2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章解析幾何初步2.1直線與直線的方程2.1.4兩條直線的交點學(xué)案含解析北師大版必修2

PAGE1．4兩條直線的交點考綱定位重難突破1.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標(biāo)．2.會用方程組解的個數(shù)判定兩條直線的位置關(guān)系．3.會用求交點坐標(biāo)的方法解決直線過定點、三條直線交于一點等問題.重點：駕馭兩點間距離公式并能敏捷應(yīng)用．難點：駕馭通過求方程組解的個數(shù)，判定兩直線位置關(guān)系的方法.授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第42頁[自主梳理]一、兩直線的交點已知兩直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.若兩直線方程組成的方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0,A2x＋B2y＋C2＝0))有唯一解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0,y＝y(tǒng)0))，則兩直線相交，交點坐標(biāo)為(x0，y0)．二、方程組的解的組數(shù)與兩直線的位置關(guān)系方程組的解交點個數(shù)兩直線的位置關(guān)系無解0平行有唯一解1相交有多數(shù)組解多數(shù)個重合[雙基自測]1．兩條直線l1：2x－y－1＝0與l2：x＋3y－11＝0的交點坐標(biāo)為()A．(3,2)B．(2,3)C．(－2，－3) D．(－3，－2)解析：解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y－1＝0，,x＋3y－11＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3，))故兩條直線的交點坐標(biāo)為(2,3)．答案：B2．若三條直線2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0，x＋ky＝0相交于一點，則k＝()A．－2B．－eq\f(1,2)C．2D.eq\f(1,2)解析：解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＋8＝0,x－y－1＝0))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1,y＝－2，))所以兩直線的交點為(－1，－2)，將eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1,y＝－2))代入x＋ky＝0，得k＝－eq\f(1,2).答案：B3．當(dāng)m∈R時，直線(2m＋1)x＋(3m－2)y－18m＋5＝0恒過定點M解析：原方程可整理為(x－2y＋5)＋m(2x＋3y－18)＝0，解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋5＝0，,2x＋3y－18＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝4，))所以直線恒過定點M(3,4)．答案：(3,4)4．求經(jīng)過兩條直線3x＋4y－2＝0與2x＋y＋2＝0的交點，且在x軸上的截距等于4的直線方程．解析：依題意，可設(shè)所求直線方程為3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0，其中λ∈R.整理得(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋(2λ－2)＝0.令y＝0，得x＝eq\f(2－2λ,3＋2λ)，依題意有eq\f(2－2λ,3＋2λ)＝4，解得λ＝－1，即所求直線方程為x＋3y－4＝0.授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第43頁探究一兩直線的交點問題[典例1]推斷下列各對直線的位置關(guān)系，假如相交，求出交點的坐標(biāo)．(1)l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0；(2)l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0；(3)l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0.[解析](1)解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝0,3x＋3y－10＝0))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,3),y＝\f(5,3))).所以l1與l2相交，且垂直，交點是M(eq\f(5,3)，eq\f(5,3))．(2)解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y＋4＝0①,6x－2y－1＝0②))①×2－②，得9＝0沖突．故方程組無解，所以兩直線無公共點，l1∥l2.(3)解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－5＝0①,6x＋8y－10＝0②))①×2，得6x＋8y－10＝0，因此，①和②可以化成同一個方程，即①和②表示同一條直線，l1與l2重合．1．已知兩個直線的方程，求它們的交點坐標(biāo)，就是解兩個直線方程組成的方程組，方程組的解就是交點的坐標(biāo)．2．解二元一次方程組時，可以利用加減消元法，也可以利用代入消元法．1．已知在平行四邊形ABCD中，A(1,1)，B(7,1)，D(4,6)，點M是邊AB的中點，CM與BD交于點P.(1)求直線CM的方程；(2)求點P的坐標(biāo)．