專(zhuān)題02勾股定理的證明的運(yùn)用（題型與解法）

專(zhuān)題02勾股定理的證明的運(yùn)用勾股定理現(xiàn)約有400種證明方法，是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一，也是用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題的定理之一，我們需要理解并掌握以下四種常見(jiàn)的證明方法，圖形雖然不同，但用到的證明方法都是“面積法”.（一）趙爽弦圖以、為直角邊，以為斜邊作四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于．把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀．∵，∴．∵，∴，∴是一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，它的面積等于．∵，．∴是一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，它的面積等于．∴．∴．（二）劉徽證明方法——青朱出入圖如圖劉徽證法證法如下：.化簡(jiǎn)得：.（三）畢達(dá)哥拉斯證明方法如圖1，將長(zhǎng)方形ABCD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到長(zhǎng)方形A’BC’D’.其中：AB=a，AD=b，BD=c.如圖：連接BD、BD’、DD’.在△DCB和△BA’D’中，∵AB=BA’，∠C=∠BA’D’=90°，BC=A’D’∴△ABD≌△C’D’B（SAS）∴BD=BD’，∠DBC=∠A’D’B∵∠A’BD+∠A’D’B=90°∴∠DBD’=90°即△DBD’為等腰直角三角形.由題意可知：即：化簡(jiǎn)得：畢達(dá)哥拉斯圖形還有其它幾種變形，如圖2，圖3所示.圖2圖3圖2證法如下：大正方形面積=四個(gè)直角三角形面積和+小正方形面積即：.化簡(jiǎn)得：.圖3是由圖2變化位置而來(lái)，證法與圖2一致.題型：勾股定理與面積問(wèn)題如圖所示，以QUOTE為直徑分別向外作半圓，若QUOTES1=S1=10，S3=8，則S2=【解析】∵∴又∵△ABC為直角三角形∴∴∴.故答案為2.如圖所示，以QUOTE為直徑分別向外作正方形，若QUOTES1=S1=26，S3=18，則S2=【解析】∵∴∴.故答案為8.如圖所示，以QUOTE為直徑分別向外分別作等邊三角形，若QUOTES1=S1=16，S3=10，則S2=【解析】利用結(jié)論：若等邊三角形的邊長(zhǎng)為a，則面積為推導(dǎo)過(guò)程如下：如圖10所示∵∴∴.故答案為6.如圖所示，以QUOTE為直徑分別向外分別作半圓，若AB=3，AC=4，BC=5，則S陰= .【解析】如圖，由題1可知：又因?yàn)樗?故答案為6.如圖，分別以直角三角形的三條邊為邊向外作正方形，然后分別以三個(gè)正方形的中心為圓心，正方形邊長(zhǎng)的一半為半徑作圓，記三個(gè)圓的面積分別為S1，S2，S3，則S1，S2，S3之間的關(guān)系是()A．S1＋S2＞S3 B．S1＋S2＝S3C．S1＋S2＜S3 D．無(wú)法確定【解析】設(shè)直角三角形的兩直角邊為a、b，斜邊為c，則則∴.故答案為B.中國(guó)古代數(shù)學(xué)家們對(duì)于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學(xué)史上具有獨(dú)特的貢獻(xiàn)和地位，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究中的繼承和發(fā)展.如圖14，用4個(gè)全等的直角三角形拼成如圖所示“弦圖”.Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AC=b，BC=a，請(qǐng)你利用這個(gè)圖形解決問(wèn)題：如果大正方形的面積是10，小正方形的面積是2，求(a+b)2的值.【解析】大正方形的面積等于四個(gè)直角三角形的面積的和加上中間小正方形的面積所以可得：在直角三角形ABC中，由勾股定理得：∴，故答案為14.已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，則Rt△ABC的面積為【解析】在直角三角形ABC中，由勾股定理得：，因?yàn)閍+b=14所以，即.所以Rt△ABC的面積為.故答案為24cm2.如圖是一株美麗的勾股樹(shù)，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別為2，5，1，2．則最大的正方形E的面積是（）A.9B.10C.11D.12【解析】根據(jù)正方形的面積公式，結(jié)合勾股定理，能夠?qū)С稣叫蜛，B，C，D的面積和即為最大正方形的面積．如圖，根據(jù)勾股定理的幾何意義，可得A、B的面積和為S1，C、D的面積和為S2，S1+S2=S3，于是S3=2+5+1+2=10.故選B．如圖17所示，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)E，F(xiàn)是中線AD上的兩點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是()

