專題19正方形（知識點考點串編）-2021-2022學年八年級數學下學期核心考點(滬科版)

專題19正方形（知識點考點串編）【思維導圖】??知識點一：正方形的性質◎考點1：根據性質求角例．（2022·山東濟南·九年級期末）如圖，正方形ABCD中，點E是對角線AC上的一點，且連接DE，則∠CDE的度數為（

）A．20° B．22.5° C．25° D．30°【答案】B【解析】【分析】由正方形的性質可得∠DAE的度數，再由AE=AD，即可求得∠ADE的度數，從而可求得∠CDE的度數．【詳解】∵四邊形ABCD是正方形∴∠ADC=90゜，∠DAE=45゜∵AE=AD∴∴故選：B【點睛】本題考查了正方形的性質，等腰三角形的性質，掌握這兩個性質是關鍵．練習1．（2022·山東煙臺·八年級期末）如圖，正方形ABCD中，點F為AB上一點，CF與BD交于點E，連接AE，若∠BCF=20°，則∠AEF的度數（

）A．35° B．40° C．45° D．50°【答案】D【解析】【分析】先證明△ABE≌△CBE，得到∠BAE=∠BCE=20°，在Rt△BCF中利用三角形內角和180°可求∠BFC度數．再根據三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內角和求出∠AEF的度數．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，BC=BA，∠ABE=∠CBE=45°．又BE=BE，∴△ABE≌△CBE（SAS）．∴∠BAE=∠BCE=20°．∵∠ABC=90°，∠BCF=20°∴∠BFC=180°∠ABC∠BCF=180°90°20°=70°∵∠BFC=∠BAE+∠AEF∴∠AEF=∠BFC∠BAE=70°20°=50°故選：D．【點睛】本題主要考查了正方形的性質，解題的關鍵是熟練掌握正方形的性質、全等三角形的判定、以及三角形的外角等于和它不相鄰兩個內角和的性質．解決正方形中角的問題一般會涉及對角線平分對角成45°．練習2．（2022·江蘇·八年級專題練習）如圖，點E、F分別在正方形ABCD的邊DC、BC上，AG⊥EF，垂足為G，且AG=AB，則∠EAF=（

）度A．30° B．45° C．50° D．60°【答案】B【解析】【分析】根據正方形的性質以及HL判定，可得出△ABF≌△AGF，故有∠BAF=∠GAF，再證明△AGE≌△ADE，有∠GAE=∠DAE，即可求∠EAF=45°【詳解】解：在正方形ABCD中，∠B=∠D=∠BAD=90°，AB=AD，∵AG⊥EF，∴∠AGF=∠AGE=90°，∵AG=AB，∴AG=AB=AD，在Rt△ABF與Rt△AGF中，∴△ABF≌△AGF，∴∠BAF=∠GAF，同理可得：△AGE≌△ADE，∴∠GAE=∠DAE；∴∠EAF=∠EAG+∠FAG，∴∠EAF=45°故選：B【點睛】本題主要考查了正方形的性質、全等三角形的判定和性質、解題的關鍵是得出△ABF≌△AGF．練習3．（2021·四川成都·九年級期中）如圖，正方形ABCD外側作等邊三角形ADE，則∠AEB的度數為（

）A．30° B．20° C．15° D．10°【答案】C【解析】【分析】根據正方形、等邊三角形和三角形內角和定理可以得到答案．【詳解】四邊形是正方形，，，是等邊三角形，，，，，，故選：C．【點睛】本題考查正方形、等邊三角形和三角形內角和定理的綜合應用，靈活運用有關性質求解是解題關鍵．◎◎考點2：根據性質求線段長例．（2021·江蘇徐州·二模）如圖，點P是線段AB上任意一點，在AB同側作正方形ACDP、正方形PEFB，連接DF、PF，已知AB＝10，當△PDF的面積為8時，AP的長為（）A．2 B．8 C．2或8 D．4【答案】C【解析】【分析】設，則，根據正方形的性質可知，將的面積用表示為一個等式，求出值，即可求解．【詳解】解：設，則，四邊形和四邊形都是正方形，，，即，解得或，故選：C．【點睛】本題主要考查了正方形的的性質以及方程的應用，熟練掌握數形結合思想是解決問題的關鍵．練習1．（2022·四川成都·九年級期末）如圖，正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，H為CD邊中點，正方形ABCD的周長為8，則OH的長為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】【分析】由題意知是的中位線，則有，根據正方形的周長求邊長，進而可求的長．【詳解】解：由題意知是的中位線∴∵正方形ABCD的周長為8∴∴故選D．【點睛】本題考查了正方形的性質，中位線的性質．解題的關鍵在于熟練掌握中位線的性質．練習2．（2021·四川·石室中學九年級階段練習）如圖，在正方形ABCD中，點E在對角線AC上，EF⊥AB于點F，EG⊥BC于點G，連接DE，若AB＝10，AE＝3，則ED的長度為（）A．7 B．2 C． D．【答案】C【解析】【分析】連接BE，證明△ABE≌△ADE，可得ED=BE，在等腰直角三角形AEF中，求出AF，EF的長，再在Rt△BEF中求出BE的長，即可得出ED的長．【詳解】如圖，連接BE，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAC=∠DAC=45°，AB=AD，∵AE=AE，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴BE=DE，∵EF⊥AB于點F，AE=3，∴AF=EF=3，∵AB=10，∴BF=7，∴BE，∴ED=．故選：C．【點睛】本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質，解決問題的關鍵在于連接BE構造全等三角形．◎◎考點3：根據性質求面積例．（2020·江蘇徐州·九年級期中）如圖，正方形ABCD的邊長為2，分別以正方形的三邊AB、AD、CD為直徑在正方形的內部作半圓，則陰影部分的面積之和為（

