浙江省杭州市西湖區(qū)公益中學2023--2024學年上學期九年級期中數(shù)學試卷

2023-2024學年浙江省杭州市西湖區(qū)公益中學九年級（上）期中數(shù)學試卷一.選擇題（本題有10個小題，每小題3分，共30分）1．（3分）若，則的值是A． B． C．3 D．2．（3分）將拋物線向上平移4個單位，得到的拋物線是A． B． C． D．3．（3分）一枚質地均勻的骰子六面分別標有1到6的一個自然數(shù)，任意投擲一次，向上一面的數(shù)字是偶數(shù)的概率為A． B． C． D．4．（3分）如圖，若點是線段的黃金分割點，，則的長度是A．5 B． C． D．5．（3分）二次函數(shù)的圖象與軸有兩個不同交點，則可以是A．0 B．1 C．2 D．36．（3分）如圖，在矩形中，．對角線與相交于點，過點作的垂線，交于點，．則的值為A．4 B． C． D．7．（3分）如圖，在中，中線與中線相交于點，連接．下列結論成立的是A． B． C． D．8．（3分）如圖，在中，，點在邊上，線段繞點順時針旋轉，點恰巧落在邊上的點處．如果，．那么與滿足的關系式是A． B． C． D．9．（3分）兩個不相等的正數(shù)滿足，，設，則關于的函數(shù)圖象是A．射線（不含端點） B．線段（不含端點） C．直線 D．拋物線的一部分10．（3分）如圖，在邊長為4的正方形內有一個小正方形和矩形，它們的頂點均在大正方形邊上，若，則圖中陰影部分的面積為A．5 B． C． D．二.填空題（本題有6個小題，每小題4分，共24分）11．（4分）函數(shù)的頂點坐標是．12．（4分）一個布袋里放有5個紅球，3個球黃球和2個黑球，它們除顏色外其余都相同，則任意摸出一個球是黑球的概率是．13．（4分）兩個相似五邊形，一組對應邊的長分別為和，若它們的面積之和為，則較小五邊形的面積是．14．（4分）如圖，梯子斜靠在墻上，梯子底端離墻腳的距離，梯子上一點離墻的距離．若，則梯子的長為．15．（4分）如圖是一邊長為6的菱形紙片，將紙片沿折疊，使點落在邊上，點，的對應點分別為點，，交于點．若，，則與相等的角是（寫出一個即可），的長為．16．（4分）二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點，與軸交于點，且，，．（1）若點在點的右側，且，則二次函數(shù)的對稱軸是．（2）若點，均在二次函數(shù)圖象上，當且當時，有，則實數(shù)的取值范圍是．三.解答題（本題有8個小題，共66分，6+6+6+8+8+10+10+12）17．（6分）如圖是小杭和小益共同設計的自由轉動的轉盤，轉盤被等分成6份，上面寫有6個自然數(shù)．轉動轉盤，若指針指向兩個扇形的交線時，則重轉一次，直到指針指向某個扇形區(qū)域為止．（1）求指針指向偶數(shù)的概率；（2）若指針指向的數(shù)小于6的數(shù)則小杭勝，指針指向其他數(shù)，則小益勝，這個游戲對雙方公平嗎？說明理由．18．（6分）如圖，已知．它們依次交直線，，于點，，和點，，．（1）如果，，，求的長．（2）如果，，線段是線段和線段的比例中項，求的值．19．（6分）已知：二次函數(shù)中的和滿足下表：0123453008（1）的值為；（2）求出這個二次函數(shù)的解析式；（3）當時，則的取值范圍為．20．（8分）如圖，在的方格中，的頂點均在格點上．（1）請在圖中的線段上找到一點，連結，使得．（2）請在圖中畫出格點線段（端點在格點上），且分別交線段，于點，，作出．21．（8分）如圖，在四邊形中，平分，，，點為的中點．（1）求證：；（2）若，，求的值．22．（10分）今年雙十一期間，某淘寶店鋪《水滸傳》一書的銷售日益火爆，進價40元，規(guī)定銷售單件不低于44元，且不高于52元，銷售期間發(fā)現(xiàn)，當銷售單價定為44元時，每天可售出300本，銷售單價每上漲1元，每天銷量減少10本．現(xiàn)商家決定提價銷售，設每天銷售量為本，銷售單價為元．（1）當售價定為50元時，求此時每天的銷量和每本書的利潤？