第04講圓心角（5類題型）（原卷版）

第04講圓心角（5類題型）課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.圓心角的概念；2.弧、弦、圓心角的關(guān)系；3.圓心角的應(yīng)用；1.掌握?qǐng)A心角的概念；2.理解弧、弦、圓心角的關(guān)系；3.掌握?qǐng)A心角的應(yīng)用；知識(shí)點(diǎn)01：圓心角相關(guān)概念圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)。與弧、弦、弦心距的關(guān)系在同圓或等圓中，若兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦、兩條弦的弦心距中有一組量相等，則對(duì)應(yīng)的其余各組量也相等。理解：(定義）(1)等弧對(duì)等圓心角(2)把頂點(diǎn)在圓心的周角等分成360份時(shí)，每一份的圓心角是1°的角．(3)因?yàn)樵谕瑘A中相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所以整個(gè)圓也被等分成360份，這時(shí)，把每一份這樣得到的弧叫做1°的?。?4)圓心角的度數(shù)和它們對(duì)的弧的度數(shù)相等．推論：在同圓或等圓中,如果(1)兩個(gè)圓心角,(2)兩條弧,(3)兩條弦(4)兩條弦上的弦心距中,有一組量相等,那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等性質(zhì)：①頂點(diǎn)是圓心；②兩條邊都與圓周相交。③圓心角性質(zhì)：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距也相等。在同圓或等圓中，圓心角、圓心角所對(duì)的弦、圓心角所對(duì)的弧和對(duì)應(yīng)弦的弦心距，四對(duì)量中只要有一對(duì)相等，其他三對(duì)就一定相等。

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④一條弧的度數(shù)等于它所對(duì)的圓心角的度數(shù)。

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⑤半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑【即學(xué)即練1】1．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知弦AB把圓周分成兩部分，則弦AB所對(duì)圓心角的度數(shù)為（

）A． B． C．或 D．或【即學(xué)即練2】2．（2022秋·浙江金華·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，是的直徑，弦垂直平分，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．題型01圓心角的概念辨析1．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）下圖中是圓心角的是（

）A． B． C． D．2．（2021·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）弧度是表示角度大小的一種單位，圓心角所對(duì)的弧長和半徑相等時(shí)，這個(gè)角就是1弧度角，記作．已知，則與的大小關(guān)系是．3．（2023春·山東淄博·六年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，圓心角．(1)判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)若，求的度數(shù)．題型02利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求解1．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A，B，C在上，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．2．（2023春·北京海淀·九年級(jí)101中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，是的直徑，，，則的度數(shù)是．3．（2022秋·遼寧大連·九年級(jí)校考期末）如圖，在⊙O中，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，D、E分別是半徑和的中點(diǎn)，求證：．題型03利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求證1．（2023秋·浙江臺(tái)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的直徑，弦垂直于點(diǎn)，連接，，，，則下列結(jié)論不一定成立的是（

）A． B． C． D．2．（2021秋·北京·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知A，B，C，D是⊙O上的點(diǎn)，∠1＝∠2，①；②；③AC＝BD；④∠BOD＝∠AOC．則上面結(jié)論中正確的有．3．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)儀征市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，弦與弦相交于點(diǎn)E，且．求證：．

題型04求圓弧的度數(shù)1．（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖中，，以C為圓心，為半徑的圓交于點(diǎn)D，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（2023春·廣東梅州·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，已知點(diǎn)是圓上一點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑作弧，交圓于點(diǎn)，則的度數(shù)為度．3．（2022秋·貴州畢節(jié)·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，若扇形DOE與扇形AOE的圓心角的度數(shù)之比為1：2．求這五個(gè)圓心角的度數(shù)．題型05圓心角的應(yīng)用1．（2023春·河南洛陽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖是兩個(gè)大小不同的量角器．小量角器由于長時(shí)間使用，某些刻度已經(jīng)模糊不清．現(xiàn)將兩個(gè)量角器的零刻度線放在同一直線上，使與C重合（如下圖）．如果兩個(gè)半圓的公共點(diǎn)P在大量角器上對(duì)應(yīng)的度數(shù)為，那么在小量角器上對(duì)應(yīng)的度數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（2022秋·山東菏澤·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）為培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐能力，學(xué)校七年級(jí)生物興趣小組在項(xiàng)目化學(xué)習(xí)“制作微型生態(tài)圈”過程中，設(shè)置了一個(gè)圓形展廳．如圖，在其圓形邊緣上的點(diǎn)P處安裝了一臺(tái)監(jiān)視器，它的監(jiān)控角度是50°，為了觀察到展廳的每個(gè)位置，最少需在圓形邊緣上共安裝這樣的監(jiān)視器臺(tái)．53（2022秋·北京西城·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下面是某同學(xué)設(shè)計(jì)的“作已知圓的內(nèi)接正三角形”的尺規(guī)作圖過程．已知：．求作：的內(nèi)接正三角形．作法：如圖，①作直徑；②以為圓心，為半徑作弧，與交于C、D兩點(diǎn)（點(diǎn)在直線上方）；③連接，，．所以就是所求的三角形．根據(jù)該同學(xué)設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，(1)使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）(2)完成下面的證明：證明：在中，連接，，，____________，為等邊三角形．．．同理，______________．（___________________________）（填推理的依據(jù)）．是等邊三角形．A夯實(shí)基礎(chǔ)1．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）圖中是圓心角的是（）A．

