浙江省杭州市西湖區(qū)紫金港中學2023--2024學年上學期九年級期中數(shù)學試卷

2023-2024學年浙江省杭州市西湖區(qū)紫金港中學九年級（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.）1．（3分）若，則下列比例式成立的是A． B． C． D．2．（3分）如圖，，，為圓上的三點，，點可能是圓心的是A． B． C． D．3．（3分）擲一枚質地均勻的標有1、2，3，4，5，6六個數(shù)字的立方體骰子，骰子停止后，出現(xiàn)3的倍數(shù)的概率為A． B． C． D．4．（3分）要從拋物線得到的圖象，則拋物線必須A．向上平移3個單位 B．向下平移3個單位 C．向左平移3個單位 D．向右平移3個單位5．（3分）在直角坐標平面內，點的坐標為，點的坐標為，圓的半徑為2．若點在圓上，則值為A．2或3 B．或3 C．或1 D．或26．（3分）如圖，的半徑為5，為弦，若，則的長為A．5 B． C． D．7．（3分）如圖，△，，．將△繞點逆時針旋轉得△，使點的對應點恰好落在邊上，則的度數(shù)是A． B． C． D．8．（3分）一條拋物線的頂點為，，且與軸有兩個交點，其中一個交點是，則對，，描述正確的是A．，， B．，， C．，， D．，，9．（3分）如圖，半徑為5的中，弦，所對的圓心角分別是，．已知，，則弦的弦心距等于A． B． C．4 D．310．（3分）二次函數(shù)，當時，設此函數(shù)最大值為10，最小值為，則的值A．與，的值都有關 B．與無關，但與有關 C．與，的值都無關 D．與有關，但與無關二、填空的6小題，每小題4分，共24分請把答案填在題中的橫線上）.11．（4分）二次函數(shù)的最小值為．12．（4分）如圖，直線，直線依次交、、于、、三點，直線依次交、、于、、三點，若，，則．13．（4分）已知線段，點是線段的黃金分割點，則線段的長為．14．（4分）一個僅裝有球的不透明布袋里只有6個紅球和個白球（僅有顏色不同）．若從中任意摸出一個球是紅球的概率為0.4，則．15．（4分）已知，如圖，是的弦，，點在弦上，連結并延長交于點，，則的度數(shù)是．16．（4分）如圖，已知圓的半徑為3，圓心角，是圓周上的一個動點，分別以，為邊作，連．（1）若點在圓周上，則；（2）在點的運動過程中，的最大值為．三、解答題（本大題共8小題，共66分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演17．（6分）已知，求：（1）的值；（2）若，求，的值．18．（6分）如圖，有4張分別印有版西游圖案的卡片：唐僧、孫悟空、豬八戒、沙悟凈．現(xiàn)將這4張卡片（卡片的形狀、大小、質地都相同）放在不透明的盒子中，攪勻后從中任意取出1張卡片，記錄后放回、攪勻，再從中任意取出1張卡片．求下列事件發(fā)生的概率：（1）第一次取出的卡片圖案為“孫悟空”的概率為；（2）用畫樹狀圖或列表的方法，求兩次取出的2張卡片中至少有1張圖案為“唐僧”的概率．19．（8分）設二次函數(shù)，是常數(shù)，，部分對應值如下表：01250（1）求該函數(shù)解析式；（2）求的解．20．（8分）如圖，在矩形中，點分別在邊，上，△△，，，．（1）求的長．（2）求證：．21．（8分）如圖，在△中，，，以為直徑作半圓，交于點，交于點求；（1）求弧的長；（2）求陰影部分的面積．22．（8分）一次足球訓練中，小明從球門正前方的處射門，球射向球門的路線呈拋物線．當球飛行的水平距離為時，球達到最高點，此時球離地面．已知球門高為，現(xiàn)以為原點建立如圖所示直角坐標系．（1）求拋物線的函數(shù)表達式，并通過計算判斷球能否射進球門（忽略其他因素）；（2）對本次訓練進行分析，若射門路線的形狀、最大高度均保持不變，則當時他應該帶球向正后方移動多少米射門，才能讓足球經過點正上方處？23．（10分）在平面直角坐標系中，設二次函數(shù)，，是實數(shù)）．（1）若函數(shù)經過點的圖象經過點，求證：函數(shù)的圖象經過點．（2）設函數(shù)和函數(shù)的最值分別為和，若且函數(shù)的圖象和兩點，求的值．24．（12分）如圖，為直徑，點為下方上一點，點為弧中點，連接，．（1）求證：；（2）過點作于，交于，求證：；（3）在（2）的條件下，若，，求線段的長