（2）請你求出與之間的函數(shù)關系式和自變量的取值范圍；（3）當《水滸傳》的銷售單價定為多少元時，商家每天銷售《水滸傳》獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？23．（10分）如圖，在正方形中，點是邊上的一點（不與、重合），點在邊延長線上，且滿足，聯(lián)結，，與邊交于點．（1）求證：；（2）如果，求證：；（3）交點，若，則（直接寫答案、用含的代數(shù)式表示）．24．（12分）如圖，拋物線與軸交于，兩點（點在點的左側），與軸交于點．直線與拋物線交于，兩點，與軸交于點，點的坐標為．（1）請直接寫出，兩點的坐標及直線的函數(shù)表達式；（2）若點是拋物線上的點，點的橫坐標為，過點作軸，垂足為，與直線交于點．當時，求點的坐標；（3）若點是軸上的點，且，求點的坐標．

2023-2024學年浙江省杭州市西湖區(qū)公益中學九年級（上）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一.選擇題（本題有10個小題，每小題3分，共30分）1．（3分）若，則的值是A． B． C．3 D．【分析】根據(jù)比例的性質用表示出，然后代入比例式進行計算即可得解．【解答】解：，，．故選：．【點評】本題考查了比例的性質，熟記性質用表示出是解題的關鍵．2．（3分）將拋物線向上平移4個單位，得到的拋物線是A． B． C． D．【分析】根據(jù)“左加右減，上加下減”的平移規(guī)律寫出平移拋物線解析式．【解答】解：由題意：由函數(shù)圖象平移原則：左加右減，下加下減原則，所以將拋物線向上平移4個單位，得到的拋物線是．故選：．【點評】主要考查了函數(shù)圖象的平移，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并用規(guī)律求函數(shù)解析式．3．（3分）一枚質地均勻的骰子六面分別標有1到6的一個自然數(shù)，任意投擲一次，向上一面的數(shù)字是偶數(shù)的概率為A． B． C． D．【分析】一枚質地均勻的骰子六面分別標有1到6的一個自然數(shù)，任意投擲一次共有6種等可能結果，其中向上一面的數(shù)字是偶數(shù)的有3種結果，再根據(jù)概率公式求解即可．【解答】解：一枚質地均勻的骰子六面分別標有1到6的一個自然數(shù)，任意投擲一次共有6種等可能結果，其中向上一面的數(shù)字是偶數(shù)的有3種結果，所以向上一面的數(shù)字是偶數(shù)的概率為，故選：．【點評】本題主要考查概率公式，隨機事件的概率（A）事件可能出現(xiàn)的結果數(shù)所有可能出現(xiàn)的結果數(shù)．4．（3分）如圖，若點是線段的黃金分割點，，則的長度是A．5 B． C． D．【分析】根據(jù)點是線段的黃金分割點，可得，進一步求解即可．【解答】解：點是線段的黃金分割點，，，，故選：．【點評】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金比是解題的關鍵．5．（3分）二次函數(shù)的圖象與軸有兩個不同交點，則可以是A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根據(jù)判別式的意義得到△，解得的取值范圍，再結合選項得出結論．【解答】解：二次函數(shù)的圖象與軸有兩個不同交點，△，解得且，故選：．【點評】本題考查了拋物線與軸的交點：把求二次函數(shù)，，是常數(shù)，與軸的交點坐標問題轉化為解關于的一元二次方程．6．（3分）如圖，在矩形中，．對角線與相交于點，過點作的垂線，交于點，．則的值為A．4 B． C． D．【分析】根據(jù)矩形的性質可得，，從而求出，的長，然后根據(jù)射影定理證明，從而可得，即可解答．【解答】解：四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，，，，故選：．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質，矩形的性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．7．