B．

C．

D．

2．（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）中的一段劣弧的度數(shù)為，則（

）A． B． C． D．3．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在同圓或等圓中，若的長度等于的長度，則下列說法正確的有（）①的度數(shù)的度數(shù)；②所對(duì)的圓心角等于所對(duì)的圓心角；③和是等?。虎芩鶎?duì)的弦長等于所對(duì)的弦長．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在中，，則在①；②；③；④中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）

A．1 B．2 C．3 D．45．（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，A、B、C、D是上的點(diǎn)，如果，，那么．

6．（2023春·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是的直徑，C是的中點(diǎn)，若，則的度數(shù)為．7．（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，OA，OB，OC，OD是⊙O的半徑，（1）如果∠AOB＝∠COD，那么，=，∠AOC∠BOD；（2）如果AB＝CD，那么=，；（3）如果=，那么，，．8．（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是⊙上的四點(diǎn)，且點(diǎn)是的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，，，那么．9．（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在上求證：．

10．（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，、是兩條弦，，，垂足分別為、．如果，那么與的大小有什么關(guān)系？為什么？如果，那么與的大小有什么關(guān)系？與的大小有什么關(guān)系？為什么？與呢？B能力提升1．（2023秋·山東聊城·九年級(jí)校考開學(xué)考試）下列四個(gè)命題中，真命題是（

）A．相等的圓心角所對(duì)的兩條弦相等B．圓既是中心對(duì)稱圖形也是軸對(duì)稱圖形C．平分弦的直徑一定垂直于這條弦D．等弧就是長度相等的弧2．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在中，如果，那么弦與弦之間的關(guān)系是（）A． B． C． D．無法確定3．（2023秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是的直徑，、是的兩條弦，交于點(diǎn)G，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，若，，則的長為（

）

A．3 B．4 C．6 D．84．（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A，B，C，D均在以點(diǎn)O為圓心的圓O上，連接，及順次連接O，B，C，D得到四邊形，若，，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．5．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，是的直徑，為半圓上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，于點(diǎn)，則的度數(shù)為．6．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知為的直徑，為半圓周上的一點(diǎn)，且所對(duì)圓心角的度數(shù)是所對(duì)圓心角度數(shù)的2倍，則圓心角．

7．（2023秋·江蘇·九年級(jí)?？贾軠y(cè)）如圖，

是的直徑，弦，若，則的度數(shù)是．8．（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是的直徑，C是延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)D在上，且，的延長線交于點(diǎn)E．若，則度數(shù)為．9．（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，在中，，以點(diǎn)C為圓心、為半徑作，交于點(diǎn)D，求弧的度數(shù)．

10．（2023春·山東淄博·六年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，圓心角．(1)判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)若，求的度數(shù)．C綜合素養(yǎng)1．（2023春·山東泰安·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，是的直徑，，，是的弦，且，則等于（

）

A． B． C． D．2．（2023春·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，是的兩條直徑，是劣弧的中點(diǎn)，若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．3．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）下列說法正確的個(gè)數(shù)有（）①平分弦的直徑，平分這條弦所對(duì)的弧；②在等圓中，如果弧相等，那么它們所對(duì)的弦也相等；③等弧所對(duì)的圓心角相等；④過三點(diǎn)可以畫一個(gè)圓；⑤圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條過圓心的直線都是它的對(duì)稱軸；⑥三角形的外心到三角形的三邊距離相等．A．1 B．2 C．3 D．44．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，是的直徑，點(diǎn)C，D在上，，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．5．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，是半徑為3的上的兩點(diǎn)．若是的中點(diǎn)，則四邊形的周長為．

6．（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)C是直徑的三等分點(diǎn)，點(diǎn)D是弧的三等分點(diǎn)，若直徑，則的長為．

7．（2023·山東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，將一個(gè)量角器與一把無刻度直尺水平擺放，直尺的長邊與量角器的外弧分別交于點(diǎn)A，B，C，D，連接，則的度數(shù)為．

8．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，是的弦，是的中點(diǎn)，交于點(diǎn)．

（1）若，則；（2）若，則．9．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，已知圓內(nèi)接中，，為的中點(diǎn)，于，求證：．

10．（2023·山西呂梁·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）請(qǐng)閱讀下面材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．阿基米德（，公元前287公元前212年，古希臘）是有史以來最