數(shù)學(xué)教案：分層抽樣

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2.1。3整體設(shè)計教材分析本課是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了簡單隨機(jī)抽樣和系統(tǒng)抽樣之后所要學(xué)習(xí)的又一種抽樣方法-—分層抽樣.由前兩節(jié)課我們知道簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣有時獲得的樣本不具有很好的代表性,比如，當(dāng)個體間的差異比較大時，如果采用簡單隨機(jī)抽樣，不同的人就有可能得到差異很大的結(jié)果；同樣，如果采用系統(tǒng)抽樣也很可能得不到具有代表性的樣本.為此，為了更大程度地提高樣本的代表性，我們需要事先對總體有一定的了解,然后根據(jù)已有的了解,再按照一定的方式抽取，這就是分層抽樣。本教案的著眼點(diǎn)是讓學(xué)生主體參與,讓學(xué)生動手、動腦，并通過觀察、分析、比較、歸納等進(jìn)行合情推理,鼓勵學(xué)生積極活動，勇于探索.針對本節(jié)課概念性強(qiáng)、思維量大、例習(xí)題較多的特點(diǎn)，本課的教法是以啟發(fā)學(xué)生觀察思考分析討論為主的啟發(fā)式教學(xué).三維目標(biāo)1。了解分層抽樣的概念，理解科學(xué)、合理選用抽樣方法的必要性.2.掌握分層抽樣的操作步驟，對實際問題的對比分析.3。了解各種抽樣方法的使用范圍，使學(xué)生能根據(jù)具體情況選擇適當(dāng)?shù)某闃臃椒?4。結(jié)合教學(xué)內(nèi)容培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣以及“用數(shù)學(xué)”的意識，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)探索精神。重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：通過實例了解分層抽樣的方法.教學(xué)難點(diǎn)：分層抽樣的步驟.課時安排1課時教學(xué)過程導(dǎo)入新課設(shè)計思路一：（事例引入）有一條消息“抽查部分考生成績了解知道,江蘇省2005年高考的物理學(xué)科平均分約為95分?！闭垎栠@個數(shù)據(jù)是用什么樣的抽樣方法得到的？分析：不能單純地用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣，因為江蘇省有很多地區(qū),而每個地區(qū)的學(xué)生成績不平衡，甚至相差太大.那么，設(shè)計抽樣方法時,最核心的問題是什么，應(yīng)該注意什么呢？一定要使抽取的樣本具有很好的代表性.為此，在設(shè)計抽樣方法時，我們應(yīng)充分利用自己對總體情況已有的了解，選擇適合的抽樣方法。師:請同學(xué)們一起來探討一例,你認(rèn)為應(yīng)當(dāng)怎樣抽取樣本？設(shè)計思路二:（實例引入)某校高一、高二和高三年級分別有學(xué)生1000，800和700名，為了了解全校學(xué)生的視力情況，欲從中抽取容量為100的樣本，怎樣抽樣較為合理？（讓中檔生配合教師引入新課，增強(qiáng)他們的趕超意識;優(yōu)秀生補(bǔ)充，樹立他們“我要更強(qiáng)"的競爭意識；后進(jìn)生主動參與，提高他們課堂上有效的思考活動時間）分析：由于不同年級的學(xué)生視力狀況有一定的差異，不能在2500名學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，也不宜在三個年級平均抽取。為準(zhǔn)確反映客觀實際,不僅要使每個個體被抽到的概率相等，而且要注意總體中個體的層次性，所以,先將全體學(xué)生分成高一、高二和高三年級三層，分別抽樣.三部分學(xué)生的人數(shù)有較大差別，應(yīng)考慮各層個體數(shù)在總體中所占的比例.用各層的個體數(shù)與總體的個體數(shù)的比乘以樣本容量就可得各層所要抽取的個體數(shù)。推進(jìn)新課新知探究學(xué)生思考，交流討論，然后代表發(fā)言.一般地，當(dāng)總體由差異明顯的幾個部分組成時,為了使樣本更客觀地反映總體情況，我們常常將總體中的個體按不同的特點(diǎn)分成層次比較分明的幾部分,然后按各部分在總體中所占的比實施抽樣，這種抽樣方法叫做分層抽樣(stratifiedsampling),其中所分成的各個部分稱為“層”.