新高考數(shù)學解答題預測秒殺：第13講 解析幾何中的定點定值最值問題（學生版+解析版）

第13講解析幾何中的定點定值最值問題

高考預測一：最值問題

方法總結(jié)：圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：

(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；

(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系；

(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；

(4)利用己知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；

(5)利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.

類型一：弦長或面積問題

1.在平面直角坐標系xOy中，已知點”2,6),8(4,0),C是線段的中點，尸是平面內(nèi)的一動點，且滿

足=2|用，記點P的運動軌跡為曲線E.

(1)求曲線E的方程；

(2)過點8的直線/與曲線E交于M,N兩點，若△OBM的面積是△OBN的面積的3倍，求直線/的方程.

2.如圖所示，已知拋物線C：V=2x,過點P(0,l)的直線/交C于不同的4,B兩點(點A在P,B之

間)，記點A,B的縱坐標分別為以，丫2,過A作x軸的垂線交直線OB于點。(。為坐標原點).

(2)求△OAO的面積的最大值.

22

3.已知橢圓C:「+馬=1過A(-3,0),3(0,-1)兩點.設(shè)M為第一象限內(nèi)一點且在橢圓C上，直線與

a"b

y軸交于點尸，直線MB與X軸交于點。.

(1)求橢圓C的方程及離心率；

(2)設(shè)橢圓C的右頂點為A,求證：三角形ABQ的面積等于三角形APQ的面積：

(3)指出三角形"PQ的面積是否存在最大值和最小值，若存在，寫出最大值，最小值(只需寫出結(jié)論).

【答案】(1)2-+丁=1,e=之&；

93

(2)證明見解析；

(3)存在最大值，且最大值為

2

4.己知點M是橢圓C，+/l(a>b>0)上一點，"，鳥分別為橢圓C的上、下焦點，但周=4,當

ZF,MF2=90°,△耳加工的面積為5.

(I)求橢圓C的方程：

(2)設(shè)過點后的直線/和橢圓C交于兩點A,B,是否存在直線/,使得AOAF?與△084(O是坐標原點)的

面積比值為5：7.若存在，求出直線/的方程：若不存在，說明理由.

5.如圖所示，已知橢圓C:《+《=l與直線/：；+5=1.點P在直線/上，由點P引橢圓C的兩條切線

6363

PA,PB,A、8為切點，。是坐標原點.

(1)若點尸為直線/與y軸的交點，求△PA8的面積s；

(2)若0DJ_A8,。為垂足，求證：存在定點。，使得為定值.

6.己知橢圓E:7V=1(〃>人>0)的左、右焦點分別為耳,巴，短軸的下端點4的坐標為且

|A制+|你|=4.

(1)求橢圓E的方程;

(2)設(shè)2,C是橢圓E上異于A的兩點，且直線3c與坐標軸不垂直，|A8|=|AC|,BC的中點為G,求四

邊形A^G鳥的面積.

7.已知在平面直角坐標系中，動點尸到耳(-1,0)、&(1,0)兩點的距離之和等于2石.

(1)求動點P的軌跡E的方程；

⑵若與圓0：/+/=1相切的直線小丫=丘+膽與曲線C相交M、N兩點，直線4與直線4平行，且與曲

線E相切于點A(。、A位于直線4的兩側(cè))，記△40N、△。陰V的面積分別為5、S2,求寸的取值范

*

圍.

22J2

8.己知橢圓c：=+二=1(。>。>0)的左、右焦點分別為6、橢圓c過點P1,一，直線交y軸

?b-V2)

(1)求橢圓C的方程；

(2汝n圖，菱形43c。內(nèi)接于橢圓C,菱形中心在坐標原點.

①求+|。例2的值;

②求菱形A8CD面積的最小值.

9.已知橢圓E：=1(〃>%>0)的右焦點為F,上頂點為C,過點F與x軸垂直的直線交E于A,B兩

點(點4在第一象限)，O為坐標原點，四邊形A8OC是面積為6的平行四邊形.

(1)求橢圓E的方程；

(2)設(shè)點P(-3,0),過點P的直線/交橢圓于點M,N,交y軸的正半軸于點7,點Q為線段MN的中點,

\pQ\.\p\=—27,求直線/的斜率左.

