2022年春《離散型隨機(jī)變量及其分布列》教學(xué)設(shè)計

高中數(shù)學(xué)精編資源3/3《離散型隨機(jī)變量及其分布列》教學(xué)設(shè)計必備知識學(xué)科能力學(xué)科素養(yǎng)高考考向隨機(jī)變量學(xué)習(xí)理解能力概括理解應(yīng)用實踐能力分析計算推測解釋簡單問題解決創(chuàng)造遷移能力綜合問題解決數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)運算數(shù)學(xué)抽象【考查內(nèi)容】根據(jù)題意分析寫出離散型隨機(jī)變量的分布列【考查題型】選擇題、填空題、解答題離散型隨機(jī)變量的分布列數(shù)學(xué)運算數(shù)學(xué)抽象邏輯推理兩點分布數(shù)學(xué)運算數(shù)學(xué)抽象邏輯推理一、本節(jié)內(nèi)容分析離散型隨機(jī)變量及其分布的主要內(nèi)容是學(xué)習(xí)分布列的定義、性質(zhì)、應(yīng)用和兩點分布模型.離散型隨機(jī)變量的分布列是高中階段的重點內(nèi)容,它作為概率與統(tǒng)計的橋梁與紐帶,既是概率的延伸,也是學(xué)習(xí)統(tǒng)計學(xué)的理論基礎(chǔ),起到承上啟下的作用,是本節(jié)的關(guān)鍵知識之一,也是后續(xù)第三節(jié)離散型隨機(jī)變量的均值和方差的基礎(chǔ).從近幾年的高考觀察,這部分內(nèi)容有加強(qiáng)命題的趨勢.本節(jié)包含的核心知識和體現(xiàn)的核心素養(yǎng)如下:核心知識1.隨機(jī)變量2.離散型隨機(jī)變量的分布列3.兩點分布數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)運算邏輯推理核心素養(yǎng)二、學(xué)情整體分析由于學(xué)生對于隨機(jī)問題的學(xué)習(xí)經(jīng)驗不足,隨機(jī)變量的概念對學(xué)生的抽象、思維能力有較高的要求,隨機(jī)變量的分布列描述的是隨機(jī)變量的概率分布,學(xué)生存在理解上的困難.因此需要在關(guān)聯(lián)的情境中,通過具體實例幫助學(xué)生抽象出一般的數(shù)學(xué)概念和性質(zhì),將隨機(jī)現(xiàn)象抽象為數(shù)學(xué)問題,用概率的語言表述隨機(jī)現(xiàn)象,提升數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).學(xué)情補(bǔ)充:_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________三、教學(xué)活動準(zhǔn)備【任務(wù)專題設(shè)計】1.離散型隨機(jī)變量2.離散型隨機(jī)變量的分布列3.兩點分布【教學(xué)目標(biāo)設(shè)計】1.結(jié)合具體實例,了解離散型隨機(jī)變量的分布列,會求某些簡單的離散型隨機(jī)變量的分布列.2.培養(yǎng)勇于創(chuàng)新、大膽探索、互相合作的精神;理解求離散型隨機(jī)變量分布列的基本步驟.3.能熟練應(yīng)用離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)求概率.4.了解兩點分布.【教學(xué)策略設(shè)計】1.通過讓學(xué)生探究離散型隨機(jī)變量的一系列問題,以學(xué)為主生成教學(xué)設(shè)計.本節(jié)課的重點是離散型隨機(jī)變量的分布列的含義與性質(zhì)而非如何求概率,因此在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中應(yīng)是從創(chuàng)設(shè)概念的生長點的問題情境切入探究,像是剝洋蔥皮式的探究而不是變式訓(xùn)練的強(qiáng)化.2.