（3分）如圖，在中，中線與中線相交于點，連接．下列結論成立的是A． B． C． D．【分析】由，是的中線，得到是的中位線，推出，，由相似三角形的性質即可解決問題．【解答】解：，是的中線，是的中位線，，，，，，，，，，，，，，，，，，結論成立的是，故選：．【點評】本題考查相似三角形的判定和性質，關鍵是掌握相似三角形的性質．8．（3分）如圖，在中，，點在邊上，線段繞點順時針旋轉，點恰巧落在邊上的點處．如果，．那么與滿足的關系式是A． B． C． D．【分析】過點作于點，如圖，先利用旋轉的性質得到，再根據(jù)等腰三角形的性質得到，接著利用平行線分線段成比例定理得到，然后利用等線段代換得到，從而得到．【解答】解：過點作于點，如圖，線段繞點順時針旋轉，點恰巧落在邊上的點處，，，，，，，，即，，，，即．故選：．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用；靈活運用相似三角形的性質計算相應線段的長或表示線段之間的關系是解決問題的關鍵．也考查了旋轉的性質和等腰三角形的性質．9．（3分）兩個不相等的正數(shù)滿足，，設，則關于的函數(shù)圖象是A．射線（不含端點） B．線段（不含端點） C．直線 D．拋物線的一部分【分析】要能根據(jù)函數(shù)圖象的性質和圖象上的數(shù)據(jù)分析得出函數(shù)的類型和所需要的條件，結合實際意義得到正確的結論．【解答】解：首先根據(jù)題意，消去字母和，得到和的關系式．．然后根據(jù)題意，因為，所以，又因為，故；①又因為，所以，所以．②由①②得，故關于的函數(shù)圖象是一條不含端點的線段．故選：．【點評】本題考查了有自變量取值范圍的函數(shù)的圖象．10．（3分）如圖，在邊長為4的正方形內有一個小正方形和矩形，它們的頂點均在大正方形邊上，若，則圖中陰影部分的面積為A．5 B． C． D．【分析】先由得到，，然后由矩形得到，進而利用型相似證明，設，則，然后利用相似三角形的性質得到的長，即可得到、、的長，記與的交點為點，然后利用“8”字型相似證明，設，得到、的長，再利用相似三角形的性質求得的長，即可得到的長，從而得到的面積，最后求得陰影部分的面積．【解答】解：四邊形是邊長為4的正方形，，，，小正方形和矩形的四個頂點在正方形的邊上，，，，，，，，，，設，則，，解得：，，，，，，，記與的交點為點，，，，，設，則，，，解得：（舍或，，，，故選：．【點評】本題考查了正方形的性質、矩形的性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理，解題的關鍵是利用相似三角形的性質求得線段和的長．二.填空題（本題有6個小題，每小題4分，共24分）11．（4分）函數(shù)的頂點坐標是．【分析】根據(jù)題目中函數(shù)的解析式直接得到此二次函數(shù)的頂點坐標．【解答】解：二次函數(shù)頂點式解析式為，二次函數(shù)的圖象的頂點坐標是，故答案為：．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質，解題的關鍵是理解頂點式和頂點坐標的關系．12．（4分）一個布袋里放有5個紅球，3個球黃球和2個黑球，它們除顏色外其余都相同，則任意摸出一個球是黑球的概率是．【分析】根據(jù)概率公式，求摸到黑球的概率，即用黑球除以小球總個數(shù)即可得出得到黑球的概率．【解答】解：在一個布袋里放有5個紅球，3個球黃球和2個黑球，它們除了顏色外其余都相同，從布袋中任意摸出一個球是黑球的概率為：．故答案為：．【點評】此題主要考查了概率公式的應用，由已知求出小球總個數(shù)再利用概率公式求出是解決問題的關鍵．13．（4分）兩個相似五邊形，一組對應邊的長分別為和，若它們的面積之和為，則較小五邊形的面積是．【分析】根據(jù)相似多邊形相似比即對應邊的比，面積的比等于相似比的平方，即可解決．【解答】解：設較小五邊形與較大五邊形的面積分別是，．則，因而．根據(jù)面積之和是，得到，解得：，則．即較小五邊形的面積分別是．故答案為：．【點評】本題考查相似多邊形的性質．掌握相似多邊形面積之比等于相似比的平方是解題的關鍵．14．