T4

10.已知圓E：(x+2)?+y2=24,動圓N過點F(2,0)且與圓E相切，記動圓圓心N的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

過點的直線交橢圓于點、且滿足為圓的圓心)，求直線〃?

(2)F(、2,0/)mCMN,tanCNr-fM>jfENj—>>=r上￡_(EE

3EM-EN

的方程.

11.“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術(shù)活動，在我國源遠流長，某些折紙活動蘊含豐

富的數(shù)學內(nèi)容，例如：用一張圓形紙片，按如下步驟折紙(如下圖1)

步驟1：設(shè)圓心是E,在圓內(nèi)異于圓心處取一點，標記為長

步驟2：把紙片折疊，使圓周正好通過點尸；

步驟3：把紙片展開，并留下一道折痕；

步驟4：不停重復步驟2和3,就能得到越來越多的折痕(如圖2).

已知這些折痕所圍成的圖形是一個橢圓.若取半徑為4的圓形紙片，設(shè)定點尸到圓心E的距離為2,按上

述方法折紙.

(1)以點F,E所在的直線為x軸，線段EF的中垂線為y軸，建立坐標系，求折痕所圍成的橢圓C(即圖1

中仞點的軌跡)的標準方程.

(2)如圖3,若直線m：y=-《x+s(s>0)與橢圓C相切于點P,斜率為!的直線〃與橢圓C分別交于點

A,B(異于點P),與直線m交于點Q.證明：|AQ|,|P。，忸。成等比數(shù)列.

類型二：涉及坐標、向量數(shù)量積等問題

12.已知R/AABC中，A(-l,0),8(1,0),ZC4B=90°,AC=與,曲線E過C點，動點尸在E上運動,

且保持|叫+|「目的值不變.

(1)求曲線E的方程;

(2)過點(1,0)的直線/與曲線E交于M,N兩點，則在x軸上是否存在定點Q,使得兩.的的值為定值？

若存在，求出點Q的坐標和該定值；若不存在，請說明理由.

13.己知圓0:/+產(chǎn)=4,點M與AT的坐標分別為(1,0)與(-1,0),以MN為直徑的圓內(nèi)切于圓O,記點

N的軌跡為曲線C.

⑴證明|MW|+|NM［為定值，并求C的方程；

(2)若直線/交曲線C于A,8兩點，交圓。于P,。兩點，且。求IPQI.

22

14.已知橢圓C:5+方=1(“>6>0)的左、右焦點分別為月、鳥，點網(wǎng)2,碼在橢圓C上，且滿足

(1)求橢圓6的方程；

(2)設(shè)。為坐標原點，過點尸2且斜率不為零的直線/交橢圓C于不同的兩點A、B,則在X軸上是否存在定

點M,使得MO平分NAA4B?若存在，求出M點坐標；若不存在，請說明理由.

15.在平面直角坐標系xOy中，已知A45C的兩個頂點坐標為W-2,0),C(2,0),直線A8,AC的斜率乘積

(1)求頂點A的軌跡「的方程；

(2)過點尸(1,0)的直線與曲線「交于點M,N,直線8M,CN相交于點Q,求證：而.而為定值.

高考預測二：定值問題

方法總結(jié)：求定值問題常見的方法有：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān).

(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.

22

16.設(shè)橢圓田￡+今=1(〃>6>0),橢圓的右焦點恰好是拋物線y2=46x的焦點.橢圓的離心率為

73

V

(1)求橢圓E的標準方程;

(2)設(shè)橢圓E的左、右頂點分別為A,B,過定點N(-1,0)的直線與橢圓E交于C,。兩點(與點A,B

不重合)，證明：直線AC,8。的交點的橫坐標為定值.

17.拋物線C：V=2px的焦點為凡準線為/，?是拋物線上一點，過廠的直線交拋物線于A,B兩點，直

線AP、BP分別交準線/于當AB〃/,點P恰好與原點。重合時，AMN尸的面積為4.

(1)求拋物線C的方程；

(2)記S/MN=%SJAB=S2，P點的橫坐標與中點的橫坐標相等,若S「|P"|=。$2,求)的最小值.

18.在平面直角坐標系xQy中，已知橢圓C:「+g=l(a>6>())的左、右焦點分別為用，尸是C短

軸的一個端點，且g為等腰直角三角形，忸閶=2.