）A．2 B．3 C． D．2【答案】A【解析】【分析】根據公式分別求出正方形的面積及半圓的面積，再計算圖形a的面積，即可求出陰影面積的和．【詳解】解：正方形面積為=4，半圓面積為，∴圖形a的面積為，陰影部分的面積之和為，故選：A．．【點睛】此題考查了正方形的面積公式，正方形的性質，半圓面積公式，求不規(guī)則圖形的面積，正確理解圖形的構成特點及正方形的性質是解題的關鍵．練習1．（2021·山東省青島第二十六中學九年級期中）正方形ABCD的一條對角線長為6，則這個正方形的面積是（）A．9 B．18 C．24 D．36【答案】B【解析】【分析】正方形對角線長相等，因為正方形又是菱形，所以正方形的面積可以根據（a、b是正方形對角線長度）計算．【詳解】解：在正方形中，對角線相等，所以正方形ABCD的對角線長均為6，∵正方形又是菱形，菱形的面積計算公式是（a、b是正方形對角線長度）∴，故選：B．【點睛】本題考查了正方形對角線相等的性質，解本題的關鍵是清楚正方形面積可以按照菱形面積計算公式計算，并熟記菱形的面積計算公式．練習2．（2021·安徽宿州·八年級期中）在直線l上依次擺放著七個正方形．如圖，已知斜放置的三個正方形的面積分別為1，2，3．正放置的四個正方形的面積依次是，，，，則的值為（

）A．4 B．6 C．8 D．【答案】A【解析】【分析】如圖，易證，得，即可求解．【詳解】解：如圖所示，由題意可得：，∴，∴在和中，∴∴∴同理可證，∴故選A【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質，勾股定理，正方形的性質，熟練掌握相關基本性質是解題的關鍵．練習3．（2021·全國·八年級專題練習）如圖，把正方形紙片ABCD沿對邊中點所在的直線對折后展開，折痕為MN，再過點B折疊紙片，使點A落在MN上的點F處，折痕為BE，若AB的長為2，則FM的長為（）A．2 B． C． D．1【答案】B【解析】【分析】由折疊的性質可得，∠BMN=90°，FB=AB=2，由此利用勾股定理求解即可．【詳解】解：∵把正方形紙片ABCD沿對邊中點所在的直線對折后展開，折痕為MN，AB=2，∴，∠BMN=90°，∵四邊形ABCD為正方形，AB=2，過點B折疊紙片，使點A落在MN上的點F處，∴FB=AB=2，則在Rt△BMF中，，故選B．【點睛】本題主要考查了正方形與折疊，勾股定理，解題的關鍵在于能夠熟練掌握折疊的性質．◎◎考點4：正方形折疊問題例．（2021·江蘇·無錫市東林中學八年級期中）如圖，正方形ABCD的邊長為3，將正方形ABCD沿直線EF翻折，則圖中折成的4個陰影三角形的周長之和是（

）A．8 B．9 C．12 D．以上都不正確【答案】C【解析】【分析】由圖形翻折變換的性質可知AD＝A’D’，A’H＝AH，D’G＝DG，由陰影部分的周長＝A’D’＋A’H＋BH＋BC＋CG＋D’G即可得出結論．【詳解】解：由翻折變換的性質可知AD＝A’D’，A’H＝AH，D’G＝DG，陰影部分的周長＝A’D’＋（A’H＋BH）＋BC＋（CG＋D’G）＝AD＋AB＋BC＋CD＝3×4＝12．故選C．【點睛】本題考查的是翻折變換的性質，即折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．練習1．（2021·全國·八年級課時練習）如圖，將一邊長為12的正方形紙片的頂點A折疊至邊上的點E，使，若折痕為，則的長為（

）A．13 B．14 C．15 D．16【答案】A【解析】【分析】過點P作PM⊥BC于點M，由折疊得到PQ⊥AE，從而得到∠AED=∠APQ，可得△PQM≌△ADE，從而得到PQ=AE，再由勾股定理，即可求解．【詳解】解：過點P作PM⊥BC于點M，由折疊得到PQ⊥AE，∴∠DAE+∠APQ=90°，在正方形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，CD⊥BC，∴∠DAE+∠AED=90°，∴∠AED=∠APQ，∴∠APQ=∠PQM，∴∠PQM=∠APQ=∠AED，∵PM⊥BC，∴PM=AD，∵∠D=∠PMQ=90°，∴△PQM≌△ADE，∴PQ=AE，在中，，AD=12，由勾股定理得：，∴PQ=13．故選：A．【點睛】本題主要考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，得到△PQM≌△ADE是解題的關鍵．練習2．（2021·湖南永州·八年級期末）如圖，正方形ABCD的邊長為6，將正方形折疊，使頂點D落在BC邊上的點E處，折痕為GH，若BE：EC=2：1，則線段CH的長是（）A． B． C．3 D．3.5【答案】B【解析】【分析】根據題意求出CE，根據折疊的性質得到EH=DH，根據勾股定理列方程，解方程得到答案．【詳解】解：設CH=x，則DH=6x，∵BE：EC=2：1，BC=6，∴CE=2，由折疊的性質可知：EH=DH=6x，在Rt△CEH中，EH2=CH2+CE2，即（6x）2=x2+22，解得：x=，即CH=，故選：B．【點睛】本題考查的是翻轉變換的性質、勾股定理的應用、正方形的性質，根據翻轉變換的性質得到EH=DH是解題的關鍵．練習3．（2021·全國·八年級課時練習）如圖，兩個正方形的邊長都為2．其中一個正方形的一頂點在另一個正方形的中心，則兩個正方形重疊部分的面積是（