（4分）如圖，梯子斜靠在墻上，梯子底端離墻腳的距離，梯子上一點離墻的距離．若，則梯子的長為3．【分析】根據(jù)題意可得：，，從而可得，然后證明字模型相似三角形，從而利用相似三角形的性質進行計算，即可解答．【解答】解：由題意可得：，，，，，，，解得：，梯子的長為，故答案為：3．【點評】本題考查了相似三角形的應用，熟練掌握字模型相似三角形是解題的關鍵．15．（4分）如圖是一邊長為6的菱形紙片，將紙片沿折疊，使點落在邊上，點，的對應點分別為點，，交于點．若，，則與相等的角是（寫出一個即可），的長為．【分析】延長、交于點，由菱形的性質得，，，則，，由折疊得，，，所以，由，得，所以，即可證明，根據(jù)相似三角形的性質得到，對應邊成比例求得．【解答】解：延長、交于點，四邊形是邊長為6的菱形，，，，，，，，由折疊得，，，，，，，，，，，故答案為：；2.8．【點評】此題重點考查菱形的性質、軸對稱的性質、相似三角形的判定與性質等知識，正確地作出輔助線并且證明是解題的關鍵．16．（4分）二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點，與軸交于點，且，，．（1）若點在點的右側，且，則二次函數(shù)的對稱軸是直線．（2）若點，均在二次函數(shù)圖象上，當且當時，有，則實數(shù)的取值范圍是．【分析】（1）利用的線段長度和點的坐標求得點的坐標，然后求得二次函數(shù)的對稱軸；（2）先求出對稱軸，然后利用對稱性求出點的對稱點坐標，再利用已知條件和二次函數(shù)的增減性與對稱性，對情況討論即可．【解答】解：（1）①，，當在右側時，，對稱軸為直線，故答案為：直線；（2）令，則，或，函數(shù)圖象與軸的兩個交點坐標為，，由，設，則，將代入得，，，，．拋物線的對稱軸為：直線，由題意得，關于對稱軸的對稱點，，，時，有，，，時，點與點重合，不符合條件，舍去，．故答案為：．【點評】本題考查二次函數(shù)的交點式、二次函數(shù)的對稱性、二次函數(shù)的增減性，解題的關鍵是學會用含有未知數(shù)的式子表示線段或點的坐標．三.解答題（本題有8個小題，共66分，6+6+6+8+8+10+10+12）17．（6分）如圖是小杭和小益共同設計的自由轉動的轉盤，轉盤被等分成6份，上面寫有6個自然數(shù)．轉動轉盤，若指針指向兩個扇形的交線時，則重轉一次，直到指針指向某個扇形區(qū)域為止．（1）求指針指向偶數(shù)的概率；（2）若指針指向的數(shù)小于6的數(shù)則小杭勝，指針指向其他數(shù)，則小益勝，這個游戲對雙方公平嗎？說明理由．【分析】（1）直接利用概率公式計算；（2）分別計算出小杭勝和小益勝的概率，然后比較兩概率的大小可判斷這個游戲對雙方是否公平．【解答】解：（1）指針指向偶數(shù)的概率；（2）這個游戲對雙方不公平．理由如下：指針指向的數(shù)小于6的數(shù)的結果數(shù)為4，所以小杭勝的概率，指針指向不小于6的數(shù)的結果數(shù)為2，所以小益勝的概率，因為，所以這個游戲對雙方不公平．【點評】本題考查了游戲公平性：判斷游戲公平性需要先計算每個事件的概率，然后比較概率的大小，概率相等就公平，否則就不公平．也考查了概率公式．18．（6分）如圖，已知．它們依次交直線，，于點，，和點，，．（1）如果，，，求的長．（2）如果，，線段是線段和線段的比例中項，求的值．【分析】（1）根據(jù)平行線分線段成比例定理列方程，解方程求出；（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理求出，再根據(jù)比例中項的概念計算即可．【解答】解：（1），，即，解得：；（2），，即，解得；，，．【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理、比例中項的概念，靈活運用定理、找準對應關系是解題的關鍵．19．（6分）已知：二次函數(shù)中的和滿足下表：0123453008（1）的值為3；（2）求出這個二次函數(shù)的解析式；（3）當時，則的取值范圍為．