2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章推理與證明4反證法課后鞏固提升含解析北師大版選修1-2

PAGE4反證法[A組基礎(chǔ)鞏固]1．命題“關(guān)于x的方程ax＝b(a≠0)的解是唯一的”的結(jié)論的否定是()A．無(wú)解 B．兩解C．至少兩解 D．無(wú)解或至少兩解解析：解是唯一的否定應(yīng)為“無(wú)解或至少兩解”．答案：D2．有下列敘述：①“a>b”的反面是“a<b”；②“x＝y(tǒng)”的反面是“x>y或x<y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形內(nèi)”；④“三角形的內(nèi)角中最多有一個(gè)鈍角”的反面是“三角形的內(nèi)角沒(méi)有鈍角”．其中正確的敘述有()A．0個(gè) B．1個(gè)C．2個(gè) D．3個(gè)解析：①錯(cuò)，應(yīng)為a≤b；②對(duì)；③錯(cuò)，應(yīng)為“三角形的外心在三角形內(nèi)或三角形的邊上”；④錯(cuò)，應(yīng)為三角形的內(nèi)角中有2個(gè)或2個(gè)以上的鈍角．答案：B3．用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至多有一個(gè)鈍角”時(shí)，反設(shè)正確的是()A．三個(gè)內(nèi)角中至少有一個(gè)鈍角B．三個(gè)內(nèi)角中至少有兩個(gè)鈍角C．三個(gè)內(nèi)角都不是鈍角D．三個(gè)內(nèi)角都不是鈍角或至少有兩個(gè)鈍角解析：“至多有一個(gè)”即要么一個(gè)都沒(méi)有，要么有一個(gè)，故反設(shè)為“至少有兩個(gè)”．答案：B4．用反證法證明命題：“a、b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一個(gè)能被5整除”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為()A．a(chǎn)，b都能被5整除B．a(chǎn)，b都不能被5整除C．a(chǎn)，b不都能被5整除D．a(chǎn)不能被5整除解析：“至少有一個(gè)”的否定是“一個(gè)也沒(méi)有”，即“a，b都不能被5整除”．答案：B5．用反證法證明命題：“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程x3＋ax＋b＝0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是()A．方程x3＋ax＋b＝0沒(méi)有實(shí)根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一個(gè)實(shí)數(shù)C．方程x3＋ax＋b＝0至多有兩個(gè)實(shí)根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有兩個(gè)實(shí)根解析：方程x3＋ax＋b＝0至少有一個(gè)實(shí)根的反面是方程x3＋ax＋b＝0沒(méi)有實(shí)根，故應(yīng)選A.答案：A6．“任何三角形的外角都至少有兩個(gè)鈍角”的否定應(yīng)是________________________________________________________________________.解析：“任何三角形”的否定是“存在一個(gè)三角形”，“至少有兩個(gè)”的否定是“最多有一個(gè)”．答案：存在一個(gè)三角形，其外角最多有一個(gè)鈍角7．用反證法證明命題“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，則x≠a且x≠b”時(shí)，應(yīng)假設(shè)為_(kāi)_______．解析：對(duì)“且”的否定應(yīng)為“或”，所以“x≠a且x≠b”的否定應(yīng)為“x＝a或x＝b”．答案：x＝a或x＝b8．將“函數(shù)f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在區(qū)間[－1,1]上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c，使f(c)>0”反設(shè)，所得命題為_(kāi)_______________．解析：“至少存在”的反面為“不存在”．“不存在c，使f(c)>0”即“f(x)≤0恒成立”．答案：函數(shù)f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在區(qū)間[－1,1]上恒有f(x)≤0.9．求證：一個(gè)三角形中至少有一個(gè)內(nèi)角不小于60°.證明：已知：∠A、∠B、∠C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角．求證：∠A、∠B、∠C中至少有一個(gè)不小于60°.證明：假設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角∠A、∠B、∠C都小于60°，即∠A<60，∠B<60°，∠C<60°，三式相加得∠A＋∠B＋∠C<180°.這與三角形內(nèi)角和定理沖突，∴∠A、∠B、∠C都小于60°的假設(shè)不能成立．