）A．0.5 B．1 C．2 D．無法確定【答案】B【解析】【分析】如圖：連接ABCD的對角線，根據題意可以推出△COF≌△DOE，所以重合部分的面積為△OCD的面積．【詳解】解：如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴BO＝CO＝DO，∠BDC＝∠BCO＝45°，AC⊥BD，∴∠DOC＝∠EOF＝90°，∴∠DOE＝∠COF，在△COF和△DOE中，，∴△COF≌△DOE（ASA），∴S△COF＝S△DOE，∴四邊形OECF的面積＝S△OCD＝S正方形ABCD＝，故選：B．【點睛】本題主要考查了正方形的性質、三角形的面積、全等三角形的判定和性質．解題關鍵在于找到全等三角形進行代換．◎◎考點5：求正方形重疊部分面積例．（2019·全國·八年級專題練習）將4個邊長都是2的正方形按如圖所示的樣子擺放，點，，分別是三個正方形的中心，則圖中三塊重疊部分的面積的和為（

）.A．2 B．3 C．6 D．8【答案】B【解析】【分析】如圖：連接AP，AN，點A是正方形的對角線的交點，易證≌，可得的面積是正方形的面積的，即每個陰影部分的面積都等于正方形面積的，即可解答.【詳解】解：如圖，連接AP，AN，點A是正方形的對角線的交點，則，，，，≌，四邊形AENF的面積等于的面積，而的面積是正方形的面積的，而正方形的面積為4，四邊形AENF的面積為，三塊陰影面積的和為．故選B．【點睛】本題主要考查了正方形的特性及面積公式，由圖形的特點可知，每個陰影部分的面積都等于正方形面積的，據此解題解答本題的關鍵是發(fā)現每個陰影部分的面積都等于正方形面積的．練習1．（2021·山西晉中·八年級期末）如圖，正方形、、、的邊長分別為2、4、6、4，四個正方形按照如圖所示的方式擺放，點、、分別位于正方形、、、對角線的交點則陰影部分的面積和為（）A．12 B．13 C．14 D．18【答案】C【解析】【分析】根據正方形的中心對稱性，得到每一個陰影部分的面積為其所在的小正方形的面積的，即可解答．【詳解】解：∵正方形具有中心對稱性，則每一個陰影部分的面積為其所在的小正方形的面積的，∴==14故選：C．【點睛】本題考查了正方形的中心對稱性，根據中心對稱性得到每一個陰影部分的面積為其所在的小正方形的面積的是解題的關鍵．練習2．（2021·河北·九年級專題練習）在平面上，邊長為的正方形和短邊長為的矩形幾何中心重合，如圖①，當正方形和矩形都水平放置時，容易求出重疊面積．甲、乙、丙三位同學分別給出了兩個圖形不同的重疊方式；甲：矩形繞著幾何中心旋轉，從圖②到圖③的過程中，重疊面積大小不變．乙：如圖④，矩形繞著幾何中心繼續(xù)旋轉，矩形的兩條長邊與正方形的對角線平行時，此時的重疊面積大于圖③的重疊面積．丙：如圖⑤，將圖④中的矩形向左上方平移，使矩形的一條長邊恰好經過正方形的對角線，此時的重疊面積是個圖形中最小的．下列說法正確的是（