(1)求橢圓6的方程；

(2)設(shè)過心的直線與C交于A,B兩點,M是線段A8的中點，過點人(不乂)(占卜尸0)的直線/的方程為

x/+2yy=2,直線/與QM交于點N,求證：44居N為定值.

19.己知橢圓C：W+馬=1(a>。>0)的右焦點為F,上頂點為〃，直線的斜率為正，且原點到直

ab2

線尸M的距離為遠.

3

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)若不經(jīng)過點F的直線l-y=kx+m^k<0,〃?>0)與橢圓C交于A,B兩點，且與圓f+y?=1相切.試探究4

A3尸的周長是否為定值，若是，求出定值;若不是，請說明理由.

/X(lbXTT

20.已知A(—2a,0),B--a.O(?>0),點尸滿足3pA8=28PA3-AB，點P的軌跡為曲線

(1)求「的離心率；

(2)點K為x軸上除原點外的一點，過點K作直線34，4交「于點C，。，/2交『于點區(qū)F,M,N分別

為CD,EF的中點，過點K作x軸的垂線交MN于點。，設(shè)CD,EF,OQ的斜率分別為占，%，勺，求

證：%(匕+自)為定值.

22

21.已知橢圓C:土+乙=1的右焦點為尸，左、右頂點分別為A,B,過點尸任作一條直線/,與C交于

43

異于A,B的M,N兩點、.

(1)設(shè)直線M4,MB的斜率分別為跖A,kMB,求證:儲小為定值;

(2)設(shè)直線NB的斜率為左地，是否存在正常數(shù)2,使得%?=2除8?若存在，求出4的值；若不存在，請說

明理由.

高考預測三：定點問題

方法總結(jié)：求解直線過定點問題常用方法如下：

(1)”特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；

(2)“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程,

再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；

(3)求證直線過定點(七,%),常利用直線的點斜式方程y—%=z(x-%)或截距式丫=履+6來證明.

22.已知橢圓C:5+￡=1S>"O)的離心率e=g,橢圓上的點與左、右頂點所構(gòu)成三角形面積的最大

值為2石.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)設(shè)過橢圓C右焦點的直線4，4的斜率分別為小,勺，滿足占"=-2,4交C于點瓦F,1交C于點

G,H,線段E尸與GH的中點分別為判斷直線MN是否過定點，若過定點求出該定點；若不過定

點，請說明理由.

23.已知橢圓C：!+g=l(a>6>0)過點(省,￡),且離心率為當.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)過點尸(0,1)的兩條直線分別和橢圓C交于不同兩點A,B(A,B異于點P且不關(guān)于坐標軸對稱)，直線

PA,陽的斜率分別為％,k2,且尢/=1.試問直線A3是否恒過一定點？若是，求出該定點的坐標；若

不是，請說明理由.

221

24.己知橢圓C：r]+v方=1(°>6>0)的左頂點為A,右焦點為F,離心率為E為橢圓C上一點，

9

斯_Lx軸，且△￡?!尸的面積為了.

4

(1)求橢圓C的方程；

(2)直線/與橢圓C交于產(chǎn),。兩點，河為尸。的中點，作射線QM交橢圓C于點R,交直線/'：x+2y-4=0

于點N,且滿足|OM|?|ONHOR|2,證明：直線/過定點，并求出此定點的坐標.

25.已知橢圓E：4+4=1(a>b>0),A、B分別為橢圓E的左、右頂點.點M(4,0),。為坐標原

a~b

點，橢圓長軸長等于|0加|,離心率為手.

⑴求橢圓E的方程；

(2)過M作垂直于x軸的直線/,P為/上的一個動點，叢與橢圓E交與點C,尸8與橢圓E交與點。.求

證：直線過定點.

第13講解析幾何中的定點定值最值問題

高考預測一：最值問題

方法總結(jié)：圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：

(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；

(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系；

(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍：

(4)利用己知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；

(5)利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.

類型一：弦長或面積問題

1.在平面直角坐標系X0X中，已知點A(2,6),8(4,0),C是線段的中點，P是平面內(nèi)的一動點，且滿

足|PC]=2|陽，記點P的運動軌跡為曲線E.

(1)求曲線后的方程；

(2)過點8的直線/與曲線E交于M,N兩點，若的面積是△OBN的面積的3倍，求直線/的方程.

