《一元線性回歸模型及其應用第3課時》教學設計

高中數(shù)學精選資源3/3《一元線性回歸模型及其應用第3課時》教學設計一、單元內(nèi)容及其解析1.內(nèi)容一元線性回歸模型，一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計.本單元教學約需3課時，第1課時，一元線性回歸模型；第2課時，一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計；第3課時，一元線性回歸模型的應用.2.內(nèi)容解析一元線性回歸模型是描述兩個隨機變量之間相關關系的最簡單的回歸模型.當兩個變量之間具有顯著的線性相關關系時，可以建立一元線性回歸模型刻畫兩個變量間的隨機關系，并通過模型進行預測.建立一元線性回歸模型的基礎是成對樣本數(shù)據(jù)的相關性分析，通過對散點圖的直觀觀察，可以大致確定變量間是否存在線性關系，通過樣本相關系數(shù)可以分析線性關系的強弱.在此基礎上建立一元線性回歸模型，用最小二乘法估計線性回歸模型中的參數(shù)，得到經(jīng)驗回歸方程，并利用殘差及利用殘差構(gòu)建的指標對模型進行評價和改進，使模型不斷完善.最后根據(jù)模型進行預測幫助決策.在建立一元線性回歸模型過程中，方程的建立、參數(shù)的估計、模型有效性分析等都是培養(yǎng)學生數(shù)據(jù)分析、數(shù)學建模、邏輯推理、數(shù)學抽象的重要素材，也是加強學生“四基”，提高“四能”的重要內(nèi)容.基于以上分析，確定本單元的教學重點：（1）一元線性回歸模型的含義；（2）用最小二乘法估計回歸模型參數(shù)的方法；（3）殘差分析和決定系數(shù)的意義；（4）一元線性回歸模型的應用.二、單元目標及其解析（1）結(jié)合具體實例，了解一元線性回歸模型的含義，了解模型參數(shù)的統(tǒng)計意義，了解最小二乘原理.（2）掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計方法，會使用相關的統(tǒng)計軟件.（3）掌握殘差分析的方法，理解決定系數(shù)的意義.（4）針對實際問題，會用一元線性回歸模型進行預測.2.目標解析達成上述目標的標志是：（1）知道線性回歸模型與函數(shù)模型的區(qū)別，知道線性回歸模型中誤差e的含義，知道假設誤差e滿足的理由.（2）能依據(jù)用距離來刻畫接近程度的數(shù)學方法了解最小二乘原理，能利用最小二乘原理推導參數(shù)估計值的計算公式.（3）會利用統(tǒng)計軟件畫散點圖、求樣本相關系數(shù)、求回歸方程，能用殘差、殘差圖和決定系數(shù)對回歸模型進行評價.（4）通過具體案例，理解利用一元線性回歸模型可以刻畫隨機變量之間的線性相關關系，在建立一元線性回歸模型解決實際問題的過程，提升數(shù)據(jù)分析、數(shù)學建模、邏輯推理等素養(yǎng).三、單元教學問題診斷分析通過“成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關性”的學習，學生已掌握通過散點圖直觀判斷成對樣本數(shù)據(jù)之間相關關系的方法，會用樣本相關系數(shù)判斷成對樣本數(shù)據(jù)線性相關性的強弱，也初步了解用樣本估計總體的方法.在本單元的學習中，學生可能對線性回歸模型中隨機誤差的假設、最小二乘原理和方法等存在理解困難.此外，學生對于回歸模型中參數(shù)的意義可能理解不準確，容易誤將根據(jù)樣本通過最小二乘法求出的參數(shù)估計值當作模型中的參數(shù)，主要原因是對樣本的隨機性理解不夠到位，對于同一個總體的不同樣本會有不同的參數(shù)估計缺少體驗.本單元的教學難點是：（1）對隨機誤差的理解；（2）最小二乘原理與方法；（3）參數(shù)的意義及參數(shù)估計公式的推導；（4）殘差變量的解釋與分析；（5）模型的應用及優(yōu)度的判斷.