2023-2024學年浙江省杭州市西湖區(qū)紫金港中學九年級（上）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.）1．（3分）若，則下列比例式成立的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)比例的性質，可得答案．【解答】解：、由比例的性質，得，故正確；、由比例的性質，得，故錯誤；、由比例的性質，得，故錯誤；、由比例的性質，得，故錯誤；故選：．【點評】本題考查了比例的性質，利用比例的性質是解題關鍵．2．（3分）如圖，，，為圓上的三點，，點可能是圓心的是A． B． C． D．【分析】利用圓周角定理對各選項進行判斷．【解答】解：，若點圓心，．故選：．【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．3．（3分）擲一枚質地均勻的標有1、2，3，4，5，6六個數(shù)字的立方體骰子，骰子停止后，出現(xiàn)3的倍數(shù)的概率為A． B． C． D．【分析】由題意知，共有6種等可能的結果，其中出現(xiàn)3的倍數(shù)的結果有2種，利用概率公式可得答案．【解答】解：由題意知，共有6種等可能的結果，其中出現(xiàn)3的倍數(shù)的結果有：3，6，共2種，出現(xiàn)3的倍數(shù)的概率為．故選：．【點評】本題考查概率公式、倍數(shù)，熟練掌握概率公式是解答本題的關鍵．4．（3分）要從拋物線得到的圖象，則拋物線必須A．向上平移3個單位 B．向下平移3個單位 C．向左平移3個單位 D．向右平移3個單位【分析】按照“上加下減”的規(guī)律，可以求解．【解答】解：按照“上加下減”的規(guī)律，拋物線向上平移3個單位得的圖象．故選：．【點評】此題考查了拋物線的平移以及拋物線解析式的變化規(guī)律：左加右減，上加下減．5．（3分）在直角坐標平面內，點的坐標為，點的坐標為，圓的半徑為2．若點在圓上，則值為A．2或3 B．或3 C．或1 D．或2【分析】根據(jù)的坐標和圓的半徑以及兩點之間的距離即可求出答案．【解答】解：，的半徑是2，，，解得或3．故選：．【點評】本題考查了坐標與圖形性質，解題的關鍵是熟練掌握圓的定義和坐標系中兩點之間的距離公式．6．（3分）如圖，的半徑為5，為弦，若，則的長為A．5 B． C． D．【分析】連接、，利用圓周角定理得出，再利用弧長公式求得即可．【解答】解：連接、，，，的長，故選：．【點評】此題考查圓周角定理，關鍵是利用圓周角定理得出．7．（3分）如圖，△，，．將△繞點逆時針旋轉得△，使點的對應點恰好落在邊上，則的度數(shù)是A． B． C． D．【分析】根據(jù)旋轉可得，，得出．【解答】解：將△繞點逆時針旋轉得到△，使點的對應點恰好落在邊上，，，．故選：．【點評】本題考查了旋轉的性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理，解決本題的關鍵是掌握旋轉的性質．8．（3分）一條拋物線的頂點為，，且與軸有兩個交點，其中一個交點是，則對，，描述正確的是A．，， B．，， C．，， D．，，【分析】依據(jù)題意，由拋物線的頂點為，可得，即，故，又拋物線過，則，進而可得，結合，最后可以判斷，，的符號．【解答】解：由題意，拋物線的頂點為，，即．．又拋物線過，，．．，．，．．故選：．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系、拋物線與軸的交點，解題時要熟練掌握并能靈活二次函數(shù)的性質是關鍵．9．（3分）如圖，半徑為5的中，弦，所對的圓心角分別是，．已知，，則弦的弦心距等于A． B． C．4 D．3【分析】作于，作直徑，連接，先利用等角的補角相等得到，再利用圓心角、弧、弦的關系得到，由，根據(jù)垂徑定理得，易得為△的中位線，然后根據(jù)三角形中位線性質得到．【解答】解：方法一：作于，作直徑，連接，如圖，，而，，，，，，而，為△的中位線，．方法二：作和的弦心距、，則，，證明△△，則．故選：．【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了垂徑定理和三角形中位線性質．10．（3分）二次函數(shù)，當時，設此函數(shù)最大值為10，最小值為，則的值A．與，的值都有關 B．與無關，但與有關 C．與，的值都無關 D．與有關，但與無關【分析】依據(jù)題意，先根據(jù)二次函數(shù)的已知條件，得出二次函數(shù)的圖象開口向上，再分別進行討論，即可得出函數(shù)的最大值與最小值即可得到結論．