解析：(1)設(shè)點C的坐標(biāo)為(x，y)，因為在平行四邊形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，所以線段AB，DC所在直線的斜率相等，線段AD，BC所在直線的斜率相等，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1－1,7－1)＝\f(y－6,x－4),\f(6－1,4－1)＝\f(y－1,x－7)))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝10,y＝6))，即C(10,6)．又點M是邊AB的中點，所以M(4,1)，所以直線CM的方程為eq\f(y－1,6－1)＝eq\f(x－4,10－4)，即5x－6y－14＝0.(2)因為B(7,1)，D(4,6)，所以直線BD的方程為eq\f(y－1,6－1)＝eq\f(x－7,4－7)，即5x＋3y－38＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x－6y－14＝0,5x＋3y－38＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝6,y＝\f(8,3)))，即點P的坐標(biāo)為(6，eq\f(8,3))．探究二過兩條直線交點的直線方程[典例2]求經(jīng)過2x＋y＋8＝0和x＋y＋3＝0的交點，且與直線2x＋3y－10＝0垂直的直線方程．解法一解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＋8＝0，,x＋y＋3＝0))得交點P(－5,2)．∵直線2x＋3y－10＝0的斜率k＝－eq\f(2,3)，∴所求直線的斜率是eq\f(3,2).因此所求直線方程為3x－2y＋19＝0.解法二設(shè)所求直線方程為3x－2y＋m＝0，解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＋8＝0，,x＋y＋3＝0))得交點P(－5,2)．把點P(－5,2)的坐標(biāo)代入3x－2y＋m＝0，求得m＝19.因此所求直線方程為3x－2y＋19＝0.解決此類問題有兩種方法．一種是常規(guī)法，即由題目已知條件求出交點和直線斜率，利用點斜式寫出直線方程；二是利用待定系數(shù)法寫出方程，再求出交點，代入求出待定系數(shù)．2．求經(jīng)過兩直線2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交點且與直線3x＋y－1＝0平行的直線l的方程．解析：解法一由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y－3＝0，,x＋y＋2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(3,5)，,y＝－\f(7,5).))∵直線l和直線3x＋y－1＝0平行，∴直線l的斜率k＝－3，∴依據(jù)點斜式有y－(－eq\f(7,5))＝－3[x－(－eq\f(3,5))]，即所求直線方程為15x＋5y＋16＝0.解法二∵直線l過兩直線2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交點，∴可設(shè)直線l的方程為2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0，即(λ＋2)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0.∵直線l與直線3x＋y－1＝0平行，∴eq\f(λ＋2,3)＝eq\f(λ－3,1)≠eq\f(2λ－3,－1)，解得λ＝eq\f(11,2).從而所求直線方程為15x＋5y＋16＝0.探究三兩直線交點的綜合應(yīng)用[典例3]已知三條直線l1：4x＋y－4＝0，l2：mx＋y＝0及l(fā)3：2x－3my－4＝0，求m的值，使l1，l2，l3三條直線能圍成三角形．[解析](1)若l1，l2，l3三條直線交于一點．明顯m≠4，若m＝4，則l1∥l2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋y－4＝0，,mx＋y＝0))得l1，l2的交點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,4－m)，\f(－4m,4－m))).代入l3的方程得eq\f(8,4－m)－3m·eq\f(－4m,4－m)－4＝0.解得m＝－1或m＝eq\f(2,3)，∴當(dāng)m＝－1或m＝eq\f(2,3)時，l1，l2，l3交于一點．(2)若l1與l2不相交，則m＝4，若l1與l3不相交，則m＝－eq\f(1,6)，若l2與l3不相交，則m∈?.綜上知：當(dāng)m＝－1或m＝eq\f(2,3)或m＝4或m＝－eq\f(1,6)時，三條直線不能構(gòu)成三角形，即構(gòu)成三角形的條件是m∈(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,6)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)，\f(2,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，4))∪(4，＋∞)．1．將幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題是解決本題的關(guān)鍵；2．在分類探討時，不能遺漏；3．此題是從結(jié)論的反面即求出不能圍成三角形的條件入手解決的．3．平行四邊形的兩鄰邊所在直線的方程是x＋y＋1＝0和3x－y＋4＝0，對角線的交點是O′(3,3)，求另外兩邊的方程．解析：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，依據(jù)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＋1＝0，,3x－y＋4＝0，))得頂點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,4)，\f(1,4))).