上海市普通中學三校聯(lián)考2025屆數(shù)學高二上期末統(tǒng)考試題含解析

上海市普通中學三校聯(lián)考2025屆數(shù)學高二上期末統(tǒng)考試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知定義在R上的函數(shù)滿足，且有，則的解集為（）A B.C. D.2．已知兩條異面直線的方向向量分別是，，則這兩條異面直線所成的角滿足（）A. B.C. D.3．，則與分別為（）A.與 B.與C.與0 D.0與4．拋物線的焦點坐標是（）A.（0，－1） B.（－1，0）C. D.5．已知拋物線的焦點是雙曲線的一個焦點，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.6．若在直線上，則直線的一個方向向量為（）A. B.C. D.7．如下圖，面與面所成二面角的大小為，且A，B為其棱上兩點．直線AC，BD分別在這個二面角的兩個半平面中，且都垂直于AB，已知，，，則（）A. B.C. D.8．直線被圓所截得的弦長為（）A. B.C. D.9．雙曲線型自然通風塔外形是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，如圖所示，它的最小半徑為米，上口半徑為米，下口半徑為米，高為24米，則該雙曲線的離心率為（）A.2 B.C. D.10．某班進行了一次數(shù)學測試，全班學生的成績都落在區(qū)間內(nèi)，其成績的頻率分布直方圖如圖所示，若該班學生這次數(shù)學測試成績的中位數(shù)的估計值為，則的值為（）A. B.C. D.11．直線被橢圓截得的弦長是A. B.C. D.12．點，是橢圓的左焦點，是橢圓上任意一點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線被圓所截得的弦的長為_____14．已知圓柱軸截面是邊長為4的正方形，則圓柱的側(cè)面積為______________

.15．已知、是空間內(nèi)兩個單位向量，且，如果空間向量滿足，且，，則對于任意的實數(shù)、，的最小值為______16．若“，”是真命題，則實數(shù)m的取值范圍________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）2021年7月25日，在東京奧運會自行車公路賽中，奧地利數(shù)學女博士安娜·基秣崔天以3小時52分45秒的成績獲得冠軍，震驚了世界！廣大網(wǎng)友驚呼“學好數(shù)理化，走遍天下都不怕”．某市對中學生的體能測試成績與數(shù)學測試成績進行分析，并從中隨機抽取了200人進行抽樣分析，得到下表（單位：人）：體能一般體能優(yōu)秀合計數(shù)學一般5050100數(shù)學優(yōu)秀4060100合計90110200（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認為“體能優(yōu)秀”還是“體能一般”與數(shù)學成績有關？（結(jié)果精確到小數(shù)點后兩位）（2）①現(xiàn)從抽取的數(shù)學優(yōu)秀的人中，按“體能優(yōu)秀”與“體能一般”這兩類進行分層抽樣抽取10人，然后，再從這10人中隨機選出4人，求其中至少有2人是“體能優(yōu)秀”的概率；②將頻率視為概率，以樣本估計總體，從該市中學生中隨機抽取10人參加座談會，記其中“體能優(yōu)秀”的人數(shù)為X，求X的數(shù)學期望和方差參考公式：，其中參考數(shù)據(jù)：0.150.100.050.250.0102.0722.7063.8415.0246.63518．（12分）如圖所示，在三棱柱中，平面，，，，點，分別在棱和棱上，且，，點為棱的中點.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）如圖，已知等腰梯形，，為等腰直角三角形，，把沿折起（1）當時，求證：；（2）當平面平面時，求平面與平面所成二面角的平面角的正弦值20．（12分）在四棱錐中，平面，底面是邊長為2的菱形，分別為的中點.（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積.21．（12分）在①，；②，；③，.這三個條件中任選一個，補充在下面問題中.