《排列數(shù)》同步學(xué)案(教師版)

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2《排列數(shù)》同步學(xué)案情境導(dǎo)入某公司現(xiàn)準(zhǔn)備針對(duì)某區(qū)域市場(chǎng)開發(fā)一款手機(jī)軟件,而軟件的運(yùn)行需要有相應(yīng)的手機(jī)系統(tǒng),目前主要的手機(jī)系統(tǒng)有6種,在該區(qū)域使用的主要有3種.如果公司要選2種系統(tǒng)依次進(jìn)行研發(fā),那么合適的研發(fā)方案種數(shù)有多少？自主學(xué)習(xí)自學(xué)導(dǎo)引1.排列數(shù)的概念從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素的所有______叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù),用符號(hào)______表示.2.全排列的概念把個(gè)不同的元素_____取出的一個(gè)排列,叫做個(gè)元素的一個(gè)全排列.3.階乘的概念正整數(shù)1到的_____,叫做的階乘,用!表示.于是,個(gè)元素的全排列數(shù)公式可以寫成______.規(guī)定0!______.4.排列數(shù)公式(1)_____,其中,且.(2)______,其中,且.答案:1.不同排列的個(gè)數(shù)2.全部3.連乘積4.(1)(2)預(yù)習(xí)測(cè)評(píng)可以表示為()A.B.C.D.2.下列各式中與排列數(shù)相等的是()A.B.C.D._____,______.4.計(jì)算:_______.5.6個(gè)人從左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,則不同的排法共有()A.192種B.216種C.240種D.288種答案:1.解析:由排列數(shù)公式得原式可表示為.2.解析:因?yàn)?且,所以3.126解析:.4.解析:.5.解析:最左端排甲,排法種數(shù)為;最左端排乙,最右端不能排甲,排法種數(shù)為.故排法種數(shù)為.新知探究探究點(diǎn)1排列數(shù)的概念及排列數(shù)公式知識(shí)詳解1.排列數(shù)的概念從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù),叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的排列數(shù),用符號(hào)表示.2.排列與排列數(shù)的區(qū)別排列是指“從個(gè)不同的元素中任取個(gè)元素,按照一定的順序排成的一列”,不是數(shù);排列數(shù)是指“從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)”,是一個(gè)數(shù).所以符號(hào)只表示排列數(shù),而不表示具體的排列.3.排列數(shù)公式(1),且.(2),且.4.全排列、階乘的概念(1)全排列:個(gè)不同的元素全部取出的一個(gè)排列.(2)的階乘:正整數(shù)1到的連乘積,叫做的階乘,用表示.規(guī)定,.典例探究例(1)計(jì)算:;(2)求證:.解析:(1)合理選用排列數(shù)的兩個(gè)公式進(jìn)行展開并計(jì)算.(2)提取公因式后合并化簡(jiǎn).答案:(1).(2)因?yàn)樗栽匠闪?方法歸納:1.排列數(shù)的計(jì)算主要是利用排列數(shù)公式進(jìn)行,應(yīng)用時(shí)注意:連續(xù)正整數(shù)的積可以寫成某個(gè)排列數(shù),其中最大的正整數(shù)是排列元素的總個(gè)數(shù),而正整數(shù)的個(gè)數(shù)是選取元素的個(gè)數(shù),這是排列數(shù)公式的逆用.2.應(yīng)用排列數(shù)公式的階乘形式時(shí),一般寫出有關(guān)的式子后,可提取公因式,然后計(jì)算,這樣往往會(huì)減少運(yùn)算量.變式訓(xùn)練1求中的值.答案:原方程可化為,即,化簡(jiǎn),得,解得.由題意知,解得,所以原方程的解為.探究點(diǎn)2利用排列數(shù)解決計(jì)數(shù)問題知識(shí)詳解1.利用排列與排列數(shù)解決應(yīng)用題的基本思路.2.