想:“設而不求思想”.2.點與圓的位置關系的解題策略一般有以下幾種:(1)利用設而不求思想求出圓心坐標,然后計算圓心到點的距離并和半徑比較得解;(2)向量法,通過判斷數(shù)量積的正負來確定點和圓的位置關系:如已知是圓的直徑,是平面內一點,①如果點在圓內;②點在圓外;③點在圓上.(3)方程法,已知圓的方程,點,①如果點在圓內;②點在圓上;③點在圓外.四點共圓問題的解題策略:①利用四點構成的四邊形的對角互補;②利用待定系數(shù)法求出過其中三點的圓的方程,然后證明第四點坐標滿足圓的方程.三、題型分析(一)向量法判斷定點與圓的位置關系1.點與圓的位置關系的解題策略一般有以下幾種:(1)利用設而不求思想求出圓心坐標,然后計算圓心到點的距離并和半徑比較得解;(2)向量法,通過判斷數(shù)量積的正負來確定點和圓的位置關系:如已知是圓的直徑,是平面內一點,①如果點在圓內;②點在圓外;③點在圓上.(3)方程法,已知圓的方程,點,①如果點在圓內;②點在圓上;③點在圓外.例1【2015高考福建,理18】已知橢圓E:過點,且離心率為.(Ⅰ)求橢圓E的方程;(Ⅱ)設直線交橢圓E于A,B兩點,判斷點G與以線段AB為直徑的圓的位置關系,并說明理由.
【變式訓練1】【2017屆重慶市第一中學高三12月月考】已知橢圓離心率為,焦距為,拋物線的焦點是橢圓的頂點.(Ⅰ)求與的標準方程;(Ⅱ)設過點的直線交于兩點,若的右頂點在以為直徑的圓內,求直線的斜率的取值范圍.【變式訓練2】已知拋物線C:的焦點為F,直線與y軸的交點為P,與C的交點為Q,且.(I)求C的方程;(II)過F的直線與C相交于A,B兩點,若AB的垂直平分線與C相較于M,N兩點,且A,M,B,N四點在同一圓上,求的方程.
(二)利用向量轉化幾何條件例2.如圖,已知滿足條件(其中為虛數(shù)單位)的復數(shù)在復平面上的對應點的軌跡為圓(圓心為),定直線的方程為,過斜率為的直線與直線相交于點,與圓相交于兩點,是弦中點.(1)若直線經(jīng)過圓心,求證:與垂直;(2)當時,求直線的方程;(3)設,試問是否為定值?若為定值,請求出的值,若不為定值,請說明理由.【變式訓練1】已知、分別是橢圓的兩焦點,點是該橢圓上一動點,則_________.
【變式訓練2】已知橢圓:的右焦點為點的坐標為,為坐標原點,是等腰直角三角形.(1)求橢圓的方程;(2)經(jīng)過點作直線交橢圓于兩點,求面積的最大值;(3)是否存在直線交橢圓于兩點,使點為的垂心(垂心:三角形三邊高線的交點)?若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由.【變式訓練3】已知點為橢圓的兩個焦點,其中左焦點,橢圓的長軸長是短軸長的2倍,為橢圓上一點。(1)求橢圓的標準方程;(2)若,且點在第一象限,求點的坐標;(3)若線段中點在軸上,求的值.
遷移應用1.已知斜率為的直線l與橢圓交于A,B兩點,線段AB中點M縱坐標為,點在橢圓上,若的平分線交線段AB于點N,則的值為()(A)(B)(C)(D)2.設A,B分別是雙曲線的左右頂點,設過的直線PA,PB與雙曲線分別交于點M,N,直線MN交x軸于點Q,過Q的直線交雙曲線于S,T兩點,且,則的面積()(A)(B)(C)(D)3.已知在拋物線上,如圖,直線和都通過拋物線的焦點,若,則的最小值是()A.2B.4C.6D.84.設拋物線的焦點為,準線為,過F點的直線交拋物線于兩點,分別過作的垂線,垂足為.若,則三角形的面積為.5.已知雙曲線的左、右焦點為,漸近線方程為,作直線與圓相切于點T,交雙曲線的右支于點P,若,則()A.B.C.D.6.已知為坐標原點,橢圓的方程為,若、為橢圓的兩個動點且,則的最小值是()277.設雙曲線的中心為點,若直線和相交于點,直線交雙曲線于、,直線交雙曲線于、,且使,則稱和為“直線對”.現(xiàn)有所成的角為的“直線對”只有兩對,且在右支上存在一點,使,則該雙曲線的離心率的取值范圍是()8.已知是邊長為2的正三角形,是平面內一點,則的最小值是()9.(2017新課標Ⅲ)已知拋物線:,過點的直線交與,兩點,圓是以線段為直徑的圓.