）A．甲、乙、丙都對 B．只有乙對 C．只有甲不對 D．甲、乙、丙都不對【答案】C【解析】【分析】本題重疊部分面積需要結合圖形特點，利用對稱性質，通過假設未知數表示未知線段，利用面積公式求解，并根據線段范圍判別面積大?。驹斀狻咳鐖D一所示，設AI=x，BJ=y，則有x+y=ABIJ=21=1，重疊部分四邊形JILK面積為2．如圖二所示，設AI=x，BJ=y，因為JM=HE=1，△JIM為直角三角形，斜邊JI大于直角邊JM，故有：x+y＜1，重疊部分平行四邊形JILK面積為．如圖三所示，設AI=x（0＜x＜1），BJ=y=0，重疊部分四邊形JIDK面積為．在由圖一到圖三的轉變過程中，x+y的取值逐漸減小，則重疊部分面積逐漸增大，故甲同學說法錯誤．如圖四所示，設AI=AN=x（1＜x＜2），重疊部分多邊形BINDKM面積為．當0＜x＜2時，，所以圖四重疊部分的面積大于圖三重疊部分面積，乙同學說法正確．如圖五所示，設AI=AN=x，所以重疊部分四邊形INDB面積為，因為，所以重疊部分面積小于2，即小于圖一重疊面積．綜上，圖一到圖四重疊部分面積逐漸增大，圖五面積小于圖一，故圖五面積最小，丙同學說法正確．故答案為C選項．【點睛】本題考查正方形以及矩形性質，并在此基礎進行知識延伸，需要假設未知數并結合對稱性質化抽象問題為形象問題，利用未知量取值范圍求解本題．練習3．（2019·廣西北?！て吣昙壠谥校┤鐖D．將面積為a2的小正方形與面積為b2的大正方形放在一起（a＞0，b＞0）則三角形ABC的面積是（）A．b2 B．b2 C．b2 D．2b2【答案】B【解析】【分析】根據圖形得出三角形ABC的面積S=正方形AFGM+S正方形BGCH+S△AMBS△AFCS△BHC，再根據面積公式求出即可．【詳解】解：∵將面積為a2的小正方形與面積為b2的大正方形放在一起，∴CM＝AF＝FG＝a，BG＝CG＝CH＝BH＝b，∴三角形ABC的面積S＝S正方形AFGM+S正方形BGCH+S△AMB﹣S△AFC﹣S△BHC＝a2+b2+?（b﹣a）﹣?（a+b）﹣b?b＝a2+b2+﹣﹣﹣﹣＝，故選：B．【點睛】本題考查了正方形的性質，列代數式和整式的混合運算，能根據圖形列出代數式是解此題的關鍵．◎◎考點6：根據正方形的性質證明例．（2022·廣西·南丹縣教學研究室九年級期末）如圖，邊長相等的兩個正方形ABCD和OEFG，若將正方形OEFG繞點O按逆時針方向旋轉120°，兩個正方形的重疊部分四邊形OMCN的面積(

)A．不變 B．先增大再減小C．先減小再增大 D．不斷增大【答案】A【解析】【分析】由正方形的性質得到OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，∠BOM=∠CON，證明△OBM≌△OCN（ASA），得到兩個正方形的重疊部分四邊形OMCN的面積=，由此得到結論．【詳解】解：∵四邊形ABCD和OEFG都是正方形，∴OB=OC，∠BOC=∠EOG=90°，∠OBC=∠OCD=45°，∴∠BOM=∠CON，∴△OBM≌△OCN（ASA），∴，∴兩個正方形的重疊部分四邊形OMCN的面積=，故選：A．【點睛】此題考查了正方形的性質，全等三角形的判定及性質，熟記全等三角形的判定定理及正方形的性質是解題的關鍵．練習1．（2022·云南昆明·九年級期末）如圖，G是正方形ABCD內一點，以GC為邊長，作正方形GCEF，連接BG和DE，試用旋轉的思想說明線段BG與DE的關系（）A．DE＝BG B．DE＞BG C．DE＜BG D．DE≥BG【答案】A【解析】【分析】根據四邊形ABCD為正方形，得出BC=DC，∠BCD=90°，根據四邊形CEFG為正方形，得出GC=EC，∠GCE=90°，再證∠BCG=∠DCE，△BCG與△DCE具有可旋轉的特征即可【詳解】解：∵四邊形ABCD為正方形，∴BC=DC，∠BCD=90°，∵四邊形CEFG為正方形，∴GC=EC，∠GCE=90°，∵∠BCG+∠GCD=∠GCD+∠DCE=90°，∴∠BCG=∠DCE，∴△BCG繞點C順時針方向旋轉90°得到△DCE，∴BG=DE，故選項A．【點睛】本題考查圖形旋轉特征，正方形性質，三角形全等條件，同角的余角性質，掌握圖形旋轉特征，正方形性質，三角形全等條件是解題關鍵．練習2．（2021·山東臨沂·八年級期末）如圖，在正方形ABCD中，E為AB中點，連結DE，過點D作DF⊥DE交BC的延長線于點F，連結EF．若AE＝2，則EF的值為（

）A．6 B． C． D．5【答案】B【解析】【分析】根據“ASA”判定△ADE≌△CDF，可證DE=DF，在Rt△ADE中，運用勾股定理求出DE的長度，再在Rt△DEF中，運用勾股定理即可求出EF的長．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠DCB=∠B=90°，∵DF⊥DE，∴∠ADE+∠EDC=∠CDF+∠EDC=90°，即∠ADE=∠CDF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴DE=DF，∵E為AB的中點，AE=2，∴AD=AB=4，在Rt△ADE中，DE，在Rt△DEF中，EF．故選：B．【點睛】本題主要考查了正方形的性質和勾股定理的應用，求線段的長度常常是把線段轉化到直角三角形中，運用勾股定理進行計算求值．練習3．（2021·廣東·坪山中學九年級階段練習）如圖，在正方形ABCD中，點P是AB上一動點（不與A，B重合），對角線AC，BD相交于點O，過點P分別作AC，BD的垂線，分別交AC，BD于點E，F，交AD，BC于點M，N．下列結論：①；②；③．其中正確的結論有（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】B【解析】【分析】根據正方形的性質得，，然后利用ASA證明即可判斷①正確，根據全等三角形的性質得AP=AM，從而得出是等腰直角三角形，則，同理可得，即可得，根據正方形的性質得是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質和正方形的對角線相等即可得，即可判斷②錯誤；判斷四邊形PEDF是矩形，根據矩形的性質得PF=OE，再根據勾股定理即可得，故可判斷③正確，即可得．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴，,∵，，∴，，在和中，∴（ASA），故①正確，∴AP=AM，∴是等腰直角三角形，∴，在和中，∴（ASA），∴BP=BN，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵四邊形ABCD是正方形，∴，，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，故②錯誤；∵，，，∴，∴四邊形PEOF是矩形，∴PF=OE，在中，根據勾股定理得，，∴，故③正確，綜上，正確的結論由①③，故選B．【點睛】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質，矩形的判定與性質和勾股定理，解題的關鍵是掌握并靈活運用這些知識點．??知識點二：正方形的判定◎考點7：判定定理的理解例．（2021·湖南·長沙市南雅中學九年級階段練習）下列條件中，能判定四邊形是正方形的是（