圖17A.6

B.12

C.24

D.30

【解析】由題意知，BD=CD=3，△ABD≌△ACD，AD⊥BC.在Rt△ABD中，由勾股定理可得AD=4.另△CEF和△BEF是同底等高的三角形，故兩三角形面積相等，即S△BEF=S△CEF.所以，圖中的陰影部分面積等于△ABD的面積，即S陰=3×4÷2=6.故選A.勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小聰以靈感. 圖18 圖19他驚喜的發(fā)現(xiàn)：當(dāng)兩個(gè)全等的直角三角形如圖18或圖19擺放時(shí)，都可以用“面積法”來(lái)證明.下面是小聰利用圖1證明勾股定理的過(guò)程：

將兩個(gè)全等的直角三角形按圖18所示擺放，其中∠DAB＝90°.求證：a2＋b2＝c2.證明:連接DB，過(guò)點(diǎn)D作BC邊上的高DF，則DF＝EC＝b－a.

∵S四邊形ADCB＝S△ACD＋S△ABC＝QUOTEb2＋QUOTEab，

又∵S四邊形ADCB＝S△ADB＋S△DCB＝QUOTEc2＋QUOTEa(b－a)，

∴QUOTEb2＋QUOTEab＝QUOTEc2＋QUOTEa(b－a).

∴a2＋b2＝c2.

請(qǐng)參照上述證法，利用圖19完成證明.

將兩個(gè)全等的直角三角形按圖19所示擺放，其中∠DAB＝90°.求證：a2＋b2＝c2.【解析】圖20如圖20，連接BD，過(guò)點(diǎn)B作DE邊上的高BF，則BF＝b－a，

∵S五邊形ACBED＝S梯形ACBE＋S△AED＝QUOTEb(a＋b)＋QUOTEab，

又∵S五邊形ACBED＝S△ACB＋S△ABD＋S△BED＝QUOTEab＋QUOTEc2＋QUOTEa(b－a)，

∴QUOTEb(a＋b)＋QUOTEab＝QUOTEab＋QUOTEc2＋QUOTEa(b－a)，

∴a2＋b2＝c2.在直線l上依次擺放著七個(gè)正方形（如圖所示）.已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是1、2、3，正放置的四個(gè)正方形的面積依次是S1、S2、S3、S4，則S1+2S2+2S3+S4=________.【解析】由題意得相鄰的兩個(gè)直角三角形全等，根據(jù)勾股定理的幾何意義，可知：S1+S2=1同理，S2+S3=2，S4+S3=3所以S1+S2+S2+S3+S4+S3=1+2+3=6.即S1+2S2+2S3+S4=6.故答案為6．如圖是小明為學(xué)校舉辦的數(shù)學(xué)文化節(jié)設(shè)計(jì)的標(biāo)志，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各邊為邊作三個(gè)正方形，點(diǎn)G落在HI上，若AC+BC＝6，空白部分面積為10.5，則陰影部分面積為．【答案】17.【解析】由題意可知：所以進(jìn)而得到：∵四邊形ABGF是正方形，∴∠FAB＝∠AFG＝∠ACB＝90°，∴∠FAC+∠BAC＝∠FAC+∠ABC＝90°，∴∠FAC＝∠ABC，∴△FAM≌△ABN∴S△FAM＝S△ABN，∴S△ABC＝S四邊形FNCM，∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC+BC＝6∴AC2+BC2＝AB2，（AC+BC）2＝AC2+BC2+2AC?BC＝36，∴AB2+2AC?BC＝36，∵AB2﹣2S△ABC＝10.5，∴AB2﹣AC?BC＝10.5，∴3AB2＝57，∴2AB2＝38，∴故答案為：17．1．下面圖形能夠驗(yàn)證勾股定理的有（

）個(gè)A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：第一個(gè)圖形：兩個(gè)小正方形的面積分別為4和9，大正方形的面積為13，可得，可得，可以驗(yàn)證勾股定理．第二個(gè)圖形：梯形的面積，化簡(jiǎn)得；可以證明勾股定理．第三個(gè)圖形：中間小正方形的面積；化簡(jiǎn)得，可以證明勾股定理．第四個(gè)圖形：由圖形可知割補(bǔ)前后的兩個(gè)小直角三角形全等，則正方形的面積兩個(gè)直角三角形的面積的和，即，化簡(jiǎn)得；可以證明勾股定理，能夠驗(yàn)證勾股定理的有4個(gè)．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明、直角三角形面積的計(jì)算；熟練掌握正方形的性質(zhì)，運(yùn)用面積法得出等式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．在證明勾股定理時(shí)，甲、乙兩位同學(xué)給出如圖所示兩種方案，則方案正確的是（