∴一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角不小于60°.10．求證：拋物線上任取四點(diǎn)所組成的四邊形不行能是平行四邊形．證明：如圖，設(shè)拋物線方程為y2＝ax(a>0)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)是拋物線上不同的四點(diǎn)，則有yeq\o\al(2,i)＝axi，xi＝eq\f(y\o\al(2,i),a)(i＝1,2,3,4)，于是kAB＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(y2－y1,\f(y\o\al(2,2),a)－\f(y\o\al(2,1),a))＝eq\f(a,y2＋y1)，同理kBC＝eq\f(a,y3＋y2)，kCD＝eq\f(a,y4＋y3)，kDA＝eq\f(a,y1＋y4).假設(shè)四邊形ABCD是平行四邊形，則kAB＝kCD，kBC＝kDA，從而得y1＝y(tǒng)3，y2＝y(tǒng)4，進(jìn)而得x1＝x3，x2＝x4，于是點(diǎn)A，C重合，點(diǎn)B，D重合，這與假設(shè)A，B，C，D是拋物線上不同的四點(diǎn)相沖突．故四邊形ABCD不行能是平行四邊形．[B組實(shí)力提升]1．假如△A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于△A2B2C2的三個(gè)內(nèi)角的正弦值，則()A．△A1B1C1和△A2B2C2都是銳角三角形B．△A1B1C1和△A2B2C2都是鈍角三角形C．△A1B1C1是鈍角三角形，△A2B2C2是銳角三角形D．△A1B1C1是銳角三角形，△A2B2C2是鈍角三角形解析：易知△A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值均大于0，故△A1B1C1為銳角三角形，設(shè)△A2B2C2也為銳角三角形，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinA2＝cosA1＝sin\f(π,2)－A1，,sinB2＝cosB1＝sin\f(π,2)－B1，,sinC2＝cosC1＝sin\f(π,2)－C1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠A2＝\f(π,2)－∠A1，,∠B2＝\f(π,2)－∠B1，,∠C2＝\f(π,2)－∠C1，))那么∠A2＋∠B2＋∠C2＝eq\f(π,2)，這與三角形內(nèi)角和為180°沖突，所以假設(shè)不成立，所以△A2B2C2是鈍角三角形．答案：D2．已知f(x)是R上的增函數(shù)，a，b∈R，下列四個(gè)命題：①若a＋b≥0，則f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；②若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，則a＋b≥0；③若a＋b<0，則f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)；④若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，則a＋b<0.其中真命題個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析：易知①③正確，②用反證法．假設(shè)a＋b<0，則a<－b，b<－a，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)與條件沖突，故a＋b≥0，從而②為真命題，④類似于②用反證法．答案：D3．用反證法證明命題“若a2＋b2＝0，則a，b全為0(a，b為實(shí)數(shù))”，其反設(shè)為_(kāi)_______．解析：“a，b全為0”即是“a＝0且b＝0”，因此它的反設(shè)為“a≠0或b≠0”，即a，b不全為0.答案：a，b不全為04．用反證法證明“一個(gè)三角形不能有兩個(gè)直角”有三個(gè)步驟：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，這與三角形內(nèi)角和為180°沖突，故假設(shè)錯(cuò)誤．②所以一個(gè)三角形不能有兩個(gè)直角．③假設(shè)△ABC中有兩個(gè)直角，不妨設(shè)∠A＝90°，∠B＝90°.上述步驟的正確依次為_(kāi)_______．解析：由反證法的一般步驟可知，正確的依次應(yīng)為③①②.答案：③①②5．a(chǎn)、b∈R，用反證法證明a2＋ab與b2＋ab中至少有一個(gè)因式為非負(fù)數(shù)．證明：假設(shè)a2＋ab與b2＋ab都是負(fù)數(shù)，即a2＋ab<0，b2＋ab<0，則a2＋ab＋b2＋ab<0，即a2＋2ab＋b2<0，也就是(a＋b)2<0，這與(a＋b)2≥0沖突．所以假設(shè)錯(cuò)誤，原結(jié)論正確．6．已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)，設(shè)當(dāng)x0≥1，f(x0)≥1時(shí)，有f[f(x0)]＝x0，求證：f(x0)＝x0.證明：假設(shè)f(x0)≠x0，則必有f(x0)>x0或f(x0)<x0.若f(x0)>x0≥