【答案】(D(x-5)2+(y+l)2=8；

(2)x+y-4=0.

【解析】

【分析】

(1)應(yīng)用兩點距離公式求曲線E的方程；

(2)當直線/斜率為0時顯然不滿足題設(shè)，令直線/為*=。+4,聯(lián)立曲線E,應(yīng)用韋達定理求得

%+%、%以關(guān)于參數(shù)k的表示式，再由面積的數(shù)量關(guān)系可得加=-3%，即可得關(guān)于k的方程，求出A

即可得直線方程.

(1)

令尸(x,y),由題意知:C(l,3),又|pq=2|P5|,

所以(x——3)2=4[(X-4)2+/],整理得：(x-5)2+(y+l)2=8.

故曲線E的方程為(X-5)2+(>+1)2=8.

⑵

由（4-5）2+（0+1尸=2<8知：*4,0）在曲線E內(nèi)部,

要使△OBM的面積是△OBN的面枳的3倍，即I為1=31%I，

當直線/斜率為。時，直線/為）=0,此時△OBM、△08N的面枳均為0,不滿足題設(shè);

令直線/為x="+4,代入曲線E中,整理得:（1+公）/+2（1-外〉-6=0,

所以丫"+%=：：1?，則％=-3%，

=

所以加+%=-2%=|1,十/K,2，得：TI"7iTKF-則加=1i"i-K2

又加6=一%粵=-13,整理得：(2+1尸=0,即％=-1，

(1+2)1+Z

所以直線/為％=-丁+4,即x+y-4=0.

2.如圖所示，已知拋物線C：V=2x,過點P（0,l）的直線/交C于不同的4,B兩點（點A在P,B之

間），記點A,8的縱坐標分別為％,為，過4作x軸的垂線交直線08于點。（。為坐標原點）.

（2）求△04。的面積的最大值.

【答案】⑴證明見解析

~27

(2)—

64

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)題意設(shè)直線/的方程為、=丘+1（人工0）,進而與拋物線聯(lián)立方程，結(jié)合韋達定理求解即可;

⑵結(jié)合⑴得”口2華。,2）,直線的尸丁2‘進而得打卡2，故△瓶的面積

5=%2?-用=；（2#-對，y,￡（0,2）,再根據(jù)導數(shù)求解函數(shù)〃x）=2x3-d,x?0,2）的最值即可得

答案.

⑴

證明：由題意，直線/的斜率顯然存在,

設(shè)直線/的方程為廣質(zhì)+1(b0),

y=kx+l

聯(lián)立方程組,可得b2-2y+2=0,

y2=2x

2

2所以小腎1

所以%。

△=4—8%>0

(2)

解：由(I)可得△=4一8々>0,解得％<?!?且人工0.

2

因為點A在尸，B之間，所以％=紀生包2

2k1+J1-2k

%2

所以ye(O,2),直線08：'=~^x=-X

%%

2

/2、2y,2

設(shè)點。3,為J,由點n在直線°8：y=—x上可得知=，

%y2

122

所以△OAO的面積S=4x斗x%-工.

22y2

因為J=l-g，所以5=9得**y=用2%-用，

必y22<yj411

又yw(O,2),所以5=￥囚「第=；(2才_槨)，y,e(O,2).

令/(x)=2x3-x4,XG(0,2),貝ij/r(x)=6x2-4x3=2x2(3-2x),

所以f(x)在(o<|)上單調(diào)遞增，在悖2)上單調(diào)遞減，

所以〃同=2?|).(|)啜.

所以S而=13于27=27,當且僅當時3取最大值.

416642

27

即△04。的面積的最大值是.

764T

3.已知橢圓C:￡+《■=1過A(-3,0),8(0,7)兩點.設(shè)“為第一象限內(nèi)一點且在橢圓C上，直線M4與

ab

y軸交于點P,直線MB與X軸交于點。.

(1)求橢圓C的方程及離心率；

(2)設(shè)橢圓C的右頂點為A,求證：三角形A'BQ的面積等于三角形AP。的面積；

(3)指出三角形"PQ的面積是否存在最大值和最小值，若存在，寫出最大值，最小值(只需寫出結(jié)論).