問題：已知數(shù)列的前n項和為，，___________.（1）求數(shù)列的通項公式（2）已知，求數(shù)列的前n項和.22．（10分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且.（1）求角C的大??；（2）若，求△ABC面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】構(gòu)造，應用導數(shù)及已知條件判斷的單調(diào)性，而題設不等式等價于即可得解.【詳解】設，則，∴在R上單調(diào)遞增.又，則.∵等價于，即，∴，即所求不等式的解集為.故選：A2、D【解析】利用向量夾角余弦公式直接求解【詳解】解：兩條異面直線的方向向量分別是，，這兩條異面直線所成的角滿足：，，故選：D3、C【解析】利用正弦函數(shù)和常數(shù)導數(shù)公式，結(jié)合代入法進行求解即可.【詳解】因為，所以，所以，，故選：C4、C【解析】根據(jù)拋物線標準方程，可得p的值，進而求出焦點坐標.【詳解】由拋物線可知其開口向下，，所以焦點坐標為，故選：C.5、B【解析】根據(jù)拋物線和寫出焦點坐標，利用題干中的坐標相等，解出，結(jié)合從而求出答案.【詳解】拋物線的焦點為，雙曲線的，，所以，所以雙曲線的右焦點為：，由題意，，兩邊平方解得，，則雙曲線的漸近線方程為：.故選：B.6、D【解析】由題意可得首先求出直線上的一個向量，即可得到它的一個方向向量，再利用平面向量共線（平行）的坐標表示即可得出答案【詳解】∵在直線上，∴直線的一個方向向量，又∵，∴是直線的一個方向向量故選：D7、B【解析】根據(jù)題意，作，且，則四邊形ABDE為平行四邊形，進一步判斷出該四邊形為矩形，然后確定出為二面角的平面角，進而通過余弦定理和勾股定理求得答案.【詳解】如圖，作，且，則四邊形ABDE為平行四邊形，所以.因為，所以，又，所以是該二面角的一個平面角，即，由余弦定理.因為，，所以，易得四邊形ABDE為矩形，則，而，所以平面ACE，則，于是.故選：B.8、A【解析】求得圓心坐標和半徑，結(jié)合點到直線的距離公式和圓的弦長公式，即可求解.【詳解】由圓的方程可知圓心為，半徑為，圓心到直線的距離，所以弦長為.故選：A.9、A【解析】以的中點О為坐標原點，建立平面直角坐標系，設雙曲線的方程為，設，，代入雙曲線的方程，求得，得到，進而求得雙曲線的離心率.【詳解】以的中點О為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，則，設雙曲線的方程為，則，可設，，又由，在雙曲線上，所以，解得，，即，所以該雙曲線的離心率為.故選：A.第II卷10、A【解析】根據(jù)已知條件可得出關于、的方程組，解出這兩個量的值，即可求得結(jié)果.【詳解】由題意有，得，又由，得，解得，，有故選：A.11、A【解析】直線y＝x+1代入，得出關于x的二次方程，求出交點坐標，即可求出弦長【詳解】將直線y＝x+1代入，可得，即5x2+8x﹣4＝0，∴x1＝﹣2，x2，∴y1＝﹣1，y2，∴直線y＝x+1被橢圓x2+4y2＝8截得的弦長為故選A【點睛】本題查直線與橢圓的位置關系，考查弦長的計算，屬于基礎題12、A【解析】由，當三點共線時，取得最值【詳解】設是橢圓的右焦點，則又因為，，所以，則故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】圓轉(zhuǎn)化為標準式方程，圓心到直線的距離為，圓的半徑為，因此所求弦長為考點：1．圓的方程；2．直線被圓截得的弦長的求法；14、【解析】由圓柱軸截面的性質(zhì)知：圓柱體的高為，底面半徑為，根據(jù)圓柱體的側(cè)面積公式，即可求其側(cè)面積.【詳解】由圓柱的軸截面是邊長為4的正方形，∴圓柱體的高為，底面半徑為，∴圓柱的側(cè)面積為.故答案為：.15、【解析】根據(jù)已知可設，，，根據(jù)已知條件求出、、的值，將向量用坐標加以表示，利用空間向量的模長公式可求得的最小值.【詳解】因為、是空間內(nèi)兩個單位向量，且，所以，，因為，則，不妨設，，設，則，，解得，則，因為，可得，則，所以，，當且僅當時，即當時，等號成立，因此，對于任意的實數(shù)、，的最小值為.故答案為：.16、【解析】由于“，”是真命題，則實數(shù)m的取值集合就是函數(shù)的函數(shù)值的集合，據(jù)此即可求出結(jié)果.