采用樣本空間等問題串引入課題——引導(dǎo)學(xué)生自主探究離散型隨機(jī)變量及其分布列——學(xué)生討論展示自己的探究成果——教師點撥學(xué)生的困惑——通過課堂練習(xí)鞏固提高所學(xué)知識的教學(xué)環(huán)節(jié),并利用信息技術(shù)創(chuàng)設(shè)實際問題的情境.發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性,使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為“再創(chuàng)造”過程.【教學(xué)方法建議】情境教學(xué)法、探究教學(xué)法,還有___________________________________________________【教學(xué)重點難點】重點1.理解隨機(jī)變量及離散型隨機(jī)變量的含義.2.會求某些簡單的離散型隨機(jī)變量的分布列.難點會求某些簡單的離散型隨機(jī)變量的分布列.【教學(xué)材料準(zhǔn)備】1.常規(guī)材料:多媒體課件、________________________________________________2.其他材料:_____________________________________________________________四、教學(xué)活動設(shè)計教學(xué)導(dǎo)入師:我們知道,在求隨機(jī)事件的概率時,往往需要為隨機(jī)試驗建立樣本空間,樣本空間的確定是研究概率的基礎(chǔ).【情景設(shè)置】建立樣本空間請為以下隨機(jī)試驗建立樣本空間:(1)擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù).(2)擲兩枚骰子,觀察兩個點數(shù)之和.(3)擲一枚硬幣,觀察出現(xiàn)正、反面的情況.(4)從裝有5個紅球、3個白球的袋中依次摸出兩球,觀察球的顏色.【學(xué)生回答問題,教師順勢引入課題】【設(shè)計意圖】引例中的4個問題都來自學(xué)生的生活經(jīng)驗,前兩個問題學(xué)生一般會建立數(shù)集表示的樣本空間,而后兩個問題,學(xué)生一般會根據(jù)具體問題用文字符號表示樣本空間.通過情境創(chuàng)設(shè)引入課題.教學(xué)精講探究1離散型隨機(jī)變量師:從前面的問題我們可以知道,如果我們在隨機(jī)試驗的樣本空間與實數(shù)集之間建立某種對應(yīng),不僅可能為一些隨機(jī)事件的表示帶來方便,還可能更好地利用數(shù)學(xué)工具研究隨機(jī)試驗.問題1:如果有些隨機(jī)試驗的樣本點與數(shù)值沒有關(guān)系,我們?nèi)绾螌⑦@個試驗的樣本點與實數(shù)建立聯(lián)系?例如,隨機(jī)抽一件產(chǎn)品,有“抽到次品”和“抽到正品”兩種可能的結(jié)果,那么如何建立樣本點和實數(shù)之間的對應(yīng)?【教師提示學(xué)生聯(lián)想函數(shù)表示中的分段函數(shù)的表示方法】生:如果“抽到次品”用1表示,“抽到正品”用0表示,那么這個試驗的樣本點與實數(shù)就建立了對應(yīng)關(guān)系.【以學(xué)定教】通過具體實例,了解到一個隨機(jī)現(xiàn)象可以通過一個變量來刻畫,隨機(jī)試驗結(jié)果不論是否與數(shù)量直接有關(guān),都可以數(shù)量化.師:仿照這種辦法,我們可以把一些隨機(jī)試驗的樣本點與實數(shù)建立對應(yīng)關(guān)系.并總結(jié):對于任何一個隨機(jī)試驗,總可以把它的每一個樣本點與一個實數(shù)對應(yīng),即通過引入一個取值依賴于樣本點的變量X,來刻畫樣本點和實數(shù)的對應(yīng)關(guān)系,實現(xiàn)樣本點的數(shù)量化.