）A．對角線相等的平行四邊形 B．對角線互相平分且垂直的四邊形C．對角線互相垂直且相等的四邊形 D．對角線相等且互相垂直的平行四邊形【答案】D【解析】【分析】根據正方形的判定定理進行判斷即可．【詳解】解：A、對角線相等的平行四邊形是矩形，不符合題意；B、對角線互相平分且垂直的四邊形是菱形，不符合題意；對角線相等且互相垂直的平行四邊形是正方形，故C選項不符合題意；D選項符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了正方形的判定，熟知正方形的判定定理是解本題的關鍵．練習1．（2021·山東菏澤·九年級期中）如圖，將長方形紙片折疊，使A點落BC上的F處，折痕為BE，若沿EF剪下，則折疊部分是一個正方形，其數學原理是（

）A．鄰邊相等的矩形是正方形B．對角線相等的菱形是正方形C．兩個全等的直角三角形構成正方形D．軸對稱圖形是正方形【答案】A【解析】【分析】將長方形紙片折疊，使A點落BC上的F處，可得到BA＝BF，折痕為BE，沿EF剪下，故四邊形ABFE為矩形，且有一組鄰邊相等，故四邊形ABFE為正方形．【詳解】解：∵將長方形紙片折疊，A落在BC上的F處，∴BA＝BF，∵折痕為BE，沿EF剪下，∴四邊形ABFE為矩形，∴四邊形ABEF為正方形．故用的判定定理是；鄰邊相等的矩形是正方形．故選：A．【點睛】本題考查了正方形的判定定理，關鍵是根據鄰邊相等的矩形是正方形和翻折變換解答．練習2．（2022·廣東河源·九年級期末）下列命題是真命題的是（

）A．四個角都相等的四邊形是菱形B．四條邊都相等的四邊形是正方形C．平行四邊形、菱形、矩形都既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形D．順次連接菱形各邊中點得到的四邊形是矩形【答案】D【解析】【分析】根據正方形、菱形、矩形、平行四邊形的判定和性質一一判斷即可【詳解】解：A、若四個角都相等，則這四個角都為直角，有三個角是直角的四邊形是矩形，故A選項為假命題，不符合題意；B、四條邊都相等的四邊形是菱形，故B選項為假命題，不符合題意；C、平行四邊形是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，菱形和矩形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故C選項為假命題，不符合題意；D、順次連接菱形各邊中點得到的四邊形是矩形，故D選項為真命題，符合題意，故選：D．【點睛】本題考查的是命題的真假判斷以及正方形、菱形、矩形、平行四邊形的判定和性質等知識，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質定理．練習3．（2021·山西運城·九年級期中）如圖，在△ABC中，點E、D、F分別在邊AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四個判斷中，不正確的是（

）A．四邊形AEDF是平行四邊形B．如果∠BAC＝90°，那么四邊形AEDF是矩形C．如果AD平分∠BAC，那么四邊形AEDF是菱形D．如果AD⊥BC且BD＝CD，那么四邊形AEDF是正方形【答案】D【解析】【分析】由DE∥CA，DF∥BA，根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形可得四邊形AEDF是平行四邊形，據此可以判斷A正確，又有∠BAC＝90°，根據有一角是直角的平行四邊形是矩形，可得四邊形AEDF是矩形；故可以判斷B選項，如果AD平分∠BAC，那么∠EAD＝∠FAD，又有DF∥BA，可得∠EAD＝∠ADF，進而知∠FAD＝∠ADF，AF＝FD，那么根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形，可得四邊形AEDF是菱形；如果AD⊥BC且當AB＝AC時，那么AD平分∠BAC，則可得四邊形AEDF是菱形，故知D選項不正確．【詳解】解：由DE∥CA，DF∥BA，根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形可得四邊形AEDF是平行四邊形；又有∠BAC＝90°，根據有一角是直角的平行四邊形是矩形，可得四邊形AEDF是矩形．故A、B正確；如果AD平分∠BAC，那么∠EAD＝∠FAD，又有DF∥BA，可得∠EAD＝∠ADF，∴∠FAD＝∠ADF，∴AF＝FD，那么根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形，可得四邊形AEDF是菱形，故C正確；如果AD⊥BC且AB＝AC，那么AD平分∠BAC，可得四邊形AEDF是菱形．只有AD⊥BC，不能判斷四邊形AEDF是正方形，故D選項錯誤．故選：D．【點睛】本題考查平行四邊形、矩形及菱形的判定，具體選擇哪種方法需要根據已知條件來確定，此題是道基礎概念題，需要熟練掌握特殊四邊形的判定定理．◎◎考點8：添加條件成為正方形例．（2022·廣東茂名·九年級期末）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，下列條件：①AC⊥BD，②AB=BC，③∠ACB=45°，④OA=OB．上述條件能使矩形ABCD是正方形的是（