分層抽樣的步驟是：(1）將總體按一定標(biāo)準(zhǔn)分層；(2）計算各層的個體數(shù)與總體的個體數(shù)的比;(3）按各層個體數(shù)占總體的個體數(shù)的比確定各層應(yīng)抽取的樣本容量;（4）在每一層進(jìn)行抽樣(可用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣）.分層抽樣的特點(diǎn)是：分層抽樣時，每個個體被抽到的可能性是相等的.由于分層抽樣充分利用了已知信息，使樣本具有較好的代表性，而且在各層抽樣時,可以根據(jù)具體情況采取不同的抽樣方法，因此分層抽樣在實踐活動中有著廣泛的應(yīng)用.應(yīng)用示例例1某電視臺在因特網(wǎng)上就觀眾對其某一節(jié)目的喜愛程度進(jìn)行調(diào)查，參加調(diào)查的總?cè)藬?shù)為12000人，其中持各種態(tài)度的人數(shù)如下表所示:很喜愛喜愛一般不喜愛2435456739261072電視臺為進(jìn)一步了解觀眾的具體想法和意見，打算從中抽選出60人進(jìn)行更為詳細(xì)的調(diào)查，應(yīng)怎樣進(jìn)行抽樣?分析：因為總體中人數(shù)較多，所以不宜采取簡單隨機(jī)抽樣,又由于持不同態(tài)度的人數(shù)差異較大，故也不宜用系統(tǒng)抽樣，而以分層抽樣為妥.解：采用分層抽樣。具體抽樣步驟如下：①把總體分成四層:“很喜愛”“喜愛"“一般”“不喜愛"；②因為總?cè)藬?shù)為12000人，所以各層個體數(shù)與總體個體數(shù)之比分別為“很喜愛”占；“喜愛”占；“一般”占；“不喜愛”占；③因為抽選出60人，所以從每層中抽出的人數(shù)為：“很喜愛"有×60≈12人,“喜愛”有×60≈23人，“一般”有×60≈20人，“不喜愛”有×60≈5人.④在每層中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取樣本，把各層抽得的個體合在一起就得到了所需的樣本。點(diǎn)評:（1）分層抽樣的四個步驟中按比例分配各層所要抽取的個體數(shù)時，有時計算出的個體數(shù)可能是一個近似數(shù)，但這并不影響樣本的容量.（2）分層抽樣適用于總體由差異比較明顯的幾個部分組成的情況，是等概率抽樣，它是客觀的、公平的。（3）分層抽樣是建立在簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣的基礎(chǔ)上的，由于它充分利用了調(diào)查者對被調(diào)查的對象（總體）事先所掌握的各種信息,并充分考慮了保持樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性，從而使抽取的樣本具有較好的代表性.并且在各層抽樣時可以根據(jù)情況采用不同的抽樣方法，因此分層抽樣在實踐中有著非常廣泛的應(yīng)用.例2一工廠生產(chǎn)了某種產(chǎn)品16800件,他們來自甲、乙、丙生產(chǎn)三條線.為檢查這批產(chǎn)品的質(zhì)量,決定采用分層抽樣的方法進(jìn)行抽樣,已知從甲、乙、丙3條生產(chǎn)線抽取的個體數(shù)組成一個等差數(shù)列，則乙生產(chǎn)線生產(chǎn)了________________件產(chǎn)品。分析：審題是思維的入口，抓住問題透露的信息，進(jìn)行分檢、組合和加工，找出解題思路.非常有價值的信息是從甲、乙、丙3條生產(chǎn)線抽取的個體數(shù)組成一個等差數(shù)列.解法一：因為從甲、乙、丙3條生產(chǎn)線抽取的個體數(shù)組成一個等差數(shù)列，故設(shè)從甲、乙、丙三條生產(chǎn)線抽出的個體數(shù)分別為a，a+d，a+2d，那么各層抽出的個體合在一起就得到了所需的樣本的容量3a+3d，所以從各條生產(chǎn)線抽出的個體數(shù)占總體的比為.設(shè)乙生產(chǎn)線生產(chǎn)了x件產(chǎn)品,則×x=a+d，x=5600.解法二：設(shè)從甲、乙、丙三條生產(chǎn)線抽出的個體數(shù)分別為：a－d，a，a+d,則各層抽得的個體合在一起就得到了所需的樣本的容量為3a，所以從各條生產(chǎn)線抽出的個體數(shù)占總體的比為.設(shè)乙生產(chǎn)線生產(chǎn)了x件產(chǎn)品，則×x=a，x=5600.解法三:因為從甲、乙、丙3條生產(chǎn)線抽取的個體數(shù)組成一個等差數(shù)列,由分層抽樣的原理知甲、乙、丙3條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)也組成一個等差數(shù)列。