因為在隨機(jī)試驗中,樣本點的出現(xiàn)具有隨機(jī)性,所以變量X的取值也具有隨機(jī)性.師:什么是隨機(jī)變量?下面我們一起探究.【情景設(shè)置】探究隨機(jī)變量的概念試驗1:從100個電子元件(至少含3個以上次品)中隨機(jī)抽取三個進(jìn)行檢驗,變量X表示3個元件中的次品數(shù).試驗2:拋擲一枚硬幣直到出現(xiàn)正面為止,變量Y表示需要的拋擲次數(shù).這兩個隨機(jī)試驗的樣本空間各是什么?各個樣本點與變量的值是如何對應(yīng)的?變量X,Y有哪些共同的特征?師:對于試驗1,如果用0表示“元件為合格品”,1表示“元件為次品”,用各樣本點與變量X的值構(gòu)成的長度為3的字符串表示樣本點.該樣本點如何表示?【教師要求學(xué)生寫出樣本空間】生:.師:對于試驗2,如果用h表示“正面向上”,t表示“反面向上”.【教師要求學(xué)生寫出樣本空間】生:.【教師及時肯定學(xué)生回答,板書講解試驗1和2中各樣本點與變量X的對應(yīng)關(guān)系】師:觀察兩個隨機(jī)試驗,請你歸納試驗1和試驗2的樣本空間中樣本點與對應(yīng)變量有什么共同點?【師生共同歸納,在上面兩個隨機(jī)試驗中,每個樣本點都有唯一的一個實數(shù)與之對應(yīng),變量X,Y有如下共同點】生:(1)取值依賴于樣本點.(2)所有可能取值是明確的.師:根據(jù)對問題2的分析和歸納,你能類比函數(shù)中的對應(yīng)關(guān)系,將樣本空間中的樣本點與實數(shù)的對應(yīng)關(guān)系用一般化的數(shù)學(xué)語言表示嗎?【先學(xué)后教】通過問題串層層探究,從特殊到一般地歸納形成隨機(jī)變量和離散型隨機(jī)變量的概念,用類比函教定義的方法給出隨機(jī)變量的定義.通過舉例的方式,加深學(xué)生對隨機(jī)變量概念的認(rèn)識,這是數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的重要方法,通過上述過程中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).【類比函數(shù)的定義,先由學(xué)生歸納、抽象、表達(dá),利用師生交互平臺進(jìn)行交流、討論,然后教師規(guī)范地表達(dá)隨機(jī)變量的概念并展示多媒體】【要點知識】隨機(jī)變量的概念一般地,對于隨機(jī)試驗樣本空間中的每個樣本點,都有唯一的實數(shù)與之對應(yīng),我們稱X為隨機(jī)變量.師:試驗1中隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3,共有4個值;試驗2中隨機(jī)變量Y的可能取值為1,2,3,…,有無限個取值,但可以一一舉列出來.【自主學(xué)習(xí)】對于離散型隨機(jī)變量的分布列的概念學(xué)生容易理解,以教師講授的方式為主可以提高教學(xué)效率.【要點知識】離散型隨機(jī)變量的概念像這樣,可能取值為有限個或可以一一列出的隨機(jī)變量,我們稱為離散型隨機(jī)變量,通常用大寫英文字母表示隨機(jī)變量,例如X,Y,Z;用小寫英文字母表示隨機(jī)變量的取值,例如x,y,z.師:隨機(jī)變量的定義與函數(shù)的定義類似,這里樣本點相當(dāng)于函數(shù)定義中的自變量,而樣本空間相當(dāng)于函數(shù)的定義域,不同之處在于不一定是數(shù)集.隨機(jī)變量的取值隨著試驗結(jié)果的變化而變化,使得我們可以利用數(shù)學(xué)工具研究隨機(jī)事件.追問:你能舉出一些離散型隨機(jī)變量的例子嗎?