）A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④【答案】B【解析】【分析】根據矩形的性質及正方形的判定來添加合適的條件．【詳解】解：①添加AC⊥BD，根據對角線互相垂直的矩形是正方形，故添加AC⊥BD，能使矩形ABCD成為正方形；②添加AB=BC，根據有一組鄰邊相等的矩形是正方形，故添加AB=BC，能使矩形ABCD成為正方形；③添加∠ACB=45°，∵∠ABC=90°，∴∠ACB=B∠AC=45°，∴AB=BC，根據有一組鄰邊相等的矩形是正方形，故添加∠ACB=45°，能使矩形ABCD成為正方形；④∵矩形ABCD中，∴AC=BD，則AO=BO，故添加OA=OB，不能使矩形ABCD成為正方形；綜上，①②③符合題意，故選：B．【點睛】本題考查了矩形的性質，正方形的判定的應用，能熟記正方形的判定定理是解此題的關鍵．要使矩形成為正方形，可根據正方形的判定定理：（1）有一組鄰邊相等的矩形是正方形，（2）對角線互相垂直的矩形是正方形．練習1．（2022·廣東佛山·九年級開學考試）在四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°．如果再添加一個條件可推出四邊形是正方形，那么這個條件可以是（

）A．AB=CD B．BC=CD C．∠D=90° D．AC=BD【答案】B【解析】【分析】先證四邊形ABCD是矩形，當BC=CD時，四邊形ABCD是正方形由此判斷．【詳解】解：∵∠A=∠B=∠C=90°，∴四邊形ABCD是矩形，當BC=CD時，四邊形ABCD是正方形，故選：B．【點睛】此題考查了正方形的判定定理，熟記正方形的判定定理并應用是解題的關鍵．練習2．（2021·北京市第十七中學八年級期中）下列關于的敘述，正確的是（

）A．若，則是矩形 B．若，則是正方形C．若，則是菱形 D．若，則是正方形【答案】A【解析】【分析】由菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法得出選項、、錯誤，正確；即可得出結論．【詳解】解：中，，四邊形是矩形，選項符合題意；中，，四邊形是菱形，不一定是正方形，選項不符合題意；中，，四邊形是矩形，不一定是菱形，選項不符合題意；中，，四邊形是菱形，選項不符合題意；故選：．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質、菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法；熟練掌握矩形、菱形、正方形的判定方法是解決問題的關鍵．練習3．（2021·上海市北海中學八年級期中）如圖已知：四邊形ABCD是平行四邊形，下列結論中不正確的是（

）A．當AB=BC時，它是菱形 B．當AC⊥BD時，它是菱形C．當AC=BD時，它是正方形 D．當∠ABC=時，它是矩形【答案】C【解析】【分析】根據矩形、菱形、正方形的判定逐個判斷即可．【詳解】解：A、∵四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AB=BC，∴四邊形ABCD是菱形，故本選項不符合題意；B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形，故本選項不符合題意；C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AC=BD，∴四邊形ABCD是矩形，故本選項符合題意；D、∵四邊形ABCD是平行四邊形，又∵∠ABC=90°，∴四邊形ABCD是矩形，故本選不項符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了對矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的應用，能正確運用判定定理進行判斷是解此題的關鍵，難度適中．◎◎考點9：證明四邊形為正方形例．（2021·廣東·深圳市海濱中學九年級期中）下列說法正確的是（）A．對角線互相垂直的四邊形是菱形B．順次連接對角線相等的四邊形各邊中點得到的四邊形是菱形C．一組對邊平行另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形D．對角線相等且垂直的四邊形是正方形【答案】B【解析】【分析】根據正方形、平行四邊形、矩形和菱形的判定即可得到答案．【詳解】解：A、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，原說法錯誤，不符合題意；B、順次連接對角線相等的四邊形各邊中點得到的四邊形是菱形，原說法正確，符合題意；C、一組對邊平行另一組對邊相等的四邊形不能判斷是平行四邊形，原說法錯誤，不符合題意；D、對角線相等且垂直平分的四邊形是正方形，原說法錯誤，不符合題意．故選：B．【點睛】本題考查了正方形、平行四邊形、矩形和菱形的判定，解題的關鍵是熟練掌握它們的判定方法．練習1．（2021·全國·八年級課時練習）下列命題中，正確的是（