【解答】解：二次函數(shù)，該拋物線的對稱軸為直線，且，當時，即，當時，二次函數(shù)有最大值為：，即，．當時，二次函數(shù)有最小值為：，即，與有關但與無關．當，當時，二次函數(shù)有最大值為：．．當時，二次函數(shù)有最小值為：，即，與有關但與無關．當時，即，當時，二次函數(shù)取最小值為．此時①若，即，當時，二次函數(shù)的最大值為，．，與有關但與無關．②若，即，當時，二次函數(shù)的最大值為，即．．，與有關但與無關8，故選：．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的性質、二次函數(shù)的最值，解題時要熟練掌握并能靈活運用二次函數(shù)的性質是關鍵．二、填空的6小題，每小題4分，共24分請把答案填在題中的橫線上）.11．（4分）二次函數(shù)的最小值為4．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點式直接寫出即可．【解答】解：二次函數(shù)的最小值為4．故答案為：4．【點評】本題考查了二次函數(shù)的最值問題，利用頂點式求最值需熟練掌握．12．（4分）如圖，直線，直線依次交、、于、、三點，直線依次交、、于、、三點，若，，則．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計算得到答案．【解答】解：，，，，，，解得：，故答案為：．【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用平行線分線段成比例定理、找準對應關系是解題的關鍵．13．（4分）已知線段，點是線段的黃金分割點，則線段的長為．【分析】根據(jù)黃金分割的定義進行計算，即可解答．【解答】解：線段，點是線段的黃金分割點，，故答案為：．【點評】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關鍵．14．（4分）一個僅裝有球的不透明布袋里只有6個紅球和個白球（僅有顏色不同）．若從中任意摸出一個球是紅球的概率為0.4，則9．【分析】根據(jù)紅球的概率公式，列出方程求解即可．【解答】解：根據(jù)題意，，解得，經檢驗是方程的解．．故答案為：9．【點評】本題考查概率公式，根據(jù)公式列出方程求解則可．用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．15．（4分）已知，如圖，是的弦，，點在弦上，連結并延長交于點，，則的度數(shù)是．【分析】連接，根據(jù)圓的半徑都相等即可求出答案．【解答】解：連接，，，，，，故答案為：．【點評】本題考查圓周角定理，解題的關鍵是構造出輔助線，本題屬于基礎題型．16．（4分）如圖，已知圓的半徑為3，圓心角，是圓周上的一個動點，分別以，為邊作，連．（1）若點在圓周上，則；（2）在點的運動過程中，的最大值為．【分析】（1）連接，可證得四邊形是菱形，進而得出△是等邊三角形，推出、、三點共線，再運用勾股定理即可求得；（2）連接，延長交于，連接，可以看作是沿方向平移，則點到點的距離始終等于點到點的距離，由點是上的定點，點的軌跡是一個圓，點是由點平移而來，得出點的軌跡也是一個圓，可以看作是向方向平移的長度，即以為圓心，為半徑的圓，推出當點在的延長線上時，的值取得最大值，再運用直角三角形性質即可得出答案．【解答】解：（1）如圖，連接，點在圓周上，四邊形是平行四邊形，又，四邊形是菱形，，△是等邊三角形，，，，、、三點共線，，且為的直徑，，，故答案為：；（2）如圖，連接，延長交于，連接，四邊形是平行四邊形，，，，，四邊形是平行四邊形，，以，為邊作，可以看作是沿方向平移，則點到點的距離始終等于點到點的距離，點是上的定點，點的軌跡是一個圓，點是由點平移而來，點的軌跡也是一個圓，可以看作是向方向平移的長度，即以為圓心，為半徑的圓，當點在的延長線上時，的值取得最大值，這個點記為點，對應的點記為點，連接，，，，，連接，，，，△是直角三角形，且，，即的最大值為6，故答案為：6．【點評】本題是圓的綜合題，考查了圓的性質，平行四邊形的性質，菱形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，直角三角形的性質，勾股定理，熟練掌握圓的性質是解題關鍵．三、解答題（本大題共8小題，共66分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演17．