【先由學(xué)生思考、自由發(fā)言,教師進(jìn)行補(bǔ)充和點評,如果學(xué)生因為學(xué)習(xí)經(jīng)驗的不足,無法舉出準(zhǔn)確的例子,教師可以直接舉例】師:如某射擊運動員射擊一次可能命中的環(huán)數(shù),它的可能取值為.在一個裝有8個紅球,4個白球的袋子中,隨機(jī)摸出3個球,其中白球的個數(shù)為可能取值為.這些都是離散型隨機(jī)變量的例子,而像種子含水量的測量誤差,某品牌電視機(jī)的使用壽命,某一個零件長度的測量誤差等,這些都是可能取值充滿了某個區(qū)間,不能一一列出的隨機(jī)變量,稱為連續(xù)型隨機(jī)變量.本節(jié)我們只研究有限個值的離散型隨機(jī)變量.師:請看下面一個例題.【典型例題】離散型隨機(jī)變量的判斷例1指出下列隨機(jī)變量是不是離散型隨機(jī)變量,并說明理由.(1)某座大橋一天經(jīng)過的車輛數(shù);(2)某超市5月份每天的銷售額;(3)某加工廠加工的一批某種鋼管的外徑與規(guī)定的外徑尺寸之差;(4)江西九江市長江水位監(jiān)測站所測水位在這一范圍內(nèi)變化,該水位站所測水位.【學(xué)生思考,交流,教師指定學(xué)生回答問題,并給予評價和肯定】【推測解釋能力】通過例1進(jìn)行離散型隨機(jī)變量的判斷.讓學(xué)生明確離散型隨機(jī)變量的取值可以一一列出.在解決問題的過程中提升了推測解釋能力.生解:(1)車輛數(shù)的取值可以一一列出,故為離散型隨機(jī)變量.(2)某超市5月份每天銷售額可以一一列出,故為離散型隨機(jī)變量.(3)實際測量值與規(guī)定值之間的差值無法一一列出,不是離散型隨機(jī)變量.(4)不是離散型隨機(jī)變量,水位在這一范圍內(nèi)變化,不能按次序一一列舉.【少教精教】教師少教,學(xué)生獨立思考、交流,得到問題的答案.有效提升課堂教學(xué)效果.師:下面我們再看一道關(guān)于理解離散型隨機(jī)變量的例題.【典型例題】對離散型隨機(jī)變量的理解例2寫出下列隨機(jī)變量可能取的值,并說明隨機(jī)變量所取的值表示的隨機(jī)試驗的結(jié)果.(1)一個袋中裝有8個紅球,3個白球,從中任取5個球,其中所含白球的個數(shù)為;(2)一個袋中有5個同樣大小的黑球,編號為,從中任取3個球,取出的球的最大號碼記為.【學(xué)生思考,交流,教師指定學(xué)生回答問題,并給予評價和肯定,多媒體展示正確答案】【典型解析】對離散型隨機(jī)變量的理解解:(1)可取0,1,2,3.表示取5個球全是紅球;表示取1個白球,4個紅球;表示取2個白球,3個紅球;表示取3個白球,2個紅球.(2)可取3,4,5.表示取出的球編號為表示取出的球編號為1,2,4;1,3,4或表示取出的球編號為1,2,5;1,3,5;1,4,5;2,3,5;2,4,5或.【概括理解能力】通過例2讓學(xué)生對離散型隨機(jī)變量有了更加明確的理解.一個隨機(jī)變量的取值對應(yīng)一個或多個隨機(jī)試驗的結(jié)果.在解決例2的過程中提升概括理解能力.師:用隨機(jī)變量表示隨機(jī)試驗的結(jié)果的關(guān)鍵點和注意點如下.(1)關(guān)鍵點:解決此類問題的關(guān)鍵是明確隨機(jī)變量的所有可能取值,以及取每一個值對應(yīng)的意義,即一個隨機(jī)變量的取值對應(yīng)一個或多個隨機(jī)試驗的結(jié)果.(2)注意點:解答過程中不要漏掉某些試驗結(jié)果.探究2離散型隨機(jī)變量的分布列問題2:根據(jù)問題引入合適的隨機(jī)變量,有利于我們簡潔地表示所關(guān)心的隨機(jī)事件,以及隨機(jī)試驗中的概率問題.你能嘗試著舉一個具體例子嗎?師:擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,表示擲出的點數(shù),則事件“擲出點”可以表示為,事件“擲出的點數(shù)不大于2”可以表示為,事件“擲出偶數(shù)點”可以表示為.