【答案】⑴(+y2=l,e=—；

(2)證明見解析；

(3)存在最大值，且最大值為當自二D.

2

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)橢圓過的點的坐標可得a=3,b=l,進而求出c,即可得出結(jié)果;

(2)設(shè)點”(入。,%)(0<%<3,0<為<1),利用兩點坐標求出直線例A、M8的方程，求出點P、。的坐標，進

而表示出凡小、S.KBQ,利用分析法證明S^APQ=S.A，"即可；

2

⑶由⑵可得工”/?2=5AAM^,一雙松。+S.”。］),進而可得-(yj9-X0+x0)--,

令g(x)="^7+x(0<x<3)，利用導數(shù)求出g(x)a即可得出結(jié)果.

(1)

由題意知，桶圓G5+耳=1過點4(一3,0),B(0,-l),

ab~

所以4=3,b=l,所以C=J7二^=2行，

所以橢圓C的方程為：(+>2=1,離心率為6=迪；

93

(2)

由題意知，4(3,0),設(shè)點加(%,%)(0</<3,0<%<1),得原》=鼻，&8=叢里,

所以直線M4的方程為：y=』、(x+3),直線MB的方程為：y=

x()+3%

所以P(0,且、)，。(上,0),所以|。尸|=居,1401=3+2,1401=3-'^,

故Lw=』AQM=；x(3+舌)x含，Sw=；|A'Q||OB|=；x(3-*),

乙乙為〒,人()TJ乙/J0~r1

3

要證Swp=SJ,BQ,只需證(3+2])X'°=3---,

%+1%+3%+1

只需證3yo(3%+x0+3)=(3%-%+3)(x0+3),

2

只需證9y(：=9—xQ,

Y2

又點M(%,九)在橢圓上，所以\-+為2=1,即9%2=9—與二

所以SHQ=A，BQ；

⑶

三角形MPQ的面積存在最大值.

由⑵知,S4APQ=S^A/Q，9%2=9-/2,得3%=j9-x02,

S.MPQ=S?MAL⑸%+)=s4MlM，-(S,吸+S,MQ])

=；1A%-(；IA0OB|+；IAQ[%)=3%-；(3-^j)(%+1)

，zz/X)十1

=；(3%+%)_^=；(\/9_/2+/)-3,

?----Jg—工2_y

令g(x)=j9-f+x(0〈xv3)，則g'(x)=-/，

\19-x

令g'(x)>0=0<x(半，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，

令g’(x)<0n亭<x<3,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，

所以g(x)m*=g(￥)=1+乎=30,

即當飛=半時，又有最大值，且最大值為三與12,無最小值.

所以三角形MPQ的面積存在最大值，無最小值，且最大值為逆心.

2

2o

4.已知點M是橢圓C：,+a=1(。>6>0)上一點，"，用分別為橢圓C的上、下焦點，|耳閭=4,

當N￡Mg=90。，△耳MF?的面積為5.

(1)求橢圓C的方程:

（2）設(shè)過點尸2的直線/和橢圓c交于兩點A，B,是否存在直線/,使得AOA馬與△0此（O是坐標原點）的

面積比值為5：7.若存在，求出直線/的方程：若不存在，說明理由.

【答案】（1）'+：=1

（2）存在，"土姮x-2

15

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)焦距可求出c,再根據(jù)/6a=90°以及△耳ME的面積可求出a,b,即得橢圓方程;

（2）設(shè)直線方程并和橢圓方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系式，根據(jù)AO4鳥與△OB￡的面積比值為5：7,

得到相關(guān)等式否=-5馬，聯(lián)立根與系數(shù)的關(guān)系式化筒，即可得到結(jié)論.

（1）

由I耳段=4=2cnc=2,

由％咋=；|阿?%|=5=|%.明段=10.

NRMG=90。,故|岫『+|M歐=?

閭y=|岬|2+|岫|2+2慳周.周=36,

I.司=6=2ana=3,

b2=a2-c2=5,

即橢圓的標準方程為4+三=1.