（6分）已知，求：（1）的值；（2）若，求，的值．【分析】（1）利用已知表示出，的值，進而求出答案；（2）直接利用已知，進而得出答案．【解答】解：由，設，；（1）；（2），，解得：，，．【點評】此題主要考查了比例的性質，正確用同一未知數(shù)表示出各數(shù)是解題關鍵．18．（6分）如圖，有4張分別印有版西游圖案的卡片：唐僧、孫悟空、豬八戒、沙悟凈．現(xiàn)將這4張卡片（卡片的形狀、大小、質地都相同）放在不透明的盒子中，攪勻后從中任意取出1張卡片，記錄后放回、攪勻，再從中任意取出1張卡片．求下列事件發(fā)生的概率：（1）第一次取出的卡片圖案為“孫悟空”的概率為；（2）用畫樹狀圖或列表的方法，求兩次取出的2張卡片中至少有1張圖案為“唐僧”的概率．【分析】（1）直接根據(jù)概率公式計算；（2）畫樹狀圖展示所有16種等可能的結果，再找出兩次取出的2張卡片中至少有1張圖案為“唐僧”的結果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【解答】解：（1）第一次取出的卡片圖案為“孫悟空”的概率為；故答案為：；（2）畫樹狀圖為：共有16種等可能的結果，其中兩次取出的2張卡片中至少有1張圖案為“唐僧”的結果數(shù)為7，所以兩次取出的2張卡片中至少有1張圖案為“唐僧”的概率．【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖展示所有可能的結果求出，再從中選出符合事件或的結果數(shù)目，然后利用概率公式求出事件或的概率．19．（8分）設二次函數(shù)，是常數(shù)，，部分對應值如下表：01250（1）求該函數(shù)解析式；（2）求的解．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得；（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質即可求得．【解答】解：（1）函數(shù)圖象經過，，，解得，該函數(shù)解析式為；（2），拋物線開口向上，經過點，，當時，，故的解為．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質，二次函數(shù)與不等式的關系，解題關鍵是熟練掌握待定系數(shù)法和二次函數(shù)的性質．20．（8分）如圖，在矩形中，點分別在邊，上，△△，，，．（1）求的長．（2）求證：．【分析】（1）根據(jù)兩三角形相似，得到對應邊成比例，，結合已知條件，從而得到的長，利用直角三角形勾股定理，從而得到結果；（2）利用兩三角形相似，得到對應角相等，結合直角三角形兩銳角互余，從而證得結果．【解答】（1）解：△△，，，，，，，矩形，，在△中，；（2）證明：△△，，在△中，，，．【點評】本題考查了三角形相似的性質，以及矩形性質，勾股定理的應用，關鍵是合理應用三角形相似的性質．21．（8分）如圖，在△中，，，以為直徑作半圓，交于點，交于點求；（1）求弧的長；（2）求陰影部分的面積．【分析】（1）利用等腰三角形的性質和平行線的判定與性質求出，再由弧長公式計算弧的長；（2）利用扇形和三角形的面積公式，根據(jù)“陰影部分的面積扇形的面積△的面積”計算即可．【解答】解：（1），，，，，，，，，，，弧的長是．（2），陰影部分的面積是．【點評】本題考查扇形的面積、等腰三角形的性質、弧長的計算，掌握扇形的面積和弧長的計算公式及等腰三角形的性質、平行線的判定與性質是解題的關鍵．22．（8分）一次足球訓練中，小明從球門正前方的處射門，球射向球門的路線呈拋物線．當球飛行的水平距離為時，球達到最高點，此時球離地面．已知球門高為，現(xiàn)以為原點建立如圖所示直角坐標系．（1）求拋物線的函數(shù)表達式，并通過計算判斷球能否射進球門（忽略其他因素）；（2）對本次訓練進行分析，若射門路線的形狀、最大高度均保持不變，則當時他應該帶球向正后方移動多少米射門，才能讓足球經過點正上方處？【分析】（1）求出拋物線的頂點坐標為，設拋物線為，用待定系數(shù)法可得；當時，，知球不能射進球門．（2）設小明帶球向正后方移動米，則移動后的拋物線為，把點代入得（舍去）或，即知當時他應該帶球向正后方移動1米射門，才能讓足球經過點正上方處．【解答】解：（1），拋物線的頂點坐標為，設拋物線為，把點代入得：，解得，拋物線的函數(shù)表達式為；當時，，球不能射進球門．（2）設小明帶球向正后方移動米，則移動后的拋物線為，把點代入得：，解得（舍去）