【詳解】由于“，”是真命題，則實數(shù)m的取值集合就是函數(shù)的函數(shù)值的集合，即.故答案為：【點睛】本題主要考查了存在量詞命題的概念的理解，以及數(shù)學轉(zhuǎn)換思想，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）不能，理由見解析；（2）①，②，【解析】（1）運用公式求出，比較得出結(jié)論.（2）①先用分層抽樣得到“體能優(yōu)秀”與“體能一般”的人數(shù)，再利用公式計算至少有2人是“體能優(yōu)秀”的概率.②根據(jù)已知條件知此分布列為二項分布，故利用數(shù)學期望和方差的公式即可求出答案【小問1詳解】由表格的數(shù)據(jù)可得，，故不能在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認為“體能優(yōu)秀”還是“體能一般”與數(shù)學成績有關.【小問2詳解】①在數(shù)學優(yōu)秀的人群中，“體能優(yōu)秀”與“體能一般”的比例為“體能一般”的人數(shù)為，“體能優(yōu)秀”的人數(shù)為故再從這10人中隨機選出4人，其中至少有2人是“體能優(yōu)秀”的概率為.②由題意可得，隨機抽取一人“體能優(yōu)秀”的概率為，且故，18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）構(gòu)建空間直角坐標系，由已知確定相關點坐標，進而求的方向向量、面的法向量，并應用坐標計算空間向量的數(shù)量積，即可證結(jié)論.（2）求的方向向量，結(jié)合（1）中面的法向量，應用空間向量夾角的坐標表示求直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】以為原點，以，，為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖所示，可得：，，，，，，，.∴，，，設為面的法向量，則，令得，∴，即，∴平面；【小問2詳解】由（1）知：，為面的一個法向量，設與平面所成角為，則，∴直線與平面所成角的正弦值為.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）取的中點E，連，證明四邊形為平行四邊形，從而可得為等邊三角形，四邊形為菱形，從而可證，，即可得平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；（2）取的中點M，連接，以B為空間坐標原點，向量分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，利用向量法即可得出答案.【小問1詳解】解：取的中點E，連，∵，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴，∵，∴為等邊三角形，四邊形為菱形，∴，，∴∴，∵，，，平面，，∴平面，∵平面，∴；【小問2詳解】解：取的中點M，連接，由（1）知，，∵平面平面，，∴平面，以B為空間坐標原點，向量分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則，設平面的法向量為，由，，有，取，可得，設平面的法向量為，由，，有，取，有，有，故平面與平面所成二面角的正弦值為20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）取的中點，利用三角形中位線定理可證明BG//EF，由線線平行，可得線面平行；（2根據(jù)圖像可得，以為底面，證明為高，利用三棱錐的體積公式，可得答案;【小問1詳解】取的中點，因為為的中點，所以且，又因為為的中點，四邊形為菱形，所以且，所以且，故四邊形BFEG為平行四邊形，所以BG//EF，因為面面，所以面.【小問2詳解】因為底面是邊長為2的菱形，，則為正三角形，所以因為面，所以為三棱錐的高所以三棱錐的體積.21、（1）（2）【解析】（1）選①，利用化已知等式為，得是等差數(shù)列，公差，求出其通項公式后，再由求得通項公式，注意；選②，由可變形已知條件得是等差數(shù)列，從而求得通項公式；選③，已知式兩邊同除以，得出，以下同選①；（2）由錯位相減法求和【小問1詳解】選①，由得，，所以，即，所以是等差數(shù)列，公差，又，，，所以，，時，也適合