通過審題,找出問題中的元素是什么,是否與順序有關(guān),有無限制條件(關(guān)注特殊位置或特殊元素).3.相鄰元素“捆綁法”.如果所給問題中要求某個(gè)元素必須相鄰,可將這個(gè)元素先排好,然后將其整體看作一個(gè)元素參與排列.典例探究例2要排一張有6個(gè)歌唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單,任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不得相鄰,問有多少種不同的排法?解析:不相鄰問題一般用“插空法”求解,先將其他元素排好,然后將不相鄰的元素插空.答案:先將6個(gè)歌唱節(jié)目排好,其不同的排法為種,在這6個(gè)歌唱節(jié)目的空隙及兩端共七個(gè)位置中再排4個(gè)舞蹈節(jié)目,有種排法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知,任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不得相鄰的排法種數(shù)為604800.方法歸納:不相鄰問題是指要求某些元素不能相鄰,由其他元素將它們隔開.此類問題可以先將其他元素排好,再將所指定的不相鄰的元素插入到它們的空隙及兩端位置,故稱“插空法”.變式訓(xùn)練2已知4名男生和4名女生站成一排,則:(1)男生不相鄰的站法有____種;(2)女生不相鄰的站法有_____種;(3)男生、女生相間的站法有_____種.答案:(1)2880(2)2880(3)1152解析:(1)4名女生排好有種排法,男生插入女生形成的5個(gè)空位中,有種排法.所以男生不相鄰的站法種數(shù)為.(2)同(1)可得站法種數(shù)為.(3)如圖,男生排好后,形成5個(gè)空位,要使男女相間排列,女生應(yīng)排在1至4號(hào)位或2至5號(hào)位,所以排法種數(shù)為易錯(cuò)易混解讀例5本不同的書全部分給4個(gè)學(xué)生,每個(gè)學(xué)生至少一本,不同的分法種數(shù)為()A.480B.240C.120D.96錯(cuò)解:先從5本書中取4本分給4個(gè)人,有種方法,剩下的1本可能給任意一個(gè)人,有4種分法,不同的分法種數(shù)為.錯(cuò)因分析:設(shè)5本書分別為,四個(gè)人分別為甲、乙、丙、丁.按照上述分法可能如下表1和表2所示.表1是甲首先分得、乙分得、丙分得、丁分得,最后一本書給甲的情況;表2是甲首先分得、乙分得、丙分得、丁分得,最后一本書給甲的情況。這兩種情況是完全相同的,而在錯(cuò)解中計(jì)算成了不同的情況.正解:首先把5本書轉(zhuǎn)化成4本書,然后分給4個(gè)人.第1步,從5本書中任意取出2本捆綁成一本書,有10種方法;第2步,再把4本書分給4個(gè)學(xué)生,有種方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理,得不同方法種數(shù)為.糾錯(cuò)心得:在分析解決這類排列問題時(shí),要避免重復(fù)計(jì)數(shù).課堂檢測(cè)1.從這4個(gè)數(shù)中任選兩個(gè)分別相除,則得到的結(jié)果有()A.6個(gè)B.10個(gè)C.12個(gè)D.16個(gè)2.某段鐵路所有車站共發(fā)行132種普通車票,那么這段鐵路共有的車站個(gè)數(shù)是()A.8B.12C.16D.243.若,則的值為()A.5B.3C.6D.74.某高三畢業(yè)班有40人,同學(xué)之間兩兩彼此給對(duì)方僅寫一條畢業(yè)留言,那么全班共寫了_____條畢業(yè)留言.5.一場(chǎng)晚會(huì)有5個(gè)演唱節(jié)目和3個(gè)舞蹈節(jié)目,按照以下要求排出節(jié)目單.(1)3個(gè)舞蹈節(jié)目不排在開始和結(jié)尾,有種_____排法；(2)前四個(gè)節(jié)目要有舞蹈節(jié)目,有_____種排法.答案:1.解析:符合題意的商的個(gè)數(shù)為.解析:設(shè)車站個(gè)數(shù)為,則,則132,且,所以.3.解析:根據(jù)題意,若,則有,即,解得或.又且,所以.4.1560解析:同學(xué)兩兩彼此給對(duì)方寫一條畢業(yè)留言相當(dāng)于從40人中任選兩人的排列,所以全班共寫了畢業(yè)留言的條數(shù)為.5.1440037440解析:(1)先從5個(gè)演唱節(jié)目中選兩個(gè)排在首、尾兩個(gè)位置,有種排法,再將剩余的3個(gè)演唱