）A．甲對(duì) B．乙對(duì) C．兩人都對(duì) D．兩人都不對(duì)【解答】解：甲得出的結(jié)果為：，即，符合題意；乙得出的結(jié)果為：，不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】題目主要考查根據(jù)圖形列代數(shù)式及勾股定理與完全平方公式的驗(yàn)證，理解題意，結(jié)合圖形求解是解題關(guān)鍵．3．我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，它被記載于我國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中．漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱(chēng)之為“趙爽弦圖”．現(xiàn)在勾股定理的證明已經(jīng)有400多種方法，下面的兩個(gè)圖形就是驗(yàn)證勾股定理的兩種方法，在驗(yàn)證著名的勾股定理過(guò)程，這種根據(jù)圖形直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡(jiǎn)稱(chēng)為“無(wú)字證明”．在驗(yàn)證過(guò)程中它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（

）A．函數(shù)思想 B．?dāng)?shù)形結(jié)合思想C．分類(lèi)思想 D．方程思想【解答】解：這種根據(jù)圖形直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡(jiǎn)稱(chēng)為“無(wú)字證明”，它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合思想，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明，掌握根據(jù)圖形直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想為數(shù)形結(jié)合思想．4．下面圖形能夠驗(yàn)證勾股定理的有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【解答】解：第一個(gè)圖：由，可得，故該項(xiàng)的圖形能夠驗(yàn)證勾股定理；第二個(gè)圖：由，可得，故該項(xiàng)的圖形能夠驗(yàn)證勾股定理；第三個(gè)圖：由，可得，故該項(xiàng)的圖形能夠驗(yàn)證勾股定理；第四個(gè)圖：由，可得，故該項(xiàng)的圖形能夠驗(yàn)證勾股定理；故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了圖形與勾股定理的推導(dǎo)，熟記勾股定理的計(jì)算公式及各種圖形面積的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．5．我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，根據(jù)《周髀算經(jīng)》的記載，勾股定理的公式與證明是在商代由商高發(fā)現(xiàn)的，故又稱(chēng)之為“商高定理”．三國(guó)時(shí)代的蔣銘祖對(duì)《蔣銘祖算經(jīng)》勾股定理作出了詳細(xì)注釋?zhuān)⒔o出了另外一種證明．下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）A．B．C． D．【解答】解：A、大正方形的面積為：；也可看作是4個(gè)直角三角形和一個(gè)小正方形組成，則其面積為：，∴，故A選項(xiàng)能證明勾股定理；B、大正方形的面積為：；也可看作是4個(gè)直角三角形和一個(gè)小正方形組成，則其面積為：，∴，∴，故B選項(xiàng)能證明勾股定理；C、梯形的面積為：；也可看作是2個(gè)直角三角形和一個(gè)等腰直角三角形組成，則其面積為：，∴，∴，故C選項(xiàng)能證明勾股定理；D、大正方形的面積為：；也可看作是2個(gè)矩形和2個(gè)小正方形組成，則其面積為：，∴，∴D選項(xiàng)不能證明勾股定理．故選：D．6．如圖，在四邊形中，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，，，．下列結(jié)論：①；②；③四邊形的面積是；④；⑤．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵，，∴，∴，又∵，，∴，故①正確；∴，∵，∴，則，∴，故②正確；∵，，，，∴四邊形的面積是，故③正確；∵，∴，∵，∴，即，∴，故④錯(cuò)誤，⑤正確，綜上，正確的結(jié)論有4個(gè)，故選：C．7．下面是一些中外數(shù)學(xué)家與他們?cè)跀?shù)學(xué)發(fā)展史上所作出的偉大成就．a(chǎn)．笛卡爾；b．趙爽；c．楊輝；d．萊布尼茨；①用“勾股圓方圖”證明勾股定理；②楊輝三角；③建立微積分理論；④創(chuàng)建坐標(biāo)系，建立坐標(biāo)思想．其中匹配正確的一項(xiàng)是（