四、單元教學支持條件分析一元線性回歸模型主要研究兩個隨機變量的線性相關關系，通過成對樣本數(shù)據(jù)建立數(shù)學模型.在教學中，需要利用GeoGebra，Excel，R，圖形計算器等統(tǒng)計軟件或工具處理樣本數(shù)據(jù)，畫出散點圖和回歸直線，利用統(tǒng)計軟件或工具進行參數(shù)估計值的計算和分析.也可利用軟件或工具進行模擬，對同一個總體的不同樣本作回歸分析、比較，以加深對回歸模型的理解.五、課時教學設計（一）教學內(nèi)容最小二乘原理，一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計.（二）教學目標1.通過用數(shù)學方法刻畫散點與直線接近的程度，體會一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計原理，能推導參數(shù)估計公式，發(fā)展數(shù)學運算能力.2.通過對殘差和殘差圖的分析，能用殘差判斷一元線性回歸模型的有效性，發(fā)展數(shù)據(jù)分析能力.3.會使用相關的統(tǒng)計軟件.（三）教學重點和難點重點：一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計難點：參數(shù)估計值公式的推導，利用殘差分析回歸模型.（四）教學過程設計1.創(chuàng)設情境問題1：為了研究兩個變量之間的相關關系,我們建立了一元線性回歸模型表達式刻畫的是變量與變量之間的線性相關關系,其中參數(shù)和未知,我們能否通過樣本數(shù)據(jù)估計參數(shù)和?師生活動：教師提出問題,學生獨立思考、討論交流后,教師再引導學生總結(jié)出結(jié)論:與函數(shù)模型不同,回歸模型的參數(shù)一般是無法精確求出的,只能通過成對樣本數(shù)據(jù)估計這兩個參數(shù).追問（1）：怎樣利用樣本數(shù)據(jù)估計參數(shù)和?你有解決這類問題的經(jīng)驗嗎?師生活動：教師引導學生回顧模型的建立過程,可知參數(shù)和刻畫了變量與變量的線性關系,因此通過樣本數(shù)據(jù)估計這兩個參數(shù),相當于尋找一條適當?shù)闹本€,使表示成對樣本數(shù)據(jù)的這些散點在整體上與這條直線最接近.學生可能會利用初中學習一次函數(shù)模型的經(jīng)驗,通過選擇適當?shù)膬牲c,用待定系數(shù)法求出經(jīng)過這兩點的直線方程,并以方程的系數(shù)作為參數(shù)和的估計值.教師指出這樣的估計取決于直觀判斷,確實是估計模型參數(shù)的一種方法,但會存在估計誤差比較大的可能.追問（2）:我們怎樣尋找一條“最好”的直線,使得表示成對樣本數(shù)據(jù)的這些散點在整體上與這條直線最“接近”?師生活動：教師引導學生使用信息技術進行如下實驗探究.教師在GeoGebra的繪圖區(qū)畫出的11個點,使這些點分布在一條直線的附近(如圖),呈強線性相關,然后將文件發(fā)送到每個學生的電腦上,并布置實驗任務:畫一條直線,使各點在整體上與直線盡可能接近.要求:（1）先確定一個衡量標準,能夠定量描述所作出的直線與各散點整體上接近的程度,衡量的標準要科學合理、簡便實用.（2）比較各同學所畫直線,尋找“最好”直線.在探究過程中,教師適時引入“殘差”的概念,指出“殘差”是回歸模型中隨機誤差的觀測值.引導學生將衡量的標準逐步聚焦到“殘差”的絕對值之和最小上.由于“殘差”的絕對值之和求最小值較為困難，所以最后統(tǒng)一到利用“殘差平方和”作為衡量的標準.在確定用“殘差平方和”作為整體衡量直線與各散點接近的程度以后,要求在GeoGebra的輸入框中輸入“”,構(gòu)造一個名為的點列,然后輸入“誤差平方和”,其中為所畫直線的名稱（GeoGebra自動命名),就會出現(xiàn)一個計算結(jié)果,得到“殘差”的平方和．教師可利用師生交互平臺,選擇學生中擬合程度較好的結(jié)果,讓學生直觀感受一元線性回歸模型中回歸直線應具有的形態(tài).