因為O′是對角線AC的中點，且O′為(3,3)，所以頂點C的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(29,4)，\f(23,4))).由x＋y＋1＝0知，kAB＝－1，所以kCD＝－1，由點斜式得直線CD的方程為y－eq\f(23,4)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(29,4)))，即x＋y－13＝0.因為kAD＝3.所以kBC＝3，由點斜式得直線BC的方程為y－eq\f(23,4)＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(29,4)))，即3x－y－16＝0.有關(guān)對稱問題的解法[典例]已知直線l：y＝3x＋3，求：(1)點P(4,5)關(guān)于直線l的對稱點坐標(biāo)；(2)直線l1：y＝x－2關(guān)于直線l的對稱直線的方程；(3)直線l關(guān)于點A(3,2)的對稱直線的方程．[解析](1)設(shè)點P關(guān)于直線l的對稱點為P′(x′，y′)，則線段PP′的中點M在直線l上，且直線PP′垂直于直線l，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y′＋5,2)＝3·\f(x′＋4,2)＋3，,\f(y′－5,x′－4)·3＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝－2，,y′＝7.))所以P′(－2,7)．(2)法一聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－2＝0，,3x－y＋3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(5,2)，,y＝－\f(9,2).))所以直線l1與l的交點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－\f(9,2))).在直線l1：x－y－2＝0上任取一點(2,0)，過點(2,0)與直線l：3x－y＋3＝0垂直的直線方程為x＋3y＝2.設(shè)直線x＋3y＝2與直線l的交點坐標(biāo)為(x0，y0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x0－y0＋3＝0，,x0＋3y0＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－\f(7,10)，,y0＝\f(9,10).))即交點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,10)，\f(9,10))).又點(2,0)關(guān)于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,10)，\f(9,10)))對稱的點的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,5)，\f(9,5)))，所以過兩點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－\f(9,2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,5)，\f(9,5)))的直線方程為eq\f(y＋\f(9,2),\f(9,5)＋\f(9,2))＝eq\f(x＋\f(5,2),－\f(17,5)＋\f(5,2))，整理，得7x＋y＋22＝0.則所求直線方程為7x＋y＋22＝0.法二在直線l1上任取一點P(x1，y1)(P∈l1)，設(shè)點P關(guān)于直線l的對稱點為Q(x′，y′)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3·\f(x1＋x′,2)－\f(y1＋y′,2)＋3＝0，,\f(y′－y1,x′－x1)·3＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(－4x′＋3y′－9,5)，,y1＝\f(3x′＋4y′＋3,5).))又點P在直線l1上運動，所以x1－y1－2＝0.所以eq\f(－4x′＋3y′－9,5)－eq\f(3x′＋4y′＋3,5)－2＝0，即7x′＋y′＋22＝0.所以所求直線方程為7x＋y＋22＝0.(3)設(shè)直線l關(guān)于點A(3,2)的對稱直線為l′，由l∥l′，設(shè)l′：y′＝3x′＋b.任取y＝3x＋3上的一點(0,3)，則該點關(guān)于點A(3,2)的對稱點肯定在直線l′上，設(shè)其對稱點為(x′，y′)．則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(0＋x′,2)＝3，,\f(3＋y′,2)＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝6，,y′＝1.))代入y′＝3x′＋b，得b＝－17.故直線l′的方程為y′＝3x′－17，即所求直線的方程為3x－y－17＝0.[感悟提高](1)點關(guān)于直線對稱問題：求對稱點的坐標(biāo)，一般設(shè)P點關(guān)于直線l的對稱點為P′，由PP′⊥l，線段PP′的中點在直線l上，列方程組求解．(2)線關(guān)于線對稱問題：求對稱直線的方程，一般求l與l1的交點，再在直線l1上取一點(不是交點)，求該點關(guān)于直線l的對稱點，最終由兩點式寫出直線方程．(3)線關(guān)于點對稱問題：求對稱直線的方程可依據(jù)幾何意義求解．[隨堂訓(xùn)練]對應(yīng)學(xué)生用書第44頁1．直線2x－y＝7與直線3x＋2y－7＝0的交點坐標(biāo)是()A．(3，－1) B．(－1,3)C．(－3，－1) D．(3,1)解析：解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝7，,3x＋2y－7＝0，))得eq\b