）A．a(chǎn)③；b①；c②；d④ B．a(chǎn)④；b①；c②；d③C．a(chǎn)④；b②；c①；d③ D．a(chǎn)③；b④；c②；d①【解答】解：根據(jù)笛卡爾創(chuàng)建坐標(biāo)系，建立坐標(biāo)思想；趙爽用“勾股圓方圖”證明勾股定理；楊輝發(fā)現(xiàn)了楊輝三角；萊布尼茨建立微積分理論；即a④；b①；c②；d③，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)學(xué)發(fā)展史上的偉大成就，解題的關(guān)鍵是掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)歷史．8．我國(guó)清代數(shù)學(xué)家李銳借助三個(gè)正方形用出入相補(bǔ)證明了勾股定理，如圖，設(shè)直角三角形的邊長(zhǎng)分別是，斜邊的長(zhǎng)為c，作三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a，b，c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使A，C，E三點(diǎn)在一條直線上.若，四邊形與面積之和為13.5，則正方形的面積為_(kāi)______________.【解答】解：如圖，作于點(diǎn)，則，四邊形、四邊形、四邊形都是正方形，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，①，，②，由①②得，，，故答案為：36．9．小明將4個(gè)全等的直角三角形（其中兩直角邊長(zhǎng)分別是，）拼成如圖所示的五邊形，則五邊形的面積表示為_(kāi)__________．【解答】如圖，根據(jù)題意得，，所以四邊形是正方形，且，所以五邊形的面積為：，故答案為：．10．素有“千古第一定理”之稱(chēng)的勾股定理，它是人類(lèi)第一次將數(shù)與形結(jié)合在一起的偉大發(fā)現(xiàn)，也是人類(lèi)最早發(fā)現(xiàn)并用于生產(chǎn)、觀天、測(cè)地的第一個(gè)定理，它導(dǎo)致了無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，它使數(shù)學(xué)由測(cè)量計(jì)算轉(zhuǎn)變?yōu)橥评碚撟C．在中國(guó)，也被稱(chēng)為“商高定理”，西方則稱(chēng)其為“畢達(dá)哥拉斯定理”，幾千年來(lái)，太多的溢美之詞給了這一定理，由于它迷人的魅力，人們冥思苦索給出了數(shù)百種證明方法，成為了證明方法最多的定理，其中，利用等面積法證明勾股定理最為常見(jiàn)，現(xiàn)有四名網(wǎng)友為證明勾股定理而提供的圖形，其中提供的圖形（可以作輔助線）能證明勾股定理的網(wǎng)友是________（填寫(xiě)數(shù)字序號(hào)即可）．【解答】解：①由圖形可知，，整理得，故①符合題意；②由圖形可知，，整理得，故②符合題意；③由下圖知，，整理得，故③符合題意；④由下圖知，，即，∴，∴，由的面積公式得，整理得，故④符合題意；故答案為：①②③④．11．綜合與實(shí)踐：小明制作了2張如圖①的紙片，其中四邊形、均為正方形，他把其中的一張紙片沿對(duì)稱(chēng)軸把它剪開(kāi)，然后把對(duì)稱(chēng)軸一側(cè)的部分，沿翻折，再繞著的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，這樣就形成了如圖②的圖形．(1)在圖②中，請(qǐng)先判斷與的數(shù)量關(guān)系，再說(shuō)明理由．(2)圖①圖形的面積可以表示為_(kāi)_____．圖②圖形的面積可以表示為_(kāi)_____．從而得數(shù)學(xué)等式：______，化簡(jiǎn)證得定理______．(3)在圖②中，，，連接，求圖②中的長(zhǎng)．【解答】（1）解：．理由：如圖①中，四邊形、均為正方形，，，如圖②中，繞著的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，，，，；（2）由①得：，由②得：，，．故答案為：；；；；（3）過(guò)點(diǎn)作于，，，，由正方形可得：，，，，，，，，，，．12．計(jì)算圖1的面積，把圖1看作一個(gè)大正方形，它的面積是，如果把圖1看作是由2個(gè)長(zhǎng)方形和2個(gè)小正方形組成的，它的面積為，由此得到：．(1)如圖2，正方形是由四個(gè)邊長(zhǎng)分別是a，b的長(zhǎng)方形和中間一個(gè)小正方形組成的，用不同的方法對(duì)圖2的面積進(jìn)行計(jì)算，你發(fā)現(xiàn)的等式是______（用a，b表示）(2)已知：兩數(shù)x，y滿足，，求的值．(3)如圖3，正方形的邊長(zhǎng)是c，它由四個(gè)直角邊長(zhǎng)分別是a，b的直角三角形和中間一個(gè)小正方形組成的，對(duì)圖3的面積進(jìn)行計(jì)算，你發(fā)現(xiàn)的等式是______．（用a，b，c表示，結(jié)果化到最簡(jiǎn)）【解答】（1）解：如圖2，正方形的面積，正方形的面積，；（2），且，，，即，的值為．（3）如圖3，正方形的面積，正方形的面積，，即．13．勾股定理是人類(lèi)早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，是用代數(shù)思想解決幾何問(wèn)題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一，它不但因證明方法層出不窮吸引著人們，更因?yàn)閼?yīng)用廣泛而使人入迷．(1)證明勾股定理?yè)?jù)傳當(dāng)年畢達(dá)哥拉斯借助如圖所示的兩個(gè)圖驗(yàn)證了勾股定理，請(qǐng)你說(shuō)說(shuō)其中的道理．(2)應(yīng)用勾股定理①應(yīng)用場(chǎng)景1——在數(shù)軸上畫(huà)出表示無(wú)理數(shù)的點(diǎn)．如圖1，在數(shù)軸上找出表示4的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線垂直于，在上取點(diǎn)，使，以點(diǎn)為圓心，為半徑作弧，則弧與數(shù)軸的交點(diǎn)表示的數(shù)是______．