設計意圖：通過問題1及兩個追問,明確一元線性回歸模型參數(shù)的估計要達到“最好”,就是要找出一條直線,使各散點在整體上與此直線盡可能接近,實質(zhì)上就給出估計模型參數(shù)的標準.由此可以產(chǎn)生估計參數(shù)的方法.通過GeoGebra的使用,使學生能夠比較方便地計算“誤差平方和”,使直觀比較成為可能,有助于學生理解最小二乘估計的原理.2.推導方程問題2:對于一組具有線性相關關系的數(shù)據(jù),利用“殘差”平方和最小這個標準,估計一元線性回歸模型的參數(shù)和b,聯(lián)想上面的實驗探究,你能推導出參數(shù)和估計值的公式嗎?師生活動：教師首先引導學生將問題數(shù)學化:“殘差”平方和為,求和的值,使最小.接著,師生合作解決這個問題,得出參數(shù)估計公式,可讓學生閱讀教科書中相關部分,并嘗試自己進行公式推導.最后,教師給出最小二乘估計的概念.若是參數(shù)的最小二乘估計,將稱為關于的經(jīng)驗回歸方程,也稱經(jīng)驗回歸函數(shù)或經(jīng)驗回歸公式,其圖形為經(jīng)驗回歸直線.這種求經(jīng)驗回歸方程的方法叫做最小二乘法.對于基礎較好的學生,可以要求他們課后思考如何求的最小值問題.設計意圖：通過利用最小二乘原理對回歸模型中參數(shù)a，b估計公式的推導，加深對一元線性回歸模型的理解.通過對殘差平方和表達式的代數(shù)變形，突破推導的困難，并在公式推導過程中提升數(shù)學運算素養(yǎng).3.問題探究問題3：請利用最小二乘法求出前面探究活動中樣本數(shù)據(jù)的回歸方程，并與你先前所畫的直線作比較，哪個誤差平方和最?。繋熒顒樱豪^續(xù)利用GeoGebra進行探究活動，讓學生通過在繪圖區(qū)的輸入框中輸入“擬合直線y[L1]”，其中L1為成對樣本數(shù)據(jù)所組成的點列的名稱，便可畫出經(jīng)驗回歸直線，得到經(jīng)驗回歸方程.分別計算點列關于兩條直線的“誤差平方和”作出比較.設計意圖：通過活動進一步感知用最小二乘估計參數(shù)的優(yōu)越性，掌握利用統(tǒng)計工具求經(jīng)驗回歸方程、畫經(jīng)驗回歸直線的方法.問題4：利用上節(jié)課的數(shù)據(jù)，依據(jù)用最小二乘估計一元線性回歸模型參數(shù)的公式，求出兒子身高關于父親身高的經(jīng)驗回歸方程.師生活動:教師進行技術操作指導,學生操作,具體如下:（1）在GeoGebra的表格區(qū)的兩列中分別輸入父親身高和兒子身高的觀測數(shù)據(jù).（2）同時選中兩列,點擊工具欄中第2個圖標的倒三角形標志,選擇“雙變量回歸分析”,出現(xiàn)“數(shù)據(jù)來源”對話框,按“分析”鍵,出現(xiàn)“數(shù)據(jù)分析”區(qū)且在“數(shù)據(jù)分析”區(qū)內(nèi)已畫好成對樣本數(shù)據(jù)的散點圖.（3）在“數(shù)據(jù)分析”區(qū)中選擇“回歸模型”為“線性”,即可畫出經(jīng)驗回歸直線、求出經(jīng)驗回歸方程,即,如圖.設計意圖：通過問題3、問題4，建立兒子身高與父親身高關系的經(jīng)驗回歸方程，掌握利用統(tǒng)計工具求經(jīng)驗回歸方程的方法.以上的操作實際上是GeoGebra第2種求經(jīng)驗回歸方程、畫經(jīng)驗回歸直線的方法.4.深化理解問題5:結(jié)合經(jīng)驗回歸方程思考并回答以下問題:（1）當時,,如果一位父親身高為,他兒子長大后身高一定能長到嗎?為什么?（2）根據(jù)經(jīng)驗回歸方程中斜率的具體含義,高個子的父親一定生高個子的兒子嗎?同樣,矮個子的父親一定生矮個子的兒子嗎?（3）根據(jù)模型,父親身高為多少時,長大成人的兒子的平均身高與父親的身高一樣?你怎么看這個判斷?師生活動：組織學生依次討論第（1）（2）（3）問,教師適時點評.對于第（1）問,學生容易得到如下結(jié)論:兒子的身高不一定會是,這是因為還有其他影響兒子身高的因素，回歸模型中的隨機誤差清楚地表達了這種影響,父親的身高不能完全決定兒子的身高.