故設(shè)甲、乙、丙生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)分別為y－m，y,y+m件,則（y－m)+y+(y+m)=16800，即y=5600.點(diǎn)評：解法二妙在設(shè)三數(shù)時考慮了“三數(shù)成等差且已知它們的和”的條件.解法三思路：由于本題采用分層抽樣的方法進(jìn)行抽樣，已知從甲、乙、丙3條生產(chǎn)線抽取的個體數(shù)組成一個等差數(shù)列，那么甲、乙、丙3條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)也組成一個等差數(shù)列.因為從各條生產(chǎn)線抽出的人數(shù)占總體的比（設(shè)為k)是不變的，那么設(shè)從甲、乙、丙三條生產(chǎn)線抽出的個體數(shù)分別為：a－d,a，a+d（等差數(shù)列),則甲、乙、丙3條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)分別為：(等差數(shù)列）.思考:求出了乙生產(chǎn)線生產(chǎn)了5600件產(chǎn)品，能否求出甲和丙生產(chǎn)線分別生產(chǎn)了多少件產(chǎn)品。如果不能,能否加一些條件，求出甲和丙生產(chǎn)線分別生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)。解：不能,因d，k，a都不知。可以通過加條件求出甲和丙生產(chǎn)線分別生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)，如a=56,d=4，則k==1100，所以甲、丙生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)分別為:=5200，=6000?；蛘遜=4,k=，則k=3a16800=，所以a=56,以下解法同前.例3為了考察某校的教學(xué)水平，將抽查這個學(xué)校高三年級的部分學(xué)生的本學(xué)年考試成績。為了全面地反映實際情況，采用以下三種方式進(jìn)行抽查（已知該校高三年級共有20個教學(xué)班,并且每個班內(nèi)的學(xué)生已經(jīng)按隨機(jī)方式編好了學(xué)號，假定該校每班學(xué)生人數(shù)都相同）：①從全年級20個班中任意抽取一個班,再從該班中任意抽取20人，考察他們的學(xué)習(xí)成績;②每個班抽取一人,共計20人，考察這20個學(xué)生的成績；③把學(xué)生按成績分成優(yōu)秀、良好、普通三個級別,從中抽取100名學(xué)生進(jìn)行考察（已知:若按成績分，該校高三學(xué)生中優(yōu)秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人）.根據(jù)上面的敘述，試回答下列的問題：（1）上面三種抽取方式中，其中總體、個體、樣本分別指的是什么？每一種抽取方式抽取的樣本中，其樣本容量分別是多少？（2）上面三種抽取方式中各自采用何種抽取樣本的方法?（3）試分別寫出上面三種抽取方式各自抽取樣本的步驟.分析：本題主要考查數(shù)理統(tǒng)計中的一些基本概念和基本方法.做這種題目時，應(yīng)該注意敘述的完整性和條理性。解:(1）這三種抽樣方式中，其總體都是指該校高三全體學(xué)生本年度的考試成績,個體都是指高三年級每個學(xué)生本年度的考試成績。其中第一種抽取方式中樣本為所抽取的20名學(xué)生本年度的考試成績，樣本容量為20；第二種抽取方式中樣本為所抽取的20名學(xué)生本年度的考試成績，樣本容量為20；第三種抽取方式中樣本為所抽取的100名學(xué)生本年度的考試成績，樣本容量為100。（2)上面三種抽樣方式中，第一種方式采用的方法是簡單隨機(jī)抽樣法；第二種方式采用的方法是系統(tǒng)抽樣法和簡單隨機(jī)抽樣法；第三種方式采用的方法是分層抽樣法和簡單隨機(jī)抽樣法。（3）第一種方式抽樣的步驟如下：第一步：在這20個班中用抽簽法任意抽取一個班；第二步:從這個班中按學(xué)號用隨機(jī)數(shù)表法或抽簽法抽取20名學(xué)生，考察其考試成績。第二種方式抽樣的步驟如下：第一步:在第一個班中，用簡單隨機(jī)抽樣法任意抽取某一個學(xué)生，記其學(xué)號為a；第二步：在其余的19個班中，選取學(xué)號為a的學(xué)生，共計19人。第三種方式抽樣的步驟如下:第一步：分層.