②應(yīng)用場(chǎng)景2——解決實(shí)際問(wèn)題．如圖2，鄭州某公園有一秋千，秋千靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度，將它往前推至處時(shí)，水平距離，踏板離地的垂直高度，它的繩索始終拉直，求繩索的長(zhǎng)．【解答】（1）解：由左圖可知：，即，由右圖可知：，即．．．即在直角三角形中斜邊的平方等于兩直角邊的平方和．（2）解：①在中，,,點(diǎn)表示的數(shù)是，故答案為：；②，，．設(shè)秋千的繩索長(zhǎng)為，根據(jù)題意可得，利用勾股定理可得．解得：．答：繩索的長(zhǎng)為．14．勾股定理是人類(lèi)最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國(guó)家稱(chēng)之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國(guó)古書(shū)《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱(chēng)之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)①勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請(qǐng)從下列幾種常見(jiàn)的證明方法中任選一種來(lái)證明該定理（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）；②如圖1，大正方形的面積是17，小正方形的面積是5，如果將如圖1中的四個(gè)全等的直角三角形按如圖2的形式擺放，求圖2中最大的正方形的面積．(2)如圖4、5、6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足的有______個(gè)；(3)如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個(gè)月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為、，直角三角形面積為，請(qǐng)判斷、、的關(guān)系______．【解答】（1）①證明：在圖1中，大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．即，化簡(jiǎn)得．在圖2中，大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．即，化簡(jiǎn)得．在圖3中，梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積的和．即，化簡(jiǎn)得．②在圖1中：，，圖2中大正方形的面積為：，∵，，∴，，∴，∴圖2中大正方形的面積為29．（2）根據(jù)題意得：，如圖4：即有：，，，∴；如圖5：，，，∵，∴；如圖6：下面推導(dǎo)正三角形的面積公式：正的邊長(zhǎng)為u，過(guò)頂點(diǎn)x作，V為垂足，如圖，在正中，有，，∵，∴，，∴在中，有，∴正的面積為：，∴，，∵∴；∴三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足的有3個(gè)故答案為：3；（3）關(guān)系：，理由如下：以a為直徑的半圓面積為：，以b為直徑的半圓面積為：，以c為直徑的半圓面積為：，三角形的面積為：，∴，即：，結(jié)合（1）的結(jié)論：∴．15．（1）用如圖所示的兩個(gè)大小完全相同的長(zhǎng)方形和一個(gè)正方形拼成了一個(gè)世界數(shù)學(xué)年會(huì)的會(huì)徽?qǐng)D案．①利用圖②證明：②若拼成的大正方形面為169，小正方形的面積為49，求值．（2）若利用圖①拼成如圖③圖形，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接．在（1）中②的條件下，則___________．【解答】（1）①證明：大正方形面積表示為，又可表示為，，，；②解：大正方形面為169，，小正方形的面積為49，，大正方形面積，，，，的值為289；（2）如圖③，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，設(shè)交于點(diǎn)，大正方形面為169，，（負(fù)值舍去），小正方形的面積為49，，（負(fù)值舍去），，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．故答案為：．16．我們運(yùn)用圖中大正方形的面積可表示為，也可表示為，即，由此推導(dǎo)出一個(gè)重要的結(jié)論，，這個(gè)重要的結(jié)論就是著名的“勾股定理”．這種根據(jù)圖形可以極簡(jiǎn)單地直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡(jiǎn)稱(chēng)“無(wú)字證明”．(1)請(qǐng)你用圖（II）的面積表達(dá)式驗(yàn)證勾股定理（其中四個(gè)直角三角形的較大的直角邊長(zhǎng)都為a，較小的直角邊長(zhǎng)都為b，斜邊長(zhǎng)都為c）(2)請(qǐng)你用圖（III）提供的圖形組合成一個(gè)新的圖形，使組合成的圖形的面積表達(dá)式能夠驗(yàn)證．畫(huà)出圖形并做適當(dāng)標(biāo)注．(3)請(qǐng)你自己設(shè)計(jì)一個(gè)組合圖形，使它的面積能驗(yàn)證：，畫(huà)出圖形并做適當(dāng)標(biāo)注．【解答】（1）解：大正方形的面積為：，中間空白部分正方形面積為：；四個(gè)陰影部分直角三角形面積和為：；由圖形關(guān)系可知：大正方形面積＝空白正方形面積+四直角三角形面積，即有：；（2）解∶如圖1所示：大正方形邊長(zhǎng)為，所以面積為：，它的面積也等于兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為x，y和兩個(gè)長(zhǎng)為x寬為y的矩形面積之和，即所以有：成立；（3）解∶如圖2所示：大矩形的長(zhǎng)、寬分別為，則其面積為：，從圖形關(guān)系上可得大矩形為一個(gè)邊長(zhǎng)為n的正方形以及m個(gè)邊長(zhǎng)為y的正方形和三個(gè)小矩形構(gòu)成的則其面積又可表示為：，則有：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的證明，注意熟練掌握通過(guò)不同的方法計(jì)算同一個(gè)圖形的面積來(lái)證明一些公式的方法．