）A．對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形B．對角線相等，且有一個角是直角的平行四邊形是正方形C．四個角都相等的菱形是正方形D．對角線互相垂直平分且有一組鄰邊相等的四邊形是正方形【答案】C【解析】【分析】根據正方形的判定方法即可判斷．【詳解】A.對角線互相平分、垂直且相等的四邊形是正方形，本選項不符合題意；B.對角線相等且有一個角是直角的平行四邊形是矩形，不一定是正方形；本選項不符合題意；C.四個角都相等的菱形是正方形，正確，本選項符合題意；D.對角線互相垂直平分且有一組鄰邊相等的四邊形是菱形，不一定是正方形；本選項不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查正方形的判定、平行四邊形的性質、菱形的判定、矩形的判定等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識．練習2．（2021·山東臨沂·八年級期末）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，添加下列條件中的一個，能使菱形ABCD成為正方形的是（）A．∠ABC＝90° B．AC＝AD C．BD＝AB D．OD＝AC【答案】A【解析】【分析】根據菱形的性質及正方形的判定來添加合適的條件．【詳解】解：要使菱形成為正方形，只要菱形滿足以下條件之一即可，（1）有一個內角是直角（2）對角線相等．即或．故選：A．【點睛】本題比較容易，考查特殊四邊形的判定，解題的關鍵是根據菱形的性質及正方形的判定解答．練習3．（2021·四川成都·八年級期末）下列條件中能判斷一個四邊形是正方形的是（

）A．對角線互相垂直且相等B．一組對邊平行，另一組對邊相等且有一個內角為90度C．對角線平分每一組對角D．四邊相等且有一個角是直角【答案】D【解析】【分析】根據各個選項中的說法，可以判斷能否構成正方形，不正確的說明理由或舉出反例即可．【詳解】解：對角線互相垂直、平分且相等的四邊形是正方形，但是對角線互相垂直且相等的四邊形不一定是正方形，如等腰梯形中的對角線就有可能垂直且相等，故選項A不符合題意；一組對邊平行，另一組對邊相等且有一個內角為90度的四邊形不一定是正方形，如直角梯形，故選項B不符合題意；對角線平分每一組對角的四邊形不一定是正方形，如菱形，故選項C不符合題意；四邊相等且有一個角是直角的四邊形是正方形，故選項D符合題意；故選：D．【點睛】本題考查正方形的判定、平行四邊形的判定、菱形的判定，解答本題的關鍵是明確正方形的判定方法．??知識點三：正方形性質與判定的綜合◎考點10:根據性質與判定求角度例．（2021·安徽·九年級專題練習）如圖，在正方形ABCD中，以對角線BD為邊作菱形BDFE，連接BF，則∠AFB＝（）A．22.5° B．25° C．30° D．不能確定【答案】A【解析】【分析】根據正方形的對角線平分一組對角可得∠ADB=45°，再根據菱形的四條邊都相等可得BD=DF，根據等邊對等角可得∠DBF=∠DFB，然后根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和進行計算即可得解．【詳解】解：在正方形ABCD中，∠ADB=∠ADC=×90°=45°，在菱形BDFE中，BD=DF，所以，∠DBF=∠AFB，在△BDF中，∠ADB=∠DBF+∠AFB=2∠AFB=45°，解得∠AFB=22.5°．故選：A．【點睛】本題考查了正方形的四個角都是直角，對角線平分一組對角的性質，菱形的四條邊都相等的性質，以及等邊對等角，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，難度不大，熟記各性質是解題的關鍵．練習1．（2022·山東濱州·九年級期末）如圖，將正方形繞點A順時針旋轉，得到正方形，的延長線交于點H，則的大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據旋轉的性質，求得∠BAE=38°，根據正方形的性質，求得∠DBA=45°，∠ABH=135°，利用四邊形的內角和定理計算即可．【詳解】根據旋轉的性質，得∠BAE=38°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DBA=45°，∠ABH=135°，∵四邊形AEFG是正方形，∴∠E=90°，∴∠DHE=360°90°38°135°=97°，故選B．【點睛】本題考查了旋轉的性質，正方形的性質，四邊形的內角和定理，熟練掌握正方形的性質，旋轉的性質是解題的關鍵．練習2．（2021·浙江衢州·八年級期末）如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，AC⊥BD，E，F分別是AB，CD的中點，若AC＝BD＝2，則EF的長是（）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】【分析】分別取的中點為，連接，利用中點四邊形的性質可以推出，再根據，可以推導出四邊形是正方形即可求解．【詳解】解：分別取的中點為，連接，分別是的中點，，又，，四邊形是正方形，，故選：D．【點睛】本題考查了中點四邊形的性質、正方形的判定及性質，解題的關鍵是作出適當的輔助線，利用題意證明出四邊形是正方形．練習3．（2020·河南漯河·八年級階段練習）如圖，在正方體的兩個面上畫了兩條對角線、，則等于（