95

（2）

假設(shè)滿足條件的直線/存在，

當直線/的斜率不存在時，不合題意，

不妨設(shè)直線/：y=kx-2,A（X|,yJ,8（々,％），顯然%*2＜。，

y=kx-2

聯(lián)立，y2X2，得（5/r+9）f—20h—25=0,

---1---=1

95

20k

x+x

i25公+9⑴

所以

中2二3⑵

因為S0Wi=l-c-|x2|,得*2=

即X]=—（3）,

7（）Zr

由（1）,（3）,得工2=〃2Q（4）,

Drv十V

將（1）（4）代入（3）得二=_!_=人士姮,

1515

所以直線/的方程為y=±*x-2,

故存在百線/，使得AOA6與△。明的面積比值為5：7.

【點睛】

本題考查了橢圓方程的求解以及直線和橢圓的位置關(guān)系，涉及到橢圓中的三角形面積問題，解答時一般思

路是要將直線方程和橢圓方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系式，再將該關(guān)系式代入到相關(guān)等式中化簡，其中

計算量大,多是關(guān)于字母參數(shù)的運算，要求計算準確，需要細心和耐心.

22

5.如圖所示，已知橢圓C:工+匕=1與直線/：；+與=1.點P在直線/上，由點P引橢圓C的兩條切線

6363

PA>PB,A、B為切點,。是坐標原點.

（1）若點尸為直線/與y軸的交點，求△PAB的面積s；

（2）若0DLA5,。為垂足，求證：存在定點Q,使得為定值.

【答案】⑴4；

（2）證明見解析.

【解析】

【分析】

（1）可得點尸（0,3）,設(shè)切線方程為>=丘+3,將切線方程與橢圓方程聯(lián)立，由判別式為零可求得k的

值，可知P4_LPB,求出兩切點的坐標，可得出儼?|PB|,利用三角形的面積公式可求得結(jié)果；

（2）設(shè)A（±，x）、35,必），可得出切線如、尸8的方程，設(shè)點尸（辦〃），求出直線A3的方程，可得出

直線A8過定點T,由，AB結(jié)合直角三角形的幾何性質(zhì)可得出結(jié)論.

（1）

解：由題意知P（0,3）,過點P與橢圓相切的直線斜率存在，設(shè)切線方程為了=履+3,

y=kx+3

聯(lián)立可得（2二+1卜2+12履+12=0,（*）

x2+2y2=6

由A=144/—48（2公+1）=48（/一1）=0,

可得左=±1,即切線方程為y=±x+3,所以，PA1PB,

將女=1代入方程（*）可得/+4犬+4=0,可得x=-2,此時y=l,

不妨設(shè)點A（—2,1）,同理可得點8（2,1）,歸川=|P耳=5+（1-3）2=2夜,

因此，S-||PA|-|PB|=4.

（2）

證明：先證明出橢圓<+<=1在其上一點M（%為）處的切線方程為華+岑=1,

6363

因為點%）在橢圓：+[=1上，則片+2尤=6,

聯(lián)立63,消去y可得區(qū)+2少_過+3=0,

上+匕=13633

,63

整理得爐-2%尤+無：=0,即（x-x（,）2=0,解得x=x。,

因此，橢圓<+<=1在其上一點例（%,%）處的切線方程為岑+第=1.

6363

設(shè)義西,）1）、8（"%）,則切線抬的方程為乎+繆=1,切線總的方程為笑+斗=1.

363o

松|孫

------1-----

設(shè)P（m,ri）,63

吟佻

.63

所以，點A、B的坐標滿足方程血+2〃y-6=0,

所以，直線A8的方程為，我+24-6=0,

因為點尸(見〃)在直線:+]=1上，則加+2”=6,則2"=6-〃?’

所以，直線AB的方程可表示為mx+(6-/n)y-6=0,BPm(x-y)+6(y-l)=0,

[x-y=0|x=l,、

由*),_；=0,可得=故直線A8過定點

因為所以，點Q在以O(shè)T為直徑的圓上，

當點。為線段”的中點時，|。。|=；|07|=,，此時點。的坐標為

故存在點06，￡|,使得為定值日.

【點睛】

方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：

(1)“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；

(2)“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程,

再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；

(3)求證直線過定點(％%),常利用直線的點斜式方程=或截距式卜=狂+后來證明.

6.已知橢圓E:J+g=l(a>b>0)的左、右焦點分別為與心，短軸的下端點A的坐標為(0,-1),且

囤|+|破1=4.