17．綜合與實(shí)踐．勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力，千百年來(lái)，人們對(duì)它的證明頗感興趣，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者．(1)我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅如圖1所示的用4個(gè)全等的直角三角形拼成的“弦圖”，后人稱(chēng)之為“趙爽弦圖”．在中，，若，，，請(qǐng)你利用這個(gè)圖形說(shuō)明．(2)業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者向常春在年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的證法：把兩個(gè)全等的和按如圖2所示的方式放置，，，，．請(qǐng)你利用這個(gè)圖形說(shuō)明．(提示：連接，)【解答】（1）∵大正方形面積為，直角三角形面積為，小正方形面積為，∴，即；（2）連接，，，，，，，，∵四邊形的面積，四邊形的面積，的面積四邊形的面積四邊形的面積，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明，掌握等面積法證明勾股定理是解題的關(guān)鍵．18．用四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖①所示的大正方形，中間也是一個(gè)正方形，它是美麗的弦圖，其中四個(gè)直角三角形的直角邊長(zhǎng)分別為，斜邊長(zhǎng)為．(1)結(jié)合圖①，求證：；(2)如圖②，將這四個(gè)全等的直角三角形無(wú)縫隙無(wú)重疊地拼接在一起，得到圖形．若該圖形的周長(zhǎng)為48，．求該圖形的面積．【解答】（1）證明：由題意知，，，即，；（2）解：∵，設(shè)，則，在中，由勾股定理得：，即，解得：，即在中，，∴該圖形面積為．【點(diǎn)睛】本題考查幾何法證明勾股定理及不規(guī)則圖形面積求解，數(shù)形結(jié)合，將圖中各個(gè)線段長(zhǎng)度及面積關(guān)系搞清楚是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．19．我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家趙爽，早在公元3世紀(jì)，就把一個(gè)長(zhǎng)方形分成四個(gè)全等的直角三角形，用四個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)關(guān)的正方形（如圖1），這個(gè)長(zhǎng)方形稱(chēng)為趙爽弦圖，驗(yàn)證了一個(gè)非常重要的結(jié)論：在直角三角形中兩直角邊a、b與斜邊c滿足關(guān)系式，稱(chēng)為勾股定理．愛(ài)動(dòng)腦筋的小明把這四個(gè)全等的直角三角形拼成了另一個(gè)大的正方形（如圖2），也能驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，請(qǐng)你幫助小明完成驗(yàn)證的過(guò)程．【解答】證明：大正方形面積為：整理得∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了運(yùn)用幾何圖形來(lái)證明勾股定理，矩形和正方形的面積，三角形的面積，鍛煉了同學(xué)們的數(shù)形結(jié)合的思想方法．20．【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第117頁(yè)的部分內(nèi)容．把兩個(gè)全等的直角三角形拼成如圖所示的形狀，使點(diǎn)、、在同一條直線上，利用此圖的面積表示式證明勾股定理．(1)請(qǐng)結(jié)合圖，寫(xiě)出完整的證明過(guò)程；(2)如圖，在等腰直角三角形中，，，是射線上一點(diǎn)，以為直角邊在邊的右側(cè)作，使，．過(guò)點(diǎn)，作于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則___________．【解答】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴=，∴．（2）如圖②，過(guò)點(diǎn)A作于H，∵是等腰直角三角形，，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，而，∴，，∴，∴BD=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．21．勾股定理是解決直角三角形很重要的數(shù)學(xué)定理．這個(gè)定理的證明的方法很多，也能解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題．請(qǐng)按要求作答：(1)用語(yǔ)言敘述勾股定理；(2)選擇圖1、圖2、圖3中一個(gè)圖形來(lái)驗(yàn)證勾股定理；(3)利用勾股定理來(lái)解決下列問(wèn)題：如圖4，一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為8，寬為3，高為5．在長(zhǎng)方體的底面上一點(diǎn)A處有一只螞蟻，它想吃長(zhǎng)方體上A與點(diǎn)相對(duì)的B點(diǎn)處的食物，則螞蟻需要沿長(zhǎng)方體表面爬行的最短路程是多少?（畫(huà)出圖形，并說(shuō)明理由）【解答】（1）解：勾股定理：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．