）A．135° B．90° C．75° D．60°【答案】D【解析】【分析】根據正方體的概念和特性可知AB，AC和左面上的對角線形成一個等邊三角形，進而即可求解【詳解】連接BC，∵AC、AB、BC是正方形的對角線，∴AC=AB=BC，∴△ABC為等邊三角形．∴∠BAC=60°．故選D．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質、正方形與正方形的性質；證明△ABC為等邊三角形是解題的關鍵．◎◎考點11：根據性質與判定求求線段長例．（2021·河北·石家莊二十三中八年級期末）如圖，在邊長為的正方形ABCD中，點E是對角線AC上一點，且于點F，連接DE，當時，（）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】證明，則，計算的長，得，證明是等腰直角三角形，可得的長．【詳解】解：四邊形是正方形，，，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，故選：C．【點睛】本題考查正方形的性質，勾股定理，等腰直角三角形，三角形的外角的性質等知識，解題的關鍵是在正方形中學會利用等腰直角三角形的性質解決問題，屬于中考常考題型．練習1．（2021·浙江溫州·八年級期中）如圖，正方形ABCD的邊長為2，E是BC的中點，點P是AC邊上的一個動點，連結BP，EP，則BP＋EP的最小值為（

）A． B． C． D．＋1【答案】A【解析】【分析】根據正方形是軸對稱圖形，所在的直線是正方形的一條對稱軸，進而根據對稱性可知，BP+EP＝PD+PE，當在同一直線上時，的值最小為的長，進而根據勾股定理求得的值．【詳解】解：連接BD，∵正方形是軸對稱圖形，所在的直線是正方形的一條對稱軸，∴無論P在什么位置，都有PD＝PB；故均有BP+EP＝PD+PE成立；連接DE與AC，所得的交點，即為BP+EP的最小值時的位置，如圖所示：此時BP+EP＝DE，∵正方形ABCD的邊長為2，∴DC＝BC＝2，∵E是BC的中點，∴EC＝1，在Rt△DEC中，DE＝＝＝，故選：A．【點睛】本題考查了軸對稱的性質，勾股定理，理解對角線所在的直線是正方形的對稱軸是解題的關鍵．練習2．（2021·陜西·榆林市第五中學九年級階段練習）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，M是邊AD上一點，連接OM，過點O作ON⊥OM交CD于點N．若S四邊形MOND＝2，則BD的長為（）A．2 B． C．4 D．2【答案】C【解析】【分析】利用正方形的性質得到OD＝OB＝OC，∠COD＝90°，∠OCD＝∠ODA＝45°，利用等角的余角相等可證得∠CON＝∠DOM，則可判斷△OCN≌△ODM，所以S△OCN＝S△ODM，從而得到S△ODC＝S四邊形MOND＝2，然后利用等腰三角形的面積計算出OD即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD為正方形，∴OD＝OB＝OC，∠COD＝90°，∠OCD＝∠ODA＝45°，∵ON⊥OM，∴∠MON＝90°，∵∠CON＋∠DON＝90°，∠DOM＋∠DON＝90°，∴∠CON＝∠DOM，在△OCN和△ODM中，，∴△OCN≌△ODM（ASA），∴S△OCN＝S△ODM，∴S△OCN＋S△DON=S△ODM＋S△DON，即S△ODC＝S四邊形MOND＝2，∵OD?OC＝2，而OD＝OC，∴OD＝2，∴BD＝2OD＝4．故選：C．【點睛】本題考查了正方形的性質：正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形．證明△OCN≌△ODM是解決問題的關鍵．練習3．（2021·浙江·杭州市十三中教育集團（總校）九年級開學考試）如圖，正方形的邊長為12，，分別為，邊上的點，且，，分別為，邊上的點，且交，于點，，則的長為（

）A．6 B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由勾股定理可求AE的長，通過證明四邊形AFCE是平行四邊形，可得，即可求解．【詳解】解：正方形的邊長為12，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，故選：．【點睛】本題考查了正方形的性質，平行四邊形的判定和性質，勾股定理，利用面積法求GH的長是本題的關鍵．◎◎考點12：根據性質與判定求面積例．（2022·山東·濟寧學院附屬中學九年級期末）如圖，正方形的邊長為4，分別以正方形的三條邊為直徑在正方形內部作半圓，則陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據S陰影=2×(S半圓S△AOD)求解即可．【詳解】如圖，連接OA、OD，則根據對稱性可得：S陰影=2×(S半圓S△AOD)=，故選：D．【點睛】本題考查扇形的面積計算，正方形的性質，解題關鍵是表示出兩個弓形面積之和與半圓與三角形面積之間的關系．練習1．（2020·吉林·長春北師大附屬學校八年級期中）圖中有三個正方形，若陰影部分面積為4個平方單位，則最大正方形的面積是（）平方單位.A．48 B．12 C．24 D．36【答案】D【解析】【分析】根據正方形的性質和等腰三角形的性質，設,結合勾股定理，求得正方形的邊長，即可求得答案.【詳解】∵與都是正方形，∴，∴，設,∵∴，∵∴∵∴∴∴∴正方形的面積是：36，故選：【點睛】本題考查了正方形的性質和等腰三角形的性質以及勾股定理的應用，勾股定理的應用是解題的關鍵.練習2．（2020·河南·九年級專題練習）如圖，點P是邊長為2cm的正方形ABCD的邊上一動點，O是對角線的交點，當點P由A→D→C運動時，設DP＝xcm，則△POD的面積y(cm2)隨x(cm)變化的關系圖象為(

)A．B．C． D．【答案】B【解析】【分析】△POD的面積可分為兩部分討論，P由A運動到D時，面積逐漸減小，由D運動到C時，面積逐漸增大，從而得出函數關系的圖象．【詳解】解：∵正