⑴求橢圓E的方程；

(2)設(shè)8,C是橢圓E上異于A的兩點，且直線8c與坐標軸不垂直，|AB|=|AC|,8c的中點為G,求四

邊形A"GF?的面積.

2

【答案】(1)三+尸=1

4

⑵華

3

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)橢圓的定義和點A在橢圓上建立方程，然后解出方程即可；

(2)聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達定理表示出線段8C中點坐標，然后利用等腰三角形性質(zhì)建立方

程，最后表示出四邊形AKG鳥的面積即可

(1)

由橢圓E短軸的下端點A的坐標為(0,T)

可得：b=l

由k制+|A用=4及橢圓的定義，可得：2a=4,即a=2

所以橢圓E的方程為：—+/=1

4-

⑵

由直線BC與坐標軸不垂直，可設(shè)直線8c的方程為y=履+〃伏工0)

代入/+4y2=4并整理得：(4%2+1)+8或+4/-4=0

則A=Mk2n2-4(4爐+1)(4〃2-4)=16(4A：2+1-?2)>0.

設(shè)則有：為+當=-4%1,

設(shè)8c的中點,則％=-/彳，且%=5+〃=/「

因為AB=AC,G為8c的中點，所以AGL3C,可得：鐮,噎=T

則有：比里j=-l,即繼勺一.k=-l

x04kn

~4k2+l

化簡可得："=竺』

3

所以A=164公+1-4[I)>0

解得：-夜<%<0，且%40

故有：獷舟弋W

則四邊形AEGF?的面積：s=；耳6x(%+%)=；x26x[；+l)=孚.

7.已知在平面直角坐標系中，動點尸到耳(-1,0)、&(1,0)兩點的距離之和等于26.

(1)求動點尸的軌跡E的方程；

⑵若與圓。:公+/=1相切的直線4：丫=丘+“與曲線C相交M、N兩點，直線4與直線4平行，且與曲

S\

線E相切于點A（0、A位于直線4的兩側(cè)），記△3%、△OMN的面積分別為51、S2,求寸的取值范

圍.

【答案】（1）t+*=1;

54

⑵[1,石-1）.

【解析】

【分析】

（I）分析可知動點P的軌跡是以6（-1,0）、6（1,0）為焦點，2石為長軸的橢圓，求出。、人的值，結(jié)合焦

點的位置可得出動點P的軌跡E的方程；

（2）由圓0與直線4相切可得出帆|=廬山，設(shè)直線6：）'=區(qū)+"，與曲線E的方程聯(lián)立，由A=0可得

出/=5&?+4,計算出《的取值范圍，分析可知，加、"同號，利用三角形的面積公式可得

m

Svt

u=1--，即可求得結(jié)果.

S2m

（1）

解：由題知歸耳|+|尸閭=26>2=1耳用,動點尸的軌跡是以4（-1,0）、鳥（1,0）為焦點,2石為長軸長的橢

圓.

則Lj,可得“=后，C-\,則匕=Jq2_c2=2，

[2c=2

所以動點P的軌跡E的方程為《+￡=1.

54

（2）

解：由題意，原點。與直線4的距離為1,故BPH=x/F7i,

y=kx-\-n

設(shè)直線4：y="+〃，聯(lián)立dy2，可得（4+5〃卜2+]0吐+5〃2-20=0,

154

又直線4與橢圓E相切，所以A=（10奶）2-4（4+5公乂5/-20）=0,整理得“2=5公+4,

\m-n\\in-n\\m-n\

又『與4之間的距離d=,則，二^-------

a+1"-\MN\-I+1hlm

又⑶=*=5-￡

由％2NO,故6[4,5),

因為0、A兩點位于直線《兩側(cè)，故加、〃同號，則2w[2,右），

故卜一[e[l,指-1）.即2的取值范圍為

【點睛】

方法點睛：圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：

（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；

（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系；

（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；

（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍：

（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.

8.己知橢圓C:5+4=l（a>6>0）的左、右焦點分別為"、F"橢圓C過點，直線交丫軸

ab-\2I

⑴求橢圓C的方程；

（2）如圖，菱形ABCD內(nèi)接于橢圓C,菱形中心在坐標原點.

①求10Al2+|。8『的值;

②求菱形A3CD面積的最小值.