（2）解：若選圖1，則由圖形可知：，整理得：；選擇圖2，則由圖形可知：．整理，得；若選圖3，則由圖形可知：，整理得：．（3）解：把長(zhǎng)方體表面展開(kāi)，轉(zhuǎn)化為平面圖形，當(dāng)長(zhǎng)、寬、高互不相等時(shí)，要分三種情況，根據(jù)勾股定理分別求出．當(dāng)展開(kāi)圖形為①：當(dāng)展開(kāi)圖為②：當(dāng)展開(kāi)圖為③：①②③∵，∴螞蟻需要沿長(zhǎng)方體表面爬行的最短路程是．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明與應(yīng)用．解答該題時(shí)，利用“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想是解答關(guān)鍵．22．【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第117頁(yè)的部分內(nèi)容．(1)請(qǐng)結(jié)合圖①，寫(xiě)出完整的證明過(guò)程；(2)如圖②，在等腰直角三角形中，，，P是射線BC上一點(diǎn)，以為直角邊在邊的右側(cè)作，使，．過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，當(dāng)時(shí)，則___________．【解答】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴．（2）解：如圖②，過(guò)點(diǎn)作于H，∵是等腰直角三角形，，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的證明以及應(yīng)用，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握勾股定理的證明方法，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．綜合與實(shí)踐美麗的弦圖中蘊(yùn)含著四個(gè)全等的直角三角形．(1)如圖1，弦圖中包含了一大一小兩個(gè)正方形，已知每個(gè)直角三角形較長(zhǎng)的直角邊為a，較短的直角邊為b，斜邊長(zhǎng)為c，結(jié)合圖1，試驗(yàn)證勾股定理；(2)如圖2，將這四個(gè)直角三角形緊密地拼接，形成飛鏢狀，已知外圍輪廓（實(shí)線）的周長(zhǎng)為24，，求該飛鏢狀圖案的面積；(3)如圖3，將八個(gè)全等的直角三角形緊密地拼接，記圖中正方形，正方形，正方形的面積分別為，若，求的值．【解答】（1），且，即，則．（2），設(shè)，依題意有，解得，．故該飛鏢狀圖案的面積是24．（3）將四邊形的面積設(shè)為x，將其余八個(gè)全等的三角形面積一個(gè)設(shè)為y，∵正方形，正方形，正方形的面積分別為，，由圖得出，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明，本題是用數(shù)形結(jié)合來(lái)證明勾股定理，鍛煉了同學(xué)們的數(shù)形結(jié)合的思想方法．（3）考查了圖形面積關(guān)系，根據(jù)已知得出用x，y表示出，再利用求出是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．24．在學(xué)習(xí)勾股定理時(shí)，我們學(xué)會(huì)運(yùn)用圖(I)驗(yàn)證它的正確性：圖中大正方形的面積可表示為：，也可表示為：，即由此推出勾股定理，這種根據(jù)圖形可以極簡(jiǎn)單地直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡(jiǎn)稱(chēng)“無(wú)字證明”．(1)請(qǐng)你用圖(Ⅱ)(2002年國(guó)際數(shù)字家大會(huì)會(huì)標(biāo))的面積表達(dá)式驗(yàn)證勾股定理(其中四個(gè)直角三角形全等)；(2)請(qǐng)你用(Ⅲ)提供的圖形進(jìn)行組合，用組合圖形的面積表達(dá)式驗(yàn)證【解答】（1）解：由圖可得：大正方形的面積為：，中間小正方形面積為：，四個(gè)直角三角形面積和為：，由圖形關(guān)系可知：大正方形面積=小正方形面積+四直角三角形面積，則有：，即：；（2）如圖示：大正方形邊長(zhǎng)為所以面積為：，因?yàn)樗拿娣e也等于兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為和兩個(gè)長(zhǎng)為寬為的矩形面積之和，即，所以有：成立．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明，掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．25．綜合與實(shí)踐【背景介紹】勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力．如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個(gè)全等的直角三角形拼成，用它可以證明勾股定理，思路是大正方形的面積有兩種求法，一種是等于，另一種是等于四個(gè)直角三角形與一個(gè)小正方形的面積之和，即，從而得到等式，化簡(jiǎn)便得結(jié)論．這里用兩種求法來(lái)表示同一個(gè)量從而得到等式或方程的方法，我們稱(chēng)之為“雙求法”．【方法運(yùn)用】千百年來(lái)，人們對(duì)勾股定理的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者．向常春在2010年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的證法：把兩個(gè)全等的直角三角形和如圖2放置，其三邊長(zhǎng)分別為，，，，顯然．(1)請(qǐng)用，，分別表示出四邊形，梯形，的面積，再探究這三個(gè)圖形面積之間的關(guān)系，證明勾股定理．(2)【方法遷移】請(qǐng)利用“雙求法”解決下面的問(wèn)題：如圖3，小正方形邊長(zhǎng)為1，連接小正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，可得，則邊上的高為_(kāi)_____．