不過,我們可以作出推測,當父親的身高為時,兒子身高一般在左右.教師進一步指出.實際上,如果把父親身高為的所有兒子身高作為一個子總體,那么是這個子總體均值的估計值.一般地,因為是的估計值,所以是的估計值.對于第（2）問,教師引導學生分析得出,經(jīng)驗回歸方程中,斜率可以解釋為父親身高每增加,其兒子的身高平均增加.由模型可以發(fā)現(xiàn),高個子父親有生高個子兒子的趨勢,但一群高個子父親的兒子們的平均身高要低于父親們的平均身高.例如,則.矮個子父親有生矮個子兒子的趨勢,但一群矮個子父親的兒子們的平均身高要高于父親們的平均身高.例如,則).接著,教師可以介紹有關史實,英國著名統(tǒng)計學家高爾頓（FrancisGalton,1822-1911)把這種后代的身高向中間值靠近的趨勢稱為“回歸現(xiàn)象”.后來人們把由一個變量的變化去推測另一個變量變化的方法稱為回歸分析.對于第（3）問,通過經(jīng)驗回歸方程,令,則,即當父親身高為時,兒子的平均身高與父親的身高一樣.在活動過程中要讓學生充分發(fā)表自己的意見.設計意圖：通過具體實例,理解經(jīng)驗回歸方程中變量的含義,分清回歸模型與函數(shù)模型的區(qū)別.了解一元線性回歸模型中“回歸”的含義,以及回歸分析的發(fā)展史.通過以上三個問題,讓學生進一步理解模型的含義,從而知道利用模型進行預測的意義和方法,了解預測結(jié)果的統(tǒng)計意義.5.殘差分析引導語:我們稱為隨機變量的觀測值,通過經(jīng)驗回歸方程得到的為預測值.為了研究回歸模型的有效性,定義殘差為,殘差是隨機誤差的估計值.通過對殘差的分析可判斷回歸模型刻畫數(shù)據(jù)的效果,以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等,這方面的工作稱為殘差分析.問題6:以“兒子身高與父親身高的關系”的問題為例,你能運用殘差分析所得的一元線性回歸模型的有效性嗎?師生活動:教師指出要研究一個問題,要了解研究的目的、原理與方法,以及結(jié)果的表達等.根據(jù)最小二乘原理,如果殘差比較穩(wěn)定,殘差絕對值比較小,說明回歸模型擬合的精度比較高.追問：如何觀測殘差的情況呢?師生活動:因為學生以往沒有這方面的經(jīng)驗,所以教師應加強引導,甚至可以直接講解.為了觀測殘差的情況,一般可采用電子表格計算各個殘差;也可以以自變量(父親身高）作為橫坐標,殘差為縱坐標畫出散點圖,稱為殘差圖.在GeoGebra的表格區(qū)計算各個殘差（如圖）.在GeoGebra的“數(shù)據(jù)分析”區(qū),選擇(父親身高和兒子身高的觀測數(shù)據(jù)）兩列,用“雙變量回歸分析”,在所得的“數(shù)據(jù)分析”區(qū),將“散點圖”改成“殘差圖”,并且在回歸模型中選擇“線性”,便可得到所要的殘差圖（如圖）.從上面的殘差圖可以看出,殘差有正有負,殘差點比較均勻地分布在橫軸的兩邊,可判斷樣本數(shù)據(jù)基本滿足一元線性回歸模型對于隨機誤差的假設.所以通過觀察殘差圖可以直觀判斷樣本數(shù)據(jù)是否滿足一元線性回歸模型的假設,從而判斷回歸模型擬合的有效性.設計意圖：通過這個問題表明,一般地,建立經(jīng)驗回歸方程后,通常需要對回歸模型刻畫數(shù)據(jù)的效果進行分析,借助殘差分析還可以對模型進行改進,使我們能根據(jù)改進的模型作出更符合實際的預測與決策.6.歸納總結(jié)教師引導學生回顧本節(jié)課所學內(nèi)容,并讓學生回答下列問題:（1）什么是一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計?利用最小二乘法得到的參數(shù)估計公式是什么?（2）經(jīng)驗回歸直線有什么性質(zhì)?（3）如何用殘差分析一元線性回歸模型的有效性?（4）如何利用殘差分析分析修正回歸模型?師生活動:對于每個問題,先由學生思考后作答,再生生、師生相互補充完善.對于第（