由擲出各種點數(shù)的等可能性,可得.【自主學(xué)習(xí)】通過學(xué)生自主閱讀教材,嘗試寫出具體實例的隨機(jī)變量分布列的表格表示形式,為后面理解離散型隨機(jī)變量的分布列的表示奠定基礎(chǔ).師:通過上面的實例,你能用表格嘗試表示出來嗎?【學(xué)生自主閱讀教材后,展示答案】生:可以這樣表示.123456師:由此我們可以得到概率分布列的概念.【要點知識】概率分布列的概念一般地,設(shè)離散型隨機(jī)變量的可能取值為,我們稱取每一個值的概率為的概率分布列,簡稱分布列.【概括理解能力】通過類比實例的變量分布列的表格表示,學(xué)生總結(jié)歸納出離散型隨機(jī)變量的分布列如何用表格表示,培養(yǎng)了概括理解能力.師:知道了概率分布列的概念,那么離散型隨機(jī)變量的分布列如何用表格表示呢?【教師鼓勵學(xué)生,由前面實例的表格表示形式類比推出概率分布列的表格表示,教師點評后進(jìn)行展示】【要點知識】離散型隨機(jī)變量分布列的表示1.離散型隨機(jī)變量的分布列可以用表格表示.2.離散型隨機(jī)變量的分布列還可以用圖表示.例如,下圖直觀地表示了擲骰子試驗中擲出的點數(shù)的分布列,稱為的概率分布圖.【先學(xué)后教】通過學(xué)生前面自主閱讀教材,了解到離散型隨機(jī)變量的分布列還可以用圖表表示,教師通過舉例先學(xué)后教,幫助學(xué)生理解離散型隨機(jī)變量的分布列的表示.師:你能根據(jù)概率的性質(zhì),研究離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)嗎?寫出你的研究結(jié)果并與同學(xué)交流.【學(xué)生通過概率性質(zhì)的學(xué)習(xí),已經(jīng)具有探究離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)的能力,在學(xué)生交流研究結(jié)果之后,教師總結(jié)出離散型隨機(jī)變量的分布列具有的兩個性質(zhì)并進(jìn)行多媒體展示】【要點知識】離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)性質(zhì)1;性質(zhì)2.師:利用分布列和概率的性質(zhì),可以計算由離散型隨機(jī)變量表示的事件的概率.例如,在擲骰子試驗中,由概率的加法公式,得事件“擲出的點數(shù)不大于2”的概率為.類似地,事件“擲出偶數(shù)點”的概率為.【深度學(xué)習(xí)】通過教師舉例說明離散型隨機(jī)變量的性質(zhì),加深學(xué)生對該性質(zhì)的理解,為下面的例題學(xué)習(xí)提供理論支持.師:下面請看例題.【典型例題】求解離散型隨機(jī)變量的分布列例3某學(xué)校高二年級有200名學(xué)生,他們的體育綜合測試成績分5個等級,每個等級對應(yīng)的分?jǐn)?shù)和人數(shù)如表所示.等級不及格及格中等良優(yōu)分?jǐn)?shù)12345人數(shù)2050604030從這200名學(xué)生中任意選取1人,求所選同學(xué)分?jǐn)?shù)的分布列,以及.【簡單問題解決能力】通過例3,學(xué)生掌握求解離散型隨機(jī)變量的分布列的方法和步驟,通過思考和運算提升了學(xué)生的簡單問題解決能力.【教師引導(dǎo),學(xué)生獨立思考后,自主做題,教師總結(jié)求解步驟】生解:由題意知,是一個離散型隨機(jī)變量,其可能取值為,且“不及格”,“及格”,“中等”,“良”,“優(yōu)”.根據(jù)古典概型的知識,可得的分布列,如表所示.12345師:通過上面的例題我們總結(jié)一下離散型隨機(jī)變量分布列的步驟.