(3)如圖4，在中，是邊上的高，，，，設(shè)，求的值．【解答】（1）證明：∵，，，∴∴∴（2），，，即AB邊上的高是（3）解：在中，由勾股定理得∵，∴在中，由勾股定理得∴，∴【點(diǎn)睛】此題主要考查了梯形，證明勾股定理，勾股定理的應(yīng)用，證明勾股定理常用的方法是利用面積證明，是解本題的關(guān)鍵．構(gòu)造出直角三角形DEF是解本題的難點(diǎn)．26．勾股定理是人類(lèi)最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國(guó)家稱(chēng)之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國(guó)古書(shū)《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅弦圖”（如圖1），后人稱(chēng)之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)①請(qǐng)敘述勾股定理．②勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了多種方法，請(qǐng)從下列幾種常見(jiàn)的證明方法中任選一種來(lái)證明該定理，圖1與圖2都是由四個(gè)全等的直角三角形構(gòu)成，圖3是由兩個(gè)全等的直角三角形構(gòu)成（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）(2)如圖4，以直角三角形的三邊為直徑向外部作半圓，請(qǐng)寫(xiě)出、和的數(shù)量關(guān)系：___________．【解答】（1）解：①勾股定理內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；②如選擇圖1，四個(gè)相同的直角三角形的面積和再加上中間小四邊形的面積等于大正方形的面積，即化簡(jiǎn)得：，如選擇圖2，大正方形的面積等于四個(gè)相同的直角三角形的面積和再加上中間四邊形的面積，即，化簡(jiǎn)得：；如選擇圖3，則梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積和，即，化簡(jiǎn)得：；（2）解：如圖：則，，，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明，解答的關(guān)鍵是理解勾股定理：直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．27．2000多年來(lái)，人們對(duì)勾股定理的證明頻感興趣，不但因?yàn)檫@個(gè)定理重要、基本還因?yàn)檫@個(gè)定理貼近人們的生活實(shí)際所以很多人都探討、研究它的證明，新的證法不斷出現(xiàn)，如圖2是將圖1中的直角三角形通過(guò)旋轉(zhuǎn)、平移得到的正方形．(1)請(qǐng)你利用圖2證明勾股定理；(2)如圖3，以為直徑畫(huà)圓O，延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，判斷直線與⊙的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)若，則圖3中陰影部分的面積為_(kāi)___________（用含a的式子表示）【解答】（1）證明：∵，，，，∴，即；（2）與⊙相切，理由為：過(guò)O點(diǎn)作于點(diǎn)G，則，∵，∴∴與⊙相切；（3）如圖，設(shè)交點(diǎn)為H，L，，在中，∴，∴【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的推導(dǎo)，直線和圓的位置關(guān)系以及利用扇形和直角三角形求陰影部分的面積，作輔助線是解題的關(guān)鍵．28．閱讀材料，回答問(wèn)題：(1)中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》（如圖）有著這樣的記載：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五．”這句話的意思是：“如果直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為和，那么斜邊的長(zhǎng)為．”上述記載表明了：在中，如果，，，，那么，，，三者之間的數(shù)量關(guān)系是_____．(2)對(duì)于這個(gè)數(shù)量關(guān)系，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽根據(jù)“趙爽弦圖”（如圖，它是由八個(gè)全等的直角三角形圍成的一個(gè)正方形），利用面積法進(jìn)行了證明．參考趙爽的思路，將下面的證明過(guò)程補(bǔ)充完整：證明：，，_____，且_____=_____，，整理得，_____．(3)如圖，把矩形折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，如果，，求的長(zhǎng)．【解答】（1）在中，，，，，由勾股定理得，，故答案為：；（2），，，且，整理得，，，故答案為：；；；；（3）設(shè)，則，由折疊的性質(zhì)可知，，在中，，則，解得，，則的長(zhǎng)為3．【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形和矩形的性質(zhì)、勾股定理、翻折變換的性質(zhì)，正確理解勾股定理、靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵29．背景介紹：勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力，千百年來(lái)，人們對(duì)它的證明精彩粉呈，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者，向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的證法．小試牛刀：把兩個(gè)全等的直角三角形如圖1放置，其三邊長(zhǎng)分別為a，b，