【答案】⑴]+丁=1

2Q

⑵①鴻

【解析】

【分析】

（1）依題意可得PX軸，即可得到c=l,再根據(jù)點尸1，3-在橢圓上及c2=/-〃得到方程組，解得

k?

/、b2,即可得到橢圓方程：

（2）①將橢圓方程化為極坐標方程，設(shè)。4的極坐標為。=a,則0B的極坐標為0=]+a,|Q4|為自，

113

|。耳為。2，即可表示。I、P1-從而計算可得；②由①可知S"CO=2/?|P2，由彳+二1=不利用基本不等

P\Pl/

式求出?？?的最小值，即可得解

（1）

，+J_=i[2=2

解：依題意函=2函，所以P/px軸，所以c=l,又仁方一，解得匕一，，所以橢圓方程為

c2=a2-b2叩

X22,

—+y-=1：

2'

⑵

解：①將橢圓的方程￡+丁=1化為極坐標方程，即（QCOS，）一（）2所以爐=

22v7cos-e+2sirr8

設(shè)菱形的中心在坐標原點，故可設(shè)3的極坐標為，=a,則0B的極坐標為。=]+a,|0川為q,|O網(wǎng)為

1____________2____________

所

2以

。2，則82常=cos2fa+yl+2sin2fa+yl,所以

cos2a+2sin2a

1_sin?a+2cos2acos2a+2sin2asin2a+2cos2a3

所以一f---2=--------------------------------1---------------------一-----,----U--P------rH--------r

22

P\Pl222|0A|10B|2

1J31

而=瓶，所以加制當且僅當上2,即，七時取

,-萬

②易知SABCD=2piP),42

A2

QO

等號，所以，Be=20Q2三，所以菱形A5CD面積的最小值為];

22

9.己知橢圓上:鼻+馬=1（〃＞八0）的右焦點為尸，上頂點為C,過點尸與元軸垂直的直線交E于A,B兩

ab~

點（點A在第一象限），。為坐標原點，四邊形A8OC是面積為6的平行四邊形.

⑴求橢圓E的方程；

（2）設(shè)點尸（-3,0）,過點P的直線/交橢圓于點M,N,交y軸的正半軸于點T,點。為線段MN的中點,

\PQ\.\PT\=—f求直線/的斜率

4

2

【答案】⑴三+丁=1；

4

(2)k=—.

4

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)題意可寫出A,B兩點的坐標，由四邊形ABOC是平行四邊形可列|AB|=|OC|得到再由

平行四邊形ABOC的面積為石，可求出a,b,c,即可求出答案.

(2)設(shè)直線/的方程為》=〃?-3,把直線與橢圓進行聯(lián)立消x,求出％與力，再求出|PQ|與IP71,再利

27

用1尸。川尸丁1=下，即可求出陽，進而求出斜率h

4

(1)

h2

設(shè)尸(c,0),將x=c代入橢圓方程，得y=±J,

a

所以A[C,—,Bc,——,則|48|=芭-,

\a)\a)a

2b2

由四邊形A80C是平行四邊形知|A8|=|0C|,即絲=b,得a=2b,

a

22

所以C=y/a-b=Cb，

又平行四邊形ABOC的面積S=|OC\-1OF\=be=6，

所以。=2,b=l,c=6,

所以橢圓E的方程為工+y2=l.

⑵

設(shè)T

易知直線/的斜率%>0,則可得直線/的方程為X=，氣y-3,

由A=36m2—20(m2+4)>0,得病>5.

設(shè)M（芭,yJ,W（蒼,），。（%,幾），T（0,月），

hiliJ+以一3m

人“v24+加’

3

在工=沖_3中令X=0,得力=一，

m

所以|人|=行7版%=3%吁,1尸7|=師7乃=出巨，

4+相~m

所以尸71=9（^+1）=烏,

m~+44

解得加=2&或加=-2夜（舍去）,滿足蘇＞5,

綜上，直線/的斜率上=工=正.

m4

10.已知圓E：（X+2）2+Z=24,動圓N過點尸（2,0）且與圓E相切，記動圓圓心N的軌跡為曲線C.

（1）求曲線C的方程；

（2）過點尸（2,0）的直線m交橢圓C于點M、N,且滿足tan/MEN=些_（E為圓E的圓心），求直線機

3EM?EN

的方程.

【答案】（I）三+片=1

62

（2）X+G），+2=0、