因為若按成績分,其中優(yōu)秀生共150人,良好生共600人，普通生共250人，所以在抽取樣本時，應(yīng)該把全體學(xué)生分成三個層次.第二步:確定各個層次抽取的人數(shù)。因為樣本容量與總體的個體數(shù)比為:100∶1000=1∶10，所以在每個層次抽取的個體數(shù)依次為，即15，60，25.第三步：按層次分別抽取。在優(yōu)秀生中用簡單隨機(jī)抽樣法抽取15人;在良好生中用簡單隨機(jī)抽樣法抽取60人；在普通生中用簡單隨機(jī)抽樣法抽取20人。點(diǎn)評：1。弄清考察對象是明確總體、個體、樣本的關(guān)鍵,這里考察的對象指的是數(shù)據(jù)。樣本中有多少個個體,樣本容量就是多少.總體、個體、樣本的考察對象是同一的，所不同的是范圍的大小。2。判斷采用何種抽樣方法時，應(yīng)充分理解三種抽樣方法的定義.三種抽樣方法的共同點(diǎn)、各自的特點(diǎn)、三者之間的聯(lián)系以及適用的范圍：類別共同點(diǎn)各自特點(diǎn)相互聯(lián)系適用范圍簡單隨機(jī)抽樣抽樣過程中每個個體被抽取的概率相等從總體中逐個抽取總體中的個數(shù)較少系統(tǒng)抽樣將總體均分成幾部分,按事先確定的規(guī)則分別在各部分中抽取在起始部分抽樣時采用簡單隨機(jī)抽樣總體中的個數(shù)較多分層抽樣將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取各層抽樣時采用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成例4下列問題中,采用怎樣的抽樣方法較為合理？（1)從10臺冰箱中抽取3臺進(jìn)行質(zhì)量檢查；（2）某電影院有32排座位，每排有40個座位，座位號為1～40.有一次報告會坐滿了聽眾,報告會結(jié)束后為聽取意見,需留下32名聽眾進(jìn)行座談;（3）某學(xué)校有160名教職工，其中教師120名,行政人員16名，后勤人員24名.為了了解教職工對學(xué)校在校務(wù)公開方面的意見，擬抽取一個容量為20的樣本.此題考察統(tǒng)計中的抽樣方法的有關(guān)知識，要求學(xué)生會區(qū)別幾種抽樣方法。分析:此題特征是：已知總體情況來分析選擇抽樣方法。解：（1)總體容量比較小，用抽簽法或隨機(jī)數(shù)表法都很方便.（2）總體容量比較大，用抽簽法或隨機(jī)數(shù)表法比較麻煩.由于人員沒有明顯差異，且剛好32排，每排人數(shù)相同，可用系統(tǒng)抽樣.具體做法是：將每排的40人組成一組,共32組，從第1排至第32排分別為1~32組，先在第1排用簡單隨機(jī)抽樣抽取一名聽眾，再將其他各排與此聽眾座位號相同的聽眾全部取出.（3）由于學(xué)校各類人員對這一問題的看法可能差異較大，故應(yīng)采用分層抽樣方法.具體做法是：總體容量為160，故樣本中教師人數(shù)應(yīng)為20×=15名,行政人員人數(shù)應(yīng)為20×=2名，后勤人員應(yīng)為20×=3名。點(diǎn)評:此題考察統(tǒng)計中的抽樣方法的有關(guān)知識，要求學(xué)生會區(qū)別幾種抽樣方法。知能訓(xùn)練1。在10000個有機(jī)會中獎參加港澳七日游的號碼（編號為0000～9999）中，在公證部門監(jiān)督下按照隨機(jī)抽取的方法確定后三位數(shù)為369的號碼為中獎號碼.請你分析這里運(yùn)用了哪種抽樣方法來確定中獎號碼的？依次寫出這10個中獎號碼.2.某校共有118名教師,為了支援西部的教育事業(yè)，現(xiàn)要從中抽出16名教師組成暑期西部講師團(tuán).請用系統(tǒng)抽樣法選出講師團(tuán)成員.3.某大學(xué)共有全日制學(xué)生15000人,其中?？粕?788人、本科生9874人、研究生1338人，現(xiàn)為了調(diào)查學(xué)生上網(wǎng)查找資料的情況,欲從中抽取225人，為了使樣本具有代表性，應(yīng)該怎樣抽取樣本?（充分給予學(xué)生思考的時間，由學(xué)生分析思路，寫出詳細(xì)解題過程，培養(yǎng)學(xué)生規(guī)范化書寫解題過程的意識，老師點(diǎn)撥和指導(dǎo)。出示投影片上準(zhǔn)備好的解題過程,讓學(xué)生對照自己的書寫過程，揚(yáng)長避短）4.某市的3個區(qū)共有高中學(xué)生2000人，且3個區(qū)的高中學(xué)生人數(shù)之比為2∶3∶5,現(xiàn)要用分層抽樣方法從所有學(xué)生中抽取一個容量為200的樣本，這3個區(qū)分別應(yīng)抽取多少人？