(1)證明:坐標原點在圓上;(2)設圓過點,求直線與圓的方程.專題八向量問題考情分析1.給出,等于已知與的中點三點共線;2.給出以下情形之一:①;②存在實數(shù);③若存在實數(shù),等于已知三點共線;二、經(jīng)驗分享1.三點共線問題證題策略一般有以下幾種:①斜率法:若過任意兩點的直線的斜率都存在,通過計算證明過任意兩點的直線的斜率相等證明三點共線;②距離法:計算出任意兩點間的距離,若某兩點間的距離等于另外兩個距離之和,則這三點共線;③向量法:利用向量共線定理證明三點共線;④直線方程法:求出過其中兩點的直線方程,在證明第3點也在該直線上;⑤點到直線的距離法:求出過其中某兩點的直線方程,計算出第三點到該直線的距離,若距離為0,則三點共線.⑥面積法:通過計算求出以這三點為三角形的面積,若面積為0,則三點共線,在處理三點共線問題,離不開解析幾何的重要思想:“設而不求思想”.2.點與圓的位置關系的解題策略一般有以下幾種:(1)利用設而不求思想求出圓心坐標,然后計算圓心到點的距離并和半徑比較得解;(2)向量法,通過判斷數(shù)量積的正負來確定點和圓的位置關系:如已知是圓的直徑,是平面內一點,①如果點在圓內;②點在圓外;③點在圓上.(3)方程法,已知圓的方程,點,①如果點在圓內;②點在圓上;③點在圓外.四點共圓問題的解題策略:①利用四點構成的四邊形的對角互補;②利用待定系數(shù)法求出過其中三點的圓的方程,然后證明第四點坐標滿足圓的方程.三、題型分析(一)向量法判斷定點與圓的位置關系1.點與圓的位置關系的解題策略一般有以下幾種:(1)利用設而不求思想求出圓心坐標,然后計算圓心到點的距離并和半徑比較得解;(2)向量法,通過判斷數(shù)量積的正負來確定點和圓的位置關系:如已知是圓的直徑,是平面內一點,①如果點在圓內;②點在圓外;③點在圓上.(3)方程法,已知圓的方程,點,①如果點在圓內;②點在圓上;③點在圓外.例1【2015高考福建,理18】已知橢圓E:過點,且離心率為.(Ⅰ)求橢圓E的方程;(Ⅱ)設直線交橢圓E于A,B兩點,判斷點G與以線段AB為直徑的圓的位置關系,并說明理由.【解析】解法一:(Ⅰ)由已知得解得,所以橢圓E的方程為.(Ⅱ)設點AB中點為.由所以從而.所以.,故所以,故G在以AB為直徑的圓外.【變式訓練1】【2017屆重慶市第一中學高三12月月考】已知橢圓離心率為,焦距為,拋物線的焦點是橢圓的頂點.(Ⅰ)求與的標準方程;(Ⅱ)設過點的直線交于兩點,若的右頂點在以為直徑的圓內,求直線的斜率的取值范圍.【分析】(Ⅰ)橢圓的焦距為,,得橢圓的標準方程,得到拋物線焦點,可得拋物線方程;(Ⅱ)聯(lián)立直線與拋物線的方程結合韋達定理得,,在以為直徑的圓內,得結果.【解析】(Ⅰ)設橢圓的焦距為,依題意有,,解得,,故橢圓的標準方程為,又拋物線開口向上,故是橢圓的上頂點,,,故拋物線的標準方程為.(Ⅱ)由題意可設直線的方程為:,設點,,聯(lián)立得,由韋達定理得,.在以為直徑的圓內.【變式訓練2】已知拋物線C:的焦點為F,直線與y軸的交點為P,與C的交點為Q,且.(I)求C的方程;(II)過F的直線與C相交于A,B兩點,若AB的垂直平分線與C相較于M,N兩點,且A,M,B,N四點在同一圓上,求的方程.【解析】(I)設,代入,得.由題設得,解得(舍去)或,∴C的方程為;(II)由題設知與坐標軸不垂直,故可設的方程為,代入得.設則.故的中點為.又的斜率為的方程為.將上式代入,并整理得.設則.故的中點為.由于垂直平分線,故四點在同一圓上等價于,從而即,化簡得,解得或.所求直線的方程為或.(二)利用向量轉化幾何條件例2.如圖,已知滿足條件(其中為虛數(shù)單位)的復數(shù)在復平面上的對應點的軌跡為圓(圓心為),定直線的方程為,過斜率為的直線與直線相交于點,與圓相交于兩點,是弦中點.(1)若直線經(jīng)過圓心,求證:與垂直;(2)當時,求直線的方程;(3)設,試問是否為定值?若為定值,請求出的值,若不為定值,請說明理由.