【歸納總結(jié)】求離散型隨機(jī)變量分布列的步驟第一步明確隨機(jī)變量的所有可能取值及取每個值所對應(yīng)的事件第一步明確隨機(jī)變量的所有可能取值及取每個值所對應(yīng)的事件第二步利用概率的有關(guān)知識，求出隨機(jī)變量取每個值的概率第二步利用概率的有關(guān)知識，求出隨機(jī)變量取每個值的概率第三步列出分布列第三步列出分布列【意義學(xué)習(xí)】通過例3的學(xué)習(xí),學(xué)生初步掌握求離散型隨機(jī)變量分布列的步驟,經(jīng)過教師的歸納總結(jié),學(xué)生理解離散型隨機(jī)變量分布列的意義,掌握求解方法.注意:根據(jù)分布列的性質(zhì)對結(jié)果進(jìn)行檢驗.師:下面應(yīng)用求解離散型隨機(jī)變量的步驟,我們解決一道例題.【典型例題】求離散型隨機(jī)變量的分布列例4一批筆記本電腦共有10臺,其中品牌3臺,品牌7臺.如果從中隨機(jī)挑選2臺,求這2臺電腦中品牌臺數(shù)的分布列.生解:設(shè)挑選的2臺電腦中品牌的臺數(shù)為,則的可能取值為.根據(jù)古典概型的知識,可得的分布列為,.用表格表示的分布列,如表所示.012【分析計算能力】通過例4的學(xué)習(xí),使學(xué)生能夠在熟悉的數(shù)學(xué)問題情境中,將實際問題還原成數(shù)學(xué)問題,建立數(shù)學(xué)模型,培養(yǎng)學(xué)生分析計算的能力.探究3兩點分布師:前面我們學(xué)習(xí)隨機(jī)變量的取值為.如果隨機(jī)變量的取值只取0和1時分布列是什么樣的.【典型例題】探究兩點分布例5一批產(chǎn)品的次品率為,隨機(jī)抽取1件,定義,求的分布列.生解:根據(jù)隨機(jī)變量分布列的知識和題目中的定義,“抽到次品”,“抽到正品”,得的分布列為.師:對于只有兩個可能結(jié)果的隨機(jī)試驗,用表示“成功”,表示“失敗”,定義如果,則.那么的分布列如表所示.01我們稱服從兩點分布或分布.實際上,為在一次試驗中成功(事件發(fā)生)的次數(shù)(0或1),像購買的彩券是否中獎,新生嬰兒的性別,投籃是否命中等,都可以用兩點分布來描述.【情境學(xué)習(xí)】問題的設(shè)置是深化學(xué)生對求解離散型隨機(jī)變量分布列的理解.例5通過階梯式問題的設(shè)置和解答,促使學(xué)生理解并掌握如何運用兩點分布解決問題.師:下面請繼續(xù)看例題吧.【典型例題】兩點分布的應(yīng)用例6籃球比賽中每次罰球命中球得1分,不中得0分.已知某運動員罰球命中的概率為0.7,求他一次罰球得分的分布列.生解:兩點分布的應(yīng)用十分廣泛,如抽取的彩票是否中獎;買回的一件產(chǎn)品是否為正品;新生嬰兒的性別;投籃是否命中等,都可用兩點分布來研究.設(shè)他罰球得分為,則的分布列為.01【自主學(xué)習(xí)】通過例6給學(xué)生提供一個自主發(fā)展的空間,強(qiáng)調(diào)學(xué)生知識的獲得不是簡單的重復(fù)和遷移,而是學(xué)生不斷的構(gòu)建和完善.通過例6了解兩點分布是分布列的特殊情形.師:這節(jié)課就上到這里,請大家回顧一下本節(jié)課所學(xué)知識.【引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程,并回答以下幾個問題】【課堂小結(jié)】離散型隨機(jī)變量及其分布列1.通過類比函數(shù)定義引入隨機(jī)變量的概念,對你有什么啟示?2.為什么要研究離散型隨機(jī)變量的分布列?離散型隨機(jī)變量的分布列有什么作用?3.根據(jù)本節(jié)課所舉的例題,請你歸納求離散型隨機(jī)變量分布列的一般步驟.分布列的性質(zhì)在求解隨機(jī)事件概率的過程中起到什么作用?【設(shè)計意圖】通過讓學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)的離散型隨