【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)和二次函數(shù)的對稱性可得值；（2）將、、代入求出、、即可；（3）根據(jù)二次函數(shù)函數(shù)對稱性和性質寫出函數(shù)取值范圍即可．【解答】解：（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)和函數(shù)的對稱性可知，函數(shù)的對稱軸是直線，點和點關于對稱軸對稱，，故答案為：3．（2）將、、代入得：，解得，二次函數(shù)解析式為：；（3）當時，當時，，當時，，當時，．故答案為：．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解答本題的關鍵．20．（8分）如圖，在的方格中，的頂點均在格點上．（1）請在圖中的線段上找到一點，連結，使得．（2）請在圖中畫出格點線段（端點在格點上），且分別交線段，于點，，作出．【分析】（1）取上的格點，連接，點即為所求；（2）取格點，，連接交于，交于，線段即為所求（答案不唯一）．【解答】解：（1）取上的格點，連接，如圖：點即為所求；理由：由圖可得，，，，，，；（2）取格點，，連接交于，交于，如圖：線段即為所求（答案不唯一）．理由：由圖可知，，．【點評】本題考查作圖應用與設計作圖，解題的關鍵是掌握網(wǎng)格的特征，作出圖形．21．（8分）如圖，在四邊形中，平分，，，點為的中點．（1）求證：；（2）若，，求的值．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得到，根據(jù)相似三角形的判定定理證明；（2）根據(jù)相似三角形的性質得到，根據(jù)直角三角形的性質得到，根據(jù)等腰三角形的性質、平行線的判定定理證明，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理即可解決問題．【解答】（1）證明：平分，，，，；（2）解：由（1）知：，，點為的中點，，，，，，，．【點評】本題考查的是相似三角形的判定和性質，直角三角形的性質、平行線的判定，掌握相似三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．22．（10分）今年雙十一期間，某淘寶店鋪《水滸傳》一書的銷售日益火爆，進價40元，規(guī)定銷售單件不低于44元，且不高于52元，銷售期間發(fā)現(xiàn)，當銷售單價定為44元時，每天可售出300本，銷售單價每上漲1元，每天銷量減少10本．現(xiàn)商家決定提價銷售，設每天銷售量為本，銷售單價為元．（1）當售價定為50元時，求此時每天的銷量和每本書的利潤？（2）請你求出與之間的函數(shù)關系式和自變量的取值范圍；（3）當《水滸傳》的銷售單價定為多少元時，商家每天銷售《水滸傳》獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？【分析】（1）根據(jù)銷售單價每上漲1元，每天銷量減少10本，當售價定為50元時，在44元銷售300本的基礎上減少了60本，從而可得銷量；用可得每本的利潤；（2）根據(jù)銷售量可得函數(shù)解析式，再根據(jù)銷售單件不低于44元，且不高于52元，求出的取值范圍；（3）根據(jù)每天的利潤每本書的利潤銷售量，列出函數(shù)解析式，再由函數(shù)的性質和自變量的取值范圍求函數(shù)最值．【解答】解：（1）根據(jù)題意，當售價定為50元時，每天的銷量為：（本，每本書的利潤為：（元，當售價定為50元時，每天的銷量為240本，每本書的利潤為10元；（2）根據(jù)題意得：，與之間的函數(shù)關系式為；銷售單件不低于44元，且不高于52元，自變量的取值范圍為；（3）由題意得：，，當時，隨的增大而增大，，當時，有最大值，最大值為2640，當《水滸傳》的銷售單價定為52元時，商家每天銷售《水滸傳》獲得的利潤最大，最大利潤是2640元．【點評】本題考查二次函數(shù)應用，解題的關鍵是讀懂題意，列出函數(shù)關系式．23．（10分）如圖，在正方形中，點是邊上的一點（不與、重合），點在邊延長線上，且滿足，聯(lián)結，，與邊交于點．（1）求證：；（2）如果，