寫出抽樣過程.解答：1.因為中獎號碼的后三位數(shù)相同，因此10個中獎號碼依次為：0369，1369,2369，3369,4369,5369，6369，7369，8369，9369。它們的間隔相同，因此采用的是系統(tǒng)抽樣方法.2。（1）對這118名教師進(jìn)行編號1,2,…,118。（2)計算間隔k==7.375.由于k不是一個整數(shù)，我們從總體中隨機(jī)剔除6個樣本，再來進(jìn)行系統(tǒng)抽樣。例如我們隨機(jī)剔除了3、46、59、57、112、93這6名教師，然后再對剩余的112名教師編號，計算間隔k=7。(3）在1～7之間隨機(jī)選取一個數(shù)字，例如選5，將5加上間隔7得到第二個個體編號12，再加上7得到第三個個體編號19，依次進(jìn)行下去,直到獲取整個樣本.3。采用分層抽樣.具體抽樣步驟如下：①將總體分成三層：“?？粕薄氨究粕薄把芯可?；②因為總?cè)藬?shù)為15000人,所以各層個體數(shù)與總體個體數(shù)之比分別為：“?？粕?占；“本科生"占;“研究生"占;③因為抽選出225人,所以從各層中抽出的人數(shù)為：“?？粕?有×225≈57人；“本科生”有×225≈148人;“研究生”有×225≈20人;④在每層中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取樣本，把各層抽得的個體合在一起就得到了所需的樣本.4。由分層抽樣原理知從各層中抽取的樣本個數(shù)之比等于各層的個體數(shù)之比，所以從各層中抽出的人數(shù)為：“第一區(qū)"有×200=40人；“第二區(qū)”有×200=60人;“第三區(qū)”有×200=100人；然后在每層中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取樣本,把各層抽得的個體合在一起就得到了所需的樣本.點(diǎn)評:有針對性的與例題配套，加強(qiáng)學(xué)生對上課例題的理解.課堂小結(jié)(先讓一位同學(xué)總結(jié)，其他同學(xué)補(bǔ)充,教師完善,并用多媒體展示出來）(1）分層抽樣的定義；（2）分層抽樣的實施方法及步驟;（3)簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣及分層抽樣的區(qū)別與聯(lián)系。作業(yè)課本習(xí)題2.12、8。設(shè)計感想由于課程標(biāo)準(zhǔn)對分層抽樣的要求層次為“了解"，因此沒有在如何合理分層這個層面上花過多時間，而是以例題、習(xí)題的形式補(bǔ)充了一些與學(xué)習(xí)、生活、生產(chǎn)相關(guān)的背景材料，讓學(xué)生感受分層抽樣應(yīng)用的廣泛性和必要性。習(xí)題詳解習(xí)題2。11.解:采用分層抽樣的方法.具體為：①將全市的800家企業(yè)分成四個層:“中外合資企業(yè)”“私營企業(yè)”“國有企業(yè)”“其他性質(zhì)的企業(yè)";②“中外合資企業(yè)”與全市企業(yè)總數(shù)之比為160∶800=1∶5；“私營企業(yè)"與全市企業(yè)總數(shù)之比為320∶800=2∶5；“國有企業(yè)"與全市企業(yè)總數(shù)之比為240∶800=3∶10；“其他性質(zhì)的企業(yè)”與全市企業(yè)總數(shù)之比為80∶800=1∶10；③應(yīng)抽取“中外合資企業(yè)”40×=8家；“私營企業(yè)”40×=16家；“國有企業(yè)”40×=12家;“其他性質(zhì)的企業(yè)”40×=4家；④將抽出的40家企業(yè)合在一起就組成所要的樣本。2.解：由題意知：抽取高二年級學(xué)生15人。故抽取的高二年級學(xué)生與高二年級學(xué)生總數(shù)之比為15∶300=1∶20，所以高一年級學(xué)生總數(shù)為20×20=400人，高三年級學(xué)生總數(shù)為10×20=200人，全校學(xué)生總數(shù)為400+300+200=900人.3.解:因為4個區(qū)的學(xué)生人數(shù)之比為3∶2.8∶2。2∶2，因此各個區(qū)的學(xué)生數(shù)分別占總數(shù)的3∶(3+2.8+2.2+2）=3∶10，2。8∶（3+2.8+2.2+2）=7∶25,2。2∶(3+2.8+2.2+2）=11∶50,2∶(3+2。8+2.2+2）=2∶10，所以應(yīng)分別從各個區(qū)抽取學(xué)生200×=60人,200×=56人，200×=44人,200×=40人.4.解：