【答案】(1)證明見詳解;(2)或;(3)為定值且【解析】(1)證明如下:因為,所以,所以圓心,半徑;又因為,所以且,所以,所以與垂直;(2)當直線的斜率不存在時,,此時,所以,所以,滿足題意;當?shù)男甭蚀嬖谇覟闀r,,,所以,解得:,此時;綜上:直線的方程為或;(3)當直線的斜率不存在時,可知:,所以,所以,即;當直線的斜率存在且為時,設,,聯(lián)立可得:,所以,,即,所以;又由可得:,所以,故,綜上可知:為定值,且.【變式訓練1】已知、分別是橢圓的兩焦點,點是該橢圓上一動點,則_________.【答案】【解析】由橢圓知,焦點,,設,則,,,故,故答案為:【變式訓練2】已知橢圓:的右焦點為點的坐標為,為坐標原點,是等腰直角三角形.(1)求橢圓的方程;(2)經(jīng)過點作直線交橢圓于兩點,求面積的最大值;(3)是否存在直線交橢圓于兩點,使點為的垂心(垂心:三角形三邊高線的交點)?若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由.【答案】(1);(2);(3).【解析】(1)由是等腰直角三角形,可得,故橢圓方程為;
(2)設過點的直線的方程為,的橫坐標分別為,
將線的方程為代入橢圓方程,消元可得,∴,,
,
令,則
令,則(當且僅當時取等號)
又面積,∴△AOB面積的最大值為;
(3)假設存在直線交橢圓于兩點,且使點為的垂心,
設,
因為,所以.
于是設直線的方程為,代入橢圓方程,消元可得.
由,得,且,由題意應有,所以,
所以.
整理得.
解得或.
經(jīng)檢驗,當時,不存在,故舍去.
∴當時,所求直線存在,且直線l的方程【變式訓練3】已知點為橢圓的兩個焦點,其中左焦點,橢圓的長軸長是短軸長的2倍,為橢圓上一點。(1)求橢圓的標準方程;(2)若,且點在第一象限,求點的坐標;(3)若線段中點在軸上,求的值.【答案】(1);(2);(3)7【解析】(1),;(2)設因為(3)因為線段中點在軸上,所以軸,因為點在第一象限,所以設,代入橢圓方程,得,所以,因為,所以所以遷移應用1.已知斜率為的直線l與橢圓交于A,B兩點,線段AB中點M縱坐標為,點在橢圓上,若的平分線交線段AB于點N,則的值為()(A)(B)(C)(D)【答案】C【解析】由題意可設,聯(lián)立,設,即所以,此時化簡為所以直線PA,PB的傾斜角互補,其角平分線軸所以,把代入得故選C.2.設A,B分別是雙曲線的左右頂點,設過的直線PA,PB與雙曲線分別交于點M,N,直線MN交x軸于點Q,過Q的直線交雙曲線于S,T兩點,且,則的面積()(A)(B)(C)(D)【答案】A【解析】由題意可得雙曲線的左右頂點A(-1,0),B(1,0),則,聯(lián)立,代入可得,所以,同理可得,設Q(s,0),因為M,N,Q三點共線,所以,設過Q的直線方程為恒成立,由得代入韋達定理的,所以,故選A.【點評】本題考察雙曲線的方程和性質,直線方程和雙曲線方程聯(lián)立,求交點和運用韋達定理,考查直線恒過定點的求法,考查化簡運算能力,屬于難題.3.已知在拋物線上,如圖,直線和都通過拋物線的焦點,若,則的最小值是()A.2B.4C.6D.8【答案】B【解析】由題意得:設的直線方程:與拋物線相交于兩點,聯(lián)立方程得到:,故此韋達定理:;再設的直線方程:與拋物線相交于兩點,同理:4.設拋物線的焦點為,準線為,過F點的直線交拋物線于兩點,分別過作的垂線,垂足為.若,則三角形的面積為.【答案】【解析】由題意得:拋物線的經(jīng)典結論:及,聯(lián)立可以得到:,設,根據(jù)拋物線的性質,得到:,從而得到,5.已知雙曲線的左、右焦點為,漸近線方程為,作直線與圓相切于點T,交雙曲線的右支于點P,若,則()A.B.C.D.【答案】D【解析】:易知:,,,選D.6.已知為坐標原點,橢圓的方程為,若、為橢圓的兩個動點且,則的最小值是()27【答案】【解析】當直線,的斜率一條不存在,一條為零滿足,此時設直線斜率為,則直線斜率為,聯(lián)立,解得,代入求得點,則,不妨令,則原式,當時原式有最小值
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